Parça örnekleriyle belirli integral. İntegralleri çevrimiçi çözme

Daha önce, belirli bir fonksiyon verildiğinde, çeşitli formüller ve kuralların rehberliğinde onun türevini buluyorduk. Türevin çok sayıda kullanımı vardır: hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); fonksiyonun grafiğine teğetin açısal katsayısı; türevi kullanarak bir fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ancak bilinen bir hareket kanununa göre hızı bulma probleminin yanı sıra, ters bir problem de vardır; hareket kanununu bilinen bir hıza göre geri getirme problemi. Bu sorunlardan birini ele alalım.

Örnek 1. Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder, t zamanındaki hızı v=gt formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.
Çözüm. İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = v(t) olduğu bilinmektedir. Bu, problemi çözmek için türevi gt'ye eşit olan bir s = s(t) fonksiyonunu seçmeniz gerektiği anlamına gelir. Tahmin etmek zor değil. bu \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Aslında
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Cevap: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) elde ettik. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü vardır: C'nin keyfi bir sabit olduğu \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ biçimindeki herhangi bir fonksiyon, bir denklem yasası olarak hizmet edebilir. hareket, çünkü \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Sorunu daha spesifik hale getirmek için başlangıç ​​durumunu düzeltmemiz gerekti: hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t = 0'da. Eğer s(0) = s 0 ise, o zaman eşitlik s(t) = (gt 2)/2 + C şunu elde ederiz: s(0) = 0 + C, yani C = s 0. Artık hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematikte karşılıklı ters işlemlere farklı isimler verilir, özel gösterimler icat edilir, örneğin: kare alma (x 2) ve karekök (\(\sqrt(x) \)), sinüs (sin x) ve arksinüs (arcsin x) vb. Belirli bir fonksiyonun türevini bulma sürecine denir farklılaşma ve ters işlem, yani belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci, entegrasyon.

"Türev" teriminin kendisi "gündelik terimlerle" haklı gösterilebilir: y = f(x) fonksiyonu yeni bir y" = f"(x) fonksiyonunu "doğurur". y = f(x) fonksiyonu bir “ana” görevi görür, ancak matematikçiler doğal olarak ona “ana” veya “üretici” demezler; y" = f"( fonksiyonuyla ilişkili olarak öyle olduğunu söylerler. x) , birincil görüntü veya ilkel.

Tanım. Eğer F"(x) = f(x) eşitliği \(x \in X\) için geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).

Örnekler verelim.
1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur
2) y = x 3 fonksiyonu y = 3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur
3) y = sin(x) fonksiyonu, y = cos(x) fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (sin(x))" = cos(x) eşitliği doğrudur

Türevlerin yanı sıra antiderivatifleri bulurken sadece formüller değil aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 1 Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.

Sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 2. Eğer F(x), f(x)'in ters türevi ise, kF(x), kf(x)'in ters türevidir.

Teorem 1. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(kx + m) fonksiyonunun ters türevi \(y=\frac(1)(k)F fonksiyonudur) (kx+m) \)

Teorem 2. Eğer y = F(x), X aralığında y = f(x) fonksiyonunun bir ters türevi ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve bunların hepsi y = F(x) biçimindedir. + C.

Entegrasyon yöntemleri

Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

İkame yoluyla entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani ikame) getirilmesini içerir. Bu durumda verilen integral tablo halindeki veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Yer değiştirmeleri seçmek için genel bir yöntem yoktur. Oyuncu değişikliğini doğru şekilde belirleme yeteneği uygulama yoluyla kazanılır.
İntegrali \(\textstyle \int F(x)dx \) hesaplamak gerekli olsun. \(x= \varphi(t) \) ikamesini yapalım; burada \(\varphi(t) \) sürekli türevi olan bir fonksiyondur.
O halde \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ve belirsiz integral için integral formülünün değişmezlik özelliğine dayanarak, yerine koyma yoluyla integral formülünü elde ederiz:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) biçimindeki ifadelerin entegrasyonu

Eğer m tek ise, m > 0 ise, sin x = t yerine koyma işlemi yapmak daha uygundur.
Eğer n tek ise, n > 0, bu durumda yerine cos x = t koymak daha uygundur.
Eğer n ve m çift ise, o zaman tg x = t değişimini yapmak daha uygundur.

Parçalara göre entegrasyon

Parçalara göre entegrasyon - entegrasyon için aşağıdaki formülün uygulanması:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
veya:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (antitürevleri) tablosu

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugün dersimizde parçalara göre nasıl integral alacağımızı öğreneceğiz. Parçalara göre entegrasyon yöntemi, integral hesabının temel taşlarından biridir. Testler veya sınavlar sırasında öğrencilerden neredeyse her zaman aşağıdaki integral türlerini çözmeleri istenir: en basit integral (makaleye bakın) veya bir değişkeni değiştirerek bir integral (makaleye bakın) veya integral tam açık parça yöntemiyle entegrasyon.

Her zaman olduğu gibi elinizin altında olması gerekenler: İntegral tablosu Ve Türev tablosu. Hala bunlara sahip değilseniz lütfen web sitemin depolama odasını ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar. Tekrar etmekten yorulmayacağım; her şeyi yazdırmak daha iyi. Tüm materyali tutarlı, basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım, parçaların entegrasyonunda özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon yöntemi hangi sorunu çözer? Parçalara göre entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer; tabloda olmayan bazı fonksiyonları entegre etmenize olanak tanır, iş fonksiyonlar ve bazı durumlarda bölümler bile. Hatırladığımız gibi uygun bir formül yok: . Ama şu var: – Şahsen parçalara göre entegrasyon formülü. Biliyorum, biliyorum, tek kişi sensin - ders boyunca onunla çalışacağız (şimdi daha kolay).

Ve hemen liste stüdyoya. Aşağıdaki türlerin integralleri parçalara göre alınır:

1) , , – logaritma, logaritmanın bir polinomla çarpılması.

2) ,bir polinomla çarpılan üstel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda bir üstel fonksiyonun bir polinomla çarpımı gibi integralleri de içerir, ancak pratikte bu yüzde 97'dir, integralin altında güzel bir "e" harfi vardır. ... makale biraz lirik çıkıyor, ah evet ... bahar geldi.

3) , , trigonometrik fonksiyonların bir polinomla çarpımıdır.

4) , – ters trigonometrik fonksiyonlar (“kemerler”), “kemerler”in bir polinomla çarpımı.

Bazı kesirler de parçalar halinde alınmıştır; ilgili örnekleri de ayrıntılı olarak ele alacağız.

Logaritmanın integralleri

örnek 1

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir ancak hazır bir cevabın kullanılması tavsiye edilmez çünkü öğretmenin bahar vitamini eksikliği vardır ve ağır bir şekilde küfredecektir. Çünkü söz konusu integral hiçbir şekilde tablo halinde değildir - parçalar halinde alınır. Biz karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözüme ara veriyoruz.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: . Açıkçası, bizim örneğimizde (ve dikkate alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin olarak ve bir şeyin de olarak belirtilmesi gerekiyor.

Söz konusu türdeki integrallerde logaritma her zaman gösterilir.

Teknik olarak çözümün tasarımı şu şekilde uygulanıyor; sütuna şunu yazıyoruz:

Yani logaritmayı şu şekilde gösterdik: ve - kalan kısım integral ifadesi.

Sonraki aşama: farkı bulun:

Diferansiyel türevle hemen hemen aynıdır; onu nasıl bulacağımızı önceki derslerde zaten tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Entegre etmeniz gereken işlevi bulmak için Sağ Taraf düşük eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: .
Bu arada, bazı notlarla birlikte son çözümün bir örneğini burada bulabilirsiniz:

Çalışmadaki tek nokta, faktörü logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğu için hemen ve'yi değiştirmiş olmamdır.

Gördüğünüz gibi parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü esasen iki basit integrale indirgedi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra Formülün uygulanmasıyla, kalan integrale göre mutlaka bir basitleştirme yapılması gerekir - söz konusu örnekte, integrali "x" e indirdik.

Hadi kontrol edelim. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru çözülmüştür.

Test sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu bir tesadüf değil.

Parçalara göre entegrasyon formülü ve formül – bunlar birbirinin tersi olan iki kuraldır.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İntegral bir logaritmanın ve bir polinomun ürünüdür.
Karar verelim.

Kuralın uygulanma prosedürünü bir kez daha detaylı olarak anlatacağım, ileride örnekler daha kısaca sunulacak, kendi başınıza çözmekte zorluk çekiyorsanız dersin ilk iki örneğine geri dönmeniz gerekiyor. .

Daha önce de belirttiğimiz gibi logaritmayı belirtmek gerekir (kuvvet olması önemli değildir). ile belirtiyoruz kalan kısım integral ifadesi.

Sütuna şunu yazıyoruz:

İlk önce diferansiyeli buluyoruz:

Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz . Konunun ilk dersinde tesadüf değil Belirsiz integral. Çözüm örnekleriİntegrallerde uzmanlaşmak için türevleri "elinize almanın" gerekli olduğu gerçeğine odaklandım. Türevlerle birden fazla kez uğraşmak zorunda kalacaksınız.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz, bunun için entegre ediyoruz Sağ Taraf düşük eşitlik:

Entegrasyon için en basit tablo formülünü kullandık

Artık formülü uygulamaya her şey hazır . Yıldız işaretiyle açın ve çözümü sağ tarafa göre “oluşturun”:

İntegralin altında yine logaritma için bir polinomumuz var! Bu nedenle çözüm tekrar kesintiye uğrar ve parçalara göre integral alma kuralı ikinci kez uygulanır. Benzer durumlarda logaritmanın her zaman gösterildiğini unutmayın.

Şimdiye kadar en basit integralleri ve türevleri sözlü olarak nasıl bulacağınızı bilseydiniz iyi olurdu.

(1) İşaretler konusunda kafanız karışmasın! Çoğu zaman eksi burada kaybolur; ayrıca eksinin şu anlama geldiğini de unutmayın: herkese braket ve bu parantezlerin doğru şekilde genişletilmesi gerekiyor.

(2) Braketleri açın. Son integrali basitleştiriyoruz.

(3) Son integrali alıyoruz.

(4) Cevabı “Taramak”.

Parçalara göre entegrasyon kuralını iki kez (hatta üç kez) uygulama ihtiyacı çok nadir ortaya çıkmaz.

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek:

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek, değişkeni değiştirerek (veya onu diferansiyel işaretin altına koyarak) çözülür! Neden olmasın - onu parçalara ayırmayı deneyebilirsiniz, komik bir şeye dönüşecektir.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Ancak bu integral parçalarla (vaat edilen kesir) integre edilir.

Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örnekler, ders sonundaki çözümler ve cevaplardır.

Örnek 3 ve 4'te integrallerin benzer olduğu ancak çözüm yöntemlerinin farklı olduğu görülmektedir! İntegrallerde uzmanlaşmanın ana zorluğu budur - eğer bir integrali çözmek için yanlış yöntemi seçerseniz, gerçek bir bulmaca gibi saatlerce onunla uğraşabilirsiniz. Bu nedenle çeşitli integralleri ne kadar çok çözerseniz test ve sınav o kadar kolay olur. Ayrıca ikinci yılda diferansiyel denklemler olacak ve integral ve türevleri çözme konusunda deneyim olmadan orada yapacak bir şey yok.

Logaritma açısından bu muhtemelen fazlasıyla yeterlidir. Bu arada, mühendislik öğrencilerinin kadın göğüslerini =) logaritma kullanarak adlandırdıklarını da hatırlıyorum. Bu arada, temel temel fonksiyonların grafiklerini ezbere bilmek faydalıdır: sinüs, kosinüs, arktanjant, üs, üçüncü, dördüncü derece polinomlar, vb. Hayır, elbette, dünya üzerinde bir prezervatif
Uzatmayacağım ama şimdi bölümden çok şey hatırlayacaksınız Grafikler ve işlevler =).

Üstel bir polinomla çarpılan integraller

Genel kural:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre oluyoruz:

İntegral konusunda zorluk yaşıyorsanız makaleye geri dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Yapabileceğiniz diğer tek şey cevabı değiştirmek:

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçenek onu cevap olarak bırakmaktır. ya da

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş sayılır. Bu bir hata olmayacak; öğretmenin sizden cevabı basitleştirmenizi isteyebileceği başka bir konu.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu integral iki kez parça parça integre edilir. İşaretlere özellikle dikkat edilmelidir - bunların arasında kafa karıştırmak kolaydır, bunun karmaşık bir işlev olduğunu da hatırlıyoruz.

Katılımcı hakkında söylenecek başka bir şey yok. Sadece üstel ve doğal logaritmanın karşılıklı ters fonksiyonlar olduğunu ekleyebilirim, yüksek matematiğin eğlenceli grafikleri konusunda ben buyum =) Dur, dur, endişelenme, hoca ayık.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: çünkü her zaman bir polinomu belirtir

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre integral alalım:

Hmmm...ve yorum yapacak bir şey yok.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözmeniz için bir örnek

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Kesirli başka bir örnek. Önceki iki örnekte olduğu gibi, for bir polinomu belirtir.

Parçalara göre integral alalım:

İntegrali bulma konusunda herhangi bir zorluk veya yanlış anlama yaşıyorsanız derse katılmanızı tavsiye ederim. Trigonometrik fonksiyonların integralleri.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

İpucu: Parçalara göre integral alma yöntemini kullanmadan önce, iki trigonometrik fonksiyonun çarpımını tek bir fonksiyona dönüştüren bazı trigonometrik formülleri uygulamanız gerekir. Formül, parçalara göre entegrasyon yöntemini uygularken hangisi sizin için daha uygunsa, aynı zamanda kullanılabilir.

Muhtemelen bu paragrafta hepsi bu. Nedense fizik ve matematik ilahisindeki bir satırı hatırladım: “Ve sinüs grafiği apsis ekseni boyunca dalga dalga ilerler”….

Ters trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Ters trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: her zaman ters trigonometrik fonksiyonu belirtir.

Ters trigonometrik fonksiyonların arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant içerdiğini hatırlatmama izin verin. Kaydın kısa olması adına onlara "kemerler" diyeceğim.