Cila është nyja e numrave të dyfishtë? Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Quhen numrat natyrorë a dhe b kryeministër reciprok, nëse pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët është 1 (GCD(a; b) = 1). Me fjalë të tjera, nëse numrat a dhe b nuk kanë faktorë të përbashkët përveç 1, atëherë ata janë të dyfishtë.

Shembuj të çifteve të numrave të dyfishtë: 2 dhe 5, 13 dhe 16, 35 dhe 88, etj. Mund të specifikoni disa numra të dyfishtë, për shembull, numrat 7, 9, 16 janë të dyfishtë.

Shpesh numrat e përbashkët shënohen si më poshtë: (a, b) = 1. Për shembull, (23, 30) = 1. Ky shënim është, si të thuash, një shënim stenografi për pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave (GCD(23 , 30) = 1), dhe thotë se pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët është 1.

Dy numra natyrorë të afërt do të jenë gjithmonë relativisht të thjeshtë. Për shembull, 15 dhe 16 janë një çift numrash relativisht të thjeshtë, ashtu si 16 dhe 17. Kjo është e lehtë për t'u kuptuar nëse merrni parasysh "rregullin" që nëse dy numra natyrorë a dhe b janë të pjesëtueshëm me të njëjtin numër natyror më i madh se 1 (n > 1), atëherë diferenca e tyre duhet të jetë gjithashtu e pjesëtueshme me këtë numër n (këtu nënkuptojmë që a, b dhe ndryshimi i tyre janë të plotpjesëtueshëm me një numër të plotë, d.m.th. janë shumëfisha të numrit n). Por nëse a dhe b janë dy numra fqinjë (le a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Nga përkufizimi i numrave të dyfishtë dhe numrave të thjeshtë rrjedh gjithashtu se numra të thjeshtë të ndryshëm janë gjithmonë të dyfishtë. Në fund të fundit, pjesëtuesit e çdo numri të thjeshtë janë vetëm vetvetja dhe 1.

Vetitë e numrave të dyfishtë

• Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i një çifti numrash të përbashkët është i barabartë me produktin e tyre. Për shembull, (3, 8) = 1 (kjo do të thotë coprime), prandaj LCM e tyre është 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Në të vërtetë, nuk do të gjeni një numër më të vogël se 24 që është shumëfish i 3 dhe 8.
• Nëse numrat a dhe b janë të dyfishtë dhe numri c është shumëfish i a dhe b, atëherë edhe ky numër do të jetë shumëfish i prodhimit ab. Kjo mund të shkruhet kështu: nëse c a dhe c b, atëherë c ab. Për shembull, (3, 10) = 1, numri 60 është shumëfish i 3 dhe 10, dhe është gjithashtu një shumëfish i 30 (3 × 10).
• Nëse numrat a dhe b janë të dyfishtë dhe numri c është shumëfish i b (c b ), atëherë prodhimi ac do të jetë gjithashtu shumëfish i b (ac b). Për shembull, (2, 17) = 1, le të jetë c = 34. Numri 34 është shumëfish i b = 17, pastaj ac = 2 × 34 = 68. Kontrollojmë: 68 ÷ 17 = 4, d.m.th. është i pjesëtueshëm me një e tërë, që do të thotë 68 është një shumëfish 17.

Zakonisht ka më shumë prona sesa janë të listuara këtu. Për më tepër, vetitë e numrave të dyfishtë janë formuluar në mënyra të ndryshme. Mund të jetë gjithashtu e nevojshme të vërtetohen këto veti (në këtë rast nuk jepet asnjë provë).

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave të dyfishtë është gjithmonë një.

Shembuj të nyjeve me numra të përbashkët.

GCD i numrave 11 dhe 7

Numrat 11 dhe 7 janë relativisht të thjeshtë dhe, në të njëjtën kohë, të thjeshtë.

Numrat 11 dhe 7 nuk kanë faktorë të tjerë të përbashkët përveç 1.

gcd (11, 7) = 1

GCD i numrave 11 dhe 15

Numrat 11 dhe 15 janë relativisht të thjeshtë. Për më tepër, 11 është një numër i thjeshtë, dhe 15 është një numër i përbërë.

Pjesëtuesit e 11 janë 1 dhe 11.

Pjesëtuesit e 15 janë 1, 3, 5, 15.

Siç mund ta shihni, i vetmi faktor i përbashkët i numrave 11 dhe 15 është numri 1. Prandaj, njësia është GCD e numrave 11 dhe 15:

gcd (11, 15) = 1

GCD i numrave 10 dhe 21

Numrat 10 dhe 21 janë relativisht të thjeshtë. Për më tepër, si numri 10 ashtu edhe numri 21 janë të përbërë.

Faktorët e 10 janë 1, 2, 5, 10.

Faktorët e 21 janë 1, 3, 7, 21.

Siç mund ta shihni, i vetmi faktor i përbashkët i numrave 10 dhe 21 është numri 1. Prandaj, njësia është GCD e numrave 10 dhe 21:

GCD(21, 10) = 1

GCD i numrave 16 dhe 23

Numrat 16 dhe 23 janë relativisht të thjeshtë. Për më tepër, 23 është një numër i thjeshtë, dhe 16 është një numër i përbërë.

Detyrë: Gjeni GCD dhe LCM të numrave në mënyrën më të përshtatshme:

a) 12 dhe 40; b) 9 dhe 40; c) 12 dhe 72.

Detyrës i jepet 5 minuta.

Cila është mënyra më e përshtatshme për të zgjidhur çdo ushtrim?

Analiza me rrëshqitje.

a) Është më i përshtatshëm të zgjidhet duke faktorizuar në faktorët kryesorë

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2·2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) A kanë numrat 9 dhe 40 faktorë të përbashkët? (ka, 1.)

Si quhen këta numra? ? (reciprokisht kryeministër.)

Sa është gcd e këtyre numrave? ? (GCD(9,40) = 1)

Sa është LCM e këtyre numrave? ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

c) Çfarë mund të thoni për numrat 12 dhe 72 ? (72 pjesëtuar me 12) Çfarë rregulli dimë? (nëse një numër pjesëtohet me një tjetër, atëherë GCD = numri më i vogël dhe LCM = më i madhi)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Kontrolloni të dhënat që keni marrë me standardin që shtrihet në tryezën e mësuesit.

FO: Ata vlerësojnë veten sipas kritereve të shkruara në fletën standarde. Duke kontrolluar kutinë pranë kriterit.

7 rriqra - nivel i lartë

6-4 rriqra - niveli mesatar

1-3 rriqra - nivel i ulët

Fizminutka

Ata u ngritën shpejt në këmbë, buzëqeshën,

Ata e tërhoqën veten lart e më lart.

Epo, drejtoni shpatullat tuaja,

Ngrini, ulni.

Ktheni djathtas, kthehuni majtas,

Prekni duart tuaja me gjunjë.

Ata u ulën, u ngritën, u ulën, u ngritën,

Dhe ata vrapuan në vend.

Pyetja e mësuesit: Ku i përdorim tashmë njohuritë tona për GCD dhe LCA të numrave?

Gjatë zgjidhjes së problemeve.

Përpara tyre në tryezën e mësuesit është një "Kamomili i detyrës" i përbërë nga 21 petale.

Petal i kuq – detyra të nivelit C.

Petal i verdhë – detyra të nivelit B.

Petal i gjelbër - detyra të nivelit A.

	Masha bleu vezë për Ariu në dyqan. Gjatë rrugës për në pyll, ajo kuptoi se numri i vezëve është i pjesëtueshëm me 2,3,5,10 dhe 15. Sa vezë bleu Masha?
	Buqeta u mblodhën nga 210 trëndafila burgundy, 126 të bardhë dhe 294 trëndafila të kuq, me çdo buqetë që përmban një numër të barabartë trëndafilash të së njëjtës ngjyrë. Cili është numri më i madh i buqetave të bëra nga këto trëndafila dhe sa trëndafila të secilës ngjyrë janë në një buqetë?
	Fleta e kartonit ka formën e një drejtkëndëshi, gjatësia e së cilës është 48 cm dhe gjerësia 40 cm.Kjo fletë duhet të pritet në katrorë të barabartë pa mbeturina. Cilat janë katrorët më të mëdhenj që mund të merren nga kjo fletë pune dhe sa?
	Sa ushtarë marshojnë në terrenin e parakalimit nëse marshojnë në formacion prej 12 personash në një rresht dhe shndërrohen në një kolonë prej 18 vetësh në një rresht?
	Në qytetin port nisin tre udhëtime turistike me varkë, nga të cilët i pari zgjat 15 ditë, i dyti 20 dhe i treti 12 ditë. Pasi u kthyen në port, anijet u nisën përsëri në të njëjtën ditë. Sot, anijet u larguan nga porti në të tre rrugët. Pas sa ditësh do të lundrojnë sërish bashkë për herë të parë?Sa udhëtime do të bëjë çdo anije?
	Oxhaku në dhomë duhet të jetë i shtruar me pllaka në formën e një katrori. Sa pllaka do të nevojiten për një oxhak me përmasa 195 ͯ 156 cm dhe cilat janë përmasat më të mëdha të pllakave?
	Hapi i Volodya-s është 75 cm dhe hapi i Katya-s është 60 cm. Në cilën distancë minimale do të bëjnë të dy një numër të plotë hapash?
	Për dhuratat e Vitit të Ri blemë 180 mollë, 90 portokall dhe 900 karamele. Të gjithë fëmijët morën të njëjtat dhurata. Cili është numri më i madh i dhuratave identike të bëra nga këto fruta dhe ëmbëlsira?
	Një parcelë kopshti me përmasa 54 ͯ 48 m rreth perimetrit duhet të jetë e rrethuar; për ta bërë këtë, duhet të vendosen shtylla betoni në intervale të rregullta. Sa shtylla duhet të sillen për vendin dhe në cilën distancë maksimale nga njëra-tjetra do të vendosen shtyllat?
	Gjeni: LOC(360,252).
	Për dhuratat e Vitit të Ri, blemë 78 çokollatë, 156 biskota me xhenxhefil, 52 pako biskota, 104 portokall dhe 130 mollë. Cili është numri më i madh i dhuratave identike që mund të mblidhen?
	Kërkohet të bëhet një kuti me fund katror për ruajtjen e kutive me përmasa 16 ͯ 20 cm. Cila duhet të jetë gjatësia më e shkurtër e anës së një fundi katror për t'iu përshtatur kutive nga fundi në skaj në një kuti?
	Llogaritni GCD(720216), LCM(720216).
	Cili është raporti i LCM (308.264) me GCD (308.264)?
	Për të vendosur pemën e Krishtlindjes, blemë arra, ëmbëlsira dhe bukë me xhenxhefil - 760 copë gjithsej. Ata morën 80 arra më shumë se ëmbëlsirat dhe 120 më pak biskota me xhenxhefil se arra. Cili është numri më i madh i dhuratave identike për fëmijët që mund të bëhen nga ky stok?
	Gjeni LOC (84,160,96),
	Gjeni herësin e pjesëtimit të LCM(24, 2004) me GCD të të njëjtëve numra.
	Gjeni numrin më të vogël natyror që është shumëfish i 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Gjeni GCD (56, 72).
	Në tavolinë ka libra, numri i të cilëve është më pak se 100. Sa libra ka nëse dihet se mund të lidhen në pako 3, 4 dhe 5 copë?
	Më pak se 600, por më shumë se 500 pjata u sollën në dyqan. Kur filluan t'i shtronin me dhjetëra, nga numri i plotë i dhjetësheve mungonin 3 pjata dhe kur filluan t'i shtronin me dhjetëra (12 pjata secila), kishin mbetur 7 pjata. Sa pjata keni sjellë në dyqan?

FO: Numri mbizotërues i petaleve të kuqe tregon një nivel të lartë përthithjeje, e verdha - një nivel mesatar përthithjeje dhe jeshile - një nivel i ulët përthithjeje.