B14. Modul și mediana unei variabile aleatoare continue

Dintre caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare, este necesar, în primul rând, să le remarcăm pe cele care caracterizează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor, adică. indicați o valoare medie, aproximativă, în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii.

Valoarea medie a unei variabile aleatoare este un anumit număr, care este, parcă, „reprezentantul” ei și îl înlocuiește în calcule aproximative aproximative. Când spunem: „timpul mediu de funcționare a lămpii este de 100 de ore” sau „punctul mediu de impact este deplasat față de țintă cu 2 m la dreapta”, indicăm prin aceasta o anumită caracteristică numerică a unei variabile aleatorii care îi descrie amplasarea pe axa numerică, adică descriere a pozitiei.

Dintre caracteristicile unei poziții în teoria probabilității, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, care uneori este numită pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Luați în considerare o variabilă aleatoare discretă care are valori posibile cu probabilități. Trebuie să caracterizăm printr-un anumit număr poziția valorilor variabilei aleatoare pe axa x, ținând cont de faptul că aceste valori au probabilități diferite. În acest scop, este firesc să se folosească așa-numita „medie ponderată” a valorilor, iar fiecare valoare trebuie luată în considerare în timpul medierii cu o „pondere” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Astfel, vom calcula media variabilei aleatoare, pe care o vom nota cu:

sau, având în vedere că,

. (5.6.1)

Această medie ponderată se numește așteptarea matematică a variabilei aleatoare. Astfel, am introdus în considerare unul dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților - conceptul de așteptare matematică.

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestor valori.

Rețineți că în formularea de mai sus, definiția așteptării matematice este valabilă, strict vorbind, doar pentru variabile aleatoare discrete; Mai jos, vom generaliza acest concept la cazul cantităților continue.

Pentru a face conceptul de așteptare matematică mai ilustrativ, să ne întoarcem la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Punctele cu abscise să fie situate pe axa absciselor, în care sunt concentrate masele, respectiv, și . Atunci, evident, așteptarea matematică definită prin formula (5.6.1) nu este altceva decât abscisa centrului de greutate al sistemului dat de puncte materiale.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt legate de o dependență particulară de media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare cu un număr mare de experimente. Această dependență este de același tip cu dependența dintre frecvență și probabilitate, și anume: cu un număr mare de experimente, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare se apropie (converge în probabilitate) de așteptarea sa matematică. Din prezența unei relații între frecvență și probabilitate, se poate deduce ca o consecință existența unei relații similare între media aritmetică și așteptarea matematică.

Într-adevăr, luăm în considerare o variabilă aleatoare discretă caracterizată printr-o serie de distribuție:

Unde .

Să se facă experimente independente, în fiecare dintre ele cantitatea să ia o anumită valoare. Să presupunem că valoarea a apărut o dată, valoarea a apărut o dată, în general valoarea a apărut o dată. Evident,

Să calculăm media aritmetică a valorilor observate ale mărimii, pe care, spre deosebire de așteptările matematice, o vom nota:

Dar nu există nimic mai mult decât frecvența (sau probabilitatea statistică) a unui eveniment; această frecvență poate fi numită . Apoi

,

acestea. media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și frecvențele acestor valori.

Odată cu creșterea numărului de experimente, frecvențele se vor apropia (converge în probabilitate) de probabilitățile corespunzătoare. În consecință, media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatoare cu o creștere a numărului de experimente se va apropia (converge în probabilitate) de așteptarea sa matematică.

Legătura dintre media aritmetică și așteptarea matematică formulată mai sus constituie conținutul uneia dintre formele legii numerelor mari. Vom oferi o dovadă riguroasă a acestei legi în capitolul 13.

Știm deja că toate formele legii numerelor mari afirmă faptul că anumite medii sunt stabile pe un număr mare de experimente. Aici vorbim despre stabilitatea mediei aritmetice dintr-o serie de observații de aceeași valoare. Cu un număr mic de experimente, media aritmetică a rezultatelor lor este aleatorie; cu o creștere suficientă a numărului de experimente, devine „aproape deloc aleatoriu” și, stabilizându-se, se apropie de o valoare constantă - așteptarea matematică.

Proprietatea de stabilitate a mediilor pentru un număr mare de experimente este ușor de verificat experimental. De exemplu, cântărind orice corp din laborator pe cântare precise, ca urmare a cântăririi obținem de fiecare dată o nouă valoare; pentru a reduce eroarea de observație cântărim corpul de mai multe ori și folosim media aritmetică a valorilor obținute. Este ușor de observat că odată cu o creștere suplimentară a numărului de experimente (cântăriri), media aritmetică reacționează la această creștere din ce în ce mai puțin, iar cu un număr suficient de mare de experimente practic încetează să se schimbe.

Formula (5.6.1) pentru așteptarea matematică corespunde cazului unei variabile aleatoare discrete. Pentru o valoare continuă, așteptarea matematică, desigur, nu mai este exprimată ca sumă, ci ca o integrală:

, (5.6.2)

unde este densitatea de distribuție a cantității .

Formula (5.6.2) este obținută din formula (5.6.1), dacă înlocuim valorile individuale în ea cu un parametru în schimbare continuă x, probabilitățile corespunzătoare - cu un element de probabilitate, iar suma finală - cu o integrală. În cele ce urmează, vom folosi adesea această metodă de extindere a formulelor derivate pentru cantități discontinue la cazul cantităților continue.

În interpretarea mecanică, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue păstrează același sens - abscisa centrului de greutate în cazul în care masa este distribuită de-a lungul axei absciselor în mod continuu, cu densitate . Această interpretare face deseori posibilă găsirea așteptării matematice fără a calcula integrala (5.6.2), din considerații mecanice simple.

Mai sus, am introdus notația pentru așteptarea matematică a mărimii . În unele cazuri, atunci când o valoare este inclusă în formule ca un anumit număr, este mai convenabil să o notați cu o singură literă. În aceste cazuri, vom desemna așteptarea matematică a valorii prin:

Notația și pentru așteptarea matematică vor fi folosite în paralel în viitor, în funcție de comoditatea uneia sau alteia notări de formule. De asemenea, să fim de acord, dacă este cazul, să prescurtăm cuvintele „aşteptare matematică” cu literele m.o.

De remarcat că cea mai importantă caracteristică a poziției - așteptarea matematică - nu există pentru toate variabilele aleatoare. Este posibil să se facă exemple de astfel de variabile aleatoare pentru care așteptarea matematică nu există, deoarece suma sau integrala corespunzătoare diverge.

Luați în considerare, de exemplu, o variabilă aleatoare discontinuă cu o serie de distribuție:

Este ușor de verificat că , i.e. seria de distribuție are sens; totuși, suma în acest caz diverge și, prin urmare, așteptarea matematică a valorii nu există. Cu toate acestea, pentru practică, astfel de cazuri nu prezintă un interes semnificativ. De obicei, variabilele aleatoare cu care avem de-a face au o gamă limitată de valori posibile și, desigur, au o așteptare.

Mai sus, am dat formulele (5.6.1) și (5.6.2) care exprimă așteptările matematice pentru o variabilă aleatoare discontinuă și, respectiv, continuă.

Dacă valoarea aparține valorilor de tip mixt, atunci așteptarea sa matematică este exprimată printr-o formulă de forma:

, (5.6.3)

unde suma se extinde la toate punctele în care funcția de distribuție se întrerupe, iar integrala se extinde la toate secțiunile în care funcția de distribuție este continuă.

Pe lângă cele mai importante dintre caracteristicile de poziție - așteptarea matematică - alte caracteristici de poziție sunt uneori folosite în practică, în special, modul și mediana unei variabile aleatoare.

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Termenul „valoare cea mai probabilă”, strict vorbind, se aplică doar cantităților discontinue; pentru o cantitate continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă. Suntem de acord să desemnăm modul cu litera . Pe fig. 5.6.1 și 5.6.2 arată modul pentru variabile aleatoare discontinue și, respectiv, continue.

Dacă poligonul de distribuție (curba de distribuție) are mai mult de un maxim, distribuția se numește „polimodală” (Figurile 5.6.3 și 5.6.4).

Uneori există distribuții care au la mijloc nu un maxim, ci un minim (Fig. 5.6.5 și 5.6.6). Astfel de distribuții sunt numite „antimodale”. Un exemplu de distribuție antimodală este distribuția obținută în exemplul 5, nr. 5.1.

În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. Într-un caz particular, când distribuția este simetrică și modală (adică are un mod) și există o așteptare matematică, atunci aceasta coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.

O altă caracteristică a poziției este adesea folosită - așa-numita mediană a unei variabile aleatoare. Această caracteristică este de obicei utilizată numai pentru variabile aleatoare continue, deși poate fi definită formal și pentru o variabilă discontinuă.

Mediana unei variabile aleatoare este valoarea acesteia pentru care

acestea. este la fel de probabil ca variabila aleatoare să fie mai mică sau mai mare decât . Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate (Fig. 5.6.7).

Scopul lecției: formarea înțelegerii de către elevi a medianei unui set de numere și a capacității de a o calcula pentru mulțimi numerice simple, fixând conceptul de mulțime medie aritmetică de numere.

Tipul lecției: explicația materialului nou.

Dotare: tablă, manual, ed. Yu.N Tyurina „Teoria și statistica probabilității”, computer cu proiector.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Informați subiectul lecției și formulați obiectivele acesteia.

2. Actualizarea cunoștințelor anterioare.

Întrebări pentru studenți:

• Care este media aritmetică a unui set de numere?
• Unde se află media aritmetică într-un set de numere?
• Ce caracterizează media aritmetică a unui set de numere?
• Unde se folosește des media aritmetică a unui set de numere?

Sarcini orale:

Aflați media aritmetică a unui set de numere:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Verificarea temelor cu un proiector ( Atasamentul 1):

Manual:: nr. 12 (b, d), nr. 18 (c, d)

3. Învățarea de material nou.

În lecția anterioară, ne-am familiarizat cu o astfel de caracteristică statistică precum media aritmetică a unui set de numere. Astăzi vom dedica o lecție unei alte caracteristici statistice - mediana.

Nu numai media aritmetică arată unde pe linia numerică sunt situate numerele oricărei mulțimi și unde este centrul lor. Un alt indicator este mediana.

Mediana unui set de numere este numărul care împarte mulțimea în două părți egale. În loc de „mediană” s-ar putea spune „mijloc”.

Mai întâi, folosind exemple, vom analiza cum să găsim mediana și apoi vom da o definiție strictă.

Luați în considerare următorul exemplu oral folosind un proiector ( Anexa 2)

La sfârșitul anului școlar, 11 elevi din clasa a VII-a au trecut standardul de alergare de 100 de metri. Au fost înregistrate următoarele rezultate:

După ce băieții au alergat pe distanță, Petya s-a apropiat de profesor și l-a întrebat care a fost rezultatul lui.

„Cea mai mare medie: 16,9 secunde”, a răspuns profesorul

"De ce?" Petya a fost surprinsă. - La urma urmei, media aritmetică a tuturor rezultatelor este de aproximativ 18,3 secunde și am alergat cu o secundă sau mai bine. Și, în general, rezultatul Katya (18,4) este mult mai aproape de medie decât al meu.”

„Rezultatul tău este mediu pentru că cinci persoane au alergat mai bine decât tine și cinci mai proaste. Deci ești chiar la mijloc”, a spus profesorul. [ 2 ]

Scrieți un algoritm pentru găsirea medianei unui set de numere:

1. Ordonați setul numeric (compuneți o serie clasificată).
2. În același timp, tăiem cele „mai mari” și „mai mici” numere din acest set de numere până când rămân un număr sau două numere.
3. Dacă există un singur număr, atunci acesta este mediana.
4. Dacă au mai rămas două numere, atunci mediana va fi media aritmetică a celor două numere rămase.

Invitați cursanții să formuleze în mod independent definiția medianei unui set de numere, apoi citiți două definiții ale medianei din manual (pag. 50), apoi analizați exemplele 4 și 5 din manual (pag. 50-52)

Cometariu:

Atrageți atenția elevilor asupra unei circumstanțe importante: mediana este practic insensibilă la abaterile semnificative ale valorilor individuale extreme ale seturilor de numere. În statistică, această proprietate se numește stabilitate. Stabilitatea unui indicator statistic este o proprietate foarte importantă, ne asigură împotriva erorilor aleatorii și a datelor individuale nesigure.

4. Consolidarea materialului studiat.

Decizia numerelor din manual la punctul 11 ​​„Media”.

Set de numere: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Set de numere: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Set de numere: 3,4,11,17,21

b) Set de numere: 17,18,19,25,28

c) Set de numere: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Concluzie: mediana unui set de numere format dintr-un număr impar de membri este egală cu numărul din mijloc.

a) Set de numere: 2, 4, 8 , 9.

Eu = (4+8):2=12:2=6

b) Set de numere: 1,3, 5,7 ,8,9.

Eu = (5+7):2=12:2=6

Mediana unui set de numere care conține un număr par de membri este jumătate din suma celor două numere din mijloc.

Elevul a primit următoarele note la algebră în timpul trimestrului:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Găsiți scorul mediu și mediana acestui set. [ 3 ]

Să comandăm un set de numere: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Doar 10 numere, pentru a găsi mediana trebuie să luați două numere din mijloc și să găsiți jumătatea lor.

Eu = (5+5):2 = 5

Întrebare pentru elevi: Dacă ai fi profesor, ce notă i-ai da acestui elev pentru un sfert? Justificați răspunsul.

Președintele companiei primește un salariu de 300.000 de ruble. trei dintre adjuncții săi primesc câte 150.000 de ruble fiecare, patruzeci de angajați - câte 50.000 de ruble fiecare. iar salariul unui curățenie este de 10.000 de ruble. Aflați media aritmetică și mediana salariilor din companie. Care dintre aceste caracteristici este mai profitabilă pentru președinte să le folosească în scopuri publicitare?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (ruble)

Sarcina 3. (Invitați elevii să rezolve singuri, proiectați sarcina folosind un proiector)

Tabelul arată volumul aproximativ de apă din cele mai mari lacuri și rezervoare din Rusia în metri cubi. km. (Anexa 3) [ 4 ]

A) Aflați volumul mediu de apă din aceste rezervoare (media aritmetică);

B) Aflați volumul de apă în dimensiunea medie a rezervorului (mediana datelor);

C) În opinia dumneavoastră, care dintre aceste caracteristici - media aritmetică sau mediana - descrie cel mai bine volumul unui rezervor tipic rusesc mare? Explicați răspunsul.

a) 2459 cu. km

b) 60 cu. km

c) Median, deoarece datele conțin valori care sunt foarte diferite de toate celelalte.

Sarcina 4. Oral.

A) Câte numere sunt în mulțime dacă mediana este al nouălea membru?

B) Câte numere sunt în mulțime dacă mediana ei este media aritmetică a termenilor 7 și 8?

C) Într-un set de șapte numere, cel mai mare număr a fost mărit cu 14. Va schimba acest lucru atât media aritmetică, cât și mediana?

D) Fiecare dintre numerele din mulțime a fost mărit cu 3. Ce se va întâmpla cu media aritmetică și cu mediana?

Dulciurile din magazin se vând la greutate. Pentru a afla câte dulciuri sunt conținute într-un kilogram, Masha a decis să găsească greutatea unei bomboane. Ea a cântărit mai multe bomboane și a obținut următoarele rezultate:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Ambele caracteristici sunt potrivite pentru estimarea greutății unei bomboane, deoarece nu sunt foarte diferiți unul de celălalt.

Deci, pentru a caracteriza informațiile statistice, se folosesc media aritmetică și mediana. În multe cazuri, unele dintre caracteristici pot să nu aibă vreo semnificație semnificativă (de exemplu, având informații despre ora accidentelor de circulație, nu are sens să vorbim despre media aritmetică a acestor date).

1. Teme: paragraful 11, nr. 3,4,9,11.
2. Rezultatele lecției. Reflecţie.

Literatură:

1. Yu.N. Tyurin și colab. „Teoria probabilității și statistică”, Editura MCNMO, JSC „Moscow Textbooks”, Moscova 2008.
2. E.A. Bunimovici, V.A. Bulychev „Fundamentals of statistics and probability”, DROFA, Moscova 2004.
3. Ziarul „Matematică” nr. 23, 2007.
4. Versiunea demo a testului de teoria probabilitatii si statistica pentru nota a 7-a, cont 2007/2008. an.

Modă() variabila aleatoare continuă este valoarea sa, care corespunde valorii maxime a densității sale de probabilitate.

median() O variabilă aleatoare continuă este valoarea ei, care este determinată de egalitatea:

B15. Legea distribuției binomiale și caracteristicile sale numerice. Distribuție binomială descrie experiențe independente repetate. Această lege determină apariția unui eveniment ori în încercări independente, dacă probabilitatea apariției unui eveniment în fiecare dintre aceste experimente nu se schimbă de la experiență la experiență. Probabilitate:

,

unde: este probabilitatea cunoscută de apariție a unui eveniment în experiment, care nu se schimbă de la experiență la experiență;

este probabilitatea ca evenimentul să nu apară în experiment;

este numărul specificat de apariție a evenimentului în experimente;

este numărul de combinații de elemente prin .

B15. Legea distribuției uniforme, grafice ale funcției de distribuție și densitate, caracteristici numerice. Se consideră o variabilă aleatoare continuă distribuite uniform, dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

Valorea estimata variabilă aleatoare cu distribuție uniformă:

Dispersia poate fi calculată după cum urmează:

Deviație standard va arata ca:

.

B17. Legea exponențială a distribuției, grafice ale funcției și densității distribuției, caracteristici numerice. distribuție exponențială O variabilă aleatoare continuă este o distribuție care este descrisă de următoarea expresie pentru densitatea de probabilitate:

,

unde este o valoare pozitivă constantă.

Funcția de distribuție a probabilității în acest caz are forma:

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare cu distribuție exponențială se obține pe baza formulei generale, ținând cont de faptul că atunci când:

.

Integrând această expresie pe părți, găsim: .

Varianta pentru distribuția exponențială poate fi obținută folosind expresia:

.

Înlocuind expresia pentru densitatea de probabilitate, găsim:

Calculând integrala pe părți, obținem: .

B16. Legea distribuției normale, grafice ale funcției și densitatea distribuției. Distribuție normală standard. Funcția de distribuție normală reflectată. Normal se numește o astfel de distribuție a unei variabile aleatoare, a cărei densitate de probabilitate este descrisă de funcția Gaussiană:

unde este abaterea standard;

este așteptarea matematică a unei variabile aleatoare.

Un grafic normal al densității distribuției se numește curbă Gaussiană normală.

B18. inegalitatea lui Markov. Inegalitatea generalizată a lui Cebyshev. Dacă pentru o variabilă aleatoare X există, atunci pentru oricare inegalitatea lui Markov .

Acesta provine din inegalitatea generalizată a Cebîşev: Fie ca funcția să fie monoton crescătoare și nenegativă pe . Dacă pentru o variabilă aleatoare X există, atunci pentru orice inegalitate .

B19. Legea numerelor mari sub forma lui Cebyshev. Intelesul sau. Consecința legii numerelor mari sub forma lui Cebyshev. Legea numerelor mari în forma Bernoulli. Sub legea numerelor mariîn teoria probabilităților se înțeleg un număr de teoreme, în fiecare dintre ele se stabilește faptul unei aproximări asimptotice a valorii medii a unui număr mare de date experimentale la așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Demonstrațiile acestor teoreme se bazează pe inegalitatea lui Chebyshev. Această inegalitate poate fi obținută prin luarea în considerare a unei variabile aleatoare discrete cu valori posibile.

Teorema. Să existe o secvență finită variabile aleatoare independente, cu aceeași așteptare matematică și variații limitate de aceeași constantă:

Apoi, indiferent de numărul, probabilitatea evenimentului

tinde spre unitate la .

Teorema lui Cebyshev stabilește o legătură între teoria probabilității, care ia în considerare caracteristicile medii ale întregului set de valori ale unei variabile aleatoare, și statistica matematică, care operează pe un set limitat de valori ale acestei variabile. Arată că pentru un număr suficient de mare de măsurători ale unei anumite variabile aleatoare, media aritmetică a valorilor acestor măsurători se apropie de așteptarea matematică.

IN 20. Subiectul și sarcinile de statistică matematică. Populații generale și eșantionare. Metoda de selecție. Statistici matematice- știința metodelor matematice de sistematizare și utilizare a datelor statistice pentru concluzii științifice și practice, bazate pe teoria probabilității.

Obiectele de studiu ale statisticii matematice sunt evenimente aleatorii, mărimi și funcții care caracterizează fenomenul aleatoriu considerat. Următoarele evenimente sunt aleatorii: câștigarea unui bilet la loteria cash, conformitatea produsului controlat cu cerințele stabilite, funcționarea fără probleme a mașinii în prima lună de funcționare a acestuia, îndeplinirea de către antreprenor a programului zilnic de lucru.

set de prelevare este o colecție de obiecte selectate aleatoriu.

Populația generală denumește setul de obiecte din care este realizată proba.

LA 21. Metode de selecție.

Metode de selecție: 1 Selecție care nu necesită împărțirea populației generale în părți. Acestea includ a) selecție aleatorie simplă nerepetitivă și b) reselecție aleatorie simplă. 2) Selecția, în care populația generală este împărțită în părți. Acestea includ a) selecția tipului, b) selecția mecanică și c) selecția în serie.

Aleatoriu simplu numită selecție, în care obiectele sunt extrase unul câte unul din populația generală.

Tipic numită selecție, în care obiectele sunt selectate nu din întreaga populație generală, ci din fiecare dintre părțile sale „tipice”.

Mecanic numită selecție, în care populația generală este împărțită mecanic în atâtea grupuri câte obiecte sunt incluse în eșantion și se selectează câte un obiect din fiecare grup.

Serial numită selecție, în care obiectele sunt selectate din populația generală nu unul câte unul, ci „serie”, care sunt supuse unei examinări continue.

B22. Serii statistice și variaționale. Funcția de distribuție empirică și proprietățile acesteia. Serii variaționale pentru variabile aleatoare discrete și continue. Să fie prelevat un eșantion din populația generală, iar valoarea parametrului studiat a fost observată o dată, o dată etc. Cu toate acestea, dimensiunea eșantionului Se numesc valorile observate Opțiuni, iar secvența este o variantă scrisă în ordine crescătoare - serie variațională. Numărul de observații se numește frecvente, și relația lor cu dimensiunea eșantionului - frecvențe relative.Seria de variații poate fi reprezentat ca un tabel:

X			…..
n			….

Distribuția statistică a eșantionului apelați lista de opțiuni și frecvențele relative respective ale acestora. Distribuția statistică poate fi reprezentată astfel:

X			…..
w			….

unde sunt frecventele relative.

Funcția de distribuție empirică numiți funcția care determină pentru fiecare valoare x frecvența relativă a evenimentului X

Pe lângă așteptările și dispersia matematică, în teoria probabilității sunt utilizate o serie de caracteristici numerice, care reflectă anumite caracteristici ale distribuției.

Definiție. Modul Mo(X) al unei variabile aleatoare X este valoarea sa cea mai probabilă(pentru care probabilitatea r r sau densitatea de probabilitate

Dacă probabilitatea sau densitatea de probabilitate atinge un maxim nu în unul, ci în mai multe puncte, distribuția se numește polimodal(Fig. 3.13).

Modă Mușchi), la care probabilitatea R ( sau densitatea de probabilitate (p(x) atinge un maxim global, se numește valoarea cel mai probabil variabilă aleatoare (în Fig. 3.13 aceasta Mo(X) 2).

Definiție. Mediana Me(X) a unei variabile aleatoare continue X este valoarea acesteia, pentru care

acestea. probabilitatea ca variabila aleatoare X ia o valoare mai mică decât mediana Blană) sau mai mare decât acesta, la fel și egal cu 1/2. Linie verticală geometric X = Blană) trecând printr-un punct cu o abscisă egală cu Blană), împarte aria figurii curbei de distribuție în două părți egale (Fig. 3.14). Evident, la punctul X = Blană) functia de distributie este egala cu 1/2, i.e. P(Me(X))= 1/2 (Fig. 3.15).

Observați o proprietate importantă a medianei unei variabile aleatoare: așteptarea matematică a valorii absolute a abaterii variabilei aleatoare X de la valoarea constantă C este minimă atunci, când această constantă C este egală cu mediana Me(X) = m, adică

(proprietatea este similară cu proprietatea (3,10") a minimalității pătratului mediu al abaterii unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică).

O Exemplul 3.15. Găsiți modul, mediana și media unei variabile aleatoare X s densitatea de probabilitate φ(x) = 3x 2 pentru xx.

Soluţie. Curba de distribuție este prezentată în fig. 3.16. Evident, densitatea de probabilitate φ(x) este maximă la X= Mo(X) = 1.

median Blană) = b găsim din condiția (3.28):

Unde

Așteptările matematice se calculează prin formula (3.25):

Aranjarea reciprocă a punctelor M(X) > Eu(X) și Mușchi) în ordinea crescătoare a absciselor este prezentată în fig. 3.16. ?

Alături de caracteristicile numerice menționate mai sus, conceptul de cuantile și puncte procentuale este folosit pentru a descrie o variabilă aleatorie.

Definiție. Cuantila de nivel y-quantila )

se numește o astfel de valoare x q a unei variabile aleatoare , la care funcţia sa de distribuţie ia o valoare egală cu a muri.

Unele cuantile au primit un nume special. Evident, cele de mai sus median variabila aleatorie este cuantila de nivel 0,5, adică Eu (X) \u003d x 05. Cuantilele dg 0 2 5 și x 075 sunt denumite respectiv inferior și quartila superioarăK

Strâns legat de conceptul de cuantilă este conceptul punct procentual. Sub YuOuHo-noi dot cuantilă implicită x x (( , acestea. o astfel de valoare a unei variabile aleatoare X, sub care

0 Exemplul 3.16. Conform exemplului 3.15 găsiți cuantila x 03 și 30% punct variabil aleatoriu X.

Soluţie. Conform formulei (3.23), funcţia de distribuţie

Găsim cuantila r 0 z din ecuația (3.29), adică. x $ 3 \u003d 0,3, de unde L "oz -0,67. Găsiți punctul de 30% al variabilei aleatoare X, sau cuantila x 0 7, din ecuație x$ 7 = 0,7, de unde x 0 7 "0,89. ?

Dintre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare, momentele - inițiale și centrale - au o importanță deosebită.

Definiție. Moment de pornireOrdinul k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a puterii k a acestei variabile :

Definiție. Punctul centralOrdinul k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a gradului k de abatere a variabilei aleatoare X de la așteptarea sa matematică:

Formule pentru calcularea momentelor pentru variabile aleatoare discrete (luând valorile x 1 cu probabilități p,) și continue (cu densitate de probabilitate cp(x)) sunt date în tabel. 3.1.

Tabelul 3.1

Este ușor să vezi că atunci când k = 1 primul moment inițial al variabilei aleatoare X este așteptarea sa matematică, adică h x \u003d M [X) \u003d a, la la= 2 al doilea moment central este dispersia, i.e. p 2 = T)(X).

Momentele centrale p A pot fi exprimate în termenii momentelor inițiale folosind formulele:

etc.

De exemplu, c 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (la derivare, am luat în considerare faptul că A = M(X)= V, - valoare non-aleatorie). ?

După cum sa menționat mai sus, așteptările matematice M(X), sau primul moment inițial, caracterizează valoarea sau poziția medie, centrul de distribuție al unei variabile aleatorii X pe linia numerică; dispersie OH), sau al doilea moment central p 2 , - s t s - împrăștierea distribuției X relativ M(X). Momentele de ordin superior servesc pentru o descriere mai detaliată a distribuției.

Al treilea moment central p 3 servește la caracterizarea asimetriei distribuției (asimetrie). Are dimensiunea unui cub al unei variabile aleatorii. Pentru a obține o valoare adimensională, aceasta este împărțită la aproximativ 3, unde a este abaterea standard a variabilei aleatoare X. Valoare primită DAR numit coeficientul de asimetrie al unei variabile aleatoare.

Dacă distribuția este simetrică față de așteptările matematice, atunci coeficientul de asimetrie este A = 0.

Pe fig. 3.17 prezintă două curbe de distribuție: I și II. Curba I are o asimetrie pozitivă (pe partea dreaptă) (L > 0), iar curba II are o asimetrie negativă (pe partea stângă) (L

Al patrulea moment central p 4 servește la caracterizarea abruptului (vârful vârfului sau a vârfului plat - stâlp) distribuției.

Valorea estimata. așteptări matematice variabilă aleatoare discretă X, care ia un număr finit de valori Xi cu probabilităţi Ri, se numește suma:

așteptări matematice variabilă aleatoare continuă X se numește integrala produsului valorilor sale X asupra densității distribuției de probabilitate f(X):

(6b)

Integrală necorespunzătoare (6 b) se presupune că este absolut convergentă (altfel spunem că așteptarea M(X) nu exista). Aşteptarea matematică caracterizează Rău variabilă aleatorie X. Dimensiunea sa coincide cu dimensiunea unei variabile aleatoare.

Proprietățile așteptărilor matematice:

Dispersia. dispersie variabilă aleatorie X numarul se numeste:

Dispersia este caracteristică de împrăștiere valorile unei variabile aleatoare X raportat la valoarea sa medie M(X). Dimensiunea varianței este egală cu dimensiunea variabilei aleatoare la pătrat. Pe baza definițiilor varianței (8) și a așteptărilor matematice (5) pentru o variabilă aleatoare discretă și (6) pentru o variabilă aleatoare continuă, obținem expresii similare pentru varianță:

(9)

Aici m = M(X).

Proprietăți de dispersie:

Deviație standard:

(11)

Deoarece dimensiunea abaterii standard este aceeași cu cea a unei variabile aleatoare, este mai des decât varianța utilizată ca măsură a dispersiei.

momentele de distribuție. Conceptele de așteptare și varianță matematică sunt cazuri speciale ale unui concept mai general pentru caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare - momentele de distribuție. Momentele de distribuție ale unei variabile aleatoare sunt introduse ca așteptări matematice ale unor funcții simple ale unei variabile aleatoare. Deci, momentul comenzii k relativ la punct X 0 se numește așteptare M(X–X 0 )k. Momente relativ la origine X= 0 sunt numite momentele inițialeși sunt marcate:

(12)

Momentul inițial de ordinul întâi este centrul de distribuție al variabilei aleatoare considerate:

(13)

Momente relativ la centrul de distribuție X= m numit momente centraleși sunt marcate:

(14)

Din (7) rezultă că momentul central de ordinul întâi este întotdeauna egal cu zero:

Momentele centrale nu depind de originea valorilor variabilei aleatoare, deoarece cu o deplasare cu o valoare constantă DIN centrul său de distribuție este deplasat cu aceeași valoare DIN, iar abaterea de la centru nu se modifică: X – m = (X – DIN) – (m – DIN).
Acum este evident că dispersie- aceasta este moment central de ordinul doi:

Asimetrie. Momentul central al ordinului al treilea:

(17)

serveste la evaluare asimetrie de distribuție. Dacă distribuția este simetrică față de punct X= m, atunci momentul central al ordinului al treilea va fi egal cu zero (precum și toate momentele centrale ale ordinelor impare). Prin urmare, dacă momentul central de ordinul trei este diferit de zero, atunci distribuția nu poate fi simetrică. Mărimea asimetriei este estimată folosind un adimensional coeficient de asimetrie:

(18)

Semnul coeficientului de asimetrie (18) indică asimetria din dreapta sau din stânga (Fig. 2).

Orez. 2. Tipuri de asimetrie a distribuţiilor.

Exces. Momentul central al ordinului al patrulea:

(19)

serveşte la evaluarea aşa-zisului curtoză, care determină gradul de abrupție (punctură) al curbei de distribuție în apropierea centrului de distribuție în raport cu curba de distribuție normală. Deoarece pentru o distribuție normală, cantitatea luată ca curtoză este:

(20)

Pe fig. 3 prezintă exemple de curbe de distribuție cu diferite valori de curtoză. Pentru o distribuție normală E= 0. Curbele care au vârfuri mai mari decât în ​​mod normal au curtoză pozitivă, iar curbele cu vârfuri mai plate au kurtoză negativă.

Orez. 3. Curbe de distribuție cu diferite grade de abruptitate (kurtoză).

Momentele de ordin superior în aplicațiile de inginerie ale statisticii matematice nu sunt de obicei utilizate.

Modă discret variabila aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă. Modă continuu o variabilă aleatorie este valoarea sa la care densitatea de probabilitate este maximă (Fig. 2). Dacă curba de distribuție are un maxim, atunci distribuția este numită unimodal. Dacă curba de distribuție are mai mult de un maxim, atunci distribuția este numită polimodal. Uneori există distribuții ale căror curbe nu au un maxim, ci un minim. Astfel de distribuții sunt numite antimodal. În cazul general, modul și așteptarea matematică a unei variabile aleatoare nu coincid. Într-un caz anume, pentru modal, adică având un mod, o distribuție simetrică și cu condiția să existe o așteptare matematică, aceasta din urmă coincide cu modul și centrul de simetrie al distribuției.

Median variabilă aleatorie X este sensul lui Pe mine, pentru care egalitatea este valabilă: i.e. este la fel de probabil ca variabila aleatoare X va fi mai puțin sau mai mult Pe mine. Geometric median este abscisa punctului în care aria de sub curba de distribuție este împărțită la jumătate (fig. 2). În cazul unei distribuții modale simetrice, mediana, modul și media sunt aceleași.