Aria bazei prismei: de la triunghiular la poligonal. N.Nikitin Geometrie

În fizică, o prismă triunghiulară din sticlă este adesea folosită pentru a studia spectrul luminii albe, deoarece o poate descompune în constituenții săi individuali. În acest articol, vom lua în considerare formula de volum

Ce este o prismă triunghiulară?

Înainte de a da formula de volum, luați în considerare proprietățile acestei figuri.

Pentru a obține acest lucru, trebuie să luați un triunghi de formă arbitrară și să îl mutați paralel cu sine pe o anumită distanță. Vârfurile triunghiului în pozițiile inițiale și finale ar trebui să fie conectate prin segmente drepte. Figura tridimensională rezultată se numește prismă triunghiulară. Are cinci laturi. Două dintre ele se numesc baze: sunt paralele și egale între ele. Bazele prismei considerate sunt triunghiuri. Cele trei laturi rămase sunt paralelograme.

Pe lângă laturi, prisma luată în considerare este caracterizată de șase vârfuri (trei pentru fiecare bază) și nouă muchii (6 muchii se află în planurile bazelor și 3 muchii sunt formate prin intersecția laturilor). Dacă marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, atunci o astfel de prismă se numește dreptunghiulară.

Diferența dintre o prismă triunghiulară și toate celelalte figuri din această clasă este că este întotdeauna convexă (prismele cu patru, cinci, ..., n-gonale pot fi și concave).

Aceasta este o figură dreptunghiulară, la baza căreia se află un triunghi echilateral.

Volumul unei prisme triunghiulare de tip general

Cum se află volumul unei prisme triunghiulare? Formula în termeni generali este similară cu cea pentru o prismă de orice fel. Are următoarea notație matematică:

Aici h este înălțimea figurii, adică distanța dintre bazele sale, S o este aria triunghiului.

Valoarea lui S o poate fi găsită dacă se cunosc unii parametri pentru un triunghi, de exemplu, o latură și două unghiuri, sau două laturi și un unghi. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul înălțimii sale și lungimea laturii pe care această înălțime este coborâtă.

În ceea ce privește înălțimea h a figurii, este cel mai ușor să o găsiți pentru o prismă dreptunghiulară. În acest din urmă caz, h coincide cu lungimea marginii laterale.

Volumul unei prisme triunghiulare regulate

Formula generală pentru volumul unei prisme triunghiulare, care este dată în secțiunea anterioară a articolului, poate fi utilizată pentru a calcula valoarea corespunzătoare pentru o prismă triunghiulară obișnuită. Deoarece baza sa este un triunghi echilateral, aria sa este:

Toată lumea poate obține această formulă dacă își amintește că într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale între ele și formează 60 o. Aici simbolul a este lungimea laturii triunghiului.

Înălțimea h este lungimea muchiei. Nu are nimic de-a face cu baza unei prisme obișnuite și poate lua valori arbitrare. Ca rezultat, formula pentru volumul unei prisme triunghiulare de forma corectă arată astfel:

După ce am calculat rădăcina, putem rescrie această formulă după cum urmează:

Astfel, pentru a găsi volumul unei prisme regulate cu bază triunghiulară, este necesar să pătrați latura bazei, să înmulțiți această valoare cu înălțimea și să înmulțiți valoarea rezultată cu 0,433.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA_1B_1C_1, laturile bazei sunt 4 , iar marginile laterale sunt 10 . Găsiți aria secțiunii prismei după planul care trece prin punctele medii ale muchiilor AB, AC, A_1B_1 și A_1C_1.

Afișează soluția

Soluţie

Luați în considerare următoarea figură.

Segmentul MN este linia mediană a triunghiului A_1B_1C_1, deci MN = \frac12 B_1C_1=2. De asemenea, KL=\frac12BC=2.În plus, MK = NL = 10. Aceasta implică faptul că patrulaterul MNLK este un paralelogram. Din moment ce MK\parallel AA_1, apoi MK\perp ABC și MK\perp KL. Prin urmare, patrulaterul MNLK este un dreptunghi. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Volumul unei prisme patrulatere regulate ABCDA_1B_1C_1D_1 este 24 . Punctul K este mijlocul muchiei CC_1 . Aflați volumul piramidei KBCD.

Afișează soluția

Soluţie

Conform condiției, KC este înălțimea piramidei KBCD . CC_1 este înălțimea prismei ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Deoarece K este punctul de mijloc al lui CC_1 , atunci KC=\frac12CC_1. Fie CC_1=H , atunci KC=\frac12H. De asemenea, rețineți că S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Apoi, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Prin urmare, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme hexagonale regulate a cărei latură de bază este 6 și înălțimea ei este 8.

Afișează soluția

Soluţie

Aria suprafeței laterale a prismei se găsește prin formula S. = P principal. · h = 6a\cdot h, unde P principal. și h sunt, respectiv, perimetrul bazei și înălțimea prismei, egale cu 8 , iar a este latura unui hexagon regulat, egală cu 6 . Prin urmare, partea S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Apa este turnată într-un vas în formă de prismă triunghiulară obișnuită. Nivelul apei ajunge la 40 cm.La ce înălțime va fi nivelul apei dacă se toarnă într-un alt vas de aceeași formă, a cărui latură de bază este de două ori mai mare decât cea a primului? Exprimați răspunsul în centimetri.

Afișează soluția

Soluţie

Fie a latura bazei primului vas, apoi 2 a este partea bazei celui de-al doilea vas. După condiție, volumul lichidului V din primul și al doilea vas este același. Notați cu H nivelul la care s-a ridicat lichidul în al doilea vas. Apoi V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,și, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. De aici \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 toate muchiile sunt 2 . Aflați distanța dintre punctele A și E_1 .

Afișează soluția

Soluţie

Triunghiul AEE_1 este dreptunghic, deoarece muchia EE_1 este perpendiculară pe planul bazei prismei, unghiul AEE_1 va fi un unghi drept.

Apoi prin teorema lui Pitagora AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Găsiți AE din triunghiul AFE folosind teorema cosinusului. Fiecare unghi interior al unui hexagon regulat este de 120^(\circ). Apoi AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Prin urmare, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 8
Tema: Prisma

Condiție

Aflați aria suprafeței laterale a unei prisme drepte a cărei bază este un romb cu diagonale egale cu 4\sqrt5și 8 și o margine laterală egală cu 5 .

Afișează soluția

Soluţie

Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este găsită prin formula S. = P principal. · h = 4a\cdot h, unde P principal. și h, respectiv, perimetrul bazei și înălțimea prismei, egale cu 5, iar a este latura rombului. Să găsim latura rombului, folosind faptul că diagonalele rombului ABCD sunt reciproc perpendiculare și punctul de intersecție este împărțit la jumătate.

Volumul prismei. Rezolvarea problemelor

Geometria este cel mai puternic instrument pentru rafinarea facultăților noastre mentale și ne permite să gândim și să raționăm corect.

G. Galileo

Scopul lecției:

• să predea rezolvarea problemelor de calcul al volumului prismelor, să generalizeze și să sistematizeze informațiile pe care le au elevii despre prismă și elementele acesteia, să-și formeze capacitatea de a rezolva probleme de complexitate crescută;
• dezvolta gândirea logică, capacitatea de a lucra independent, abilitățile de control reciproc și autocontrol, capacitatea de a vorbi și de a asculta;
• să dezvolte obiceiul angajării constante, vreo faptă utilă, educație pentru receptivitate, sârguință, acuratețe.

Tip de lecție: o lecție de aplicare a cunoștințelor, abilităților și abilităților.

Echipament: carduri de control, proiector media, prezentare „Lecția. Volumul prismei”, calculatoare.

În timpul orelor

• Nervurile laterale ale prismei (Fig. 2).
• Suprafața laterală a prismei (Figura 2, Figura 5).
• Înălțimea prismei (Figura 3, Figura 4).
• Prismă directă (Fig. 2,3,4).
• Prismă înclinată (Figura 5).
• Prisma corectă (Fig. 2, Fig. 3).
• Secțiunea diagonală a unei prisme (Fig. 2).
• Diagonala prismei (Figura 2).
• Secțiunea perpendiculară a prismei (pi3, fig4).
• Aria suprafeței laterale a prismei.
• Suprafața totală a prismei.
• Volumul prismei.

1. VERIFICAȚI TEMA (8 min)

Schimbați caiete, verificați soluția pe diapozitive și marcați marcajul (marcați 10 dacă sarcina este compusă)

Desenați o problemă și rezolvați-o. Elevul apără problema pe care a întocmit-o la tablă. Figura 6 și Figura 7.





Capitolul 2, §3
Sarcina.2. Lungimile tuturor marginilor unei prisme triunghiulare regulate sunt egale între ele. Calculați volumul prismei dacă suprafața acesteia este cm 2 (Fig. 8)



Capitolul 2, §3
Sarcina 5. Baza prismei drepte ABCA 1B 1C1 este un triunghi dreptunghic ABC (unghi ABC=90°), AB=4cm. Calculați volumul prismei dacă raza triunghiului circumscris ABC este de 2,5 cm și înălțimea prismei este de 10 cm. (Figura 9).



Capitolul 2, § 3
Problema 29. Lungimea laturii bazei unei prisme patrulatere regulate este de 3cm. Diagonala prismei formează un unghi de 30° cu planul feței laterale. Calculați volumul prismei (Figura 10).



2. Munca în comun a profesorului cu clasa (2-3 min.).

Scop: însumarea rezultatelor încălzirii teoretice (elevii își pun notele unii altora), învățarea cum să rezolve problemele pe această temă.

3. MINUT FIZIC (3 min)
4. REZOLVARE PROBLEME (10 min)

În această etapă, profesorul organizează lucru frontal privind repetarea metodelor de rezolvare a problemelor planimetrice, formule de planimetrie. Clasa este împărțită în două grupe, unii rezolvă probleme, alții lucrează la calculator. Apoi se schimbă. Elevii sunt invitați să rezolve toate Nr. 8 (oral), Nr. 9 (oral). După ce sunt împărțiți în grupuri și transgresează pentru a rezolva problemele nr. 14, nr. 30, nr. 32.

Capitolul 2, §3, pag. 66-67

Problema 8. Toate muchiile unei prisme triunghiulare regulate sunt egale între ele. Aflați volumul prismei dacă aria secțiunii transversale a planului care trece prin marginea bazei inferioare și mijlocul laturii bazei superioare este de cm (Fig. 11).



Capitolul 2, §3, pag. 66-67
Problema 9. Baza unei prisme drepte este un pătrat, iar marginile sale laterale sunt de două ori latura bazei. Calculați volumul prismei dacă raza cercului circumscris în apropierea secțiunii prismei de un plan care trece prin latura bazei și mijlocul muchiei laterale opuse este de cm (Fig. 12)



Capitolul 2, §3, pag. 66-67
Sarcina 14.Baza unei prisme drepte este un romb, una dintre diagonalele căruia este egală cu latura sa. Calculați perimetrul secțiunii printr-un plan care trece prin diagonala mare a bazei inferioare, dacă volumul prismei este egal și toate fețele laterale sunt pătrate (Fig. 13).



Capitolul 2, §3, pag. 66-67
Problema 30.ABCA 1 B 1 C 1 este o prismă triunghiulară regulată, ale cărei toate muchiile sunt egale între ele, punctul din jurul mijlocului muchiei BB 1. Calculați raza cercului înscris în secțiunea prismei de planul AOS, dacă volumul prismei este egal (Fig. 14).



Capitolul 2, §3, pag. 66-67
Problema 32.Într-o prismă patruunghiulară regulată, suma ariilor bazelor este egală cu aria suprafeței laterale. Calculați volumul prismei dacă diametrul cercului circumscris lângă secțiunea prismei de un plan care trece prin două vârfuri ale bazei inferioare și vârful opus al bazei superioare este de 6 cm (Fig. 15).



În timpul rezolvării problemelor, elevii își compară răspunsurile cu cele prezentate de profesor. Acesta este un exemplu de rezolvare a unei probleme cu comentarii detaliate... Munca individuală a unui profesor cu elevi „puternici” (10 min.).

5. Munca independentă a elevilor la test la calculator

1. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este , iar înălțimea este 5. Aflați volumul prismei.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Alegeți afirmația corectă.

1) Volumul unei prisme drepte, a cărei bază este un triunghi dreptunghic, este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea.

2) Volumul unei prisme triunghiulare regulate este calculat prin formula V \u003d 0,25a 2 h - unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

3) Volumul unei prisme drepte este egal cu jumătate din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

4) Volumul unei prisme patruunghiulare obișnuite este calculat prin formula V \u003d a 2 h-unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

5) Volumul unei prisme hexagonale regulate este calculat prin formula V \u003d 1,5a 2 h, unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

3. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu. Un plan este trasat prin partea bazei inferioare și partea superioară opusă a bazei superioare, care trece la un unghi de 45° față de bază. Aflați volumul prismei.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Baza unei prisme drepte este un romb, a cărui latură este 13, iar una dintre diagonale este 24. Aflați volumul prismei dacă diagonala feței laterale este 14.

PRISMA DIRECTA. SUPRAFAȚA ȘI VOLUMUL PRISMEI DIRECTE.

§ 68. VOLUMUL UNEI PRISME DIRECTE.

1. Volumul unei prisme triunghiulare drepte.

Să fie necesar să se găsească volumul unei prisme triunghiulare drepte, a cărei aria bazei este egală cu S și înălțimea este egală cu h= AA" = = BB" = SS" (Fig. 306).

Să desenăm separat baza prismei, adică triunghiul ABC (Fig. 307, a), și să o completăm până la un dreptunghi, pentru care să trasăm o dreaptă KM prin vârful B || AC și din punctele A și C coborâm perpendicularele AF și CE pe această dreaptă. Obținem dreptunghiul ACEF. După ce a tras înălțimea BD a triunghiului ABC, vom vedea că dreptunghiul ACEF este împărțit în 4 triunghiuri dreptunghiulare. Și /\ TOATE = /\ BCD și /\ BAF = /\ RĂU. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului ACEF este de două ori mai mare decât aria triunghiului ABC, adică este egală cu 2S.

La aceasta prisma cu baza ABC adaugam prisme cu baze ALL si BAF si inaltime h(Desenul 307, b). Obținem un paralelipiped dreptunghiular cu bază
ACEF.

Dacă tăiem acest paralelipiped printr-un plan care trece prin liniile BD și BB”, atunci vom vedea că paralelipipedul dreptunghiular este format din 4 prisme cu baze.
BCD, ALL, BAD și BAF.

Prismele cu bazele BCD și ALL pot fi combinate, deoarece bazele lor sunt egale ( /\ BCD = /\ BCE) și egale, de asemenea, marginile lor laterale, care sunt perpendiculare pe un plan. Prin urmare, volumele acestor prisme sunt egale. De asemenea, volumele prismelor cu bazele BAD și BAF sunt egale.

Astfel, se dovedește că volumul unei prisme triunghiulare date cu o bază
ABC este jumătate din volumul unui paralelipiped dreptunghic cu bază ACEF.

Știm că volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea, adică, în acest caz, este egal cu 2S h. Prin urmare, volumul acestei prisme triunghiulare drepte este egal cu S h.

Volumul unei prisme triunghiulare drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea.

2. Volumul unei prisme poligonale drepte.

Pentru a găsi volumul unei prisme poligonale drepte, cum ar fi una pentagonală, cu aria bazei S și înălțimea h, să-l spargem în prisme triunghiulare (Fig. 308).

Notând ariile de bază ale prismelor triunghiulare prin S 1, S 2 și S 3 și volumul acestei prisme poligonale prin V, obținem:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, sau
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Și în sfârșit: V = S h.

În același mod, se obține formula pentru volumul unei prisme drepte cu orice poligon la bază.

Mijloace, Volumul oricărei prisme drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea.

Exerciții.

1. Calculați volumul unei prisme drepte cu un paralelogram la bază, folosind următoarele date:

2. Calculați volumul unei prisme drepte cu un triunghi la bază, folosind următoarele date:

3. Calculați volumul unei prisme drepte având un triunghi echilateral cu latura de 12 cm (32 cm, 40 cm) la bază. Inaltimea prismei 60 cm.

4. Calculați volumul unei prisme drepte având la bază un triunghi dreptunghic cu catete de 12 cm și 8 cm (16 cm și 7 cm; 9 m și 6 m). Înălțimea prismei este de 0,3 m.

5. Calculati volumul unei prisme drepte avand la baza un trapez cu laturile paralele de 18 cm si 14 cm si inaltimea de 7,5 cm.Inaltimea prismei este de 40 cm.

6. Calculați volumul sălii dvs. de clasă (sala de sport, camera dvs.).

7. Suprafața totală a cubului este de 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Calculați volumul acestui cub.

8. Lungimea unei cărămizi de construcție este de 25,0 cm, lățimea ei este de 12,0 cm, grosimea ei este de 6,5 cm. a) Calculați volumul ei, b) Determinați-i greutatea dacă 1 centimetru cub dintr-o cărămidă cântărește 1,6 g.

9. Câte bucăți de cărămizi de construcție vor fi necesare pentru a construi un zid de cărămidă solidă având forma unui paralelipiped dreptunghiular de 12 m lungime, 0,6 m lățime și 10 m înălțime? (Dimensiunile cărămizii din exercițiul 8.)

10. Lungimea unei plăci tăiate curat este de 4,5 m, lățimea este de 35 cm, grosimea este de 6 cm.a) Calculați volumul b) Determinați greutatea acesteia dacă decimetrul cub al plăcii cântărește 0,6 kg.

11. Câte tone de fân pot fi puse într-un fân acoperit cu un acoperiș în fronton (Fig. 309), dacă lungimea fânului este de 12 m, lățimea este de 8 m, înălțimea este de 3,5 m și înălțimea coama acoperișului este de 1,5 m? (Gesitatea specifică a fânului este luată ca 0,2.)

12. Se cere saparea unui sant de 0,8 km lungime; în secțiune șanțul să aibă forma unui trapez cu baze de 0,9 m și 0,4 m, iar adâncimea șanțului să fie de 0,5 m (Fig. 310). Câți metri cubi de pământ vor trebui scoși?

Prisme diferite sunt diferite una de cealaltă. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi aria bazei unei prisme, trebuie să vă dați seama ce fel arată.

Teoria generală

O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, orice poliedru poate fi la baza sa - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale - acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate fi necesar să se cunoască suprafața laterală, adică toate fețele care nu sunt baze. Suprafața completă va fi deja unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori, înălțimile apar în sarcini. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria bazei unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași figuri în fețele superioare și inferioare, atunci zonele lor vor fi egale.

prisma triunghiulara

Are la bază o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. Se știe că este diferit. Dacă atunci este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notația matematică arată astfel: S = ½ av.

Pentru a afla aria bazei într-o formă generală, formulele sunt utile: Heron și cea în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.

Prima formulă ar trebui scrisă astfel: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Această intrare conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.

Al doilea: S = ½ n a * a.

Dacă doriți să cunoașteți aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Are propria formulă: S = ¼ a 2 * √3.

prismă pătrangulară

Baza sa este oricare dintre patrulaterele cunoscute. Poate fi un dreptunghi sau un pătrat, un paralelipiped sau un romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = av, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.

Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care zace la bază. S \u003d a 2.

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S \u003d a * n a. Se întâmplă să fie date o latură a unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: na \u003d b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea este na opusă acestui unghi.

Dacă un romb se află la baza prismei, atunci va fi necesară aceeași formulă pentru a-i determina aria ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar îl puteți folosi și pe acesta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.

Prismă pentagonală regulată

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să poată fi cu un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.

Prismă hexagonală regulată

Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibil să se împartă hexagonul de bază în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria bazei unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai în ea ar trebui înmulțit cu șase.

Formula va arăta astfel: S = 3/2 și 2 * √3.

Sarcini

Nr. 1. Este dată o linie dreaptă regulată. Diagonala sa este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.

Soluţie. Baza unei prisme este un pătrat, dar latura sa nu este cunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 \u003d a 2 + a 2. Astfel, se dovedește că a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum este ușor să aflați aria de bază: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori valoarea suprafeței de bază și să multiplicați de patru ori latura. Acesta din urmă este ușor de găsit prin formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei este de 960 cm 2 .

Răspuns. Aria de bază a prismei este de 144 cm2. Toata suprafata - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana La baza se afla un triunghi cu latura de 6 cm.In acest caz diagonala fetei laterale este de 10 cm.Calculati ariile: baza si suprafata laterala.

Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat ori ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm Pentru a calcula suprafețele lor, este suficient să înmulțim aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, pentru că prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale este înfășurată 180 cm 2 .

Răspuns. Suprafețe: bază - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.