Ecuația x2 y2. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile

1. Sisteme de ecuații liniare cu un parametru

Sistemele de ecuații liniare cu un parametru sunt rezolvate prin aceleași metode de bază ca și sistemele convenționale de ecuații: metoda substituției, metoda adunării ecuațiilor și metoda grafică. Cunoașterea interpretării grafice a sistemelor liniare facilitează răspunsul la întrebarea despre numărul de rădăcini și existența acestora.

Exemplul 1

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații nu are soluții.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Soluţie.

Să ne uităm la mai multe moduri de a rezolva această problemă.

1 cale. Folosim proprietatea: sistemul nu are soluții dacă raportul coeficienților din fața lui x este egal cu raportul coeficienților din fața lui y, dar nu este egal cu raportul termenilor liberi (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Atunci noi avem:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 sau un sistem

(și 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Din prima ecuație a 2 \u003d 4, prin urmare, ținând cont de condiția ca a ≠ 2, obținem răspunsul.

Răspuns: a = -2.

2 sensuri. Rezolvăm prin metoda substituției.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

După ce scoatem factorul comun y din paranteze în prima ecuație, obținem:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sistemul nu are soluții dacă prima ecuație nu are soluții, adică

(și 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Este evident că a = ±2, dar ținând cont de a doua condiție, se dă doar răspunsul cu minus.

Răspuns: a = -2.

Exemplul 2

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Soluţie.

După proprietate, dacă raportul coeficienților la x și y este același și este egal cu raportul membrilor liberi ai sistemului, atunci are un set infinit de soluții (adică a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Prin urmare 8/a = a/2 = 2/1. Rezolvând fiecare dintre ecuațiile obținute, aflăm că un \u003d 4 este răspunsul în acest exemplu.

Răspuns: a = 4.

2. Sisteme de ecuații raționale cu un parametru

Exemplul 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Soluţie.

Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Scădeți a doua ecuație din prima, obținem 5|x| = 4 – a. Această ecuație va avea o soluție unică pentru a = 4. În alte cazuri, această ecuație va avea două soluții (pentru a< 4) или ни одного (при а > 4).

Răspuns: a = 4.

Exemplul 4

Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are o soluție unică.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Soluţie.

Vom rezolva acest sistem folosind metoda grafică. Deci, graficul celei de-a doua ecuații a sistemului este o parabolă, ridicată de-a lungul axei Oy cu un segment de unitate. Prima ecuație definește mulțimea de drepte paralele cu dreapta y = -x (poza 1). Figura arată clar că sistemul are o soluție dacă linia dreaptă y \u003d -x + a este tangentă la parabola în punctul cu coordonatele (-0,5; 1,25). Înlocuind aceste coordonate în ecuația unei linii drepte în loc de x și y, găsim valoarea parametrului a:

1,25 = 0,5 + a;

Răspuns: a = 0,75.

Exemplul 5

Folosind metoda substituției, aflați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Soluţie.

Exprimați y din prima ecuație și înlocuiți-l în a doua:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Aducem a doua ecuație la forma kx = b, care va avea o soluție unică pentru k ≠ 0. Avem:

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Trinomul pătrat a 2 + 3a + 2 poate fi reprezentat ca produs de paranteze

(a + 2)(a + 1), iar în stânga scoatem x din paranteze:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Evident, un 2 + 3a nu trebuie să fie egal cu zero, prin urmare,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ceea ce înseamnă a ≠ 0 și ≠ -3.

Răspuns: a ≠ 0; ≠ -3.

Exemplul 6

Folosind metoda soluției grafice, determinați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Soluţie.

Pe baza condiției, construim un cerc cu un centru la originea coordonatelor și o rază de 3 segmente unitare, acest cerc este cel care stabilește prima ecuație a sistemului

x 2 + y 2 = 9. A doua ecuație a sistemului (y = |x| + a) este o linie întreruptă. Prin utilizarea figura 2 luăm în considerare toate cazurile posibile ale locației sale în raport cu cerc. Este ușor de observat că a = 3.

Răspuns: a = 3.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi sisteme de ecuații?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Instruire

Metoda substituției Exprimă o variabilă și înlocuiește-o într-o altă ecuație. Puteți exprima orice variabilă doriți. De exemplu, exprimați „y” din a doua ecuație:
x-y=2 => y=x-2 Apoi introduceți totul în prima ecuație:
2x+(x-2)=10 Mutați totul fără x în partea dreaptă și numărați:
2x+x=10+2
3x=12 Apoi, pentru "x, împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:
x=4. Deci, ați găsit „x. Găsiți „la. Pentru a face acest lucru, înlocuiți „x” în ecuația din care ați exprimat „y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Faceți o verificare. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valorile rezultate în ecuații:
2*4+2=10
4-2=2
Necunoscut găsit corect!

Cum să adunăm sau să scădeți ecuații Scăpați de orice variabilă deodată. În cazul nostru, acest lucru este mai ușor de făcut cu „y.
Deoarece în ecuația „y are un semn” + , iar în al doilea „-”, atunci puteți efectua o operație de adunare, adică. Adăugăm partea stângă la stânga și partea dreaptă la dreapta:
2x+y+(x-y)=10+2Convertire:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Înlocuiți „x” în orice ecuație și găsiți „y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Prin metoda 1, puteți verifica dacă rădăcinile sunt găsite corect.

Dacă nu există variabile clar definite, atunci este necesar să se transforme ușor ecuațiile.
În prima ecuație avem „2x”, iar în a doua doar „x. Pentru ca x să fie redus la adunarea sau scăderea, înmulțiți a doua ecuație cu 2:
x-y=2
2x-2y=4 Apoi scade a doua ecuație din prima ecuație:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
găsiți y \u003d 2 "x exprimând din orice ecuație, adică.
x=4

Videoclipuri similare

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale, argumentul x (sau timpul t în problemele fizice) nu este întotdeauna disponibil în mod explicit. Cu toate acestea, acesta este un caz special simplificat de stabilire a unei ecuații diferențiale, care adesea ajută la simplificarea căutării integralei sale.

Instruire

Luați în considerare o problemă de fizică care duce la o ecuație diferențială care nu are un argument t. Aceasta este problema vibrațiilor de masă m, suspendate pe un fir de lungime r, situat într-un plan vertical. Ecuația de mișcare a pendulului este necesară dacă cel inițial a fost staționar și a deviat de la starea de echilibru cu un unghi α. Forțele trebuie neglijate (vezi Fig. 1a).

Soluţie. Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil în punctul O. Două forțe acționează asupra punctului: gravitația G \u003d mg și tensiunea firului N. Ambele forțe se află într-un plan vertical. Prin urmare, pentru a rezolva problema, puteți aplica ecuația mișcării de rotație a unui punct în jurul axei orizontale care trece prin punctul O. Ecuația pentru mișcarea de rotație a unui corp are forma prezentată în fig. 1b. În acest caz, I este momentul de inerție al punctului material; j este unghiul de rotație al firului împreună cu punctul, numărat de pe axa verticală în sens invers acelor de ceasornic; M este momentul forțelor aplicate punctului material.

Calculați aceste cantități. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Dar M(N)=0, întrucât linia de acţiune a forţei trece prin punctul O. M(G)=-mgrsinj. Semnul „-” înseamnă că momentul forței este îndreptat în direcția opusă mișcării. Înlocuiți momentul de inerție și momentul forței în ecuația de mișcare și obțineți ecuația prezentată în Fig. 1s. Prin reducerea masei, apare o relație (vezi Fig. 1d). Nu există niciun argument aici.

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Deja la începutul mileniului II î.Hr. e. Babilonienii știau să rezolve sisteme de astfel de ecuații cu două variabile. Această zonă a matematicii a atins cea mai mare prosperitate în Grecia antică. Sursa principală pentru noi este „Aritmetica” lui Diophantus, care conține diverse tipuri de ecuații. În ea, Diophantus (după numele său și numele ecuațiilor - ecuații diofantine) anticipează o serie de metode de studiere a ecuațiilor de gradul 2 și 3, care s-au dezvoltat abia în secolul al XIX-lea.

Cele mai simple ecuații diofantine ax + y = 1 (ecuația cu două variabile, gradul I) x2 + y2 = z2 (ecuația cu trei variabile, gradul II)

Ecuațiile algebrice au fost studiate cel mai pe deplin; soluția lor a fost una dintre cele mai importante probleme din algebră în secolele al XVI-lea și al XVII-lea.

Până la începutul secolului al XIX-lea, lucrările lui P. Fermat, L. Euler, K. Gauss au investigat o ecuație diofantină de forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, unde a, b, c , d, e, f sunt numere; x, y sunt variabile necunoscute.

Aceasta este o ecuație de gradul 2 cu două necunoscute.

K. Gauss a construit o teorie generală a formelor pătratice, care stă la baza rezolvării anumitor tipuri de ecuații cu două variabile (ecuații diofantine). Există un număr mare de ecuații diofantine specifice care pot fi rezolvate prin metode elementare. /p>

material teoretic.

În această parte a lucrării se vor descrie conceptele matematice de bază, se vor da definițiile termenilor, se va formula teorema de descompunere folosind metoda coeficienților nedeterminați, care au fost studiate și luate în considerare la rezolvarea ecuațiilor cu două variabile.

Definiția 1: O ecuație de forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere; x, y variabilele necunoscute se numesc ecuație de gradul doi cu două variabile.

În cursul școlar de matematică, se studiază ecuația pătratică ax2 + inx + c \u003d 0, unde a, b, c din numărul x este o variabilă, cu o variabilă. Există mai multe moduri de a rezolva o astfel de ecuație:

1. Găsirea rădăcinilor folosind discriminantul;

2. Găsirea rădăcinilor pentru un coeficient par în (conform D1 =);

3. Găsirea rădăcinilor prin teorema lui Vieta;

4. Găsirea rădăcinilor utilizând selecția pătratului complet al binomului.

Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia sau demonstrarea faptului că nu există.

Definiția 2: Rădăcina unei ecuații este un număr care, atunci când este substituit în ecuație, formează o egalitate adevărată.

Definiția 3: Rezolvarea unei ecuații cu două variabile se numește pereche de numere (x, y), la înlocuirea lor în ecuație, se transformă într-o egalitate adevărată.

Procesul de căutare a soluțiilor unei ecuații de foarte multe ori constă de obicei în înlocuirea ecuației cu o ecuație echivalentă, dar mai simplă ca soluție. Astfel de ecuații se numesc echivalente.

Definiția 4: Se spune că două ecuații sunt echivalente dacă fiecare soluție a unei ecuații este o soluție a celeilalte ecuații și invers, iar ambele ecuații sunt considerate în aceeași zonă.

Pentru rezolvarea ecuațiilor cu două variabile se folosește teorema expansiunii ecuației într-o sumă de pătrate perfecte (prin metoda coeficienților nedeterminați).

Pentru ecuația de ordinul doi ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) există o descompunere a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Să formulăm condițiile în care are loc expansiunea (2) pentru ecuația (1) a două variabile.

Teoremă: Dacă coeficienții a, c, c ai ecuației (1) îndeplinesc condițiile a0 și 4av - c20, atunci expansiunea (2) se determină într-un mod unic.

Cu alte cuvinte, ecuația (1) cu două variabile poate fi redusă la forma (2) folosind metoda coeficienților nedeterminați, dacă sunt îndeplinite condițiile teoremei.

Să ne uităm la un exemplu despre cum este implementată metoda coeficienților nedeterminați.

METODA #1. Rezolvați ecuația prin metoda coeficienților nedeterminați

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Să verificăm îndeplinirea condițiilor teoremei, a=2, b=1, c=2, deci a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Condițiile teoremei sunt îndeplinite și pot fi extinse prin formula (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, pe baza condițiilor teoremei, ambele părți ale identității sunt echivalente. Simplificați partea dreaptă a identității.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Echivalează coeficienții pentru aceleași variabile cu puterile lor.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Obțineți un sistem de ecuații, rezolvați-l și găsiți valorile coeficienților.

7. Înlocuiți coeficienții din (2), atunci ecuația va lua forma

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), această ecuație este echivalentă cu un sistem de două ecuații liniare.

Răspuns: (-1; 1).

Dacă acordați atenție tipului de descompunere (3), atunci puteți vedea că este identică ca formă cu selecția unui pătrat complet dintr-o ecuație pătratică cu o variabilă: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Să aplicăm acest truc pentru a rezolva o ecuație cu două variabile. Să rezolvăm cu ajutorul selecției unui pătrat întreg ecuația pătratică cu două variabile deja rezolvate folosind teorema.

METODA #2: Rezolvați ecuația 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Rezolvare: 1. Reprezentăm 2x2 ca suma a doi termeni x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Grupăm termenii în așa fel încât să putem prăbuși conform formulei pătratului complet.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Selectați pătratele întregi din expresiile dintre paranteze.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Această ecuație este echivalentă cu un sistem de ecuații liniare.

Răspuns: (-1;1).

Dacă comparăm rezultatele, putem observa că ecuația rezolvată prin metoda nr. 1 folosind teorema și metoda coeficienților nedeterminați și ecuația rezolvată prin metoda nr. 2 folosind selecția unui pătrat complet au aceleași rădăcini.

Concluzie: O ecuație pătratică cu două variabile poate fi extinsă într-o sumă de pătrate în două moduri:

➢ Prima metodă este metoda coeficienților nedeterminați, care se bazează pe teorema și expansiunea (2).

➢ A doua cale este cu ajutorul transformărilor identice, care fac posibilă selectarea pătratelor complete consecutiv.

Desigur, la rezolvarea problemelor, a doua metodă este de preferat, deoarece nu necesită memorarea expansiunii (2) și condițiilor.

Această metodă poate fi aplicată și ecuațiilor pătratice cu trei variabile. Selectarea pătratului complet în astfel de ecuații este mai laborioasă. Voi face acest gen de transformare anul viitor.

Este interesant de observat că o funcție având forma f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f se numește funcție pătratică a două variabile. Funcțiile cuadratice joacă un rol important în diferite ramuri ale matematicii:

În programarea matematică (programare pătratică)

În algebră liniară și geometrie (forme pătratice)

În teoria ecuațiilor diferențiale (reducerea unei ecuații liniare de ordinul doi la o formă canonică).

La rezolvarea acestor diverse probleme, trebuie, de fapt, să se aplice procedura de extragere a pătratului complet dintr-o ecuație pătratică (una, două sau mai multe variabile).

Liniile ale căror ecuații sunt descrise printr-o ecuație pătratică a două variabile se numesc curbe de ordinul doi.

Acest cerc, elipsă, hiperbolă.

La trasarea acestor curbe se folosește și metoda selecției succesive a pătratului complet.

Să luăm în considerare modul în care metoda de selecție succesivă a unui pătrat complet funcționează pe exemple specifice.

Partea practică.

Rezolvați ecuații folosind metoda selecției succesive a pătratului complet.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Răspuns: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Răspuns: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Răspuns: (-1; 1).

Rezolvarea ecuațiilor:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(aduceți la forma: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Răspuns: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(aduceți la forma: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Răspuns: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(aduceți la forma: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Răspuns: (7; -7)

Concluzie.

În această lucrare științifică au fost studiate ecuații cu două variabile de gradul II, au fost luate în considerare metode de rezolvare a acestora. Sarcina este finalizată, se formulează și se descrie o metodă de soluție mai scurtă, bazată pe selectarea unui pătrat complet și înlocuirea ecuației cu un sistem echivalent de ecuații, ca urmare, procedura de găsire a rădăcinilor unei ecuații cu două variabile este simplificată.

Un punct important al lucrării este că tehnica luată în considerare este utilizată în rezolvarea diferitelor probleme matematice asociate cu o funcție pătratică, construirea de curbe de ordinul doi și găsirea celei mai mari (cea mai mică) valoare a expresiilor.

Astfel, tehnica extinderii unei ecuații de ordinul doi cu două variabile într-o sumă de pătrate are cele mai numeroase aplicații în matematică.

Ecuații nedefinite în numere naturale.

Instituția de învățământ de stat „Liceul raional Rechitsa”

Pregătite de: .

Supraveghetor: .

Introducere

1.Rezolvarea ecuațiilor prin metoda factoring…………4

2. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile (metoda discriminantă)………………………………………………………………………………….11

3. Metoda reziduurilor .................................................. .............................................13

4. Metoda „coborârii infinite” ................................................ .... ..............cincisprezece

5.Metoda de eșantionare……………………………………………………………...16

Concluzie................................................. ........................................optsprezece

Introducere

Sunt Slava, studiez la Liceul Raional Rechitsa, elev in clasa a X-a.

Totul începe cu o idee! Mi s-a cerut să rezolv o ecuație cu trei necunoscute 29x + 30y + 31 z =366. Acum consider această ecuație ca pe o sarcină - o glumă, dar pentru prima dată mi-am rupt capul. Pentru mine, această ecuație a devenit cam nedefinită, cum să o rezolv, în ce fel.

Sub ecuații nedefinite trebuie să înțelegem că acestea sunt ecuații care conțin mai multe necunoscute. De obicei, oamenii care rezolvă aceste ecuații caută soluții în numere întregi.

Rezolvarea ecuațiilor nedefinite este o activitate foarte incitantă și informativă care contribuie la formarea ingeniozității, observației, atenției elevilor, precum și la dezvoltarea memoriei și orientării, a capacității de a gândi logic, de a analiza, de a compara și de a generaliza. Nu am găsit încă o tehnică generală, dar acum vă voi povesti despre câteva metode de rezolvare a unor astfel de ecuații în numere naturale.

Acest subiect nu este acoperit pe deplin în manualele de matematică existente, iar problemele sunt oferite la olimpiade și la testarea centralizată. Acest lucru m-a interesat și m-a fascinat atât de mult încât la rezolvarea diverselor ecuații și probleme, am adunat o întreagă colecție de soluții proprii, pe care le-am împărțit cu profesorul după metodele și metodele de rezolvare. Deci, care este scopul meu de muncă?

Ale mele poartă analiza solutii de ecuatii cu mai multe variabile pe multimea numerelor naturale.

Pentru început, vom lua în considerare problemele practice, apoi vom trece la rezolvarea ecuațiilor.

Care este lungimea laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este numeric egal cu aria sa?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N și y€ N

P=S

2x+2y=xy dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>+dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%; familia fontului:" times new roman poziție:relative>font-size: 14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Răspuns: (4:4); (3:6); (6:3).

Găsiți modalități de a plăti 47 de ruble, dacă pentru aceasta pot fi folosite doar facturi de trei și cinci ruble.

Soluţie

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€ Z

Valorile naturale ale lui x și y corespund cu K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Sarcină de glumă

Demonstrați că există o soluție pentru ecuația 29x+30y+31 z=336 în numere naturale.

Dovada

Un an bisect are 366 de zile și o lună are 29 de zile, patru luni au 30 de zile,

7 luni - 31 de zile.

Soluția este trei (1:4:7). Aceasta înseamnă că există o soluție a ecuației în numere naturale.

1. Rezolvarea ecuațiilor prin factorizare

1) Rezolvați ecuația x2-y2=91 în numere naturale

Soluţie

(x-y)(x+y)=91

Soluția 8 sisteme

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

X y dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Răspuns: ( 46:45):(10:3).

2) Rezolvați ecuația x3 + 91 \u003d y3 în numere naturale

Soluţie

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Soluția 8 sisteme

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nu are soluții în numere întregi

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Cele 4 sisteme rămase nu au soluții în numere întregi. Condiția este îndeplinită de o soluție.

Răspuns: (5:6).

3) Rezolvați ecuația xy=x+y în numere naturale

Soluţie

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Soluția 2 sisteme

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

x-1= -1

(0:0)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

Răspuns: (2:2).

4) Rezolvați ecuația 2x2+5xy-12y2=28 în numere naturale

Soluţie

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - numere naturale; (x+4y)€ N

(x+4y)≥5

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

fără soluții în numere naturale

Răspuns: (8:5).

5) rezolva ecuatia 2xy=x2+2y în numere naturale

Soluţie

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

fără soluții în numere naturale

Răspuns: (2:2).

6) rezolva ecuatia Xlaz-3 X y-2 xz+ yz+6 X-3 y-2 z= -4 în numere naturale

Soluţie

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Soluția 6 sisteme

z -3= 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x +1 = 2

y-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

x +1= -1

y -2= -1

(-2:1:5)

Răspuns: (1:3:4).

Luați în considerare o ecuație mai complexă pentru mine.

7) Rezolvați ecuația x2-4xy-5y2=1996 în numere naturale

Soluţie

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N , y € N ; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

fara solutii

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

fara solutii

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

fara solutii

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

fara solutii

Răspuns: x=832, y=166.

Să conchidem:la rezolvarea ecuațiilor prin factorizare, se folosesc formule de înmulțire abreviate, metoda de grupare, metoda de selecție a pătratului complet .

2. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabile (metoda discriminantă)

1) Rezolvați ecuația 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 în numere naturale

Soluţie

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1,2= dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>

D=0, dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:"times new roman>=0

y=-1, x=1

Răspuns: nu exista solutii.

2) Rezolvați ecuația 3(x2+xy+y2)=x+8y în numere naturale

Soluţie

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>≤y≤dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fontului:" times new roman>y€ N , y=1, 2, 3. Trecând prin aceste valori, avem (1:1).

Răspuns: (1:1).

3) Rezolvați ecuația x4-y4-20x2+28y2=107 în numere naturale

Soluţie

Introducem o înlocuire: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1.2=-10± +96 dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%; familia fontului:" times new roman culoare: negru>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>= 10±dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Ecuația arată astfel:

(a-a+4)(a+a-24)=1

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

nu există soluții în numere naturale;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 nu există soluții în numere naturale și întregiRăspuns: (4:3),(2:3).

3. Metoda reziduală

La rezolvarea ecuațiilor prin metoda reziduală, se folosesc foarte des următoarele sarcini:

A) Ce resturi pot da atunci când se împarte la 3 și 4?

Este foarte simplu, când sunt împărțite la 3 sau 4, pătratele exacte pot da două resturi posibile: 0 sau 1.

B) Ce resturi pot da cuburi exacte când sunt împărțite la 7 și 9?

Când sunt împărțite la 7, pot da resturi: 0, 1, 6; și la împărțirea la 9: 0, 1, 8.

1) Rezolvați ecuația x2+y2=4 z-1 în numere naturale

Soluţie

x2+y2+1=4z

Luați în considerare ce resturile pot da atunci când sunt împărțite la 4, părțile din stânga și din dreapta acestei ecuații. Când sunt împărțite la 4, pătratele exacte pot da doar două resturi diferite 0 și 1. Atunci x2 + y2 + 1 când este împărțit la 4 dau resturile 1, 2, 3 și 4 z împărțit fără rest.

Prin urmare, această ecuație nu are soluții.

2) Rezolvați ecuația 1!+2!+3!+ …+x!= y2 în numere naturale

Soluţie

A) X=1, 1!=1, apoi y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, adică y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, adică y=±dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (nici unul), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, imaginați-vă 10 n, n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

Un număr care se termină cu 3 înseamnă că nu poate fi pătratul unui număr întreg. Prin urmare, x≥5 nu are soluții în numere naturale.

Răspuns:(3:3) și (1:1).

3) Demonstrați că nu există soluții în numerele naturale

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Dovada

Să presupunem că sistemul este rezolvabil z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - numar impar

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2 este un număr par, y = 2 n, n € N

x2=8n3 +7, adică x2 este un număr impar și X impar, x = 2 r +1, n € N

Substitui X și la în prima ecuație,

2(r2 + r -2n3)=3

Nu este posibil, deoarece partea stângă a ecuației este divizibilă cu doi, iar cea dreaptă nu este divizibilă, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră nu este adevărată, adică sistemul nu are soluții în numere naturale.

4. Metoda de coborâre infinită

Rezolvăm după următoarea schemă:

Să presupunem că ecuația are o soluție, construim un anumit proces infinit, în timp ce, după însuși sensul problemei, acest proces ar trebui să se încheie într-un pas egal.

1)Demonstrați că ecuația 8x4+4y4+2 z4 = t4 nu are soluții în numere naturale

Dovada

Să presupunem că ecuația are o soluție în numere întregi, atunci rezultă că

t4 este un număr par, atunci t este de asemenea par

t=2t1, t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 este par, atunci z =2 z 1 , z 1 € Z

Substitui

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x este par, adică x=2x, x1€ Z, atunci

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Asa de X y, z , t – numere pare, apoi x1, y1, z1,t1 - chiar. Atunci x, y, z, t și x1, y1, z 1, t 1 sunt divizibile cu 2, adică, dimensiunea fontului: 14.0pt; înălțimea liniei: 150%; familia fontului:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:"times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman> șidimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:"times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:"times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:"times new roman>,dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familia fontului:"times new roman>.

Deci, s-a dovedit că numărul satisface ecuația; sunt multipli ai lui 2 și indiferent de câte ori îi împărțim la 2, vom obține întotdeauna numere care sunt multipli ai lui 2. Singurul număr care îndeplinește această condiție este zero. Dar zero nu aparține mulțimii numerelor naturale.

5. Metoda de eșantionare

1) Găsiți soluții pentru ecuație dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>+dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fonturilor:" times new roman>Soluție

dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei: 150%;familie fonturilor:" times new roman>=dimensiunea fontului:14.0pt;înălțimea liniei:150%;familia fontului:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Soluția 6 sisteme

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

xp= -1

y=p-1, x=p-1

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= p2

x-p = p2

y=p2+p, x= p2+p

dimensiunea fontului: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= - p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Răspuns:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Concluzie

De obicei, soluțiile ecuațiilor nedefinite sunt căutate în numere întregi. Ecuațiile în care se caută numai soluții întregi se numesc diofantine.

Am analizat soluțiile ecuațiilor cu mai multe necunoscute, pe mulțimea numerelor naturale. Astfel de ecuații sunt atât de diverse încât nu există aproape nicio modalitate, un algoritm pentru rezolvarea lor. Rezolvarea unor astfel de ecuații necesită ingeniozitate și contribuie la dobândirea deprinderilor de muncă independentă în matematică.

Am rezolvat exemplele cu cele mai simple metode. Cea mai simplă tehnică de rezolvare a unor astfel de ecuații este de a exprima o variabilă în termeni de restul și obținem o expresie pe care o vom investiga pentru a găsi aceste variabile pentru care este naturală (întreg).

În același timp, conceptele și fapte legate de divizibilitate, cum ar fi numere prime și compuse, semne de divizibilitate, numere prime relativ etc.

Mai ales des folosit:

1) Dacă un produs este divizibil cu un număr prim p, atunci cel puțin unul dintre factorii săi este divizibil cu p.

2) Dacă produsul este divizibil cu un anumit număr Cu iar unul dintre factori este coprim cu numărul Cu, atunci al doilea factor este divizibil cu Cu.