Zona e bazës së prizmit: nga trekëndëshi në shumëkëndësh. N. Gjeometria Nikitin

Në fizikë, një prizëm trekëndor i bërë nga qelqi përdoret shpesh për të studiuar spektrin e dritës së bardhë, sepse mund ta zgjidhë atë në përbërësit e saj individualë. Në këtë artikull do të shqyrtojmë formulën e vëllimit

Çfarë është një prizëm trekëndor?

Para se të japim formulën e vëllimit, le të shqyrtojmë vetitë e kësaj figure.

Për ta marrë këtë, ju duhet të merrni një trekëndësh të çdo forme dhe ta zhvendosni atë paralelisht me vetveten në një distancë. Kulmet e trekëndëshit në pozicionet fillestare dhe përfundimtare duhet të lidhen me segmente të drejta. Shifra vëllimore që rezulton quhet prizëm trekëndor. Ai përbëhet nga pesë anë. Dy prej tyre quhen baza: ato janë paralele dhe të barabarta me njëra-tjetrën. Bazat e prizmit në fjalë janë trekëndëshat. Tre anët e mbetura janë paralelograme.

Përveç anëve, prizmi në fjalë karakterizohet nga gjashtë kulme (tre për secilën bazë) dhe nëntë skaje (6 skaje shtrihen në rrafshet e bazave dhe 3 skaje formohen nga kryqëzimi i brinjëve). Nëse skajet anësore janë pingul me bazat, atëherë një prizëm i tillë quhet drejtkëndor.

Dallimi midis një prizmi trekëndor dhe të gjitha figurave të tjera të kësaj klase është se ai është gjithmonë konveks (prizmat katër-, pesë-, ..., n-gonale mund të jenë gjithashtu konkave).

Kjo është një figurë drejtkëndëshe me një trekëndësh barabrinjës në bazën e saj.

Vëllimi i një prizmi të përgjithshëm trekëndor

Si të gjeni vëllimin e një prizmi trekëndor? Formula në përgjithësi është e ngjashme me atë për një prizëm të çdo lloji. Ai ka shënimin matematikor të mëposhtëm:

Këtu h është lartësia e figurës, domethënë distanca midis bazave të saj, S o është zona e trekëndëshit.

Vlera e S o mund të gjendet nëse dihen disa parametra për trekëndëshin, për shembull, një anë dhe dy kënde ose dy brinjë dhe një kënd. Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të lartësisë së tij dhe gjatësisë së anës me të cilën ulet kjo lartësi.

Sa i përket lartësisë h të figurës, është më e lehtë ta gjesh atë për një prizëm drejtkëndor. Në rastin e fundit, h përkon me gjatësinë e skajit anësor.

Vëllimi i një prizmi të rregullt trekëndor

Formula e përgjithshme për vëllimin e një prizmi trekëndor, e cila është dhënë në pjesën e mëparshme të artikullit, mund të përdoret për të llogaritur vlerën përkatëse për një prizëm të rregullt trekëndor. Meqenëse baza e tij është një trekëndësh barabrinjës, sipërfaqja e tij është e barabartë me:

Çdokush mund ta marrë këtë formulë nëse kujton se në një trekëndësh barabrinjës të gjithë këndet janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe arrijnë në 60 o. Këtu simboli a është gjatësia e brinjës së trekëndëshit.

Lartësia h është gjatësia e skajit. Në asnjë mënyrë nuk lidhet me bazën e një prizmi të rregullt dhe mund të marrë vlera arbitrare. Si rezultat, formula për vëllimin e një prizmi trekëndor të llojit të saktë duket si kjo:

Pasi të keni llogaritur rrënjën, mund ta rishkruani këtë formulë si më poshtë:

Kështu, për të gjetur vëllimin e një prizmi të rregullt me ​​një bazë trekëndore, është e nevojshme të shënoni anën e bazës, të shumëzoni këtë vlerë me lartësinë dhe të shumëzoni vlerën që rezulton me 0,433.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Në një prizëm të rregullt trekëndor ABCA_1B_1C_1, anët e bazës janë 4 dhe skajet anësore janë 10. Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit nga rrafshi që kalon nga mesi i skajeve AB, AC, A_1B_1 dhe A_1C_1.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Merrni parasysh figurën e mëposhtme.

Prandaj, segmenti MN është mesi i trekëndëshit A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Po kështu, KL=\frac12BC=2. Përveç kësaj, MK = NL = 10. Nga kjo rrjedh se katërkëndëshi MNLK është paralelogram. Meqenëse MK\paralel AA_1, atëherë MK\perp ABC dhe MK\perp KL. Prandaj, katërkëndëshi MNLK është një drejtkëndësh. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Përgjigju

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Vëllimi i një prizmi të rregullt katërkëndor ABCDA_1B_1C_1D_1 është 24 . Pika K është mesi i skajit CC_1. Gjeni vëllimin e piramidës KBCD.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Sipas kushtit, KC është lartësia e piramidës KBCD. CC_1 është lartësia e prizmit ABCDA_1B_1C_1D_1.

Meqenëse K është mesi i CC_1, atëherë KC=\frac12CC_1. Le të CC_1=H, atëherë KC=\frac12H. Vini re gjithashtu se S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Pastaj, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Prandaj, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Gjeni sipërfaqen anësore të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, ana e bazës së të cilit është 6 dhe lartësia 8.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Zona e sipërfaqes anësore të prizmit gjendet me formulën ana S. = P bazë · h = 6a\cdot h, ku P bazë. dhe h janë, përkatësisht, perimetri i bazës dhe lartësia e prizmit, e barabartë me 8, dhe a është ana e një gjashtëkëndëshi të rregullt, e barabartë me 6. Prandaj, ana S. = 6\cpika 6\cpika 8 = 288.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Uji u derdh në një enë në formë të një prizmi të rregullt trekëndor. Niveli i ujit arrin 40 cm Në çfarë lartësie do të jetë niveli i ujit nëse ai derdhet në një enë tjetër me të njëjtën formë, ana e bazës së së cilës është dy herë më e madhe se e para? Shprehni përgjigjen tuaj në centimetra.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Le të jetë a ana e bazës së enës së parë, atëherë 2 a është ana e bazës së enës së dytë. Sipas kushtit, vëllimi i lëngut V në enët e parë dhe të dytë është i njëjtë. Le të shënojmë me H nivelin në të cilin lëngu është ngritur në enën e dytë. Pastaj V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Dhe, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Nga këtu \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 të gjitha skajet janë të barabarta me 2. Gjeni distancën midis pikave A dhe E_1.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Trekëndëshi AEE_1 është drejtkëndor, pasi buza EE_1 është pingul me rrafshin e bazës së prizmit, këndi AEE_1 do të jetë një kënd i drejtë.

Pastaj, nga teorema e Pitagorës, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Le të gjejmë AE nga trekëndëshi AFE duke përdorur teoremën e kosinusit. Çdo kënd i brendshëm i një gjashtëkëndëshi të rregullt është 120^(\circ). Pastaj AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\majtas (-\frac12 \djathtas).

Prandaj, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Lloji i punës: 8
Tema: Prizma

gjendja

Gjeni sipërfaqen anësore të një prizmi të drejtë, në bazën e të cilit shtrihet një romb me diagonale të barabarta me 4\sqrt5 dhe 8, dhe një skaj anësor i barabartë me 5.

Trego zgjidhje

Zgjidhje

Zona e sipërfaqes anësore të një prizmi të drejtë gjendet me formulën ana S. = P bazë · h = 4a\cdot h, ku P bazë. dhe h, përkatësisht, perimetri i bazës dhe lartësia e prizmit, e barabartë me 5, dhe a është ana e rombit. Le të gjejmë anën e rombit duke përdorur faktin se diagonalet e rombit ABCD janë reciproke pingule dhe të përgjysmuara nga pika e kryqëzimit.

Vëllimi i prizmit. Zgjidhja e problemeve

Gjeometria është mjeti më i fuqishëm për të mprehur aftësitë tona mendore dhe për të na mundësuar të mendojmë dhe arsyetojmë saktë.

G. Galileo

Qëllimi i mësimit:

• të mësojë zgjidhjen e problemeve për llogaritjen e vëllimit të prizmave, të përmbledhë dhe sistemojë informacionin që nxënësit kanë për një prizëm dhe elementët e tij, të zhvillojë aftësinë për të zgjidhur probleme me kompleksitet të shtuar;
• të zhvillojë të menduarit logjik, aftësinë për të punuar në mënyrë të pavarur, aftësitë e kontrollit të ndërsjellë dhe vetëkontrollit, aftësinë për të folur dhe dëgjuar;
• zhvilloni zakonin e punësimit të vazhdueshëm në disa aktivitete të dobishme, duke nxitur reagimin, punën e palodhur dhe saktësinë.

Lloji i mësimit: mësim mbi zbatimin e njohurive, aftësive dhe aftësive.

Pajisjet: karta kontrolli, media projektor, prezantim “Mësimi. Prism Volume”, kompjuterë.

Gjatë orëve të mësimit

• Brinjët anësore të prizmit (Fig. 2).
• Sipërfaqja anësore e prizmit (Figura 2, Figura 5).
• Lartësia e prizmit (Fig. 3, Fig. 4).
• Prizma e drejtë (Figura 2,3,4).
• Një prizëm i prirur (Figura 5).
• Prizmi i saktë (Fig. 2, Fig. 3).
• Seksioni diagonal i prizmit (Figura 2).
• Diagonalja e prizmit (Figura 2).
• Seksioni pingul i prizmit (Fig. 3, Fig. 4).
• Sipërfaqja anësore e prizmit.
• Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit.
• Vëllimi i prizmit.

1. KONTROLLI I detyrave të shtëpisë (8 min)

Shkëmbeni fletoret, kontrolloni zgjidhjen në rrëshqitje dhe shënoni atë (shënoni 10 nëse problemi është përpiluar)

Krijo një problem bazuar në figurë dhe zgjidhe atë. Nxënësi mbron në tabelë problemën që ka përpiluar. Figura 6 dhe Figura 7.





Kapitulli 2,§3
Problemi.2. Gjatësitë e të gjitha skajeve të një prizmi të rregullt trekëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse sipërfaqja e tij është cm 2 (Fig. 8)



Kapitulli 2,§3
Detyra 5. Baza e prizmit të drejtë ABCA 1B 1C1 është trekëndësh kënddrejtë ABC (këndi ABC=90°), AB=4cm. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit ABC është 2,5 cm dhe lartësia e prizmit është 10 cm. (Figura 9).



Kapitulli 2,§3
Detyra 29. Gjatësia e brinjës së bazës së një prizmi të rregullt katërkëndor është 3 cm. Diagonalja e prizmit formon një kënd prej 30° me rrafshin e faqes anësore. Llogaritni vëllimin e prizmit (Figura 10).



2. Bashkëpunimi mes mësuesit dhe klasës (2-3 min.).

Qëllimi: përmbledhja e rezultateve të ngrohjes teorike (nxënësit vlerësojnë njëri-tjetrin), të mësojnë se si të zgjidhin problemet në temë.

3. MINUTA FIZIKE (3 min)
4. ZGJIDHJA E PROBLEMIT (10 min)

Në këtë fazë mësuesi organizon punën ballore për përsëritjen e metodave të zgjidhjes së problemave planimetrike dhe formulave planimetrike. Klasa ndahet në dy grupe, disa zgjidhin probleme, të tjerët punojnë në kompjuter. Pastaj ata ndryshojnë. U kërkohet nxënësve të zgjidhin të gjitha nr.8 (me gojë), nr.9 (me gojë). Më pas ndahen në grupe dhe vazhdojnë me zgjidhjen e problemave nr.14, nr.30, nr.32.

Kapitulli 2, §3, faqet 66-67

Problemi 8. Të gjitha skajet e një prizmi të rregullt trekëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Gjeni vëllimin e prizmit nëse zona e prerjes kryq të rrafshit që kalon nëpër skajin e bazës së poshtme dhe mesit të anës së bazës së sipërme është e barabartë me cm (Fig. 11).



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 9. Baza e prizmit të drejtë është katror dhe skajet anësore të tij janë dyfishi i madhësisë së faqes së bazës. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse rrezja e rrethit të përshkruar pranë seksionit kryq të prizmit nga një rrafsh që kalon nga ana e bazës dhe mesit të skajit të kundërt është e barabartë me cm (Fig. 12)



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 14 Baza e një prizmi të drejtë është një romb, një nga diagonalet e të cilit është e barabartë me anën e tij. Llogaritni perimetrin e seksionit me një plan që kalon nëpër diagonalen kryesore të bazës së poshtme, nëse vëllimi i prizmit është i barabartë dhe të gjitha faqet anësore janë katrore (Fig. 13).



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 30 ABCA 1 B 1 C 1 është një prizëm i rregullt trekëndor, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, pika është mesi i skajit BB 1. Llogaritni rrezen e rrethit të gdhendur në seksionin e prizmit nga rrafshi AOS, nëse vëllimi i prizmit është i barabartë me (Fig. 14).



Kapitulli 2,§3, faqe 66-67
Problemi 32 Në një prizëm të rregullt katërkëndor, shuma e sipërfaqeve të bazave është e barabartë me sipërfaqen e sipërfaqes anësore. Llogaritni vëllimin e prizmit nëse diametri i rrethit të përshkruar pranë seksionit kryq të prizmit nga një rrafsh që kalon nëpër dy kulmet e bazës së poshtme dhe kulmin e kundërt të bazës së sipërme është 6 cm (Fig. 15).



Gjatë zgjidhjes së problemave, nxënësit krahasojnë përgjigjet e tyre me ato të dhëna nga mësuesi. Kjo është një zgjidhje shembullore e një problemi me komente të hollësishme... Punë individuale e një mësuesi me nxënës të “fortë” (10 min.).

5. Nxënësit punojnë të pavarur në testin në kompjuter

1. Ana e bazës së një prizmi të rregullt trekëndor është e barabartë me , dhe lartësia është 5. Gjeni vëllimin e prizmit.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Zgjidhni pohimin e saktë.

1) Vëllimi i një prizmi të drejtë, baza e të cilit është një trekëndësh kënddrejtë është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

2) Vëllimi i një prizmi të rregullt trekëndor llogaritet me formulën V = 0,25a 2 h - ku a është ana e bazës, h është lartësia e prizmit.

3) Vëllimi i një prizmi të drejtë është i barabartë me gjysmën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë.

4) Vëllimi i një prizmi të rregullt katërkëndor llogaritet me formulën V = a 2 h-ku a është ana e bazës, h është lartësia e prizmit.

5) Vëllimi i një prizmi të rregullt gjashtëkëndor llogaritet me formulën V = 1.5a 2 h, ku a është ana e bazës, h është lartësia e prizmit.

3. Brinja e bazës së një prizmi të rregullt trekëndor është e barabartë me . Një rrafsh vizatohet përmes anës së bazës së poshtme dhe kulmit të kundërt të bazës së sipërme, e cila kalon në një kënd prej 45° me bazën. Gjeni vëllimin e prizmit.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Baza e prizmit të drejtë është një romb, brinja e të cilit është 13 dhe njëra nga diagonalet është 24. Gjeni vëllimin e prizmit nëse diagonalja e faqes anësore është 14.

PRIZMA DIREKT. SIPËRFAQJA DHE VËLLIMI I NJË PRIZMI DIREKT.

§ 68. VËLLIMI I NJË PRIZMI DIREKT.

1. Vëllimi i një prizmi trekëndor kënddrejtë.

Supozoni se duhet të gjejmë vëllimin e një prizmi trekëndor të drejtë, sipërfaqja bazë e të cilit është e barabartë me S, dhe lartësia është e barabartë me h= AA" = = BB" = SS" (vizatimi 306).

Le të vizatojmë veçmas bazën e prizmit, pra trekëndëshin ABC (Fig. 307, a) dhe ta ndërtojmë deri në një drejtkëndësh, për të cilin vizatojmë një vijë të drejtë KM përmes kulmit B || AC dhe nga pikat A dhe C ne ulim pingulet AF dhe CE në këtë vijë. Marrim drejtkëndëshin ACEF. Duke tërhequr lartësinë ВD të trekëndëshit ABC, shohim se drejtkëndëshi ACEF ndahet në 4 trekëndësha kënddrejtë. Për më tepër /\ ALL = /\ BCD dhe /\ VAF = /\ VAD. Kjo do të thotë që sipërfaqja e drejtkëndëshit ACEF është dyfishi i sipërfaqes së trekëndëshit ABC, pra e barabartë me 2S.

Këtij prizmi me bazë ABC do t'i bashkojmë prizma me baza ALL dhe BAF dhe lartësi h(Figura 307, b). Marrim një paralelipiped drejtkëndor me një bazë
ACEF.

Nëse e zbërthejmë këtë paralelipiped me një rrafsh që kalon nëpër drejtëza BD dhe BB”, do të shohim se paralelopipedi drejtkëndor përbëhet nga 4 prizma me baza.
BCD, ALL, BAD dhe BAF.

Prizmat me baza BCD dhe VSE mund të kombinohen, pasi bazat e tyre janë të barabarta ( /\ VСD = /\ BSE) dhe skajet e tyre anësore janë gjithashtu të barabarta, të cilat janë pingul me të njëjtin rrafsh. Kjo do të thotë se vëllimet e këtyre prizmave janë të barabartë. Vëllimet e prizmave me baza BAD dhe BAF janë gjithashtu të barabarta.

Kështu, rezulton se vëllimi i një prizmi të caktuar trekëndor me një bazë
ABC është gjysma e vëllimit të një paralelepipedi drejtkëndor me bazë ACEF.

Ne e dimë se vëllimi i një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së tij, pra në këtë rast është i barabartë me 2S h. Prandaj vëllimi i këtij prizmi trekëndor të drejtë është i barabartë me S h.

Vëllimi i një prizmi trekëndor të drejtë është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së tij.

2. Vëllimi i një prizmi poligonal të drejtë.

Për të gjetur vëllimin e një prizmi poligonal të drejtë, për shembull një pentagonal, me sipërfaqe bazë S dhe lartësi h, le ta ndajmë në prizma trekëndore (Fig. 308).

Duke shënuar zonat bazë të prizmave trekëndore me S 1, S 2 dhe S 3, dhe vëllimin e një prizmi të caktuar poligonal me V, marrim:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, ose
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Dhe së fundi: V = S h.

Në të njëjtën mënyrë, nxirret formula për vëllimin e një prizmi të drejtë me çdo shumëkëndësh në bazën e tij.

Do të thotë, Vëllimi i çdo prizmi të drejtë është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së tij.

Ushtrime.

1. Llogaritni vëllimin e një prizmi të drejtë me një paralelogram në bazën e tij duke përdorur të dhënat e mëposhtme:

2. Llogaritni vëllimin e një prizmi të drejtë me një trekëndësh në bazën e tij duke përdorur të dhënat e mëposhtme:

3. Njehsoni vëllimin e një prizmi të drejtë që ka në bazën e tij një trekëndësh barabrinjës me brinjë 12 cm (32 cm, 40 cm). Lartësia e prizmit 60 cm.

4. Njehsoni vëllimin e një prizmi të drejtë që në bazën e tij ka një trekëndësh kënddrejtë me këmbë 12 cm dhe 8 cm (16 cm dhe 7 cm; 9 m dhe 6 m). Lartësia e prizmit është 0,3 m.

5. Njehsoni vëllimin e një prizmi të drejtë që në bazën e tij ka një trapez me brinjë paralele 18 cm e 14 cm dhe lartësi 7,5 cm Lartësia e prizmit është 40 cm.

6. Llogaritni volumin e klasës suaj (salla e edukimit fizik, dhoma juaj).

7. Sipërfaqja e përgjithshme e kubit është 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Llogaritni vëllimin e këtij kubi.

8. Gjatësia e një tulle ndërtimi është 25,0 cm, gjerësia e saj është 12,0 cm, trashësia e saj është 6,5 cm a) Llogaritni vëllimin e saj, b) Përcaktoni peshën e saj nëse 1 centimetër kub tullë peshon 1,6 g.

9. Sa copë tulla ndërtimi do të nevojiten për të ndërtuar një mur të fortë me tulla në formën e një paralelipipedi drejtkëndor 12 m i gjatë, 0,6 m i gjerë dhe 10 m i lartë? (Dimensionet e tullave nga ushtrimi 8.)

10. Gjatësia e një dërrase të prerë pastër është 4,5 m, gjerësia - 35 cm, trashësia - 6 cm a) Llogaritni vëllimin b) Përcaktoni peshën e saj nëse një decimetër kub i dërrasës peshon 0,6 kg.

11. Sa ton sanë mund të grumbullohen në një kasolle të mbuluar me çati dyshe (Fig. 309), nëse gjatësia e barit është 12 m, gjerësia është 8 m, lartësia është 3,5 m dhe lartësia e kurriz çati është 1,5 m? (Merrni peshën specifike të sanës si 0.2.)

12. Kërkohet hapja e një kanali 0,8 km të gjatë; në seksion, hendeku duhet të ketë formën e një trapezi me baza 0,9 m dhe 0,4 m, dhe thellësia e hendekut duhet të jetë 0,5 m (vizatimi 310). Sa metra kub tokë do të duhet të hiqen?

Prizma të ndryshëm janë të ndryshëm nga njëri-tjetri. Në të njëjtën kohë, ata kanë shumë të përbashkëta. Për të gjetur zonën e bazës së prizmit, do t'ju duhet të kuptoni se çfarë lloji ka.

Teoria e përgjithshme

Një prizëm është çdo shumëfaqësh, anët e të cilit kanë formën e një paralelogrami. Për më tepër, baza e saj mund të jetë çdo poliedron - nga një trekëndësh në një n-këndor. Për më tepër, bazat e prizmit janë gjithmonë të barabarta me njëra-tjetrën. Ajo që nuk vlen për fytyrat anësore është se ato mund të ndryshojnë ndjeshëm në madhësi.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, nuk haset vetëm zona e bazës së prizmit. Mund të kërkojë njohuri për sipërfaqen anësore, domethënë të gjitha fytyrat që nuk janë baza. Sipërfaqja e plotë do të jetë bashkimi i të gjitha fytyrave që përbëjnë prizmin.

Ndonjëherë problemet përfshijnë lartësinë. Është pingul me bazat. Diagonalja e një poliedri është një segment që lidh në çift çdo dy kulme që nuk i përkasin të njëjtës faqe.

Duhet të theksohet se zona e bazës së një prizmi të drejtë ose të prirur nuk varet nga këndi midis tyre dhe faqeve anësore. Nëse ata kanë të njëjtat figura në fytyrat e sipërme dhe të poshtme, atëherë zonat e tyre do të jenë të barabarta.

Prizma trekëndore

Ajo ka në bazën e saj një figurë me tre kulme, domethënë një trekëndësh. Siç e dini, mund të jetë ndryshe. Nëse po, mjafton të mbani mend se zona e saj përcaktohet nga gjysma e produktit të këmbëve.

Shënimi matematik duket si ky: S = ½ av.

Për të zbuluar zonën e bazës në përgjithësi, formulat janë të dobishme: Heron dhe ajo në të cilën gjysma e anës është marrë nga lartësia e tërhequr në të.

Formula e parë duhet të shkruhet si më poshtë: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ky shënim përmban një gjysmë-perimetër (p), domethënë shumën e tre brinjëve të ndarë me dy.

Së dyti: S = ½ n a * a.

Nëse dëshironi të zbuloni zonën e bazës së një prizmi trekëndor, e cila është e rregullt, atëherë trekëndëshi rezulton të jetë barabrinjës. Ekziston një formulë për të: S = ¼ a 2 * √3.

Prizma katërkëndore

Baza e tij është ndonjë nga katërkëndëshat e njohur. Mund të jetë një drejtkëndësh ose katror, ​​paralelipiped ose romb. Në secilin rast, për të llogaritur sipërfaqen e bazës së prizmit, do t'ju duhet formula juaj.

Nëse baza është një drejtkëndësh, atëherë sipërfaqja e saj përcaktohet si më poshtë: S = ab, ku a, b janë brinjët e drejtkëndëshit.

Kur bëhet fjalë për një prizëm katërkëndor, sipërfaqja e bazës së një prizmi të rregullt llogaritet duke përdorur formulën për një katror. Sepse është ai që qëndron në themel. S = a 2.

Në rastin kur baza është paralelepiped, do të nevojitet barazia e mëposhtme: S = a * n a. Ndodh që të jepen brinja e një paralelipipedi dhe një nga këndet. Pastaj, për të llogaritur lartësinë, do t'ju duhet të përdorni një formulë shtesë: n a = b * sin A. Për më tepër, këndi A është ngjitur me anën "b" dhe lartësia n është e kundërt me këtë kënd.

Nëse ka një romb në bazën e prizmit, atëherë për të përcaktuar zonën e tij do t'ju duhet e njëjta formulë si për një paralelogram (pasi është një rast i veçantë i tij). Por mund ta përdorni edhe këtë: S = ½ d 1 d 2. Këtu d 1 dhe d 2 janë dy diagonale të rombit.

Prizma e rregullt pesëkëndëshe

Ky rast përfshin ndarjen e shumëkëndëshit në trekëndësha, zonat e të cilave janë më të lehta për t'u gjetur. Edhe pse ndodh që figurat mund të kenë një numër të ndryshëm kulmesh.

Meqenëse baza e prizmit është një pesëkëndësh i rregullt, ai mund të ndahet në pesë trekëndësha barabrinjës. Atëherë zona e bazës së prizmit është e barabartë me sipërfaqen e një trekëndëshi të tillë (formula mund të shihet më lart), shumëzuar me pesë.

Prizma e rregullt gjashtëkëndore

Duke përdorur parimin e përshkruar për një prizëm pesëkëndësh, është e mundur të ndahet gjashtëkëndëshi i bazës në 6 trekëndësha barabrinjës. Formula për zonën bazë të një prizmi të tillë është e ngjashme me atë të mëparshme. Vetëm ajo duhet të shumëzohet me gjashtë.

Formula do të duket kështu: S = 3/2 a 2 * √3.

Detyrat

Nr. 1. Duke pasur parasysh një vijë të drejtë të rregullt, diagonalja e saj është 22 cm, lartësia e poliedrit është 14 cm. Llogaritni sipërfaqen e bazës së prizmit dhe të gjithë sipërfaqen.

Zgjidhje. Baza e prizmit është një katror, ​​por ana e tij nuk dihet. Vlerën e tij mund ta gjeni nga diagonalja e katrorit (x), e cila lidhet me diagonalen e prizmit (d) dhe lartësinë e tij (h). x 2 = d 2 - n 2. Nga ana tjetër, ky segment "x" është hipotenuza në një trekëndësh, këmbët e të cilit janë të barabarta me anën e katrorit. Kjo do të thotë, x 2 = a 2 + a 2. Kështu rezulton se a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zëvendësoni numrin 22 në vend të d dhe zëvendësoni "n" me vlerën e tij - 14, rezulton se ana e katrorit është 12 cm. Tani thjesht zbuloni sipërfaqen e bazës: 12 * 12 = 144 cm 2.

Për të zbuluar sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes, duhet të shtoni dyfishin e zonës bazë dhe të katërfishoni zonën anësore. Kjo e fundit mund të gjendet lehtësisht duke përdorur formulën për një drejtkëndësh: shumëzoni lartësinë e poliedrit dhe anën e bazës. Kjo do të thotë, 14 dhe 12, ky numër do të jetë i barabartë me 168 cm 2. Sipërfaqja e përgjithshme e prizmit rezulton të jetë 960 cm 2.

Përgjigju. Sipërfaqja e bazës së prizmit është 144 cm 2. E gjithë sipërfaqja është 960 cm 2.

Nr 2. Jepet Në bazë ka një trekëndësh me brinjë 6 cm Në këtë rast diagonalja e faqes anësore është 10 cm Njehsoni sipërfaqet: bazamenti dhe sipërfaqja anësore.

Zgjidhje. Meqenëse prizmi është i rregullt, baza e tij është një trekëndësh barabrinjës. Prandaj, sipërfaqja e saj rezulton të jetë e barabartë me 6 në katror, ​​shumëzuar me ¼ dhe rrënjën katrore 3. Një llogaritje e thjeshtë çon në rezultatin: 9√3 cm 2. Kjo është zona e njërës bazë të prizmit.

Të gjitha faqet anësore janë të njëjta dhe janë drejtkëndësha me brinjë 6 dhe 10 cm. Për të llogaritur sipërfaqet e tyre, mjafton t'i shumëzoni këta numra. Më pas shumëzojini ato me tre, sepse prizmi ka pikërisht aq faqe anësore. Pastaj zona e sipërfaqes anësore të plagës rezulton të jetë 180 cm 2.

Përgjigju. Zonat: baza - 9√3 cm 2, sipërfaqja anësore e prizmit - 180 cm 2.