Mutlak ve bağıl ölçüm hataları. Mutlak ölçüm hatası

Ölçüm hatası- bir büyüklüğün ölçülen değerinin gerçek değerinden sapmasının değerlendirilmesi. Ölçüm hatası, ölçüm doğruluğunun bir özelliğidir (ölçüsüdür).

Herhangi bir büyüklüğün gerçek değerini mutlak doğrulukla belirlemek mümkün olmadığından, ölçülen değerin gerçek değerden sapma miktarını belirtmek de mümkün değildir. (Bu sapmaya genellikle ölçüm hatası denir. Bazı kaynaklarda, örneğin Büyük Sovyet Ansiklopedisi'nde terimler ölçüm hatası Ve ölçüm hatası eşanlamlı olarak kullanılır, ancak RMG 29-99'a göre terim ölçüm hatası Daha az başarılı olduğu için kullanılması önerilmez). Bu sapmanın büyüklüğünü yalnızca istatistiksel yöntemler kullanarak tahmin etmek mümkündür. Pratikte gerçek değer yerine şunu kullanırlar: miktarın gerçek değeri x d, yani bir fiziksel büyüklüğün deneysel olarak elde edilen ve verilen ölçüm görevinde onun yerine kullanılabilecek kadar gerçek değere yakın değeri. Bu değer genellikle bir dizi ölçümün sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesinden elde edilen ortalama değer olarak hesaplanır. Elde edilen bu değer kesin olmayıp sadece en olası olanıdır. Bu nedenle ölçümlerde doğruluklarının ne olduğunu belirtmek gerekir. Bunu yapmak için, elde edilen sonuçla birlikte ölçüm hatası da gösterilir. Örneğin, kayıt T=2,8±0,1 C. miktarın gerçek değeri anlamına gelir T aralığında yer alır 2,7 sn.önce 2,9 sn. belirli bir olasılıkla

2004 yılında, uluslararası düzeyde, ölçüm yapma koşullarını belirleyen ve devlet standartlarını karşılaştırmak için yeni kurallar belirleyen yeni bir belge kabul edildi. "Hata" kavramı geçerliliğini yitirdi; bunun yerine "ölçüm belirsizliği" kavramı tanıtıldı, ancak GOST R 50.2.038-2004 bu terimin kullanılmasına izin veriyor hata Rusya'da kullanılan belgeler için.

Aşağıdaki hata türleri ayırt edilir:

· mutlak hata;

· bağıl hata;

· azaltılmış hata;

· temel hata;

· ek hata;

· Sistematik hata;

· rastgele hata;

· aletsel hata;

· yöntemsel hata;

· kişisel hata;

· statik hata;

· dinamik hata.

Ölçüm hataları aşağıdaki kriterlere göre sınıflandırılır.

· Matematiksel ifade yöntemine göre hatalar mutlak hatalar ve göreceli hatalar olarak ikiye ayrılır.

· Zamandaki değişimlerin ve giriş değerinin etkileşimine göre hatalar, statik hatalar ve dinamik hatalar olarak ikiye ayrılır.

· Ortaya çıkma niteliğine göre hatalar, sistematik hatalar ve rastgele hatalar olarak ikiye ayrılır.

· Hatanın etkileyen büyüklüklere bağımlılığının niteliğine göre hatalar temel ve ek olarak ikiye ayrılır.

· Hatanın giriş değerine bağımlılığının niteliğine bağlı olarak hatalar, toplamalı ve çarpımsal olarak ikiye ayrılır.

Mutlak hata- Bir büyüklüğün ölçüm işlemi sırasında elde edilen değeri ile bu büyüklüğün gerçek (gerçek) değeri arasındaki fark olarak hesaplanan değerdir. Mutlak hata aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

AQ n =Q n /Q 0, burada AQ n mutlak hatadır; Qn- ölçüm işlemi sırasında elde edilen belirli bir miktarın değeri; Soru 0- Karşılaştırmaya esas alınan aynı miktarın değeri (gerçek değer).

Ölçümün mutlak hatası– tedbirin nominal değeri olan sayı ile tedbirin ürettiği miktarın gerçek (gerçek) değeri arasındaki fark olarak hesaplanan değerdir.

Göreceli hataölçüm doğruluğunun derecesini yansıtan bir sayıdır. Bağıl hata aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Burada ∆Q mutlak hatadır; Soru 0– ölçülen büyüklüğün gerçek (gerçek) değeri. Bağıl hata yüzde olarak ifade edilir.

Azaltılmış hata mutlak hata değerinin normalizasyon değerine oranı olarak hesaplanan bir değerdir.

Standart değer aşağıdaki şekilde belirlenir:

· Nominal değeri onaylanmış ölçü aletleri için bu nominal değer standart değer olarak alınır;

· Sıfır değeri ölçüm skalasının kenarında veya skalanın dışında bulunan ölçü aletleri için normalizasyon değeri, ölçüm aralığındaki son değere eşit olarak alınır. Bunun istisnası, önemli ölçüde eşit olmayan ölçüm ölçeğine sahip ölçüm cihazlarıdır;

· Sıfır işareti ölçüm aralığının içinde bulunan ölçüm cihazları için normalleştirme değeri, ölçüm aralığının son sayısal değerlerinin toplamına eşit olarak alınır;

· Ölçeği eşit olmayan ölçü aletleri (ölçü aletleri) için, normalleştirme değeri, ölçü skalasının tüm uzunluğuna veya ölçüm aralığına karşılık gelen kısmının uzunluğuna eşit olarak alınır. Mutlak hata daha sonra uzunluk birimleriyle ifade edilir.

Ölçüm hatası; alet hatası, yöntem hatası ve sayma hatasını içerir. Ayrıca ölçüm skalasının bölme kesirlerinin belirlenmesindeki yanlışlıktan dolayı sayma hatası ortaya çıkmaktadır.

Alet hatası– Ölçü aletlerinin fonksiyonel parçalarının imalat prosesi sırasında yapılan hatalardan dolayı ortaya çıkan bir hatadır.

Metodolojik hata aşağıdaki nedenlerden dolayı oluşan bir hatadır:

· ölçüm cihazının dayandığı fiziksel süreç modelinin oluşturulmasında yanlışlık;

· ölçüm cihazlarının yanlış kullanımı.

Öznel hata– bu, ölçüm cihazı operatörünün düşük vasıf derecesinden ve ayrıca insanın görsel organlarının hatasından kaynaklanan bir hatadır; yani öznel hatanın nedeni insan faktörüdür.

Zaman içindeki değişimlerin ve girdi miktarının etkileşimindeki hatalar, statik ve dinamik hatalara bölünür.

Statik hata– bu, sabit (zamanla değişmeyen) bir miktarın ölçülmesi sürecinde ortaya çıkan bir hatadır.

Dinamik hata sayısal değeri, sabit olmayan (zamanla değişken) bir miktarı ölçerken oluşan hata ile statik hata (ölçülen miktarın belirli bir noktada değerindeki hata) arasındaki fark olarak hesaplanan bir hatadır. zaman).

Hatanın etkileyen büyüklüklere bağımlılığının niteliğine göre, hatalar temel ve ek olarak ikiye ayrılır.

Temel hata– bu, ölçüm cihazının normal çalışma koşulları altında (etkileyen büyüklüklerin normal değerlerinde) elde edilen hatadır.

Ek hata– bu, etkileyen büyüklüklerin değerleri normal değerlerine uymadığında veya etkileyen nicelik normal değerler bölgesinin sınırlarını aştığında ortaya çıkan bir hatadır.

Normal koşullar– bunlar, etkileyen miktarların tüm değerlerinin normal olduğu veya normal aralığın sınırlarını aşmadığı koşullardır.

Çalışma şartları– bunlar, etkileyen miktarlardaki değişimin daha geniş bir aralığa sahip olduğu koşullardır (etkileyen değerler, çalışma değerleri aralığının sınırlarını aşmaz).

Etkileyen miktarların çalışma aralığı– bu, ek hatanın değerlerinin normalleştirildiği değer aralığıdır.

Hatanın girdi değerine bağımlılığının niteliğine bağlı olarak hatalar, toplamalı ve çarpımsal olarak ikiye ayrılır.

Toplama hatası– bu, sayısal değerlerin toplamından kaynaklanan bir hatadır ve modülo (mutlak) alınan ölçülen büyüklüğün değerine bağlı değildir.

Çarpımsal önyargıölçülen büyüklüğün değerlerindeki değişikliklerle değişen bir hatadır.

Mutlak toplamsal hata değerinin, ölçülen büyüklüğün değeri ve ölçüm cihazının hassasiyeti ile ilgili olmadığı unutulmamalıdır. Mutlak toplamsal hatalar tüm ölçüm aralığı boyunca sabittir.

Mutlak toplamsal hatanın değeri, ölçüm cihazı tarafından ölçülebilen miktarın minimum değerini belirler.

Çarpımsal hataların değerleri, ölçülen miktarın değerlerindeki değişikliklerle orantılı olarak değişir. Çarpımsal hataların değerleri aynı zamanda ölçüm cihazının hassasiyetiyle de orantılıdır.Çarpımsal hata, niceliklerin cihazın elemanlarının parametrik özellikleri üzerindeki etkisinden dolayı ortaya çıkar.

Ölçme işlemi sırasında ortaya çıkabilecek hatalar, oluşma niteliğine göre sınıflandırılır. Vurgulamak:

· sistematik hatalar;

· rastgele hatalar.

Ölçme işlemi sırasında da büyük hatalar ve hatalar meydana gelebilir.

Sistematik hata- bu, aynı miktarın tekrarlanan ölçümleriyle değişmeyen veya doğal olarak değişen, ölçüm sonucu hatasının tamamının bir bileşenidir. Genellikle sistematik bir hata mümkün olan yollarla (örneğin oluşma olasılığını azaltan ölçüm yöntemleri kullanılarak) ortadan kaldırılmaya çalışılır, ancak sistematik hata giderilemiyorsa ölçümlere başlamadan önce hesaplanır ve uygun hale getirilir. Ölçüm sonucunda düzeltmeler yapılır. Sistematik hatayı normalleştirme sürecinde izin verilen değerlerin sınırları belirlenir. Sistematik hata, ölçüm cihazlarının ölçümlerinin doğruluğunu belirler (metrolojik özellik). Bazı durumlarda sistematik hatalar deneysel olarak belirlenebilir. Ölçüm sonucu daha sonra bir düzeltme yapılarak netleştirilebilir.

Sistematik hataları ortadan kaldırma yöntemleri dört türe ayrılır:

· ölçümlere başlamadan önce hataların nedenlerinin ve kaynaklarının ortadan kaldırılması;

· halihazırda başlamış olan ölçüm sürecindeki hataların ikame yoluyla ortadan kaldırılması, hataların işaret, karşıtlık, simetrik gözlemlerle telafi edilmesi;

· ölçüm sonuçlarının düzeltmeler yapılarak düzeltilmesi (hataların hesaplamalarla ortadan kaldırılması);

· Giderilemediği durumlarda sistematik hatanın sınırlarının belirlenmesi.

Ölçümlere başlamadan önce hata nedenlerinin ve kaynaklarının ortadan kaldırılması. Bu yöntem en iyi seçenektir, çünkü kullanımı daha sonraki ölçüm sürecini basitleştirir (halihazırda başlatılan ölçüm sürecindeki hataları ortadan kaldırmaya veya elde edilen sonuçta düzeltmeler yapmaya gerek yoktur).

Halihazırda başlamış olan ölçüm sürecindeki sistematik hataları ortadan kaldırmak için çeşitli yöntemler kullanılır.

Değişikliklerin getirilmesi yöntemi Sistematik hatanın bilgisine ve bu hatanın mevcut değişim kalıplarına dayanmaktadır. Bu yöntemi kullanırken, sistematik hatalarla elde edilen ölçüm sonucunda, bu hatalara eşit büyüklükte ancak işarette zıt düzeltmeler yapılır.

İkame yöntemiölçülen miktarın, ölçülen nesnenin bulunduğu aynı koşullara yerleştirilen bir ölçü ile değiştirilmesi gerçeğinden oluşur. Değiştirme yöntemi aşağıdaki elektriksel parametreleri ölçerken kullanılır: direnç, kapasitans ve endüktans.

İşaret hatası telafi yöntemiölçümlerin, bilinmeyen büyüklükte bir hatanın ters işaretle ölçüm sonuçlarına dahil edileceği şekilde iki kez yapılması gerçeğinden oluşur.

Muhalefet yöntemi işaret telafisi yöntemine benzer. Bu yöntem, ilk ölçümdeki hatanın kaynağının ikinci ölçümün sonucunu ters yönde etkilemesi için ölçümün iki kez alınmasından oluşur.

Rastgele hata- bu, aynı miktarın tekrarlanan ölçümleri yapılırken rastgele, düzensiz olarak değişen, ölçüm sonucu hatasının bir bileşenidir. Rastgele bir hatanın oluşması öngörülemez veya tahmin edilemez. Rastgele hata tamamen ortadan kaldırılamaz; her zaman nihai ölçüm sonuçlarını bir dereceye kadar bozar. Ancak tekrar tekrar ölçüm yaparak ölçüm sonucunun daha doğru olmasını sağlayabilirsiniz. Rastgele bir hatanın nedeni, örneğin ölçüm sürecini etkileyen dış faktörlerdeki rastgele bir değişiklik olabilir. Yeterince yüksek bir doğruluk derecesine sahip tekrarlanan ölçümler yapılırken rastgele bir hata, sonuçların dağılmasına neden olur.

Hatalar ve büyük hatalar– bunlar, verilen ölçüm koşulları altında beklenen sistematik ve rastgele hataların çok ötesine geçen hatalardır. Ölçüm işlemi sırasındaki büyük hatalar, ölçüm cihazının teknik arızası veya dış koşullardaki beklenmedik değişiklikler nedeniyle hatalar ve büyük hatalar ortaya çıkabilir.

Bazı rastgele değişkenlere izin verin Aölçülen N kez aynı koşullar altında. Ölçüm sonuçları bir set verdi N farklı sayılar

Mutlak hata- boyutlu değer. Arasında N Mutlak hata değerleri mutlaka hem pozitif hem de negatiftir.

Miktarın en olası değeri için A genellikle alınır ortalamaölçüm sonuçlarının değeri

.

Ölçüm sayısı ne kadar fazla olursa ortalama değer gerçek değere o kadar yakın olur.

Mutlak hataBen

.

Göreceli hataBen-inci ölçüye miktar denir

Göreceli hata boyutsuz bir miktardır. Genellikle göreceli hata yüzde olarak ifade edilir, bunun için e ben%100 ile çarpın. Göreceli hatanın büyüklüğü ölçümün doğruluğunu karakterize eder.

Ortalama mutlak hataşu şekilde tanımlanır:

.

D miktarlarının mutlak değerlerini (modüllerini) toplamanın gerekliliğini vurguluyoruz ve ben. Aksi takdirde sonuç aynı şekilde sıfır olacaktır.

Ortalama bağıl hata miktar denir

.

Çok sayıda ölçüm için.

Bağıl hata, ölçülen değerin birim başına hata değeri olarak kabul edilebilir.

Ölçümlerin doğruluğu, ölçüm sonuçlarındaki hataların karşılaştırılmasıyla değerlendirilir. Bu nedenle, ölçüm hataları, doğruluğu değerlendirmek için, ölçülen nesnelerin boyutlarını karşılaştırmadan veya bu boyutları yaklaşık olarak bilmeden, yalnızca sonuçların hatalarını karşılaştırmanın yeterli olacağı şekilde ifade edilir. Bir açının ölçülmesindeki mutlak hatanın açının değerine bağlı olmadığı ve uzunluk ölçümündeki mutlak hatanın uzunluğun değerine bağlı olduğu pratikten bilinmektedir. Uzunluk ne kadar büyük olursa, belirli bir yöntem ve ölçüm koşulları için mutlak hata da o kadar büyük olur. Sonuç olarak, sonucun mutlak hatası, açı ölçümünün doğruluğunu yargılamak için kullanılabilir, ancak uzunluk ölçümünün doğruluğu değerlendirilemez. Hatanın göreceli formda ifade edilmesi, bilinen durumlarda açısal ve doğrusal ölçümlerin doğruluğunun karşılaştırılmasını mümkün kılar.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Rastgele hata.

Rastgele hata Aynı büyüklüğün tekrarlanan ölçümleri sırasında rastgele değişen ölçüm hatası bileşeni denir.

Aynı sabit, değişmeyen niceliğin tekrarlanan ölçümleri aynı özenle ve aynı koşullar altında yapıldığında, bazıları birbirinden farklı, bazıları ise örtüşen ölçüm sonuçları elde ederiz. Ölçüm sonuçlarındaki bu tür farklılıklar, bunlarda rastgele hata bileşenlerinin varlığını gösterir.

Rastgele hata, her birinin ölçüm sonucu üzerinde algılanamaz bir etkisi olan birçok kaynağın eşzamanlı etkisinden kaynaklanır, ancak tüm kaynakların toplam etkisi oldukça güçlü olabilir.

Rastgele hatalar, herhangi bir ölçümün kaçınılmaz bir sonucudur ve şunlardan kaynaklanır:

a) alet ve aletlerin ölçeğindeki okumaların yanlışlığı;

b) tekrarlanan ölçümler için koşulların özdeş olmaması;

c) kontrol edilemeyen dış koşullardaki (sıcaklık, basınç, kuvvet alanı vb.) rastgele değişiklikler;

d) nedenleri tarafımızca bilinmeyen ölçümler üzerindeki diğer tüm etkiler. Rastgele hatanın büyüklüğü, deneyin birçok kez tekrarlanması ve elde edilen sonuçların karşılık gelen matematiksel işlemleriyle en aza indirilebilir.

Rastgele bir hata, belirli bir ölçüm için tahmin edilmesi imkansız olan farklı mutlak değerler alabilir. Bu hata eşit derecede olumlu veya olumsuz olabilir. Bir deneyde rastgele hatalar her zaman mevcuttur. Sistematik hataların olmadığı durumlarda tekrarlanan ölçümlerin gerçek değere göre dağılmasına neden olurlar.

Bir sarkacın salınım periyodunun kronometre kullanılarak ölçüldüğünü ve ölçümün birçok kez tekrarlandığını varsayalım. Kronometreyi başlatma ve durdurmadaki hatalar, okuma değerindeki bir hata, sarkacın hareketinde hafif bir eşitsizlik - tüm bunlar tekrarlanan ölçümlerin sonuçlarının dağılmasına neden olur ve bu nedenle rastgele hatalar olarak sınıflandırılabilir.

Başka hata yoksa, bazı sonuçlar biraz fazla tahmin edilirken, diğerleri biraz hafife alınacaktır. Ancak buna ek olarak saat de geride kalırsa, tüm sonuçlar hafife alınacaktır. Bu zaten sistematik bir hatadır.

Bazı faktörler aynı anda hem sistematik hem de rastgele hatalara neden olabilir. Yani kronometreyi açıp kapatarak sarkacın hareketine göre saatin başlama ve durma zamanlarında küçük bir düzensiz yayılım yaratabilir ve böylece rastgele bir hata ortaya çıkarabiliriz. Ancak, eğer kronometreyi her seferinde açmak için acelemiz varsa ve kapatmak için biraz geç kalıyorsak, bu sistematik bir hataya yol açacaktır.

Rastgele hatalar, alet ölçeği bölümlerini sayarken paralaks hatasından, bir binanın temelinin sarsılmasından, hafif hava hareketinin etkisinden vb. kaynaklanır.

Bireysel ölçümlerdeki rastgele hataları ortadan kaldırmak mümkün olmasa da, rastgele olayların matematiksel teorisi, bu hataların nihai ölçüm sonucu üzerindeki etkisini azaltmamıza olanak tanır. Bunun için bir değil birden fazla ölçüm yapılması gerektiği ve elde etmek istediğimiz hata değeri ne kadar küçük olursa o kadar fazla ölçüm yapılması gerektiği aşağıda gösterilecektir.

Rastgele hataların oluşmasının kaçınılmaz ve kaçınılmaz olması nedeniyle herhangi bir ölçüm sürecinin asıl görevi hataları en aza indirmektir.

Hata teorisi, deneyimlerle doğrulanan iki ana varsayıma dayanmaktadır:

1. Çok sayıda ölçümde, aynı büyüklükte ancak farklı işaretlerde rastgele hatalar, yani sonucun artması ve azalması yönündeki hatalar oldukça sık meydana gelir.

2. Mutlak değeri büyük olan hatalar, küçük olanlara göre daha az görülür, dolayısıyla hatanın büyüklüğü arttıkça oluşma olasılığı azalır.

Rastgele değişkenlerin davranışı olasılık teorisinin konusu olan istatistiksel kalıplarla tanımlanır. Olasılığın istatistiksel tanımı ben olaylar Ben ilişki

Nerede N- toplam deney sayısı, n ben- olayın gerçekleştiği deneylerin sayısı Ben olmuş. Bu durumda toplam deney sayısı çok fazla olmalıdır ( N®¥). Çok sayıda ölçümde rastgele hatalar, temel özellikleri aşağıdaki gibi olan normal bir dağılıma (Gauss dağılımı) uyar:

1. Ölçülen değerin gerçek değerden sapması ne kadar büyükse, böyle bir sonucun oluşma olasılığı o kadar azdır.

2. Gerçek değerden her iki yönde sapmalar eşit derecede olasıdır.

Yukarıdaki varsayımlardan, rastgele hataların etkisini azaltmak için bu değerin birkaç kez ölçülmesinin gerekli olduğu anlaşılmaktadır. Diyelim ki bir miktar x ölçüsünü ölçüyoruz. Üretilsin Nölçümler: x 1 , x 2 , ... x n- Aynı yöntemi ve aynı özenle kullanmak. sayısının artması beklenebilir gün oldukça dar bir aralıkta yer alan elde edilen sonuçlar Xönce x + dx, orantılı olmalıdır:

Alınan aralığın boyutu dx;

Toplam ölçüm sayısı N.

Olasılık dw(X) bir miktar değer X aralığında yer alır Xönce x + dx, aşağıdaki gibi tanımlanır :

(ölçüm sayısı ile N ®¥).

İşlev F(X) dağılım fonksiyonu veya olasılık yoğunluğu olarak adlandırılır.

Hata teorisinin bir varsayımı olarak, doğrudan ölçüm sonuçlarının ve bunların rastgele hatalarının, çok sayıda olması durumunda, normal dağılım yasasına uyduğu kabul edilir.

Gauss tarafından bulunan sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu X aşağıdaki forma sahiptir:

, nerede yanlış - dağıtım parametreleri .

Normal dağılımın m parametresi ortalama b değerine eşittir Xñ keyfi olarak bilinen bir dağılım fonksiyonu için integral tarafından belirlenen bir rastgele değişken

.

Böylece, m değeri, ölçülen x büyüklüğünün en olası değeridir, yani. onun en iyi tahmini.

Normal dağılımın s2 parametresi, genel durumda aşağıdaki integral ile belirlenen rastgele değişkenin D varyansına eşittir.

.

Varyansın kareköküne rastgele değişkenin standart sapması denir.

Rastgele değişken ásñ'nin ortalama sapması (hata), aşağıdaki gibi dağılım fonksiyonu kullanılarak belirlenir

Gauss dağılım fonksiyonundan hesaplanan ortalama ölçüm hatası ásñ, standart sapmanın değeriyle şu şekilde ilişkilidir:

< S > = 0,8s.

s ve m parametreleri birbirleriyle aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

.

Bu ifade, normal bir dağılım eğrisi varsa standart sapmayı bulmanızı sağlar.

Gauss fonksiyonunun grafiği şekillerde sunulmuştur. İşlev F(X) noktada çizilen koordinata göre simetriktir x = M; noktada bir maksimumdan geçer x = m ve m ±s noktalarında bir bükülmeye sahiptir. Böylece varyans, dağılım fonksiyonunun genişliğini karakterize eder veya rastgele bir değişkenin değerlerinin, gerçek değerine göre ne kadar geniş bir şekilde dağıldığını gösterir. Ölçümler ne kadar doğru olursa, bireysel ölçümlerin sonuçları gerçek değere o kadar yakın olur; s değeri daha küçüktür. Şekil A işlevi göstermektedir F(X) s'nin üç değeri için .

Bir eğrinin çevrelediği bir şeklin alanı F(X) ve noktalardan çizilen dikey çizgiler X 1 ve X 2 (Şekil B) , ölçüm sonucunun D aralığına düşme olasılığına sayısal olarak eşittir x = x 1 - X 2'ye güven olasılığı denir. Tüm eğrinin altındaki alan F(X), rastgele bir değişkenin 0 ila ¥ aralığına düşme olasılığına eşittir, yani.

,

Çünkü güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

Hata teorisi normal dağılımı kullanarak iki ana problemi ortaya koyar ve çözer. Birincisi, alınan ölçümlerin doğruluğunun değerlendirilmesidir. İkincisi ise ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalama değerinin doğruluğunun değerlendirilmesidir.5. Güven aralığı. Öğrenci katsayısı.

Olasılık teorisi, bilinen bir olasılıkla, aralığın boyutunu belirlememize olanak tanır. w Bireysel ölçümlerin sonuçları bulunur. Bu olasılığa denir güven olasılığı ve karşılık gelen aralık (<X>±D X)w isminde güven aralığı. Güven olasılığı aynı zamanda güven aralığına giren sonuçların göreceli oranına da eşittir.

Ölçüm sayısı ise N yeterince büyükse, güven olasılığı toplam sayının oranını ifade eder Nölçülen değerin güven aralığı dahilinde olduğu ölçümler. Her güven olasılığı w kendi güven aralığına karşılık gelir: w 2 %80. Güven aralığı ne kadar geniş olursa o aralıkta sonuç alma olasılığı da o kadar artar. Olasılık teorisinde güven aralığının değeri, güven olasılığı ve ölçüm sayısı arasında niceliksel bir ilişki kurulur.

Güven aralığı olarak ortalama hataya karşılık gelen aralığı seçersek, yani D bir =áD Añ, yeterince büyük sayıda ölçüm için güven olasılığına karşılık gelir w%60. Ölçüm sayısı azaldıkça, böyle bir güven aralığına karşılık gelen güven olasılığı (á Añ ± áD Añ), azalır.

Bu nedenle, bir rastgele değişkenin güven aralığını tahmin etmek için ortalama hata değeri (áD) kullanılabilir. Añ .

Rastgele hatanın büyüklüğünü karakterize etmek için iki sayının, yani güven aralığının değeri ve güven olasılığının değerinin belirtilmesi gerekir. . Karşılık gelen güven olasılığı olmadan yalnızca hatanın büyüklüğünü belirtmek büyük ölçüde anlamsızdır.

Ortalama ölçüm hatası ásñ biliniyorsa, güven aralığı şu şekilde yazılır: (<X> ± ásñ) w, güven olasılığı ile belirlenir w= 0,57.

Standart sapma biliniyorsa Ölçüm sonuçlarının dağılımı, belirtilen aralık şu şekildedir (<X>± t w S) w, Nerede t w- güven olasılığı değerine bağlı olan ve Gauss dağılımı kullanılarak hesaplanan katsayı.

En sık kullanılan miktarlar D X Tablo 1'de verilmiştir.

Sayfa 1

Mutlak belirleme hatası 0 01 μg fosforu aşmaz. Bu yöntemi nitrik, asetik, hidroklorik ve sülfürik asitler ve asetondaki fosforu ön buharlaştırmayla belirlemek için kullandık.

Mutlak belirleme hatası 0 2 - 0 3 mg'dır.

Önerilen yöntemi kullanarak çinko-manganez ferritlerinde çinkonun belirlenmesindeki mutlak hata %0 2 bağıl değerini aşmaz.

Gazdaki içerikleri %0 2 - 5 0 olduğunda C2 - C4 hidrokarbonlarının belirlenmesindeki mutlak hata sırasıyla %0 01 - 0 2'dir.

Burada Ау, a'nın belirlenmesinde Evet hatasından kaynaklanan, r/'nin belirlenmesindeki mutlak hatadır. Örneğin, bir sayının karesinin göreceli hatası, sayının kendisinin belirlenmesindeki hatanın iki katıdır ve küp kökü altındaki sayının göreceli hatası, sayının belirlenmesindeki hatanın sadece üçte biri kadardır.

Kazanın başlangıç ​​zamanının belirlenmesinde mutlak hataların karşılaştırılması için bir ölçü seçerken daha karmaşık hususlar gereklidir: TV - Ts; burada Tv ve Ts, sırasıyla yeniden oluşturulan ve gerçek kazanın zamanıdır. Benzer şekilde, kirliliğin tepe noktasının fiili deşarjdan, kirliliğin geçişi sırasında kazayı kaydeden izleme noktalarına kadar olan ortalama yolculuk süresi Tsm burada kullanılabilir. Kazaların gücünü belirleme güvenilirliğinin hesaplanması, Mv ve Ms'nin sırasıyla geri yüklenen ve gerçek güç olduğu MV - Ms / Mv bağıl hatasının hesaplanmasına dayanmaktadır. Son olarak, acil durum serbest bırakma süresinin belirlenmesindeki göreceli hata, rv - rs / re değeriyle karakterize edilir; burada rv ve rs, sırasıyla kazaların yeniden oluşturulan ve gerçek süresidir.

Kazanın başlangıç ​​zamanının belirlenmesinde mutlak hataların karşılaştırılması için bir ölçü seçerken daha karmaşık hususlar gereklidir: TV - Ts; burada Tv ve Ts, sırasıyla yeniden oluşturulan ve gerçek kazanın zamanıdır. Benzer şekilde, kirliliğin tepe noktasının fiili deşarjdan, kirliliğin geçişi sırasında kazayı kaydeden izleme noktalarına kadar olan ortalama yolculuk süresi Tsm burada kullanılabilir. Kazaların gücünü belirleme güvenilirliğinin hesaplanması, Mv ve Ms'nin sırasıyla geri yüklenen ve gerçek güç olduğu Mv - Ms / Ms bağıl hatasının hesaplanmasına dayanmaktadır. Son olarak, bir acil durum serbest bırakma süresinin belirlenmesindeki göreceli hata, rv - rs / rs değeriyle karakterize edilir; burada rv ve rs, sırasıyla kazaların yeniden oluşturulan ve gerçek süresidir.

Aynı mutlak ölçüm hatası için ax miktarının belirlenmesindeki mutlak hata, yöntemin duyarlılığı arttıkça azalır.

Hatalar rastgele değil sistematik hatalara dayandığından, vantuzların belirlenmesindeki nihai mutlak hata, teorik olarak gerekli hava miktarının %10'una ulaşabilir. Yalnızca kabul edilemeyecek derecede sızdıran ocaklarda (A a0 25) genel kabul görmüş yöntem az çok tatmin edici sonuçlar verir. Bu, yoğun yanma odalarının hava dengesini dengelerken sıklıkla negatif emme değerleri alan servis teknisyenleri tarafından iyi bilinmektedir.

Pet değerinin belirlenmesindeki hatanın analizi, bunun 4 bileşenden oluştuğunu gösterdi: matrisin kütlesinin belirlenmesinde mutlak hata, numune kapasitesi, tartım ve numune kütlesinin denge etrafındaki dalgalanmalarından kaynaklanan bağıl hata. değer.

GKhP-3 gaz analizörü kullanılarak gazların seçilmesi, ölçülmesi ve analiz edilmesiyle ilgili tüm kurallara uyulursa, CO2 ve O2 içeriğini belirlemedeki toplam mutlak hata, gerçek değerlerinin% 0 2 - 0 4'ünü geçmemelidir.

Masadan Şekil 1 - 3'te, farklı kaynaklardan alınan başlangıç ​​maddeleri için kullandığımız verilerin, bu miktarların belirlenmesindeki mutlak hatalar dahilinde yer alan nispeten küçük farklılıklara sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Rastgele hatalar mutlak ve göreceli olabilir. Ölçülen değerin boyutuna sahip rastgele hataya mutlak belirleme hatası denir. Tüm bireysel ölçümlerin mutlak hatalarının aritmetik ortalamasına analitik yöntemin mutlak hatası denir.

İzin verilen sapmanın değeri veya güven aralığı keyfi olarak belirlenmez, belirli ölçüm verilerinden ve kullanılan cihazların özelliklerinden hesaplanır. Bireysel ölçümün sonucunun bir miktarın gerçek değerinden sapmasına mutlak belirleme hatası veya basitçe hata denir. Mutlak hatanın ölçülen değere oranına bağıl hata denir ve genellikle yüzde olarak ifade edilir. Tek bir ölçümün hatasını bilmenin bağımsız bir anlamı yoktur ve ciddi şekilde yürütülen herhangi bir deneyde, deneysel hatanın hesaplandığı birkaç paralel ölçümün yapılması gerekir. Ölçüm hataları, oluşma nedenlerine bağlı olarak üç türe ayrılır.

Fiziksel bir miktarın gerçek değerini kesinlikle doğru bir şekilde belirlemek neredeyse imkansızdır çünkü Herhangi bir ölçüm işlemi bir takım hatalarla veya başka bir deyişle yanlışlıklarla ilişkilidir. Hataların nedenleri çok farklı olabilir. Bunların ortaya çıkması, incelenen nesnenin fiziksel özelliklerinden dolayı ölçüm cihazının imalatındaki ve ayarlanmasındaki yanlışlıklarla ilişkilendirilebilir (örneğin, eşit olmayan kalınlıktaki bir telin çapını ölçerken, sonuç rastgele olarak bağlıdır) ölçüm yerinin seçimi), rastgele nedenler vb.

Deneycinin görevi, sonuç üzerindeki etkilerini azaltmak ve ayrıca elde edilen sonucun gerçeğe ne kadar yakın olduğunu belirtmektir.

Mutlak ve bağıl hata kavramları vardır.

Altında mutlak hataölçümler, ölçüm sonucu ile ölçülen miktarın gerçek değeri arasındaki farkı anlayacaktır:

∆x ben =x i -x ve (2)

burada ∆x i i'inci ölçümün mutlak hatasıdır, x i _ i'inci ölçümün sonucudur, x ve ölçülen değerin gerçek değeridir.

Herhangi bir fiziksel ölçümün sonucu genellikle şu şekilde yazılır:

ölçülen değerin aritmetik ortalama değeri nerede, gerçek değere en yakın (x ve ≈'nin geçerliliği aşağıda gösterilecektir), mutlak ölçüm hatasıdır.

Eşitlik (3), ölçülen büyüklüğün gerçek değerinin [ - , + ] aralığında olacağı şekilde anlaşılmalıdır.

Mutlak hata boyutlu bir büyüklüktür; ölçülen büyüklükle aynı boyuta sahiptir.

Mutlak hata, alınan ölçümlerin doğruluğunu tam olarak karakterize etmez. Aslında, 1 m ve 5 mm uzunluğundaki segmentleri aynı ± 1 mm mutlak hatayla ölçersek, ölçümlerin doğruluğu karşılaştırılamaz olacaktır. Bu nedenle mutlak ölçüm hatasıyla birlikte bağıl hata da hesaplanır.

Göreceli hataölçümler mutlak hatanın ölçülen değerin kendisine oranıdır:

Göreceli hata boyutsuz bir miktardır. Yüzde olarak ifade edilir:

Yukarıdaki örnekte göreceli hatalar %0,1 ve %20'dir. Mutlak değerler aynı olmasına rağmen birbirlerinden belirgin şekilde farklıdırlar. Göreceli hata doğruluk hakkında bilgi verir

Ölçüm hataları

Tezahürün niteliğine ve hataların ortaya çıkma nedenlerine göre, bunlar aşağıdaki sınıflara ayrılabilir: araçsal, sistematik, rastgele ve özlüyor (büyük hatalar).

Hatalar ya cihazın arızalanmasından ya da metodolojinin ya da deneysel koşulların ihlalinden kaynaklanır ya da öznel niteliktedir. Uygulamada, diğerlerinden keskin biçimde farklılaşan sonuçlar olarak tanımlanırlar. Oluşumlarını ortadan kaldırmak için cihazlarla çalışırken dikkatli ve dikkatli olmak gerekir. Hata içeren sonuçlar değerlendirme dışı bırakılmalıdır (atılmalıdır).

Enstrüman hataları. Ölçüm cihazı iyi çalışır durumda ve ayarlanmışsa, cihazın türüne göre belirlenen sınırlı doğrulukla ölçümler yapılabilir. Bir işaretçi aletinin alet hatasının, ölçeğinin en küçük bölümünün yarısına eşit olduğunu düşünmek gelenekseldir. Dijital okumalı cihazlarda alet hatası, alet skalasının en küçük rakamının değerine eşitlenir.

Sistematik hatalar, aynı yöntemle ve aynı ölçüm cihazları kullanılarak gerçekleştirilen tüm ölçüm serileri için büyüklüğü ve işareti sabit olan hatalardır.

Ölçümleri yaparken sadece sistematik hataları hesaba katmak değil, aynı zamanda bunların ortadan kaldırılmasını sağlamak da önemlidir.

Sistematik hatalar geleneksel olarak dört gruba ayrılır:

1) doğası bilinen ve büyüklükleri oldukça doğru bir şekilde belirlenebilen hatalar. Böyle bir hata, örneğin, sıcaklığa, neme, hava basıncına vb. bağlı olarak havada ölçülen kütledeki bir değişikliktir;

2) doğası bilinen hatalar, ancak hatanın büyüklüğü bilinmiyor. Bu tür hatalar, ölçüm cihazının neden olduğu hataları içerir: cihazın kendisinde bir arıza, sıfır değerine karşılık gelmeyen bir ölçek veya cihazın doğruluk sınıfı;

3) Varlığından şüphelenilmeyen ancak büyüklükleri sıklıkla önemli olabilen hatalar. Bu tür hatalar çoğunlukla karmaşık ölçümlerde ortaya çıkar. Böyle bir hatanın basit bir örneği, içinde boşluk bulunan bazı numunelerin yoğunluğunun ölçülmesidir;

4) ölçüm nesnesinin kendisinin özelliklerinden kaynaklanan hatalar. Örneğin, bir metalin elektrik iletkenliğini ölçerken, ikincisinden bir tel parçası alınır. Malzemede herhangi bir kusur varsa hatalar meydana gelebilir - çatlak, telin kalınlaşması veya direncini değiştiren homojensizlik.

Rastgele hatalar, aynı miktarın tekrarlanan ölçümlerinin aynı koşulları altında işaret ve büyüklükte rastgele değişen hatalardır.

İlgili bilgi.

Mutlak ölçüm hatasıölçüm sonucu arasındaki farkla belirlenen bir niceliktir X ve ölçülen miktarın gerçek değeri X 0:

Δ X = |X - X 0 |.

Mutlak ölçüm hatasının ölçüm sonucuna oranına eşit olan δ değerine bağıl hata denir:

Örnek 2.1.π'nin yaklaşık değeri 3,14'tür. O zaman hatası 0.00159'dur. Mutlak hatanın 0,0016'ya, bağıl hatanın ise 0,0016/3,14 = 0,00051 = %0,051'e eşit olduğu düşünülebilir.

Önemli rakamlar. Eğer a değerinin mutlak hatası, a sayısının son basamağının bir basamak birimini geçmiyorsa, o zaman sayının tüm işaretlerinin doğru olduğu söylenir. Yaklaşık sayılar, yalnızca doğru işaretler korunarak yazılmalıdır. Örneğin 52400 sayısının mutlak hatası 100 ise bu sayı örneğin 524·10 2 veya 0,524·10 5 olarak yazılmalıdır. Yaklaşık bir sayının hatasını, o sayının kaç tane doğru anlamlı basamak içerdiğini belirterek tahmin edebilirsiniz. Anlamlı rakamlar sayılırken sayının sol tarafındaki sıfırlar sayılmaz.

Örneğin, 0,0283 sayısının üç geçerli anlamlı rakamı vardır ve 2,5400 sayısının beş geçerli anlamlı rakamı vardır.

Sayıları yuvarlama kuralları. Yaklaşık sayı fazladan (veya yanlış) basamak içeriyorsa yuvarlanmalıdır. Yuvarlama sırasında, son anlamlı basamağın yarım birimini aşmayan ek bir hata oluşur ( D) yuvarlatılmış sayı. Yuvarlama sırasında yalnızca doğru rakamlar korunur; fazladan karakterler atılır ve atılan ilk rakam ondan büyük veya ona eşitse D/2, ardından saklanan son rakam bir artırılır.

Tamsayılardaki fazladan basamaklar sıfırlarla değiştirilir ve ondalık sayılarda bunlar atılır (fazladan sıfırlar gibi). Örneğin ölçüm hatası 0,001 mm ise 1,07005 sonucu 1,070'e yuvarlanır. Sıfırlarla değiştirilip atılan rakamlardan ilki 5'ten küçükse geri kalan rakamlar değiştirilmez. Örneğin ölçüm hassasiyeti 50 olan 148935 sayısının yuvarlama değeri 148900'dür. Sıfırla değiştirilen veya atılan rakamlardan ilki 5 ise ve sonrasında herhangi bir rakam veya sıfır yoksa en yakın basamağa yuvarlanır. çift ​​sayı. Örneğin 123,50 sayısı 124'e yuvarlanır. İlk sıfır veya düşürme rakamı 5'ten büyük veya 5'e eşitse ancak ardından anlamlı bir rakam geliyorsa, kalan son rakam bir artırılır. Örneğin 6783,6 sayısı 6784'e yuvarlanır.

Örnek 2.2. 1284'ü 1300'e yuvarlarken mutlak hata 1300 - 1284 = 16, 1280'e yuvarlarken ise mutlak hata 1280 - 1284 = 4 olur.

Örnek 2.3. 197 sayısını 200'e yuvarlarken mutlak hata 200 - 197 = 3'tür. Göreceli hata 3/197 ≈ 0,01523 veya yaklaşık 3/200 ≈ %1,5'tir.

Örnek 2.4. Satıcı karpuzu terazide tartıyor. Setteki en küçük ağırlık 50 gr'dır, tartım 3600 gr vermiştir, bu sayı yaklaşıktır. Karpuzun kesin ağırlığı bilinmiyor. Ancak mutlak hata 50 gr'ı, bağıl hata ise 50/3600 = %1,4'ü aşmaz.

Sorunun çözümünde hatalar bilgisayar

Üç tür hata genellikle ana hata kaynakları olarak kabul edilir. Bunlara kesme hataları, yuvarlama hataları ve yayılma hataları denir. Örneğin, doğrusal olmayan denklemlerin köklerini aramak için yinelemeli yöntemler kullanıldığında, kesin çözüm sağlayan doğrudan yöntemlerin aksine, sonuçlar yaklaşıktır.

Kesme hataları

Bu tür bir hata, görevin kendisinde bulunan hatayla ilişkilidir. Kaynak verilerin belirlenmesindeki yanlışlıktan kaynaklanabilir. Örneğin, problem ifadesinde herhangi bir boyut belirtilmişse, o zaman pratikte gerçek nesneler için bu boyutlar her zaman bir miktar doğrulukla bilinir. Aynı durum diğer fiziksel parametreler için de geçerlidir. Buna hesaplama formüllerinin ve bunların içerdiği sayısal katsayıların yanlışlığı da dahildir.

Yayılma hataları

Bu tür bir hata, bir sorunu çözmek için bir veya başka bir yöntemin kullanılmasıyla ilişkilidir. Hesaplamalar sırasında hata birikmesi, yani yayılması kaçınılmazdır. Orijinal verilerin kendisinin doğru olmamasının yanı sıra çarpıldığında, toplandığında vb. yeni bir hata ortaya çıkar. Hatanın birikmesi, hesaplamada kullanılan aritmetik işlemlerin niteliğine ve sayısına bağlıdır.

Yuvarlama hataları

Bu tür bir hata, bir sayının gerçek değerinin bilgisayar tarafından her zaman doğru şekilde saklanmaması nedeniyle oluşur. Gerçek bir sayı bilgisayar belleğinde saklandığında, bir sayının hesap makinesinde görüntülenmesiyle hemen hemen aynı şekilde bir mantis ve üs olarak yazılır.