Formule de bază ale planimetriei. Cum să găsiți zona formelor geometrice

Zonele figurilor geometrice sunt valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață în afara sistemului este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața măsurată este o bucată de pământ. Unitatea de unitate de suprafață a sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI, se obișnuiește să se considere că unitatea de suprafață a unei suprafețe plane este un metru pătrat. În CGS, unitatea de suprafață este exprimată în centimetri pătrați.

Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul suprafețelor cifrelor plate se bazează tocmai pe aplicarea acestora. Pentru multe cifre, sunt derivate mai multe opțiuni, în funcție de care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cel mai simplu mod de a o rezolva. Acest lucru facilitează calculul și reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare zona principală a figurilor din geometrie.

Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe moduri:

1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:

2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează exact în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă, totuși, piciorul este luat ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.

Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,b și funcția sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. Poate fi găsit și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:

În conformitate cu această egalitate, puteți, de asemenea, să vă asigurați că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile picioarelor. pentru că unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.

3) Luați în considerare un caz special - un triunghi regulat, în care latura a este cunoscută după condiție sau lungimea sa poate fi găsită la rezolvare. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:

Dreptunghi

Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:

Dacă doriți să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci aveți nevoie de funcția sinusoială a unghiului format atunci când se intersectează. Formula pentru aria unui dreptunghi este:

Pătrat

Aria unui pătrat este definită ca a doua putere a lungimii laturii:

Dovada rezultă din definiția că un dreptunghi se numește pătrat. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calculul ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.

Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați o diagonală:

Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:

Paralelogram

Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimii și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Este necesară o anumită valoare, care va fi luată de funcția trigonometrică a unghiului format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.

Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:

Romb

Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind operații matematice simple cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale de la d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Tabelul sinusurilor arată că pentru un unghi drept, această funcție este egală cu unu. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:

Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. De asemenea, nu este greu să dovedești acest lucru, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ este unghiul interior al rombului. Aria unui romb se determină după cum urmează:

Trapez

Cum să găsiți aria unui trapez prin baze (a și b), dacă lungimile lor sunt indicate în problemă? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. pentru că această valoare conține expresia pentru calcul:

Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. În același timp, se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular, conceptele de înălțime și latură sunt combinate. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii în loc de înălțime.

Cilindru și paralelipiped

Luați în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri, numite baze, și o suprafață laterală. Cercurile care formează cercuri au raza de lungime egală cu r. Pentru aria unui cilindru, are loc următorul calcul:

Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale sunt în concordanță cu o anumită pereche. Fețele care sunt opuse au aceiași parametri. Mai întâi găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Apoi aria suprafeței paralelipipedului:

Inel

Două cercuri cu un centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul, care calculează aria inelului, conține raze R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată folosind diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului conform razelor cunoscute se calculează după cum urmează:

Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:

Poligon

Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este corectă? Nu există o formulă generală pentru aria unor astfel de cifre. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, poate fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Pick. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul poliliniei cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează în acest fel:

unde C, D - numărul de puncte situate în interiorul și, respectiv, pe întreaga polilinie.

Toate formulele pentru aria figurilor plane

Aria unui trapez isoscel

1. Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește laturile și unghiul

a - baza inferioară

b - baza de sus

c - laturi egale

α - unghi la baza inferioară

Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește laturile, (S):

Formula pentru aria unui trapez isoscel în termeni de laturi și unghi, (S):

2. Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește raza cercului înscris

R- raza cercului înscris

D- diametrul cercului înscris

O - centrul cercului înscris

H- înălțimea trapezului

α, β - unghiuri trapezoidale

Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește raza cercului înscris, (S):

FAIR, pentru un cerc înscris într-un trapez isoscel:

3. Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește diagonalele și unghiul dintre ele

d-diagonala unui trapez

α,β- unghiurile dintre diagonale

Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește diagonalele și unghiul dintre ele, (S):

4. Formula pentru aria unui trapez isoscel prin linia mediană, partea laterală și unghiul de la bază

partea c-

m- linia mijlocie a trapezului

α, β - unghiuri la bază

Formula pentru aria unui trapez isoscel în ceea ce privește linia mediană, latura laterală și unghiul de la bază,

(S):

5. Formula pentru aria unui trapez isoscel în termeni de baze și înălțime

a - baza de jos

b - baza de sus

h - înălțimea trapezului

Formula pentru aria unui trapez isoscel în termeni de baze și înălțime, (S):

Aria unui triunghi având o latură și două unghiuri, formulă.

a, b, c - laturile triunghiului

α, β, γ - unghiuri opuse

Aria unui triunghi printr-o latură și două unghiuri (S):

Formula pentru aria unui poligon regulat

a - latura poligonului

n - numărul de laturi

Aria unui poligon regulat, (S):

Formula (heroniană) pentru aria unui triunghi în termeni de semiperimetrul (S):

Aria unui triunghi echilateral este:

Formule pentru calcularea ariei unui triunghi echilateral.

a - latura triunghiului

h - înălțime

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel?

b - baza triunghiului

a - laturi egale

h - înălțime

3. Formula pentru aria unui trapez în termeni de patru laturi

a - baza de jos

b - baza de sus

c, d - laturile

Raza cercului circumscris trapezului pe laturi și diagonale

a - laturile trapezului

c - baza de jos

b - baza de sus

d - diagonala

h - înălțime

Formula pentru raza cercului circumscris unui trapez, (R)

găsiți raza cercului circumscris unui triunghi isoscel de-a lungul laturilor

Cunoscând laturile unui triunghi isoscel, puteți folosi formula pentru a găsi raza cercului circumscris în jurul acestui triunghi.

a, b - laturile triunghiului

Raza cercului circumscris unui triunghi isoscel (R):

Raza unui cerc înscris într-un hexagon

a - partea hexagonului

Raza unui cerc înscris într-un hexagon, (r):

Raza unui cerc înscris într-un romb

r - raza cercului înscris

a - latura rombului

D, d - diagonale

h - înălțimea diamantului

Raza unui cerc înscris într-un trapez isoscel

c - baza inferioară

b - baza de sus

a - laturi

h - înălțime

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic

a, b - catetele unui triunghi

c - ipotenuza

Raza unui cerc înscris într-un triunghi isoscel

a, b - laturile triunghiului

Demonstrați că aria patrulaterului înscris este

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

unde p este semiperimetrul și a, b, c și d sunt laturile patrulaterului.

Demonstrați că aria unui patrulater înscris într-un cerc este

1/2 (ab + cb) sin α, unde a, b, c și d sunt laturile patrulaterului și α este unghiul dintre laturile a și b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Citiți mai multe pe FB.ru:

Aria unui patrulater arbitrar (Fig. 1.13) poate fi exprimată în termenii laturilor sale a, b, c și a sumei unei perechi de unghiuri opuse:

unde p este semiperimetrul patrulaterului.

Aria unui patrulater înscris într-un cerc () (Fig. 1.14, a) se calculează folosind formula Brahmagupta

și descris (Fig. 1.14, b) () - conform formulei

Dacă patrulaterul este înscris și descris în același timp (Fig. 1.14, c), atunci formula devine destul de simplă:

Formula de vârf

Pentru a estima aria unui poligon pe hârtie în carouri, este suficient să calculați câte celule acoperă acest poligon (luăm aria celulei ca unitate). Mai precis, dacă S este aria poligonului, este numărul de celule care se află în întregime în interiorul poligonului și este numărul de celule care au cel puțin un punct comun cu interiorul poligonului.

Vom lua în considerare mai jos doar astfel de poligoane, ale căror vârfuri se află la nodurile hârtiei în carouri - în acelea în care liniile grilei se intersectează. Se pare că pentru astfel de poligoane, puteți specifica următoarea formulă:

unde este aria, r este numărul de noduri care se află strict în interiorul poligonului.

Această formulă este numită „formula de vârf” după matematicianul care a descoperit-o în 1899.

Ce este o zonă?

Zona - o caracteristică a unei figuri geometrice închise (cerc, pătrat, triunghi etc.), care arată dimensiunea acesteia. Aria se măsoară în centimetri pătrați, metri etc. Notat prin literă S(pătrat).

Cum să găsiți aria unui triunghi?

S= A h

Unde A- lungimea bazei h este înălțimea triunghiului trasat la bază.

În plus, baza nu trebuie să fie în partea de jos. O să fie și asta.

Dacă triunghi obtuz, atunci înălțimea scade până la continuarea bazei:

Dacă triunghi dreptunghiular, atunci baza și înălțimea sunt picioarele sale:

2. O altă formulă, care nu este mai puțin utilă, dar care din anumite motive este mereu uitată:

S= a b sinα

Unde Ași b două laturi ale unui triunghi sinα este sinusul unghiului dintre aceste laturi.

Condiția principală este ca unghiul să fie luat între două laturi cunoscute.

3. Formula pentru zona pe trei laturi (formula lui Heron):

S=

Unde A, bși Cu sunt laturile triunghiului și R - semiperimetrul. p = (a+b+c)/2.

4. Formula pentru aria unui triunghi în funcție de raza cercului circumscris:

S=

Unde A, bși Cu sunt laturile triunghiului și R- raza cercului circumscris.

5. Formula pentru aria unui triunghi în funcție de raza cercului înscris:

S= relatii cu publicul

Unde R - semiperimetrul unui triunghi și r- raza cercului înscris.

Cum să găsiți aria unui dreptunghi?

1. Aria unui dreptunghi este destul de simplă:

S=A b

Fara trucuri.

Cum să găsiți aria unui pătrat?

1. Deoarece un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale, i se aplică aceeași formulă:

S=A a = a2

2. De asemenea, aria unui pătrat poate fi găsită prin diagonala acestuia:

S= d 2

Cum să găsiți aria unui paralelogram?

1. Aria unui paralelogram se găsește prin formula:

S=A h

Acest lucru se datorează faptului că, dacă tăiați un triunghi dreptunghic din el în dreapta și îl atașați la stânga, obțineți un dreptunghi:

2. De asemenea, aria unui paralelogram poate fi găsită prin unghiul dintre cele două laturi:

S=A b sinα

Cum să găsiți aria unui romb?

Un romb este în esență un paralelogram în care toate laturile sunt egale. Prin urmare, aceleași formule de zonă i se aplică.

1. Zona rombului din punct de vedere al înălțimii:

S=A h

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și trucuri simple, despre care vom vorbi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie în partea a doua a examenului de profil la matematică, se folosesc și alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm cu toții și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater printr-o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale cu și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Răspuns: .

2. În unele cazuri, aria figurii poate fi reprezentată ca diferența oricăror zone.

Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea din acest triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Le vezi in poza? Primim: .

Răspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, este necesar să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a părții sale. De obicei, vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc.Găsiți aria unui sector al unui cerc de rază , a cărui lungime a arcului este egală cu .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu , deoarece . Rămâne să aflăm ce parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este (deoarece), iar lungimea arcului acestui sector este egală, prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul pe care se sprijină acest arc este, de asemenea, de ori mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.