Ecuația unei drepte în patru forme. Ecuația generală a unei drepte

Ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu sunt ecuații care definesc o dreaptă care trece printr-un punct dat în mod coliniar către un vector de direcție.

Fie dat un punct și un vector direcție. Un punct arbitrar se află pe o dreaptă l numai dacă vectorii și sunt coliniari, adică îndeplinesc condiția:

.

Ecuațiile de mai sus sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Numerele m , nși p sunt proiecții ale vectorului direcție pe axele de coordonate. Deoarece vectorul este diferit de zero, atunci toate numerele m , nși p nu poate fi zero în același timp. Dar unul sau două dintre ele pot fi zero. În geometria analitică, de exemplu, este permisă următoarea notație:

,

ceea ce înseamnă că proiecţiile vectorului pe axe Oiși Oz sunt egale cu zero. Prin urmare, atât vectorul cât și linia dreaptă dată de ecuațiile canonice sunt perpendiculare pe axele Oiși Oz, adică avioane yOz .

Exemplul 1 Alcătuiți ecuații ale unei drepte în spațiu perpendicular pe un plan şi trecând prin punctul de intersecţie a acestui plan cu axa Oz .

Soluţie. Aflați punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz. Din moment ce orice punct de pe axă Oz, are coordonatele , atunci, presupunând în ecuația dată a planului x=y= 0, obținem 4 z- 8 = 0 sau z= 2 . Prin urmare, punctul de intersecție al planului dat cu axa Oz are coordonatele (0; 0; 2) . Deoarece linia dorită este perpendiculară pe plan, este paralelă cu vectorul său normal. Prin urmare, vectorul normal poate servi ca vector de direcție al dreptei avion dat.

Acum scriem ecuațiile dorite ale dreptei care trece prin punct A= (0; 0; 2) în direcția vectorului :

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date

O linie dreaptă poate fi definită prin două puncte aflate pe ea și În acest caz, vectorul de direcție al dreptei poate fi vectorul . Atunci ecuațiile canonice ale dreptei iau forma

.

Ecuațiile de mai sus definesc o linie dreaptă care trece prin două puncte date.

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte în spațiu care trece prin punctele și .

Soluţie. Scriem ecuațiile dorite ale dreptei în forma dată mai sus în referința teoretică:

.

Deoarece , atunci linia dorită este perpendiculară pe axă Oi .

Drept ca o linie de intersecție a planelor

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

Ecuațiile sistemului sunt numite și ecuații generale ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplul 3 Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte în spațiul dat de ecuații generale

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii drepte sau, ceea ce este același, ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linia dreaptă. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu yOzși xOz .

Punct de intersecție al unei drepte cu un plan yOz are o abscisă X= 0 . Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații X= 0 , obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei y = 2 , z= 6 împreună cu X= 0 definește un punct A(0; 2; 6) din linia dorită. Presupunând atunci în sistemul dat de ecuații y= 0, obținem sistemul

Decizia ei X = -2 , z= 0 împreună cu y= 0 definește un punct B(-2; 0; 0) intersecția unei drepte cu un plan xOz .

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte A(0; 2; 6) și B (-2; 0; 0) :

,

sau după împărțirea numitorilor la -2:

,

Linia care trece prin punctul K(x 0; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
Linia care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) si paralela cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentata prin ecuatie

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul K( ;) paralelă cu dreapta y = x + .

Exemplul #1. Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 0 (-2.1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Soluţie . Să reprezentăm ecuația pantei ca y = kx + a . Pentru a face acest lucru, vom transfera toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțim partea dreaptă cu coeficientul 3 . Se obține: y = -2/3x + 7/3
Aflați ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1) paralel cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0

Exemplul #2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie . Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria unui triunghi dreptunghic, unde a și b sunt catetele sale. Găsiți punctele de intersecție ale dreptei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Înlocuiți în formula pentru suprafață: . Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y - 10 = 0 .

Exemplul #3. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul (-2; 5) și dreapta paralelă 5x-7y-4=0 .
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5/7 x – 4/7 (aici a = 5/7). Ecuația dreptei dorite este y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul #4. Rezolvând exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplul numărul 5. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul (-2;5) și a unei drepte paralele 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece această ecuație nu poate fi rezolvată în raport cu y (această linie dreaptă este paralelă cu axa y).

Lasă linia dreaptă să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), atunci coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 \u003d x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1, y I) și M 2 (x 2, y 2) este paralelă cu axa y. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 \u003d y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y \u003d y 1, linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa x.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a; 0) și axa Oy - în punctul M 2 (0; b). Ecuația va lua forma:
acestea.
. Această ecuație se numește ecuaţia unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică segmentele pe care linia dreaptă le decupează pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector dat diferit de zero n = (A; B).

Luați un punct arbitrar M(x; y) pe linie dreaptă și luați în considerare vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n = (A; B) perpendicular pe dreapta se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membru liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a unei drepte(vezi Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
sunt coordonatele punctului prin care trece linia și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor unui plan echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat pe un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date. și , care se numesc focare, este o valoare constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox și a cărei origine este la mijlocul dintre focare are forma
G de A lungimea semiaxei majore; b este lungimea semiaxei minore (Fig. 2).

Ecuația unei drepte pe un plan.

După cum se știe, orice punct din plan este determinat de două coordonate într-un sistem de coordonate. Sistemele de coordonate pot fi diferite în funcție de alegerea bazei și a originii.

Definiție. Ecuația liniilor este relația y = f(x) între coordonatele punctelor care alcătuiesc această dreaptă.

Rețineți că ecuația liniei poate fi exprimată într-un mod parametric, adică fiecare coordonată a fiecărui punct este exprimată printr-un parametru independent t.

Un exemplu tipic este traiectoria unui punct în mișcare. În acest caz, timpul joacă rolul unui parametru.

Ecuația unei drepte pe un plan.

Definiție. Orice dreaptă din plan poate fi dată printr-o ecuație de ordinul întâi

Ah + Wu + C = 0,

în plus, constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A 2 + B 2  0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.

În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A  0, B  0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B  0, C  0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Ecuația unei drepte printr-un punct și un vector normal.

Definiție. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian, un vector cu componente (A, B) este perpendicular pe dreapta dată de ecuația Ax + By + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A (1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Să compunem la A \u003d 3 și B \u003d -1 ecuația dreptei: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C, înlocuim coordonatele punctului dat A în expresia rezultată.

Obținem: 3 - 2 + C \u003d 0, prin urmare C \u003d -1.

Total: ecuația dorită: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Să fie date două puncte M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) în spațiu, apoi ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Pe un plan, ecuația unei drepte scrise mai sus este simplificată:

dacă x 1  x 2 și x \u003d x 1, dacă x 1 \u003d x 2.

Fracțiune
=k se numește factor de pantă Drept.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după un punct și o pantă.

Dacă ecuația generală a dreptei Ax + Vy + C = 0 duce la forma:

și desemnează
, atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu pantăk.

Ecuația unei drepte pe un punct și un vector de direcție.

Prin analogie cu punctul care are în vedere ecuația unei drepte prin vectorul normal, puteți introduce alocarea unei drepte printr-un punct și a unui vector de direcție al unei drepte.

Definiție. Fiecare vector diferit de zero ( 1 ,  2), ale cărei componente îndeplinesc condiția A 1 + B 2 = 0 se numește vectorul de direcție al dreptei

Ah + Wu + C = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu un vector direcție (1, -1) și trecând prin punctul A(1, 2).

Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax + By + C = 0. Conform definiției, coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1A + (-1)B = 0, adică. A = B.

Atunci ecuația unei drepte are forma: Ax + Ay + C = 0, sau x + y + C/A = 0.

la x = 1, y = 2 obținem С/A = -3, adică. ecuația dorită:

Ecuația unei drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Wu + C = 0 C 0, atunci, împărțind la –C, obținem:
sau

, Unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție al dreptei cu axa x și b- coordonata punctului de intersectie a dreptei cu axa Oy.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei x - y + 1 = 0. Aflați ecuația acestei drepte în segmente.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wy + C = 0 împărțit la număr
, Care e numit factor de normalizare, apoi primim

xcos + ysin - p = 0 –

ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul  al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât С< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar  este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

Exemplu. Având în vedere ecuația generală a dreptei 12x - 5y - 65 = 0. Este necesar să se scrie diverse tipuri de ecuații pentru această dreaptă.

ecuația acestei drepte în segmente:

ecuația acestei drepte cu panta: (împarte la 5)

ecuația normală a unei linii drepte:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin origine.

Exemplu. Linia dreaptă taie segmente pozitive egale pe axele de coordonate. Scrieți ecuația unei drepte dacă aria triunghiului format din aceste segmente este de 8 cm2.

Ecuația unei drepte are forma:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -patru.

a = -4 nu se potrivește cu condiția problemei.

Total:
sau x + y - 4 = 0.

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul A (-2, -3) și originea.

Ecuația unei drepte are forma:
, unde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Unghiul dintre liniile unui plan.

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

.

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 .

Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Linii drepte Ax + Vy + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A sunt proporționali 1 =  A, B 1 =  B. Dacă și C 1 =  C, atunci liniile coincid.

Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

perpendicular pe această dreaptă.

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la un punct la o linie.

Teorema. Dacă un punct M(x 0 , y 0 ), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C = 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.

k = . Atunci y =
. pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație:
de unde b = 17. Total:
.

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometrie analitică în spațiu.

Ecuația dreaptă în spațiu.

Ecuația unei drepte în spațiu cu un punct și

vector de direcție.

Luați o linie arbitrară și un vector (m, n, p) paralel cu dreapta dată. Vector numit vector ghid Drept.

Să luăm două puncte arbitrare M 0 (x 0 , y 0 , z 0) și M(x, y, z) pe linia dreaptă.

z

M1

Să notăm vectorii de rază ai acestor puncte ca și , este evident că - =
.

pentru că vectori
și sunt coliniare, atunci relația este adevărată
= t, unde t este un parametru.

În total, putem scrie: = + t.

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct de pe linie, atunci ecuația rezultată este ecuația parametrică a unei linii drepte.

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată sub formă de coordonate:

Transformând acest sistem și echivalând valorile parametrului t, obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

.

Definiție. Cosinusuri de direcție directe sunt cosinusurile de direcție ale vectorului , care poate fi calculat prin formulele:

;

.

De aici obținem: m: n: p = cos : cos : cos.

Se numesc numerele m, n, p factori de panta Drept. pentru că este un vector diferit de zero, m, n și p nu pot fi zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi zero. În acest caz, în ecuația unei linii drepte, numărătorii corespunzători ar trebui să fie egalați cu zero.

Ecuația unei drepte în spațiul care trece

prin două puncte.

Dacă două puncte arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2) sunt marcate pe o dreaptă în spațiu, atunci coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația linie dreaptă obținută mai sus:

.

În plus, pentru punctul M 1 putem scrie:

.

Rezolvând împreună aceste ecuații, obținem:

.

Aceasta este ecuația unei drepte care trece prin două puncte din spațiu.

Ecuații generale ale unei drepte în spațiu.

Ecuația unei drepte poate fi considerată drept ecuația unei linii de intersecție a două plane.

După cum sa discutat mai sus, un plan în formă vectorială poate fi dat de ecuația:

+ D = 0, unde

- plan normal; - raza-vector al unui punct arbitrar al planului.

Acest articol dezvăluie derivarea ecuației unei drepte care trece prin două puncte date într-un sistem de coordonate dreptunghiular situat pe un plan. Obținem ecuația unei drepte care trece prin două puncte date într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Vom arăta vizual și vom rezolva mai multe exemple legate de materialul acoperit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a obține ecuația unei drepte care trece prin două puncte date, este necesar să se acorde atenție unor fapte. Există o axiomă care spune că prin două puncte necoincidente dintr-un plan se poate trasa o dreaptă și numai una. Cu alte cuvinte, două puncte date ale planului sunt determinate de o dreaptă care trece prin aceste puncte.

Dacă planul este dat de sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy, atunci orice linie dreaptă descrisă în el va corespunde ecuației dreptei de pe plan. Există și o legătură cu vectorul de direcție al dreptei Aceste date sunt suficiente pentru a întocmi ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme similare. Este necesar să se compună ecuația unei drepte a care trece prin două puncte nepotrivite M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) situate în sistemul de coordonate carteziene.

În ecuația canonică a unei drepte pe un plan, având forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , un sistem de coordonate dreptunghiular O x y este specificat cu o dreaptă care se intersectează cu ea într-un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) cu un vector de ghidare a → = (a x , a y) .

Este necesar să se compună ecuația canonică a dreptei a, care va trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) .

Linia dreaptă a are un vector de direcție M 1 M 2 → cu coordonate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), deoarece intersectează punctele M 1 și M 2. Am obținut datele necesare pentru a transforma ecuația canonică cu coordonatele vectorului de direcție M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) și coordonatele punctelor M 1 aflate pe acestea. (x1, y1) şi M2 (x2, y2). Obținem o ecuație de forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 sau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Luați în considerare figura de mai jos.

În urma calculelor, scriem ecuațiile parametrice ale unei drepte într-un plan care trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) . Obținem o ecuație de forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ sau x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Să aruncăm o privire mai atentă la câteva exemple.

Exemplul 1

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin 2 puncte date cu coordonatele M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Soluţie

Ecuația canonică pentru o dreaptă care se intersectează în două puncte cu coordonatele x 1 , y 1 și x 2 , y 2 ia forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . În funcție de starea problemei, avem că x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Este necesar să se înlocuiască valorile numerice în ecuația x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De aici obținem că ecuația canonică va lua forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Răspuns: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Dacă este necesar să rezolvați o problemă cu un alt tip de ecuație, atunci pentru început puteți merge la cea canonică, deoarece este mai ușor să veniți la oricare alta din ea.

Exemplul 2

Compuneți ecuația generală a unei drepte care trece prin puncte cu coordonatele M 1 (1, 1) și M 2 (4, 2) în sistemul de coordonate O x y.

Soluţie

Mai întâi trebuie să scrieți ecuația canonică a unei linii date care trece prin cele două puncte date. Obținem o ecuație de forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Aducem ecuația canonică la forma dorită, apoi obținem:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Răspuns: x - 3 y + 2 = 0 .

Exemple de astfel de sarcini au fost luate în considerare în manualele școlare la lecțiile de algebră. Sarcinile școlare diferă prin aceea că era cunoscută ecuația unei linii drepte cu un coeficient de pantă, având forma y \u003d k x + b. Dacă trebuie să găsiți valoarea pantei k și numărul b, la care ecuația y \u003d k x + b definește o linie în sistemul O x y care trece prin punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) , unde x 1 ≠ x 2 . Când x 1 = x 2 , atunci panta capătă valoarea infinitului, iar dreapta M 1 M 2 este definită printr-o ecuație generală incompletă de forma x - x 1 = 0 .

Pentru că punctele M 1și M 2 sunt pe o linie dreaptă, atunci coordonatele lor satisfac ecuația y 1 = k x 1 + b și y 2 = k x 2 + b. Este necesar să se rezolve sistemul de ecuații y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b în raport cu k și b.

Pentru a face acest lucru, găsim k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 sau k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Cu astfel de valori ale lui k și b, ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date are următoarea formă y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 sau y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Memorarea unui număr atât de mare de formule deodată nu va funcționa. Pentru a face acest lucru, este necesar să creșteți numărul de repetări în rezolvarea problemelor.

Exemplul 3

Scrieți ecuația unei drepte cu pantă care trece prin puncte cu coordonatele M 2 (2, 1) și y = k x + b.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim o formulă cu o pantă care are forma y \u003d k x + b. Coeficienții k și b trebuie să ia o astfel de valoare încât această ecuație să corespundă unei drepte care trece prin două puncte cu coordonatele M 1 (- 7 , - 5) și M 2 (2 , 1) .

puncte M 1și M 2 situate pe o linie dreaptă, atunci coordonatele lor ar trebui să inverseze ecuația y = k x + b egalitatea corectă. De aici obținem că - 5 = k · (- 7) + b și 1 = k · 2 + b. Să combinăm ecuația în sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b și să rezolvăm.

La înlocuire, obținem asta

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Acum, valorile k = 2 3 și b = - 1 3 sunt înlocuite în ecuația y = k x + b . Obținem că ecuația dorită care trece prin punctele date va fi o ecuație care are forma y = 2 3 x - 1 3 .

Acest mod de rezolvare predetermina cheltuirea unei mari perioade de timp. Există o modalitate prin care sarcina este rezolvată literalmente în doi pași.

Scriem ecuația canonică a unei drepte care trece prin M 2 (2, 1) și M 1 (- 7, - 5) , având forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Acum să trecem la ecuația pantei. Se obține că: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Răspuns: y = 2 3 x - 1 3 .

Dacă în spațiul tridimensional există un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z cu două puncte date necoincidente cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), dreapta M trecând prin ele 1 M 2 , este necesar să se obţină ecuaţia acestei drepte.

Avem că ecuațiile canonice de forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z și ecuații parametrice de forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sunt capabili să stabilească o dreaptă în sistemul de coordonate O x y z care trece prin puncte având coordonate (x 1, y 1, z 1) cu un vector de direcție a → = (a x, a y, a z) .

Drept M 1 M 2 are un vector de direcție de forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , unde dreapta trece prin punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), deci ecuația canonică poate fi de forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 sau x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, la rândul său, parametrice x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ sau x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Luați în considerare o figură care arată 2 puncte date în spațiu și ecuația unei drepte.

Exemplul 4

Scrieți ecuația unei drepte definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional, care trece prin cele două puncte date cu coordonatele M 1 (2, - 3, 0) și M 2 (1, - 3, - 5). ).

Soluţie

Trebuie să găsim ecuația canonică. Întrucât vorbim de spațiu tridimensional, înseamnă că atunci când o dreaptă trece prin puncte date, ecuația canonică dorită va lua forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Prin condiție, avem că x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Rezultă că ecuațiile necesare se pot scrie după cum urmează:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Răspuns: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter