Este dată o matrice de coeficienți de corelație perechi. Construirea unei matrice de coeficienți de corelație de perechi
|
Z 1 (t) |
Z 2 (t) |
t |
YT) |
|
|
Z 1 (t) | ||||
|
Z 2 (t) | ||||
|
t | ||||
|
YT) |
Sarcina principală la alegerea factorilor incluși în modelul de corelație este includerea în analiză a tuturor factorilor principali care afectează nivelul fenomenului studiat. Cu toate acestea, nu este recomandabil să se introducă un număr mare de factori în model; este mai corect să se selecteze doar un număr relativ mic de factori principali care probabil sunt în corelație cu indicatorul funcțional selectat.
Acest lucru se poate face folosind așa-numita selecție în două etape. În conformitate cu acesta, toți factorii preselectați sunt incluși în model. Apoi, printre aceștia, pe baza unei evaluări cantitative speciale și a unei analize calitative suplimentare, se identifică factori care influențează nesemnificativ, care se înlătură treptat până când rămân aceia în privința cărora se poate susține că materialul statistic disponibil este în concordanță cu ipoteza lor. efect comun semnificativ asupra variabilei dependente cu forma de conexiune aleasă.
Selecția în două etape a primit cea mai completă expresie în metoda așa-numitei analize de regresie în mai multe etape, în care eliminarea factorilor nesemnificativi are loc pe baza indicatorilor lor de semnificație, în special pe baza valorii t f - valoarea calculată a criteriului Studentului.
Calculați t f în funcție de coeficienții de corelație de pereche găsiți și comparați-i cu t critic pentru un nivel de semnificație de 5% (două fețe) și 18 grade de libertate (ν = n-2).
unde r este valoarea coeficientului de corelație de pereche;
n – numărul de observații (n=20)
Când se compară t f pentru fiecare coeficient cu t kr = 2,101 obţinem că coeficienţii găsiţi sunt recunoscuţi ca semnificativi, întrucât t f > t cr.
t f pentru r yx 1 = 2, 5599 ;
t f pentru r yx 2 = 7,064206 ;
t f pentru r yx 3 = 2,40218 ;
t f pentru r x1 x 2 = 4,338906 ;
t f pentru r x1 x 3 = 15,35065;
t f pentru r x2 x 3 = 4,749981
La selectarea factorilor incluși în analiză, aceștia sunt supuși unor cerințe specifice. În primul rând, indicatorii care exprimă acești factori trebuie să fie cuantificabili.
Factorii incluși în model nu ar trebui să fie într-o relație funcțională sau strânsă între ei. Prezența unor astfel de legături este caracterizată de multicoliniaritate.
Multicolinearitatea indică faptul că unii factori caracterizează aceeași latură a fenomenului studiat. Prin urmare, includerea lor simultană în model este nepractică, deoarece se dublează într-o anumită măsură. Dacă nu există ipoteze speciale care vorbesc în favoarea unuia dintre acești factori, ar trebui să se acorde preferință unuia dintre ei, care se caracterizează printr-un coeficient mare de corelație de pereche (sau parțială).
Se crede că valoarea limită este valoarea coeficientului de corelație dintre cei doi factori, egală cu 0,8.
Multicolinearitatea duce de obicei la degenerarea matricei de variabile și, în consecință, la faptul că determinantul principal își scade valoarea și, în limită, devine aproape de zero. Estimările coeficienților ecuației de regresie devin foarte dependente de acuratețea găsirii datelor inițiale și își modifică în mod dramatic valorile atunci când se modifică numărul de observații.
Matricea coeficienților de corelație perechi
| Y | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | |
| Y | ||||||
| X1 | 0,732705 | |||||
| X2 | 0,785156 | 0,706287 | ||||
| X3 | 0,179211 | -0,29849 | 0,208514 | |||
| X4 | 0,667343 | 0,924333 | 0,70069 | 0,299583 | ||
| X5 | 0,709204 | 0,940488 | 0,691809 | 0,326602 | 0,992945 |
Nodurile matricei conțin coeficienți de corelație perechi care caracterizează apropierea relației dintre caracteristicile factorilor. Analizând acești coeficienți, observăm că cu cât valoarea lor absolută este mai mare, cu atât este mai mare impactul semnului factorului corespunzător asupra celui rezultat. Analiza matricei rezultate se realizează în două etape:
1. Dacă prima coloană a matricei conține coeficienți de corelație pentru care /r /< 0,5, то соответствующие признаки из модели исключаются. В данном случае в первом столбце матрицы коэффициентов корреляции исключается фактор или коэффициент роста уровня инфляции. Данный фактор оказывает меньшее влияние на результативный признак, нежели оставшиеся четыре признака.
2. Analizând coeficienții de corelație de pereche ai caracteristicilor factorilor între ele, (r XiXj), care caracterizează strângerea relației lor, este necesar să se evalueze independența acestora unul față de celălalt, deoarece aceasta este o condiție necesară pentru analiza de regresie ulterioară. Având în vedere faptul că nu există semne absolut independente în economie, este necesar să le evidențiem, dacă este posibil, pe cele mai independente. Semnele factoriale care sunt în strânsă corelație între ele se numesc multicoliniare. Includerea caracteristicilor multicoliniare în model face imposibilă interpretarea economică a modelului de regresie, deoarece o modificare a unui factor implică o modificare a factorilor asociați cu acesta, ceea ce poate duce la o „defalcare” a modelului în ansamblu.
Criteriul pentru multicolenialitatea factorilor este următorul:
/r XiXj / > 0,8
În matricea rezultată a coeficienților de corelație perechi, acest criteriu este îndeplinit de doi indicatori aflați la intersecția rândurilor 
și . Din fiecare pereche de aceste caracteristici, una ar trebui lăsată în model, ar trebui să aibă un impact mai mare asupra caracteristicii rezultate. Ca urmare, factorii și sunt excluși din model; ritmul de creștere a costului vânzărilor și ritmul de creștere a volumului implementării acestuia.
Deci, introducem factorii X1 și X2 în modelul de regresie.
În continuare, se efectuează analiza de regresie (serviciu, analiză de date, regresie). Compilează din nou un tabel de date inițiale cu factorii X1 și X2. Regresia în ansamblu este utilizată pentru a analiza impactul asupra unei variabile dependente separate al valorilor variabilelor (factorilor) independente și permite ca corelația dintre caracteristici să fie prezentată sub forma unei dependențe funcționale numite ecuație de regresie sau o corelație. model de regresie.
Ca rezultat al analizei de regresie, obținem rezultatele calculării regresiei multivariate. Să analizăm rezultatele obținute.
Toți coeficienții de regresie sunt semnificativi conform testului t al lui Student. Coeficientul de corelație multiplă R a fost de 0,925, pătratul acestei valori (coeficient de determinare) înseamnă că variația trăsăturii rezultate este în medie de 85,5% datorită variației trăsăturilor factorilor incluse în model. Coeficientul de determinism caracterizează strânsoarea relației dintre setul de caracteristici factoriale și indicatorul de performanță. Cu cât valoarea R pătratului este mai aproape de 1, cu atât relația este mai puternică. În cazul nostru, un indicator egal cu 0,855 indică selecția corectă a factorilor și prezența unei relații între factori și indicatorul de performanță.
Modelul considerat este adecvat, deoarece valoarea calculată a criteriului F al lui Fisher depășește semnificativ valoarea sa tabelară (F obl = 52,401; F tabl = 1,53).
Ca rezultat general al analizei de corelație-regresie efectuată, există o ecuație de regresie multiplă, care are forma:
Ecuația de regresie rezultată îndeplinește scopul analizei de corelare și regresie și este un model liniar al dependenței profitului bilanțului companiei de doi factori: rata de creștere a productivității muncii și coeficientul proprietății industriale.
Pe baza modelului obtinut putem concluziona ca odata cu o crestere a nivelului productivitatii muncii cu 1% fata de perioada precedenta, profitul bilantului va creste cu 0,95 puncte procentuale; o creştere a coeficientului proprietăţii industriale cu 1% va duce la o creştere a indicatorului efectiv cu 27,9 puncte procentuale. În consecință, influența dominantă asupra creșterii profitului bilanțului este creșterea valorii proprietății industriale (renovarea și creșterea activelor fixe ale întreprinderii).
Conform modelului de regresie multiplă, se realizează o prognoză multifactorială a caracteristicii efective. Să se știe că X1 = 3,0 și X3 = 0,7. Să substituim valorile semnelor factorilor în model, obținem Cm = 0,95 * 3,0 + 27,9 * 0,7 - 19,4 = 2,98. Astfel, odata cu cresterea productivitatii muncii si modernizarea mijloacelor fixe la intreprindere, profitul bilantului in trimestrul I 2005 fata de perioada precedenta (trimestrul IV 2004) va creste cu 2,98%.
Datele economice sunt caracteristici cantitative ale oricăror obiecte sau procese economice. Ele se formează sub influența multor factori, nu toți fiind disponibili controlului extern. Factorii necontrolați pot prelua valori aleatorii dintr-un set de valori și, prin urmare, pot cauza aleatoritatea datelor pe care le determină. Una dintre sarcinile principale în cercetarea economică este analiza dependenţelor dintre variabile.
Având în vedere dependențele dintre caracteristici, este necesar să se distingă în primul rând două tipuri de relații:
- functional - sunt caracterizate prin corespondență deplină între modificarea atributului factorului și modificarea valorii rezultate: fiecare valoare a factorului-atribut corespunde unor valori bine definite ale atributului efectiv. Acest tip de relație este exprimat ca o relație formulă. O dependență funcțională poate lega o trăsătură rezultată de una sau mai multe trăsături factori. Astfel, valoarea salariilor pentru salariile pe timp depinde de numărul de ore lucrate;
- corelație- nu există o corespondență completă între schimbarea a două semne, influența factorilor individuali se manifestă doar în medie, cu observarea în masă a datelor reale. Impactul simultan asupra trăsăturii studiate a unui număr mare de diverși factori duce la faptul că aceeași valoare a factorului-atribut corespunde întregii distribuții a valorilor atributului rezultat, deoarece în fiecare caz specific, alte semne factori pot schimba puterea și direcția impactului lor.
Trebuie avut în vedere că, dacă există o relație funcțională între semne, este posibil, cunoscând valoarea semnului factor, să se determine cu exactitate valoarea rezultatului. Numai în prezența unei dependențe de corelare tendința de schimbare a caracteristicii efective la modificarea valorii semnului factorului.
Studiind relația dintre semne, acestea sunt clasificate în funcție de direcția, forma, numărul de factori:
- către conexiunile sunt împărțite în Dreptși verso. Cu o conexiune directă, direcția schimbării în atributul efectiv coincide cu direcția schimbării în factorul semn. Cu feedback, direcția schimbării în caracteristica efectivă este opusă direcției schimbării în factorul caracteristică. De exemplu, cu cât este mai mare calificarea unui muncitor, cu atât este mai mare nivelul de productivitate al muncii sale (relație directă). Cu cât productivitatea muncii este mai mare, cu atât costul unitar de producție (feedback) este mai mic;
- informa(tip de funcție) conexiunile sunt împărțite în liniar(rectilinii) și neliniară(curbiliniu). O relație liniară este afișată ca o linie dreaptă, o relație neliniară - ca o curbă (parabolă, hiperbolă etc.). Cu o relație liniară cu o creștere a valorii atributului factorului, are loc o creștere (scădere) uniformă a valorii atributului rezultat;
- prin numărul de factori care acționează asupra semnului efectiv, comunicaţiile sunt împărţite în cu un singur factor(pereche) și multifactorială.
Studiul dependenței variației unui semn de condițiile înconjurătoare este conținutul teoriei corelației.
Atunci când se efectuează o analiză de corelație, întregul set de date este considerat ca un set de variabile (factori), fiecare dintre ele conține P observatii.
Când se studiază relația dintre doi factori, aceștia sunt de obicei notați X=(x p x 2,...,x p)și Y= (y ( , y 2 ,..., y și).
Covarianta - este statistic măsura interacțiunii două variabile. De exemplu, o valoare pozitivă pentru covarianța randamentelor a două titluri indică faptul că randamentele respectivelor titluri tind să se miște în aceeași direcție.
Covarianța între două variabile Xși Y calculat după cum urmează:
unde sunt valorile reale ale variabilelor
Xși G; 
Dacă variabile aleatorii Hee Y sunt independente, covarianța teoretică este zero.
Covarianța depinde de unitățile în care sunt măsurate variabilele Hee Y, este o cantitate nenormalizată. Prin urmare, la măsură forţelor de comunicareîntre două variabile se folosește o altă statistică, numită coeficient de corelație.
Pentru două variabile Xși Coeficientul de corelație al perechii Y
este definită după cum urmează:
Unde Ssy- estimări ale varianței Hee Y. Aceste estimări caracterizează gradul de dispersie valorile x ( , x 2 , ..., x n (y 1 , y 2 , y n)în jurul mediei dvs X y respectiv), sau variabilitate(variabilitatea) acestor variabile pe un set de observații.
Dispersia(estimarea varianței) este determinată de formula
În cazul general, pentru a obține o estimare imparțială a varianței, suma pătratelor trebuie împărțită la numărul de grade de libertate ale estimării (etc), Unde P - marime de mostra, R - numărul de legături impuse eşantionului. Deoarece eșantionul a fost deja folosit o dată pentru a determina media X, atunci numărul de legături suprapuse în acest caz este egal cu unul (p = 1), iar numărul de grade de libertate al estimării (adică numărul de elemente independente ale eșantionului) este egal cu (P - 1).
Este mai firesc să măsori gradul de răspândire a valorilor variabilelor în aceleași unități în care este măsurată variabila în sine. Această problemă este rezolvată de un indicator numit deviație standard (deviație standard) sau eroare standard variabil X(variabil Y)și determinată de raport 
Termenii din numărătorul formulei (3.2.1) exprimă interacțiunea a două variabile și determină semnul corelației (pozitiv sau negativ). Dacă, de exemplu, există o relație puternică pozitivă între variabile (creșterea unei variabile când crește cealaltă), fiecare termen va fi un număr pozitiv. În mod similar, dacă există o relație negativă puternică între variabile, toți termenii din numărător vor fi numere negative, rezultând o valoare de corelație negativă.
Numitorul expresiei pentru coeficientul de corelație de pereche [vezi. formula (3.2.2)] normalizează pur și simplu numărătorul în așa fel încât coeficientul de corelație se dovedește a fi un număr ușor de interpretat, care nu are dimensiune și ia valori de la -1 la +1.
Numărătorul expresiei pentru coeficientul de corelație, care este greu de interpretat din cauza unităților neobișnuite, este covarianța XY.În ciuda faptului că este folosit uneori ca o caracteristică independentă (de exemplu, în teoria finanțelor pentru a descrie modificarea comună a prețurilor acțiunilor pe două burse), este mai convenabil să se utilizeze coeficientul de corelație. Corelația și covarianța reprezintă în esență aceeași informație, dar corelația prezintă această informație într-o formă mai convenabilă.
Pentru o evaluare calitativă a coeficientului de corelație se folosesc diverse scale, cel mai adesea scala Chaddock. În funcție de valoarea coeficientului de corelație, relația poate avea una dintre următoarele estimări:
- 0,1-0,3 - slab;
- 0,3-0,5 - vizibil;
- 0,5-0,7 - moderată;
- 0,7-0,9 - mare;
- 0,9-1,0 - foarte mare.
Evaluarea gradului de apropiere a conexiunii folosind coeficientul de corelare se realizează, de regulă, pe baza unor informații mai mult sau mai puțin limitate despre fenomenul studiat. În acest sens, este necesar să se evalueze semnificația coeficientului de corelație liniară, care face posibilă extinderea concluziilor bazate pe rezultatele eșantionului la populația generală.
Evaluarea semnificației coeficientului de corelație pentru dimensiuni mici ale eșantionului se realizează folosind testul Student 7. În acest caz, valoarea reală (observată) a acestui criteriu este determinată de formulă
Valoarea / obs calculată folosind această formulă este comparată cu valoarea critică a criteriului θ, care este preluată din tabelul de valori al /-testului Student (vezi Anexa 2), ținând cont de nivelul de semnificație dat σ și numărul de grade de libertate (P - 2).
Dacă 7 obs > 7 tab, atunci valoarea obținută a coeficientului de corelație este recunoscută ca semnificativă (adică ipoteza nulă care afirmă că coeficientul de corelație este egal cu zero este respinsă). Și astfel se ajunge la concluzia că există o relație statistică strânsă între variabilele studiate.
Dacă valoarea y x aproape de zero, relația dintre variabile este slabă. Dacă corelația dintre variabile aleatoare:
- este pozitivă, apoi pe măsură ce o variabilă aleatoare crește, cealaltă tinde să crească în medie;
- este negativă, apoi pe măsură ce o variabilă aleatoare crește, cealaltă tinde să scadă în medie. Un instrument grafic convenabil pentru analiza datelor asociate este diagramă de dispersie, care reprezintă fiecare observație într-un spațiu de două dimensiuni corespunzătoare a doi factori. Un grafic de dispersie, care descrie un set de valori a două caracteristici, este de asemenea numit câmpul de corelare. Fiecare punct al acestei diagrame are x coordonate (. și y g Pe măsură ce puterea relației liniare crește, punctele de pe grafic se vor afla mai aproape de o linie dreaptă, iar magnitudinea G va fi mai aproape de unitate.
Coeficienții de corelație de pereche sunt utilizați pentru a măsura puterea relațiilor liniare dintre diferite perechi de caracteristici din setul lor. Pentru un set de caracteristici, obțineți matricea coeficienților de corelație de pereche.
Lăsați întregul set de date să fie format dintr-o variabilă Y==(la r y 2 , ..., y p)și t variabile (factori) X, fiecare dintre ele conţine P observatii. Valori variabile Yși X, cuprinse în populația observată sunt înregistrate în tabel (Tabelul 3.2.1).
Tabelul 3.2.1
|
Variabil Număr observatii |
|||||
|
X t3 |
|||||
|
Х tp |
Pe baza datelor din acest tabel, calculați matricea coeficienților de corelație de pereche R, este simetric față de diagonala principală:
Analiza matricei coeficienților de corelație de perechi este utilizată în construcția modelelor de regresie multiplă.
O matrice de corelație nu poate descrie pe deplin dependențele dintre cantități. În acest sens, în analiza corelației multivariate sunt luate în considerare două probleme:
- 1. Determinarea strângerii relației unei variabile aleatoare cu totalitatea altor variabile incluse în analiză.
- 2. Determinarea strângerii relației dintre două mărimi fixând sau excluzând influența altor mărimi.
Aceste probleme sunt rezolvate, respectiv, cu ajutorul coeficienților de corelație multipli și parțial.
Rezolvarea primei probleme (determinarea strângerii legăturii unei variabile aleatoare cu setul de alte variabile incluse în analiză) se realizează folosind eșantionează coeficientul de corelație multiplă conform formulei
Unde R- R[cm. formula (3.2.6)]; Rjj- complement algebric al unui element din aceeași matrice R.
Pătratul coeficientului de corelație multiplă SCHj2 j _j J+l m numit coeficient multiplu selectiv de determinare; arată ce proporție a variației (împrăștierea aleatorie) a cantității studiate Xj explică variația altor variabile aleatoare X ( , X 2 ,..., X t.
Coeficienții de corelare multiplă și de determinare sunt valori pozitive, luând valori în intervalul de la 0 la 1. Când coeficientul se apropie R 2 la unitate, putem concluziona că relația variabilelor aleatoare este apropiată, dar nu despre direcția acesteia. Coeficientul de corelație multiplă poate crește numai dacă variabilele suplimentare sunt incluse în model și nu va crește dacă oricare dintre caracteristicile disponibile sunt excluse.
Verificarea semnificației coeficientului de determinare se realizează prin compararea valorii calculate a criteriului /'-Fisher
cu tabelar F rabl. Valoarea tabelară a criteriului (vezi Anexa 1) este determinată de nivelul dat de semnificație a și gradele de libertate v l \u003d mnv 2 \u003d n-m-l. Coeficient R2 este semnificativ diferit de zero dacă inegalitatea 
Dacă variabilele aleatoare considerate se corelează între ele atunci valoarea coeficientului de corelație de pereche este parțial afectată de influența altor mărimi. În acest sens, este necesar să se studieze corelația parțială dintre variabile, excluzând influența altor variabile aleatoare (una sau mai multe).
Eșantion de coeficient de corelație parțială este determinat de formula
Unde RJk , Rjj, Rkk - adunări algebrice la elementele matricei corespunzătoare R[cm. formula (3.2.6)].
Coeficientul de corelație parțială, precum și coeficientul de corelație pe perechi, variază de la -1 la +1.
Expresia (3.2.9) sub condiția t = 3 va arăta ca
Se numește coeficientul r 12(3). coeficient de corelație între x (și x 2 pentru fix x y Este simetric în raport cu indicii primari 1, 2. Indicele său secundar 3 se referă la o variabilă fixă.
Exemplul 3.2.1. Calculul coeficienților de pereche,
corelație multiplă și parțială.
În tabel. 3.2.2 furnizează informații despre volumele vânzărilor și costurile de publicitate ale unei companii, precum și indicele cheltuielilor consumatorilor pentru un număr de ani în curs.
- 1. Construiți un scatterplot (câmp de corelare) pentru variabilele „volumul vânzărilor” și „indicele cheltuielilor consumatorului”.
- 2. Determinați gradul de influență a indicelui de cheltuieli ale consumatorilor asupra volumului vânzărilor (calculați coeficientul de corelație de pereche).
- 3. Evaluați semnificația coeficientului de corelație de pereche calculat.
- 4. Construiți o matrice de coeficienți de corelație de perechi pentru trei variabile.
- 5. Găsiți o estimare a coeficientului de corelație multiplă.
- 6. Găsiți estimări ale coeficienților de corelație parțială.
1. În exemplul nostru, diagrama de dispersie are forma prezentată în fig. 3.2.1. Alungirea norului de puncte în graficul de dispersie de-a lungul unei linii drepte înclinate ne permite să presupunem că există o tendință obiectivă pentru o relație liniară directă între valorile variabilelor X 2 Y(volumul vânzărilor).
Orez. 3.2.1.
2. Calcule intermediare la calculul coeficientului de corelație între variabile X 2(indicele cheltuielilor consumatorilor) și Y(volumul vânzărilor) sunt date în tabel. 3.2.3.
Medii variabile aleatoare X 2și Y, care sunt cei mai simpli indicatori care caracterizează secvențele jCj, x 2,..., x 16 și y v y 2 ,..., y 16 , calculăm prin următoarele formule:
|
Volumul vânzărilor Y, mii de ruble |
Index a consuma Telsky cheltuieli |
Volumul vânzărilor Y, mii de ruble |
Index a consuma Telsky cheltuieli |
||
Tabelul 3.2.3
|
l:, - X |
(ȘI - Y)(x, - x) |
(x, - x) 2 |
(y, - - y) 2 |
||||
Dispersia caracterizează gradul de răspândire a valorilor x v x 2 , x : 
Luați în considerare acum soluția la Exemplul 3.2.1 în Excel.
Pentru a calcula corelația folosind Excel, puteți utiliza funcția =correl(), specificând adresele a două coloane de numere, așa cum se arată în fig. 3.2.2. Răspunsul este plasat în D8 și este egal cu 0,816.
Orez. 3.2.2.
(Notă: argumentele funcției corelele trebuie să fie numere sau nume, matrice sau referințe care conțin numere. Dacă argumentul, care este o matrice sau o legătură, conține text, boolean sau celule goale, atunci acele valori sunt ignorate; cu toate acestea, celulele care conțin valori nule sunt numărate.
Dacă o matrice! și array2 au un număr diferit de puncte de date, apoi funcția correl returnează valoarea de eroare #n/a.
Dacă matricea1 sau matricea2 este goală sau dacă o (deviația standard) a valorilor lor este zero, atunci funcția corel returnează valoarea de eroare #div/0 !.)
Valoarea critică a statisticii /-Student poate fi obținută și folosind funcția steudrasprobr 1 pachet Excel. Ca argumente ale funcției, trebuie să specificați numărul de grade de libertate, egal cu P- 2 (în exemplul nostru 16 - 2= 14) și nivelul de semnificație a (în exemplul nostru a = 0,1) (Fig. 3.2.3). În cazul în care un valoarea reală/-statistici, luate modulo, mai mult critic, atunci cu probabilitatea (1 - a) coeficientul de corelare este semnificativ diferit de zero.
Orez. 3.2.3. Valoarea critică a statisticii / este 1,7613
Excel include un set de instrumente de analiză a datelor (așa-numitul pachet de analiză) concepute pentru a rezolva diverse probleme statistice. Pentru a calcula matricea coeficienților de corelație de pereche R utilizați instrumentul de corelare (Fig. 3.2.4) și setați parametrii de analiză în caseta de dialog corespunzătoare. Răspunsul va fi plasat pe o nouă foaie de lucru (Fig. 3.2.5).
1 În Excel 2010, numele funcției steudrasprobr schimbat în steu-
DENT.ORD.2X.
Orez. 3.2.4.
Orez. 3.2.5.
- Statisticienii englezi F. Galton (1822-1911) și K. Pearson (1857-1936) sunt considerați a fi fondatorii teoriei corelației. Termenul „corelație” a fost împrumutat din știința naturii și înseamnă „corelație, corespondență”. Conceptul de corelație ca interdependență între variabile aleatoare stă la baza teoriei matematico-statistice a corelației.
Pentru teritoriile Districtului Federal de Sud al Federației Ruse, sunt date date pentru 2011
|
Teritoriile districtului federal |
Produsul regional brut, miliarde de ruble, Y |
Investiții în capital fix, miliarde de ruble, X1 |
|
1. Rep. Adygea |
||
|
2. Rep. Daghestan |
||
|
3. Rep. Inguşetia |
||
|
4. Republica Kabardino-Balkariană |
||
|
5. Rep. Kalmykia |
||
|
6. Republica Karachay-Cerkess |
||
|
7. Rep. Osetia de Nord Alania |
||
|
8. Regiunea Krasnodar) |
||
|
9. Teritoriul Stavropol |
||
|
10. Regiunea Astrahan |
||
|
11. Regiunea Volgograd |
||
|
12. Regiunea Rostov |
- 1. Calculați matricea coeficienților de corelație perechi; evaluează semnificația statistică a coeficienților de corelație.
- 2. Construiți câmpul de corelare al caracteristicii rezultate și al factorului cel mai strâns legat.
- 3. Calculați parametrii regresiei perechi liniare pentru fiecare factor X..
- 4. Evaluați calitatea fiecărui model prin coeficientul de determinare, eroarea medie de aproximare și testul F Fisher. Alege cel mai bun model.
va fi de 80% din valoarea sa maximă. Prezentați grafic: valori reale și de model, puncte de prognoză.
- 6. Folosind regresia multiplă în trepte (metoda de excludere sau metoda de includere), construiți un model de formare a prețului apartamentelor din cauza unor factori semnificativi. Oferiți o interpretare economică a coeficienților modelului de regresie.
- 7. Evaluați calitatea modelului construit. S-a îmbunătățit calitatea modelului în comparație cu modelul cu un singur factor? Oferiți o evaluare a influenței factorilor semnificativi asupra rezultatului folosind coeficienții de elasticitate, în - și -? coeficienți.
Când rezolvăm această problemă, vom efectua calcule și grafice și diagrame folosind setările Excel Analiza datelor.
1. Calculați matricea coeficienților de corelație perechi și evaluați semnificația statistică a coeficienților de corelație
În caseta de dialog Corelație, în câmpul Interval de intrare, introduceți intervalul de celule care conțin datele sursă. Deoarece am selectat și titlurile coloanelor, bifăm caseta de selectare Etichete din primul rând.
Am obtinut urmatoarele rezultate:
Tabelul 1.1 Matricea coeficienților de corelație perechi
O analiză a matricei coeficienților de corelație perechi arată că variabila dependentă Y, adică produsul regional brut, are o relație mai strânsă cu X1 (investiția în active fixe). Coeficientul de corelație este 0,936. Aceasta înseamnă că variabila dependentă Y (produsul regional brut) este dependentă în proporție de 93,6% de X1 (investiția în active fixe).
Semnificația statistică a coeficienților de corelație va fi determinată cu ajutorul testului t Student. Valoarea tabelului este comparată cu valorile calculate.
Să calculăm valoarea tabelului folosind funcția STUDRIST.
tabelul t = 0,129 cu un nivel de încredere egal cu 0,9 și un grad de libertate (n-2).
Factorul X1 este semnificativ statistic.
2. Să construim domeniul de corelare a caracteristicii efective (produsul regional brut) și factorul cel mai strâns legat (investiția în capital fix)
Pentru a face acest lucru, vom folosi instrumentul pentru construirea unui grafic de dispersie în Excel.
Ca urmare, obținem domeniul de corelare a prețului produsului regional brut, miliarde de ruble. și investiții în capital fix, miliarde de ruble. (Figura 1.1.).
Figura 1.1
3. Calculați parametrii regresiei perechi liniare pentru fiecare factor X
Pentru a calcula parametrii unei regresii liniare pe perechi, vom folosi instrumentul de regresie inclus în setarea Analiza datelor.
În caseta de dialog Regresie, în câmpul Interval de intrare Y, introduceți adresa intervalului de celule care reprezintă variabila dependentă. În câmp
Intervalul de introducere X introducem adresa intervalului care conține valorile variabilelor independente. Să calculăm parametrii de regresie perechi pentru factorul X.
Pentru X1 s-au obținut următoarele date, prezentate în Tabelul 1.2:
Tabelul 1.2
Ecuația de regresie pentru dependența prețului produsului regional brut de investiția în capital fix are forma:
4. Să evaluăm calitatea fiecărui model prin coeficientul de determinare, eroarea medie de aproximare și criteriul F al lui Fisher. Să aflăm care model este cel mai bun.
Coeficientul de determinare, eroarea medie de aproximare, am obținut în urma calculelor efectuate la paragraful 3. Datele obținute sunt prezentate în următoarele tabele:
Date pentru X1:
Tabelul 1.3a
Tabelul 1.4b
A) Coeficientul de determinare determină ce proporție din variația atributului Y este luată în considerare în model și se datorează influenței factorului X asupra acestuia. Cu cât valoarea coeficientului de determinare este mai mare, cu atât relația este mai strânsă. între atributele din modelul matematic construit.
În Excel, R-pătrat este notat.
Pe baza acestui criteriu, modelul ecuației de regresie pentru dependența prețului produsului regional brut de investiția în active fixe (X1) este cel mai adecvat.
B) Calculați eroarea medie de aproximare folosind formula:
unde numărătorul este suma abaterilor pătrate ale valorilor calculate față de cele reale. În tabele, se află în coloana SS, rândul Reziduuri.
Calculăm valoarea medie a prețului unui apartament în Excel folosind funcția MEDIE. = 24,18182 miliarde de ruble
La efectuarea calculelor economice, modelul este considerat suficient de precis dacă eroarea medie de aproximare este mai mică de 5%, modelul este considerat acceptabil dacă eroarea medie de aproximare este mai mică de 15%.
Conform acestui criteriu, cel mai adecvat este modelul matematic pentru ecuația de regresie a dependenței prețului produsului regional brut de investiția în active fixe (X1).
C) Un test F este utilizat pentru a testa semnificația modelului de regresie. Pentru aceasta, se face și o comparație a valorilor critice (tabelare) ale testului F Fisher.
Valorile calculate sunt date în tabelele 1.4b (indicate prin litera F).
Valoarea tabelului testului F Fisher este calculată în Excel utilizând funcția FDISP. Luăm probabilitatea egală cu 0,05. Primit: = 4,75
Valorile calculate ale testului F Fisher pentru fiecare factor sunt comparabile cu valoarea tabelului:
71,02 > = 4,75 modelul este adecvat conform acestui criteriu.
După analizarea datelor pentru toate cele trei criterii, putem concluziona că cel mai bun este modelul matematic construit pentru factorul produs regional brut, care este descris de ecuația liniară
5. Pentru modelul ales al dependenţei preţului produsului regional brut
vom prezice valoarea medie a indicatorului la nivel de semnificație dacă valoarea prezisă a factorului este de 80% din valoarea sa maximă. Să reprezentăm grafic: valorile reale și de model, punctele de prognoză.
Calculați valoarea estimată a lui X, conform condiției, aceasta va fi de 80% din valoarea maximă.
Calculați X max în Excel folosind funcția MAX.
0,8 *52,8 = 42,24
Pentru a obține estimări predictive ale variabilei dependente, înlocuim valoarea obținută a variabilei independente în ecuația liniară:
5,07 + 2,14 * 42,24 \u003d 304,55 miliarde de ruble.
Să determinăm intervalul de încredere al prognozei, care va avea următoarele limite:
Pentru a calcula intervalul de încredere pentru valoarea prezisă, calculăm abaterea de la linia de regresie.
Pentru un model de regresie pereche, valoarea abaterii este calculată:
acestea. valoarea erorii standard din tabelul 1.5a.
(Deoarece numărul de grade de libertate este egal cu unu, numitorul va fi egal cu n-2). predicție de regresie perechi de corelație
Pentru a calcula coeficientul, vom folosi funcția Excel STUDRASP, probabilitatea va fi luată egală cu 0,1, numărul de grade de libertate este 38.
Calculăm valoarea folosind Excel, obținem 12294.
Să definim limitele superioare și inferioare ale intervalului.
- 304,55+27,472= 332,022
- 304,55-27,472= 277,078
Astfel, valoarea prognozată = 304,55 mii dolari se va situa între limita inferioară, egală cu 277,078 mii dolari. și o limită superioară egală cu 332,022 miliarde de ruble. Freca.
Valorile reale și de model, punctele de prognoză sunt prezentate grafic în Figura 1.2.
Figura 1.2
6. Folosind regresia multiplă în trepte (metoda excluderii), vom construi un model de formare a prețului produsului regional brut din cauza unor factori semnificativi
Pentru a construi o regresie multiplă, vom folosi funcția Excel Regression, incluzând toți factorii din aceasta. Ca rezultat, obținem tabele cu rezultate, din care avem nevoie de testul t al lui Student.
Tabelul 1.8a
Tabelul 1.8b
Tabelul 1.8c.
Obținem modelul de vizualizare:
Pentru că< (4,75 < 71,024), уравнение регрессии следует признать адекватным.
Să alegem cea mai mică valoare modulo a testului t al lui Student, este egală cu 8,427, o comparăm cu valoarea tabelară pe care o calculăm în Excel, luăm nivelul de semnificație egal cu 0,10, numărul de grade de libertate n-m-1=12- 4=8: =1,8595
Deoarece 8.427>1.8595 modelul ar trebui să fie recunoscut ca fiind adecvat.
7. Pentru a evalua factorul semnificativ al modelului matematic obținut, se calculează coeficienții de elasticitate, iar - coeficienții
Coeficientul de elasticitate arată câte procente se va schimba semnul rezultat atunci când semnul factorului se schimbă cu 1%:
E X4 \u003d 2,137 * (10,69 / 24,182) \u003d 0,94%
Adică, cu o creștere a investiției în capital fix cu 1%, costul crește în medie cu 0,94%.
Coeficientul arată în ce parte a valorii abaterii standard se modifică valoarea medie a variabilei dependente cu o modificare a variabilei independente cu o abatere standard.
2,137* (14.736/33,632) = 0,936.
Datele despre abaterea standard sunt preluate din tabele obținute cu ajutorul instrumentului Statistică descriptivă.
Tabelul 1.11 Statistici descriptive (Y)
Tabelul 1.12 Statistici descriptive (X4)
Coeficientul determină ponderea influenței factorului în influența totală a tuturor factorilor:
Pentru a calcula coeficienții de corelație de pereche, calculăm matricea de coeficienți de corelație de pereche în Excel folosind instrumentul de corelare al setărilor Analiza datelor.
Tabelul 1.14
(0,93633*0,93626) / 0,87 = 1,00.
Concluzie: Pe baza calculelor obținute, putem concluziona că atributul efectiv Y (produsul regional brut) este foarte dependent de factorul X1 (investiția în capital fix) (cu 100%).
Bibliografie
- 1. Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. Tutorial. a 2-a ed. - M.: Delo, 1998. - p. 69 - 74.
- 2. Atelier de econometrie: Manual / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko și alții 2002. - p. 49 - 105.
- 3. Dougerty K. Introducere în econometrie: Per. din engleza. - M.: INFRA-M, 1999. - XIV, p. 262 - 285.
- 4. Aivyzyan S.A., Mikhtiryan V.S. Matematică aplicată și fundamente ale econometriei. -1998., p. 115-147.
- 5. Kremer N.Sh., Putko B.A. Econometrie. -2007. de la 175-251.
| y | X (1) | X (2) | X (3) | X (4) | X (5) | |
| y | 1.00 | 0.43 | 0.37 | 0.40 | 0.58 | 0.33 |
| X (1) | 0.43 | 1.00 | 0.85 | 0.98 | 0.11 | 0.34 |
| X (2) | 0.37 | 0.85 | 1.00 | 0.88 | 0.03 | 0.46 |
| X (3) | 0.40 | 0.98 | 0.88 | 1.00 | 0.03 | 0.28 |
| X (4) | 0.58 | 0.11 | 0.03 | 0.03 | 1.00 | 0.57 |
| X (5) | 0.33 | 0.34 | 0.46 | 0.28 | 0.57 | 1.00 |
O analiză a matricei coeficienților de corelație pereche arată că indicatorul de performanță este cel mai strâns legat de indicator X(4) - cantitatea de îngrășăminte utilizată la 1 ha ().
În același timp, relația dintre trăsături-argumente este destul de strânsă. Deci, există practic o relație funcțională între numărul de tractoare cu roți ( X(1)) și numărul de instrumente de prelucrare a solului de suprafață 
.
Prezența multicoliniarității este evidențiată și de coeficienții de corelație și . Având în vedere relația strânsă a indicatorilor X (1) , X(2) și X(3) , doar unul dintre ei poate intra în modelul de regresie a randamentului.
Pentru a demonstra impactul negativ al multicolinearității, luați în considerare un model de regresie a randamentului care include toate intrările:
Fobs = 121.
În paranteză sunt valorile estimărilor corectate ale abaterilor standard ale estimărilor coeficienților ecuației 
.
Sub ecuația de regresie sunt prezentați următorii parametri de adecvare: coeficientul de determinare multiplu; estimarea corectată a varianței reziduale, eroarea medie de aproximare relativă și valoarea calculată a criteriului Fobs = 121.
Ecuația de regresie este semnificativă deoarece F obl = 121 > F kp = 2,85 găsit din tabel F- distributii la a=0,05; n 1 =6 și n 2 =14.
De aici rezultă că Q¹0, adică și cel puțin unul dintre coeficienții ecuației q j (j= 0, 1, 2, ..., 5) nu este egal cu zero.
Pentru a testa ipoteza despre semnificația coeficienților individuali de regresie H0: q j =0, unde j=1,2,3,4,5, comparați valoarea critică t kp = 2,14, găsit din tabel t-distribuţii la nivelul de semnificaţie a=2 Q=0,05 și numărul de grade de libertate n=14, cu valoarea calculată . Din ecuație rezultă că coeficientul de regresie este semnificativ statistic numai atunci când X(4) din ½ t 4½=2,90 > t kp=2,14.
Semnele negative ale coeficienților de regresie la X(1) și X(5) . Din valorile negative ale coeficienților rezultă că o creștere a saturației agriculturii cu tractoare cu roți ( X(1)) și produse fitosanitare ( X(5)) afectează negativ randamentul. Astfel, ecuația de regresie rezultată este inacceptabilă.
Pentru a obține o ecuație de regresie cu coeficienți semnificativi, folosim un algoritm de analiză de regresie pas cu pas. Inițial, folosim un algoritm pas cu pas cu eliminarea variabilelor.
Excludeți o variabilă din model X(1) , care corespunde valorii minime absolute de ½ t 1½=0,01. Pentru variabilele rămase, vom construi din nou ecuația de regresie:
Ecuația rezultată este semnificativă, deoarece F obs = 155 > F kp = 2,90, găsit la un nivel de semnificație a=0,05 și numere de grade de libertate n 1 =5 și n 2 =15 conform tabelului F-distributii, i.e. vector q¹0. Cu toate acestea, doar coeficientul de regresie este semnificativ în ecuația la X(patru) . Valori calculate ½ t j ½ pentru alți coeficienți mai mici decât t kr = 2,131 găsite în tabel t-distribuţii pentru a=2 Q=0,05 și n=15.
Excluderea unei variabile din model X(3) , care corespunde valorii minime t 3 =0,35 și obțineți ecuația de regresie:
(2.9)
În ecuația rezultată, nu este semnificativă statistic și nu putem interpreta economic coeficientul la X(5) . Excluzând X(5) obținem ecuația de regresie:
(2.10)
Am obținut o ecuație de regresie semnificativă cu coeficienți semnificativi și interpretabili.
Cu toate acestea, ecuația rezultată nu este singurul model de randament „bun” sau „cel mai bun” din exemplul nostru.
Să arătăm asta în condiţia multicolinearităţii, algoritmul pas cu pas cu includerea variabilelor este mai eficient. Primul pas în modelul de randament y include o variabilă X(4) , care are cel mai mare coeficient de corelație cu y, explicat prin variabila - r(y,X(4))=0,58. În a doua etapă, inclusiv ecuația împreună cu X(4) variabile X(1) sau X(3) , vom obține modele superioare (2.10) din motive economice și caracteristici statistice:
(2.11)
(2.12)
Includerea oricăreia dintre cele trei variabile rămase în ecuație își înrăutățește proprietățile. Vezi, de exemplu, ecuația (2.9).
Astfel, avem trei modele de randament „bun”, dintre care unul trebuie ales din motive economice și statistice.
Conform criteriilor statistice, modelul (2.11) este cel mai adecvat. Ea corespunde valorilor minime ale varianței reziduale = 2,26 și erorii relative medii de aproximare și celor mai mari valori și Fobs = 273.
Modelul (2.12) are indicatori de adecvare ceva mai răi, iar apoi modelul (2.10).
Vom alege acum cel mai bun dintre modele (2.11) și (2.12). Aceste modele diferă unele de altele în variabile X(1) și X(3) . Cu toate acestea, în modelele de randament, variabila X(1) (număr de tractoare cu roți la 100 ha) este de preferat variabilă X(3) (număr de instrumente de prelucrare a solului la 100 ha), care este oarecum secundar (sau derivat din X (1)).
În acest sens, din motive economice, ar trebui să se acorde preferință modelului (2.12). Astfel, după implementarea algoritmului de analiză a regresiei în etape cu includerea variabilelor și ținând cont de faptul că doar una dintre cele trei variabile aferente ar trebui să intre în ecuație ( X (1) , X(2) sau X(3)) alegeți ecuația finală de regresie:
Ecuația este semnificativă la a=0,05, deoarece F obl = 266 > F kp = 3,20 găsit din tabel F-distribuţii pentru a= Q=0,05; n 1 =3 și n 2 =17. Toți coeficienții de regresie sunt, de asemenea, semnificativi în ecuația ½ t j½> t kp (a=2 Q=0,05; n=17)=2,11. Coeficientul de regresie q 1 ar trebui recunoscut ca fiind semnificativ (q 1 ¹0) din motive economice, în timp ce t 1 = 2,09 doar puțin mai puțin t kp = 2,11.
Din ecuația de regresie rezultă că o creștere pe unitate a numărului de tractoare la 100 de hectare de teren arabil (cu o valoare fixă X(4)) conduce la o creștere a randamentelor de cereale cu o medie de 0,345 c/ha.
Un calcul aproximativ al coeficienților de elasticitate e 1 „0,068 și e 2” 0,161 arată că cu o creștere a indicatorilor X(1) și X(4) cu 1%, randamentul cerealelor crește în medie cu 0,068%, respectiv 0,161%.
Coeficientul multiplu de determinare indică faptul că doar 46,9% din variația randamentului este explicată de indicatorii incluși în model ( X(1) și X(4)), adică saturarea producției vegetale cu tractoare și îngrășăminte. Restul variației se datorează acțiunii unor factori necontabiliați ( X (2) , X (3) , X(5), condițiile meteorologice etc.). Eroarea medie de aproximare relativă caracterizează adecvarea modelului, precum și valoarea varianței reziduale. La interpretarea ecuației de regresie, sunt de interes valorile erorilor relative de aproximare 
. Reamintim că - valoarea modelului indicatorului efectiv caracterizează valoarea medie a productivității pentru totalitatea zonelor luate în considerare, cu condiția ca valorile variabilelor explicative X(1) și X(4) fixat la același nivel și anume X (1) = x i(1) și X (4) = x i(patru) . Apoi, pentru valorile lui d i randamentele pot fi comparate. Zone care corespund valorilor d i>0, au un randament peste medie și d i<0 - ниже среднего.
În exemplul nostru, producția de culturi este cea mai eficientă în zona corespunzătoare lui d 7 \u003d 28%, unde randamentul este cu 28% mai mare decât media pentru regiune și cel mai puțin eficient - în zona cu d 20 =-27,3%.
Sarcini și exerciții
2.1. Din populația generală ( y, X (1) , ..., X(p)), unde y are o lege de distribuție normală cu așteptări matematice condiționate și varianță s 2 , un eșantion aleatoriu de volum n, lăsați-l să plece ( y eu, x i (1) , ..., x i(p)) - rezultat i a-a observație ( i=1, 2, ..., n). Determinați: a) așteptarea matematică a estimării celor mai mici pătrate ale vectorului q; b) matricea de covarianță a estimării celor mai mici pătrate ale vectorului q; c) așteptarea matematică a devizului.
2.2. Conform condiției problemei 2.1, găsiți așteptarea matematică a sumei abaterilor pătrate datorate regresiei, i.e. EQ R, Unde
.
2.3. Conform condiției problemei 2.1, se determină așteptarea matematică a sumei abaterilor pătrate datorate variației reziduale în raport cu dreptele de regresie, i.e. EQ ost unde
2.4. Demonstrați că sub ipoteza Н 0: q=0 statisticile
are o distribuție F cu grade de libertate n 1 =p+1 și n 2 =n-p-1.
2.5. Demonstrați că atunci când ipoteza H 0: q j =0 este îndeplinită, statistica are o distribuție t cu numărul de grade de libertate n=n-p-1.
2.6. Pe baza datelor (Tabelul 2.3) privind dependența de contracția pâinii furajere ( y) cu privire la durata depozitării ( X) găsiți o estimare punctuală a așteptării matematice condiționate în ipoteza că ecuația de regresie generală este liniară.
Tabelul 2.3.
Este necesar: a) să se găsească estimări și varianță reziduală s 2 sub ipoteza că ecuația de regresie generală are forma ; b) verificați pentru a=0,05 semnificația ecuației de regresie, i.e. ipoteza H 0: q=0; c) cu fiabilitate g=0,9 se determină estimările de interval ale parametrilor q 0 , q 1 ; d) cu fiabilitatea g=0,95 se determină intervalul estimat al așteptării condiționate pentru X 0=6; e) determinați la g=0,95 intervalul de încredere al predicției la punctul X=12.
2.7. Pe baza datelor privind dinamica ritmului de creștere a prețului acțiunilor pe 5 luni, prezentate în tabel. 2.4.
Tabelul 2.4.
| luni ( X) | |||||
| y (%) |
iar în ipoteza că ecuaţia de regresie generală are forma , se cere: a) să se determine estimările şi parametrii ecuaţiei de regresie şi varianţa reziduală s 2 ; b) se verifică la a=0,01 semnificația coeficientului de regresie, i.e. ipotezele H 0: q 1 =0;
c) cu fiabilitatea g=0,95 găsiți estimări de interval ale parametrilor q 0 și q 1 ; d) cu fiabilitatea g = 0,9, stabiliți o estimare pe intervale a așteptărilor matematice condiționate pentru X 0=4; e) determinați la g=0,9 intervalul de încredere al predicției la punctul X=5.
2.8. Rezultatele studiului dinamicii creșterii în greutate la animalele tinere sunt prezentate în Tabelul 2.5.
Tabelul 2.5.
Presupunând că ecuația generală de regresie este liniară, se cere: a) să se determine estimări și parametri ai ecuației de regresie și a varianței reziduale s 2 ; b) verificați pentru a=0,05 semnificația ecuației de regresie, i.e. ipotezele H 0: q=0;
c) cu fiabilitatea g=0,8 pentru a găsi estimări de interval ale parametrilor q 0 și q 1 ; d) cu fiabilitate g=0,98 determinați și comparați estimările de interval ale așteptării matematice condiționate pentru X 0 =3 și X 1 =6;
e) determinați la g=0,98 intervalul de încredere al predicției la punctul X=8.
2.9. Pretul ( y) un exemplar al cărții, în funcție de tiraj ( X) (mii de exemplare) se caracterizează prin datele culese de editură (Tabelul 2.6). Determinați estimările celor mai mici pătrate și parametrii ecuației de regresie hiperbolice , cu fiabilitatea g=0,9 construiți intervale de încredere pentru parametrii q 0 și q 1 , precum și așteptările matematice condiționate la X=10.
Tabelul 2.6.
Determinați estimări și parametri ai ecuației de regresie a tipului X=20.
2.11. În tabel. 2,8 au raportat rate de creștere (%) ale următorilor indicatori macroeconomici n\u003d 10 țări dezvoltate ale lumii pentru 1992: PNB - X(1) , producție industrială - X(2) , indicele prețurilor - X (3) .
Tabelul 2.8.
| Țări | x și parametrii ecuației de regresie, estimarea varianței reziduale; b) se verifică la a=0,05 semnificația coeficientului de regresie, adică. H0: q1 =0; c) cu fiabilitatea g=0,9 găsiți estimările de interval q 0 și q 1 ; d) găsiți la g=0,95 intervalul de încredere pentru la punctul X 0 =x i, Unde i=5; e) comparați caracteristicile statistice ale ecuațiilor de regresie: 1, 2 și 3. 2.12. Rezolvați problema 2.11, luând în considerare valoarea de explicat ( la) index X(1) , iar pentru motive explicative ( X) variabil X (3) . 1. Ayvazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Statistica Aplicată și Fundamentele Econometriei: Manual. M., UNITI, 1998 (ediția a II-a 2001); 2. Ayvazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Statistica aplicată în probleme și exerciții: manual. M. UNITATE - DANA, 2001; 3. Aivazyan S.A., Enyukov I.S., Meshalkin L.D. Statistici aplicate. Cercetarea dependenței. M., Finanţe şi statistică, 1985, 487p.; 4. Aivazyan S.A., Buchstaber V.M., Enyukov I.S., Meshalkin L.D. Statistici aplicate. Clasificare și reducerea dimensionalității. M., Finanţe şi statistică, 1989, 607p.; 5. Johnston J. Econometric Methods, Moscova: Statistică, 1980, 446 p.; 6. Dubrov A.V., Mkhitaryan V.S., Troshin L.I. Metode statistice multivariate. M., Finanţe şi statistică, 2000; 7. Mkhitaryan V.S., Troshin L.I. Cercetarea dependențelor prin metode de corelare și regresie. M., MESI, 1995, 120 p.; 8. Mkhitaryan V.S., Dubrov A.M., Troshin L.I. Metode statistice multidimensionale în economie. M., MESI, 1995, 149p.; 9. Dubrov A.M., Mkhitaryan V.S., Troshin L.I. Statistici matematice pentru oameni de afaceri și manageri. M., MESI, 2000, 140s.; 10. Lukashin Yu.I. Metode de regresie și previziune adaptivă: Manual, M., MESI, 1997. 11. Lukashin Yu.I. Metode adaptative de prognoză pe termen scurt. - M., Statistică, 1979. APLICAȚII Atasamentul 1. Opțiuni pentru sarcini pentru cercetare independentă pe computer. |
