Care este nodul numerelor coprime. Cel mai mare divizor comun

Se numesc numerele naturale a și b coprime, dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1 (mcd(a ; b ) = 1). Cu alte cuvinte, dacă numerele a și b nu au divizori comuni alții decât 1, atunci ele sunt între prime.

Exemple de perechi de numere coprime: 2 și 5, 13 și 16, 35 și 88 etc. Puteți specifica mai multe numere coprime, de exemplu, numerele 7, 9, 16 sunt coprime.

Adesea numerele coprime sunt notate după cum urmează: (a, b) \u003d 1. De exemplu, (23, 30) \u003d 1. Această intrare este, așa cum ar fi, o abreviere pentru desemnarea celui mai mare divizor comun a două numere (GCD (23, 30) \u003d 1) și spune că cel mai mare divizor comun al lor este 1.

Două numere naturale adiacente vor fi întotdeauna coprime. De exemplu, 15 și 16 sunt o pereche de numere coprime, la fel ca 16 și 17. Acest lucru este ușor de înțeles dacă luăm în considerare „regula” că dacă două numere naturale a și b sunt divizibile cu același număr natural mai mare decât 1 ( n > 1), atunci diferența lor trebuie să fie și divizibilă cu acest număr n (aici ne referim la faptul că a, b și diferența lor sunt împărțite la un număr întreg, adică sunt multipli ai numărului n). Dar dacă a și b sunt două numere adiacente (fie a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

De asemenea, din definiția numerelor prime și a numerelor prime rezultă că numere prime diferite sunt întotdeauna coprime. La urma urmei, singurii divizori ai oricărui număr prim sunt el însuși și 1.

Proprietățile numerelor coprime

• Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unei perechi de numere coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, (3, 8) = 1 (care înseamnă relativ prim), deci LCM lor este 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Într-adevăr, nu veți găsi un număr mai mic decât 24 care este un multiplu al lui 3 și al lui 8.
• Dacă numerele a și b sunt între prime și numărul c este un multiplu atât al lui a cât și al lui b, atunci acest număr va fi, de asemenea, un multiplu al produsului lui ab. Aceasta poate fi scrisă astfel: dacă c a și c b , atunci c ab . De exemplu, (3, 10) = 1, numărul 60 este un multiplu atât al lui 3, cât și al lui 10 și este, de asemenea, un multiplu al lui 30 (3 × 10).
• Dacă numerele a și b sunt între prime și numărul c este luat ca multiplu al lui b (c b ), atunci produsul ac va fi și un multiplu al lui b (ac b ). De exemplu, (2, 17) = 1, fie c = 34. Numărul 34 este un multiplu al lui b = 17, apoi ac = 2 × 34 = 68. Verificați: 68 ÷ 17 = 4, adică este divizibil, ceea ce înseamnă că 68 este un multiplu 17.

De obicei, există mai multe proprietăți decât cele enumerate aici. În plus, proprietățile numerelor prime relativ sunt formulate în moduri diferite. De asemenea, uneori se cere să se dovedească aceste proprietăți (în acest caz nu sunt date dovezi).

Cel mai mare divizor comun al numerelor coprime este întotdeauna unul.

Exemple de noduri de numere relativ prime.

MCD al numerelor 11 și 7

Numerele 11 și 7 sunt coprime și, în același timp, prime.

Numerele 11 și 7 nu au alți divizori comuni decât 1.

mcd(11, 7) = 1

MCD al numerelor 11 și 15

Numerele 11 și 15 sunt relativ prime. În acest caz, 11 este un număr prim, iar 15 este un număr compus.

Divizorii lui 11 sunt 1 și 11.

Divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5, 15.

După cum puteți vedea, singurul factor comun al numerelor 11 și 15 este numărul 1. Prin urmare, unitatea este MCD-ul numerelor 11 și 15:

mcd(11, 15) = 1

MCD al numerelor 10 și 21

Numerele 10 și 21 sunt relativ prime. În acest caz, atât numărul 10, cât și numărul 21 sunt compuse.

Factorii lui 10 sunt 1, 2, 5, 10.

Factorii numărului 21 sunt 1, 3, 7, 21.

După cum puteți vedea, singurul factor comun al numerelor 10 și 21 este numărul 1. Prin urmare, unitatea este MCD-ul numerelor 10 și 21:

mcd(21, 10) = 1

MCD al numerelor 16 și 23

Numerele 16 și 23 sunt între prime. În acest caz, 23 este un număr prim, iar 16 este un număr compus.

Sarcină: Găsiți MCD și LCM ale numerelor în cel mai convenabil mod:

a) 12 și 40; b) 9 și 40; c) 12 și 72.

Se acordă 5 minute pentru sarcină.

Care este cel mai bun mod de a face fiecare exercițiu?

Defalcarea diapozitivelor.

a) Este mai convenabil să se rezolve prin metoda de descompunere în factori primi

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) Numerele 9 și 40 au divizori comuni? (este, 1.)

Cum se numesc aceste numere? ? (Coprime.)

Care este GCD-ul acestor numere ? (mcd(9;40) = 1)

Care este LCM-ul acestor numere ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

c) Ce poți spune despre numerele 12 și 72 ? (72 împărțit la 12) Ce regula stim? (dacă un număr este divizibil cu altul, atunci GCD = cel mai mic număr și LCM - cel mai mare)

mcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Verificați datele pe care le-ați obținut cu standardul care se află pe masa profesorului.

FO: Se evaluează după criteriile scrise în fișa standard. Punerea unei bifă lângă criteriu.

7 căpușe - nivel înalt

6-4 căpușe - nivel mediu

1-3 căpușe - nivel scăzut

Fizminutka

S-a ridicat repede, a zâmbit,

A tras în sus.

Ei bine, îndreaptă-ți umerii

Ridicați, coborâți.

Virați la dreapta, virați la stânga

Atinge-ți mâinile cu genunchii.

Stai jos, ridică-te, stai jos, ridică-te

Și au fugit pe loc.

Întrebarea profesorului: Unde folosim deja cunoștințele noastre despre numerele GCD și LCM?

La rezolvarea problemelor.

În fața lor, pe masa profesorului, se află un „Mușețel al sarcinilor” format din 21 de petale.

Petală roșie - sarcini de nivel C.

Petală galbenă - sarcini de nivel B.

Petală verde - sarcini de nivel A.

	Masha a cumpărat ouă pentru Urs din magazin. În drum spre pădure, ea și-a dat seama că numărul de ouă este divizibil cu 2,3,5,10 și 15. Câte ouă a cumpărat Masha?
	Din 210 visiniu s-au adunat 126 trandafiri albi, 294 roșii, buchete, iar în fiecare buchet numărul de trandafiri de aceeași culoare este egal. Care este cel mai mare număr de buchete realizate din acești trandafiri și câți trandafiri de fiecare culoare sunt într-un buchet?
	O foaie de carton are forma unui dreptunghi, lungimea căruia este de 48 cm și lățimea de 40 cm.Această foaie trebuie tăiată fără risipă în pătrate egale. Care sunt cele mai mari pătrate care se pot obține din această foaie și câte?
	Câți soldați defilează pe terenul de paradă dacă mărșăluiesc în formație de 12 oameni pe rând și se schimbă într-o coloană de 18 persoane pe rând?
	În orașul-port încep trei excursii turistice cu barca, dintre care prima durează 15 zile, a doua - 20 și a treia - 12 zile. Întorcându-se în port, navele în aceeași zi pleacă din nou într-o călătorie. Navele cu motor au părăsit portul pe toate cele trei rute astăzi. În câte zile vor naviga împreună pentru prima dată?Câte călătorii va face fiecare navă?
	Șemineul din cameră trebuie să fie amenajat cu plăci de finisare în formă de pătrat. De câte plăci sunt necesare pentru un șemineu de 195 ͯ 156 cm și care sunt cele mai mari dimensiuni de plăci?
	Pasul lui Volodya este de 75 cm, iar pasul Katiei este de 60 cm. La ce distanță minimă vor face amândoi un număr întreg de pași?
	Pentru cadourile de Revelion am cumpărat 180 de mere, 90 de portocale și 900 de dulciuri. Toți copiii au primit aceleași cadouri. Care este cel mai mare număr de cadouri identice alcătuite din aceste fructe și dulciuri?
	Un teren de grădină care măsoară 54 ͯ 48 m în jurul perimetrului trebuie împrejmuit, pentru aceasta, stâlpi de beton trebuie plasați la intervale regulate. Câți stâlpi trebuie aduși pentru șantier și la ce distanță maximă unul de celălalt vor sta stâlpii?
	Găsiți: LCM(360;252).
	Pentru cadourile de Revelion au fost achiziționate 78 de batoane de ciocolată, 156 de turtă dulce, 52 de pachete de fursecuri, 104 de portocale și 130 de mere. Care este cel mai mare număr de cadouri identice pe care le puteți colecta?
	Este necesar să se facă o cutie cu fundul pătrat pentru stivuirea cutiilor de 16 ͯ 20 cm. Care ar trebui să fie cea mai scurtă latură a fundului pătrat pentru a încăpea cutiile la nivel în cutie?
	Calculați GCD(720.216), LCM(720.216).
	Care este raportul dintre LCM (308,264) și GCM (308,264)?
	Pentru amenajarea bradului au cumpărat nuci, dulciuri și turtă dulce – în total 760 de bucăți. Au luat cu 80 mai multe nuci decât dulciuri și cu 120 mai puține turtă dulce decât nuci. Care este cel mai mare număr de cadouri identice pentru copii care pot fi făcute din acest stoc?
	Găsiți LCM(84,160,96),
	Aflați câtul LCM(24, 2004) împărțit la MCD al acelorași numere.
	Găsiți cel mai mic număr natural care este multiplu al lui 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Găsiți GCD (56, 72).
	Pe masă sunt cărți, al căror număr este mai mic de 100. Câte cărți există dacă se știe că pot fi legate în pachete de 3, 4 și 5 bucăți?
	Magazinul a adus mai puțin de 600, dar peste 500 de farfurii. Când au început să le așeze în zeci, atunci 3 farfurii nu au fost suficiente pentru a ajunge la numărul total de zeci, iar când au început să le așeze în zeci (12 farfurii fiecare), atunci au rămas 7 farfurii. Câte farfurii ai adus la magazin?

FD: Numărul predominant de petale în roșu indică un nivel ridicat de asimilare, galben - un nivel mediu de asimilare și verde - un nivel scăzut de asimilare.