Pse nuk mund të pjesëtoni me zero? Kursi i matematikës në shkollë: pse nuk mund të pjesëtosh me zero në shkollë.

"Nuk mund të ndash me zero!" - shumica e nxënësve e mësojnë këtë rregull përmendësh, pa bërë pyetje. Të gjithë fëmijët e dinë se çfarë është "Nuk mundesh" dhe çfarë do të ndodhë nëse në përgjigje të tij pyetni: "Pse?" Por në fakt, është shumë interesante dhe e rëndësishme të dini pse nuk mundeni.

Puna është se katër veprimet e aritmetikës - mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim - janë në të vërtetë të pabarabarta. Matematikanët njohin vetëm dy prej tyre si të vlefshme - mbledhjen dhe shumëzimin. Këto operacione dhe vetitë e tyre përfshihen në vetë përkufizimin e konceptit të numrit. Të gjitha veprimet e tjera janë ndërtuar në një mënyrë ose në një tjetër nga këto të dyja.

Ne do të shikojmë zbritjen, për shembull. Çfarë do të thotë 5-3? Nxënësi do t'i përgjigjet kësaj thjesht: ju duhet të merrni pesë objekte, t'i hiqni (hiqni) tre prej tyre dhe të shihni sa kanë mbetur. Por matematikanët e shikojnë këtë problem krejtësisht ndryshe. Nuk ka zbritje, ka vetëm mbledhje. Prandaj, shënimi 5 - 3 do të thotë një numër që, kur i shtohet numri 3, do të japë numrin 5. Kjo do të thotë, 5 - 3 është thjesht një shënim stenografik i ekuacionit: x 3 = 5. Nuk ka zbritje në këtë ekuacion. Ekziston vetëm një detyrë - të gjesh një numër të përshtatshëm.

E njëjta gjë është e vërtetë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Hyrja 8:4 mund të kuptohet si rezultat i ndarjes së tetë artikujve në katër grumbuj të barabartë. Por në realitet, është vetëm një formë stenografike e ekuacionit 4 * x = 8.

Këtu bëhet e qartë pse është e pamundur (ose më mirë e pamundur) të pjesëtohet me zero. Regjistrimi 5: 0 është një shkurtim për 0 * x = 5. Kjo do të thotë, kjo detyrë është të gjejmë një numër që, kur shumëzohet me 0, do të japë 5. Por ne e dimë se kur shumëzohet me 0, marrim gjithmonë 0. Kjo është një veti e qenësishme e zeros, në mënyrë rigoroze, pjesë e përkufizimit të saj.

Nuk ka një numër të tillë që kur shumëzohet me 0 të japë diçka tjetër përveç zeros. Domethënë, problemi ynë nuk ka zgjidhje. (Po, kjo ndodh; jo çdo problem ka një zgjidhje.) Kjo do të thotë se hyrja 5:0 nuk korrespondon me ndonjë numër specifik, dhe thjesht nuk do të thotë asgjë, dhe për këtë arsye nuk ka asnjë kuptim. Pa kuptimi i kësaj hyrjeje shprehet shkurt duke thënë se nuk mund të pjesëtosh me zero.

Lexuesit më të vëmendshëm në këtë vend me siguri do të pyesin: a është e mundur të ndahet zero me zero? Në fakt, ekuacioni 0 * x = 0 mund të zgjidhet në mënyrë të sigurt. Për shembull, mund të marrim x = 0, dhe pastaj marrim 0 * 0 = 0. Pra, 0: 0=0? Por le të mos nxitojmë. Le të përpiqemi të marrim x = 1. Marrim 0 * 1 = 0. apo jo? Pra 0:0 = 1? Por në këtë mënyrë ju mund të merrni çdo numër dhe të merrni 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, etj.

Por nëse ndonjë numër është i përshtatshëm, atëherë nuk kemi arsye të zgjedhim ndonjë prej tyre. Kjo do të thotë, ne nuk mund të themi se cilit numër i përgjigjet hyrja 0:0. Dhe nëse po, atëherë jemi të detyruar të pranojmë se edhe kjo hyrje nuk ka kuptim. Rezulton se edhe zero nuk mund të pjesëtohet me zero. (Në analizën matematikore, ka raste kur, falë kushteve shtesë të problemit, mund t'i jepet përparësi njërës prej zgjidhjeve të mundshme të ekuacionit 0 * x = 0; në raste të tilla, matematikanët flasin për "Zbulimin e pasigurisë", por në aritmetikë raste të tilla nuk ndodhin.Kjo është e veçanta e Ka veprime të pjesëtimit, ose më saktë, operacioni i shumëzimit dhe numri i lidhur me të kanë zero.

Epo, më të përpiktët, pasi kanë lexuar deri këtu, mund të pyesin: pse ndodh që nuk mund të pjesëtosh me zero, por mund të zbritësh zero? Në një farë kuptimi, këtu fillon matematika e vërtetë. Ju mund t'i përgjigjeni asaj vetëm duke u njohur me përkufizimet formale matematikore të grupeve numerike dhe veprimeve mbi to. Nuk është aq e vështirë, por për disa arsye nuk mësohet në shkollë. Por në leksionet e matematikës në universitet, para së gjithash, ata do t'ju mësojnë pikërisht këtë.

Nuk mund të pjesëtosh me zero!” - Shumica e nxënësve e mësojnë këtë rregull përmendësh, pa bërë pyetje. Të gjithë fëmijët e dinë se çfarë është "ti nuk mundesh" dhe çfarë do të ndodhë nëse në përgjigje të pyetjes: "Pse?" Por në fakt, është shumë interesante dhe e rëndësishme të dimë pse nuk është e mundur.
Puna është se katër veprimet e aritmetikës - mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim - janë në të vërtetë të pabarabarta. Matematikanët njohin vetëm dy prej tyre si të vlefshme - mbledhjen dhe shumëzimin. Këto operacione dhe vetitë e tyre përfshihen në vetë përkufizimin e konceptit të numrit. Të gjitha veprimet e tjera janë ndërtuar në një mënyrë ose në një tjetër nga këto të dyja.

Konsideroni, për shembull, zbritjen. Çfarë do të thotë 5-3? Nxënësi do t'i përgjigjet kësaj thjesht: ju duhet të merrni pesë objekte, t'i hiqni (hiqni) tre prej tyre dhe të shihni sa kanë mbetur. Por matematikanët e shikojnë këtë problem krejtësisht ndryshe. Nuk ka zbritje, ka vetëm mbledhje. Prandaj, shënimi 5 – 3 do të thotë një numër që, kur i shtohet numri 3, do të japë numrin 5. Kjo do të thotë, 5 – 3 është thjesht një shënim i shkurtuar i ekuacionit: x + 3 = 5. Nuk ka zbritje në këtë ekuacion. Ekziston vetëm një detyrë - të gjesh një numër të përshtatshëm.

E njëjta gjë është e vërtetë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Hyrja 8:4 mund të kuptohet si rezultat i ndarjes së tetë artikujve në katër grumbuj të barabartë. Por në të vërtetë është vetëm një formë e shkurtuar e ekuacionit 4 x = 8.

Këtu bëhet e qartë pse është e pamundur (ose më mirë e pamundur) të pjesëtohet me zero. Regjistrimi 5: 0 është një shkurtim për 0 x = 5. Kjo do të thotë, kjo detyrë është të gjejmë një numër që, kur shumëzohet me 0, do të japë 5. Por ne e dimë se kur shumëzohet me 0, rezultati është gjithmonë 0. Kjo është një veti e qenësishme e zeros, në mënyrë rigoroze, pjesë e përkufizimit të saj.

Nuk ka një numër të tillë që kur shumëzohet me 0 të japë diçka tjetër përveç zeros. Domethënë, problemi ynë nuk ka zgjidhje. (Po, kjo ndodh; jo çdo problem ka një zgjidhje.) Kjo do të thotë se hyrja 5:0 nuk korrespondon me ndonjë numër specifik, dhe thjesht nuk do të thotë asgjë dhe për këtë arsye nuk ka asnjë kuptim. Pa kuptimi i kësaj hyrjeje shprehet shkurt duke thënë se nuk mund të pjesëtosh me zero.

Lexuesit më të vëmendshëm në këtë vend me siguri do të pyesin: a është e mundur të ndahet zero me zero? Në të vërtetë, ekuacioni 0 x = 0 mund të zgjidhet në mënyrë të sigurt. Për shembull, mund të marrim x = 0, dhe pastaj marrim 0 · 0 = 0. Pra, 0: 0=0? Por le të mos nxitojmë. Le të përpiqemi të marrim x = 1. Marrim 0 · 1 = 0. E saktë? Pra 0:0 = 1? Por në këtë mënyrë ju mund të merrni çdo numër dhe të merrni 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, etj.
Por nëse ndonjë numër është i përshtatshëm, atëherë nuk kemi arsye të zgjedhim ndonjë prej tyre. Kjo do të thotë, ne nuk mund të themi se cilit numër i përgjigjet hyrja 0:0. Dhe nëse po, atëherë jemi të detyruar të pranojmë se edhe kjo hyrje nuk ka kuptim. Rezulton se edhe zero nuk mund të pjesëtohet me zero. (Në analizën matematikore, ka raste kur, për shkak të kushteve shtesë të problemit, mund t'i jepet përparësi njërës prej zgjidhjeve të mundshme të ekuacionit 0 x = 0; në raste të tilla, matematikanët flasin për "zbulimin e pasigurisë", por të tilla rastet nuk ndodhin në aritmetikë.)
Kjo është e veçanta e operacionit të ndarjes. Më saktësisht, operacioni i shumëzimit dhe numri i lidhur me të kanë zero.

Epo, më të përpiktët, pasi kanë lexuar deri këtu, mund të pyesin: pse ndodh që nuk mund të pjesëtosh me zero, por mund të zbritësh zero? Në një farë kuptimi, këtu fillon matematika e vërtetë. Ju mund t'i përgjigjeni asaj vetëm duke u njohur me përkufizimet formale matematikore të grupeve numerike dhe veprimeve mbi to. Nuk është aq e vështirë, por për disa arsye nuk mësohet në shkollë. Por në leksionet e matematikës në universitet, kjo është ajo që do të mësohet para së gjithash.

Ndarja me 0 ngre shumë pyetje tek ata njerëz që studionin matematikë dhe kishin kontakt me të vetëm në fazën e arsimit shkollor. Në kohën kur fëmija fillon të mësojë veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit në përgjithësi, bëhet fjalë për pjesëtimin me zero. Në këtë moment mësuesi thotë, më shpesh, se nuk mund të pjesëtosh me zero dhe... kaq.

Shpjegimet kanë përfunduar në këtë fazë. Është e pamundur, edhe nëse plas

Nxënësi përballet me një dilemë - të marrë fjalën e mësuesve dhe thjesht të shkruajë se nuk ka përgjigje në shembullin ku del një operacion i tillë, ose të përpiqet ta kuptojë këtë çështje. Por shumica e prindërve, të cilët kanë mbaruar shkollën shumë kohë më parë dhe kanë hedhur në mënyrë të sigurtë në grumbullin e plehrave të trurit të tyre të gjitha njohuritë që u futën në shkollë (përveç atyre që ishin të paktën disi të dobishme për ta në jetë), gjithashtu nuk munden. ndihmon vërtet në këtë çështje. Dhe zgjidhja është relativisht e thjeshtë. Është mirë nëse mësuesi i qaset pyetjes pse nuk mund të pjesëtosh me zero nga një këndvështrim krijues. Për ta bërë këtë, do të jetë e mjaftueshme për të kryer operacione të zakonshme me një demonstrim të qartë të procesit. Për çfarë po flasim?

Demonstrimi i operacioneve të ndryshme të ndarjes duke përdorur veprime që mund t'i kuptojë kushdo

Mund të marrësh disa mollë, të thuash gjashtë prej tyre dhe të shpjegoni se 6 është numri që duhet pjesëtuar, domethënë, sipas termave matematikorë që keni mësuar, është dividenti.

Mësuesi qëndron pranë tabelës dhe ka 6 mollë në tryezën përballë tij. Pastaj thërret dy persona nga klasa dhe i ndan këto mollë në mënyrë të barabartë mes tyre. Kjo do të thotë, dy persona në këtë rast veprojnë si pjesëtues - numri me të cilin duhet të ndahet dividenti. Mësuesi/ja i jep secilit nxënës nga tre mollë. Domethënë, procesi i ndarjes ndodh pikërisht kur mësuesi ua kaloi mollët nxënësve. Dhe tre mollë në duart e secilit fëmijë është koeficienti i pjesëtimit.

Pjestimi i zeros me një numër - demonstrimi i origjinës së procesit

Pyetja pse nuk mund të pjesëtosh me zero lind nga situata e kundërt - pse mund ta ndash zeron me një numër? Tani jemi të zgjuar dhe e dimë që çdo numër mund të ndahet me një tjetër, dhe do të ndahet me një të tërë ose do të shfaqet një fraksion, apo edhe një shenjë negative, një rrënjë ose numri Pi - gjithçka është e mundur. Por ka një mister me zero dhe kaq.

Çfarë ndodh kur pjesëtoni zeron me një numër?

Për të shpjeguar se nuk mund të pjesëtohet me zero, le të shohim fillimisht se çfarë ndodh kur 0 pjesëtohet me një numër të caktuar. I njëjti mësues qëndron pranë dërrasës së zezë dhe nuk ka asgjë në tavolinën e tij. Para tij është zbrazëtia, zero. Kur nxënësit i afrohen dhe i zgjasin duart për të marrë koeficientin e tyre, mësuesi e ndan këtë herës me të thjesht duke prekur pëllëmbët e tyre. Domethënë, ai kishte një asgjë të madhe dhe këtë gjë ua dha dy studentëve. Kështu, bëhet e qartë se pjesëtimi i zeros me çdo numër bëhet, sepse procesi i transferimit ka ndodhur. I vetmi ndryshim është se me një rezultat zero.

Rasti i tretë

Një situatë e tretë e ngjashme duhet të kryhet për të treguar pse është e pamundur të pjesëtohet me zero. Mësuesi ka përsëri të njëjtat gjashtë mollë në duar ose në tryezën përballë si në situatën e parë. Por ne pjesëtojmë me zero, kështu që askush nuk vjen tek ai për mollë.

Domethënë, ata dy nxënës që dolën më herët në situatën e parë përfaqësonin numrin 2. Për të përfaqësuar numrin 0, rezulton se askush nuk duhet të dalë. Siç kujtojmë, procesi i ndarjes është kalimi i mollëve nga duart e mësuesit në duart e nxënësve. Por tani nuk ka studentë dhe procesi i ndarjes nuk po i ndodh askujt. Kjo është arsyeja pse rezulton se pjesëtimi me zero është i pamundur. Për fëmijët në nivel shkolle, ky është një shpjegim elementar.

E thjeshtë dhe e lehtë për t'u shpjeguar. Dhe pastaj le të bëjnë të njëjtën gjë mësuesit e institutit

Pas hyrjes në një institucion të arsimit të lartë dhe studimit të konceptit të një kufiri, për shembull, pyetja pse nuk mund të ndahet me zero hiqet, sepse rezulton se kjo mund të bëhet. Pjestimi i diçkaje me zero rezulton në pafundësi, pasiguri.

Dimensioni i pafund i një rezultati të tillë nuk është përcaktuar ende plotësisht, dhe një person që nuk ka një arsim të veçantë matematikor nuk është në gjendje të kuptojë pse është e nevojshme kjo, cilat synime janë ndjekur gjatë zgjidhjes së këtij operacioni dhe çfarë jep ai në përgjithësi. . Por për nxënësit e moshës shkollore, shpjegimi i përshkruar më sipër është mjaft i mjaftueshëm për të kënaqur dëshirën e tyre për të kuptuar pse është ende e pamundur të ndash me zero - jo thjesht ta thuash dhe t'i përballosh fëmijët me një fakt, por t'u japë atyre një shpjegim interesant dhe argëtues. .

Pse nuk mund të pjesëtosh me zero? "Nuk mund të pjesëtosh me zero!" - Shumica e nxënësve e mësojnë këtë rregull përmendësh, pa bërë pyetje. Të gjithë fëmijët e dinë se çfarë është "ti nuk mundesh" dhe çfarë do të ndodhë nëse në përgjigje të pyetjes: "Pse?" Por në fakt, është shumë interesante dhe e rëndësishme të dimë pse nuk është e mundur. Puna është se katër veprimet e aritmetikës - mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim - janë në të vërtetë të pabarabarta. Matematikanët njohin vetëm dy prej tyre si të vlefshme - mbledhjen dhe shumëzimin. Këto operacione dhe vetitë e tyre përfshihen në vetë përkufizimin e konceptit të numrit. Të gjitha veprimet e tjera janë ndërtuar në një mënyrë ose në një tjetër nga këto të dyja. Konsideroni, për shembull, zbritjen. Çfarë do të thotë 5-3? Nxënësi do t'i përgjigjet kësaj thjesht: ju duhet të merrni pesë objekte, t'i hiqni (hiqni) tre prej tyre dhe të shihni sa kanë mbetur. Por matematikanët e shikojnë këtë problem krejtësisht ndryshe. Nuk ka zbritje, ka vetëm mbledhje. Prandaj, shënimi 5 – 3 do të thotë një numër që, kur i shtohet numri 3, do të japë numrin 5. Kjo do të thotë, 5 – 3 është thjesht një shënim i shkurtuar i ekuacionit: x + 3 = 5. Nuk ka zbritje në këtë ekuacion. Ekziston vetëm një detyrë - të gjesh një numër të përshtatshëm.E njëjta gjë është e vërtetë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Hyrja 8:4 mund të kuptohet si rezultat i ndarjes së tetë artikujve në katër grumbuj të barabartë. Por në të vërtetë është vetëm një formë e shkurtuar e ekuacionit 4 x = 8.Këtu bëhet e qartë pse është e pamundur (ose më mirë e pamundur) të pjesëtohet me zero. Regjistrimi 5: 0 është një shkurtim për 0 x = 5. Kjo do të thotë, kjo detyrë është të gjejmë një numër që, kur shumëzohet me 0, do të japë 5. Por ne e dimë se kur shumëzohet me 0, rezultati është gjithmonë 0. Kjo është një veti e qenësishme e zeros, në mënyrë rigoroze, pjesë e përkufizimit të saj.Nuk ka një numër të tillë që kur shumëzohet me 0 të japë diçka tjetër përveç zeros. Domethënë, problemi ynë nuk ka zgjidhje. (Po, kjo ndodh; jo çdo problem ka një zgjidhje.) Kjo do të thotë se hyrja 5:0 nuk korrespondon me ndonjë numër specifik, dhe thjesht nuk do të thotë asgjë dhe për këtë arsye nuk ka asnjë kuptim. Pa kuptimi i kësaj hyrjeje shprehet shkurt duke thënë se nuk mund të pjesëtosh me zero.Lexuesit më të vëmendshëm në këtë vend me siguri do të pyesin: a është e mundur të ndahet zero me zero? Në të vërtetë, ekuacioni 0 x = 0 mund të zgjidhet në mënyrë të sigurt. Për shembull, mund të marrim x = 0, dhe pastaj marrim 0 · 0 = 0. Pra, 0: 0=0? Por le të mos nxitojmë. Le të përpiqemi të marrim x = 1. Marrim 0 · 1 = 0. E saktë? Pra 0:0 = 1? Por në këtë mënyrë ju mund të merrni çdo numër dhe të merrni 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, etj.Por nëse ndonjë numër është i përshtatshëm, atëherë nuk kemi arsye të zgjedhim ndonjë prej tyre. Kjo do të thotë, ne nuk mund të themi se cilit numër i përgjigjet hyrja 0:0. Dhe nëse po, atëherë jemi të detyruar të pranojmë se edhe kjo hyrje nuk ka kuptim. Rezulton se edhe zero nuk mund të pjesëtohet me zero. (Në analizën matematikore, ka raste kur, për shkak të kushteve shtesë të problemit, mund t'i jepet përparësi njërës prej zgjidhjeve të mundshme të ekuacionit 0 x = 0; në raste të tilla, matematikanët flasin për "zbulimin e pasigurisë", por të tilla rastet nuk ndodhin në aritmetikë.) Kjo është e veçanta e operacionit të ndarjes. Më saktësisht, operacioni i shumëzimit dhe numri i lidhur me të kanë zero. Epo, më të përpiktët, pasi kanë lexuar deri këtu, mund të pyesin: pse ndodh që nuk mund të pjesëtosh me zero, por mund të zbritësh zero? Në një farë kuptimi, këtu fillon matematika e vërtetë. Ju mund t'i përgjigjeni asaj vetëm duke u njohur me përkufizimet formale matematikore të grupeve numerike dhe veprimeve mbi to. Nuk është aq e vështirë, por për disa arsye nuk mësohet në shkollë. Por në leksionet e matematikës në universitet, kjo është ajo që do të mësohet para së gjithash.

Të gjithë ose pothuajse të gjithë nga programi shkollor e dinë se është e pamundur të bëhet zero. Vërtetë, kjo na u paraqit si një aksiomë, thonë ata, është e pamundur, pikë. Por pse jo dhe çfarë do të ndodhë nëse provoni? Jo çdo mësues shkolle është në gjendje t'i përgjigjet një pyetjeje të tillë.

Pra, pse nuk mund të pjesëtoni me zero?

Dihet se ndarja, si e tillë, është një nga katër metodat kryesore aritmetike të manipulimit të numrave. Tre të tjerat janë zbritja, mbledhja dhe shumëzimi. Megjithatë, shkencëtarët konsiderojnë se vetëm dy prej tyre janë të plota, dhe për këtë arsye prioriteti është më i lartë. Ne që pas shkollës shkuam për të studiuar në universitete dhe institute, me fjalë të tjera, ndoqëm arsimin e lartë, mësuam se në parim mund të pjesëtosh me zero, por rezultati është pafundësi. Rezulton e çuditshme që nëse shumëzoni me zero, rezultati bëhet asgjë, domethënë zero vetë, por nëse pjesëtoni me të, merrni pafundësinë, e cila është e vështirë për trurin e njeriut për t'u kuptuar dhe tregohet nga një ikonë specifike në formën e një figure tetë të shtrirë në anën e saj.

Pra, pse jo? Pra, çdo numër i ndarë me zero mund të shkruhet në rend të kundërt. Me fjalë të tjera, nëse si rezultat i një ndarjeje të tillë teorikisht do të fitohej një numër i caktuar, le ta quajmë atë A, atëherë për të shkruar veprimin në rend të kundërt, A duhet të jetë i tillë që pasi ta shumëzojmë me zero, të fitohet një numër pjesëtues. Por dihet mirë se çdo numër i shumëzuar me zero jep një total zero, sepse merret zero herë, pra jo një herë. Rezultati i çdo shprehjeje mund të kombinohet në këtë formulë:

(Çdo numër) / 0 = pafundësi.

Është kurioze që termi matematikor "pafundësi" ndryshon nga versioni filozofik. Kjo sasi mund të matet thjesht teorikisht, prandaj, nuk ka kufij, por ka, si të thuash, një vëllim.

Një rast i izoluar

Një rast shumë i veçantë është pjesëtimi i zeros me zero, sepse në këtë rast, teorikisht, rezultati i veprimit mund të jetë çdo gjë. Por atëherë ka një numër të pafund përgjigjesh për këtë pyetje, dhe në përputhje me rrethanat, përgjigja tingëllon edhe më e vërtetë: pafundësi.

Nuk ka absolutisht nevojë që nxënësit të shpjegojnë të gjitha këto hollësi, përveç kësaj, mendja e fëmijës nuk e percepton dhe imagjinon mirë termin kompleks "pafundësi", prandaj është shumë më e lehtë dhe edhe më efektive të vendoset një ndalim për këtë veprim. Kjo është e ngjashme me atë se si fillimisht ndalohen fëmijët dhe vetëm atëherë, kur rriten, shpjegohet natyra e secilës "jo" specifike.

A e dini?

• Gjirafa konsiderohet kafsha më e gjatë në botë, lartësia e saj arrin 5.5 metra. Kryesisht për shkak të qafës së gjatë. Pavarësisht se në [...]
• Shumë do të pajtohen se gratë në këtë pozicion bëhen veçanërisht supersticioze; ato janë më të ndjeshme se të tjerat ndaj të gjitha llojeve të bestytnive dhe […]
• Është e rrallë të takosh një person që nuk i duket i bukur shkurrja e trëndafilit. Por, në të njëjtën kohë, është e njohur. Që bimë të tilla janë mjaft të buta [...]
• Kushdo që mund të thotë me siguri se nuk e di që burrat shikojnë filma porno, do të gënjejë në mënyrën më flagrante. Sigurisht që duken, ata vetëm [...]
• Ndoshta nuk ka asnjë faqe interneti ose forum automobilistik në World Wide Web ku pyetja rreth […]
• Harabeli është një zog mjaft i zakonshëm në botën e përmasave të vogla dhe ngjyrës së larmishme. Por e veçanta e saj qëndron në faktin se [...]
• E qeshura dhe lotët, ose më saktë e qara, janë dy emocione të kundërta. Ajo që dihet për ta është se të dy janë të lindur, dhe jo [...]