Ecuație liniară omogenă de ordinul doi. Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordin superior

Acest articol dezvăluie problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi luată în considerare împreună cu exemplele problemelor date. Pentru a descifra termeni de neînțeles, este necesar să ne referim la subiectul definițiilor și conceptelor de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.

Luați în considerare o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , unde p și q sunt numere arbitrare, iar funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x .

Să trecem la formularea teoremei soluției generale pentru LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Teorema soluției generale pentru LDNU

Teorema 1

Soluția generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0 , care corespunde LODE și unei soluții particulare y ~ , unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~ .

Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este considerat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După aceea, ar trebui să trecem la definiția lui y ~ .

Alegerea unei anumite soluții pentru LIDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru a face acest lucru, este necesar să luăm în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x) , rezultă că o anumită soluție a LIDE este găsită printr-o formulă de forma y ~ = Q n (x). ) x γ , unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea lui y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili, care sunt definiți de polinom
Q n (x) , găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 1

Calculați folosind teorema Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluţie

Cu alte cuvinte, este necesar să trecem la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1 , care va îndeplini condițiile date y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~ , adică y = y 0 + y ~ .

Mai întâi, să găsim o soluție generală pentru LNDE și apoi una particulară.

Să trecem la găsirea y 0 . Scrierea ecuației caracteristice va ajuta la găsirea rădăcinilor. Înțelegem asta

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, scriem

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. De aici obținem că o soluție specială pentru y ~ va fi

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile A, B, C iau coeficienți nedefiniti.

Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Atunci obținem că:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți x , obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Când rezolvăm în oricare dintre moduri, găsim coeficienții și scriem: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 și y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Pentru a găsi o anumită soluție care să îndeplinească condițiile y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , este necesar să se determine valorile C1și C2, bazat pe o egalitate de forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Primim ca:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , unde C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Aplicând teorema Cauchy, avem asta

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Când funcția f (x) este reprezentată ca produs al unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) e a x , atunci de aici obținem că o anumită soluție a LIDE de ordinul doi va fi o ecuație de forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α .

Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 2

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Soluţie

Ecuația generală y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Exemplul anterior arată că rădăcinile sale sunt k1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x conform ecuaţiei caracteristice.

Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici, LNDE se găsește prin y ~ = e a x Q n (x) x γ , unde Q n (x) , care este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0 , deoarece ecuația caracteristică nu au rădăcina egală cu 1. Prin urmare, obținem asta

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C sunt coeficienți necunoscuți, care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Am inteles

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Echivalăm indicatorii pentru aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Răspuns: se poate observa că y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 este o soluție particulară a LIDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , și A 1și ÎN 1 sunt numere, atunci o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , unde A și B sunt considerați a fi coeficienți nedeterminați, iar r numărul de rădăcini conjugate complexe legate de ecuația caracteristică, egal cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 3

Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Soluţie

Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0 . Apoi

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rădăcinile din ecuația caracteristică sunt considerate a fi o pereche conjugată ± 2 i , atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute coeficienţii A şi B se vor căuta dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Să transformăm:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Atunci se vede ca

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obtinem un sistem de forma:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Răspuns: soluția generală a LIDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți este considerată a fi

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Când f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , atunci y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β , unde P n (x) , Q k (x) , L m ( x) și N m (x) sunt polinoame de gradul n, k, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților L m (x)și N m (x) se produce pe baza egalității y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Exemplul 4

Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Soluţie

Din condiţia reiese clar că

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Atunci m = m a x (n , k) = 1 . Găsim y 0 scriind mai întâi ecuația caracteristică de forma:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe o ecuație neomogenă y ~ de formă

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i . Acești coeficienți se găsesc din egalitatea rezultată:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Găsirea termenilor derivati ​​și similari dă

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Din toate rezultă că

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)păcat(5x))

Răspuns: acum s-a obținut soluția generală a ecuației liniare date:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm pentru rezolvarea LDNU

Definiția 1

Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție oferă algoritmul de soluție:

• găsirea soluției generale a ecuației liniare omogene corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , unde y 1și y2 sunt soluții particulare liniar independente ale LODE, De la 1și De la 2 sunt considerate constante arbitrare;
• acceptarea ca soluție generală a LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• definirea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.

Exemplul 5

Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Soluţie

Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0 , y "" + 36 y = 0 . Să scriem și să rezolvăm:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Avem că înregistrarea soluției generale a ecuației date va lua forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Este necesar să trecem la definiția funcțiilor derivate C 1 (x)și C2(x) conform sistemului cu ecuații:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Trebuie luată o decizie cu privire la C 1 "(x)și C2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Rezultă că soluția generală va avea forma:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)

Un CLDE de ordinul doi cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left( x \right)$ este o funcție continuă.

Următoarele două afirmații sunt adevărate în ceea ce privește al 2-lea LNDE cu PC.

Să presupunem că o anumită funcție $U$ este o soluție particulară arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este o soluție generală (OR) a ecuației diferențiale liniare omogenă corespunzătoare (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci OR al LHDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.

Dacă partea dreaptă a LIDE de ordinul 2 este suma funcțiilor, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, apoi mai întâi puteți găsi PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ care corespund fiecărei dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrieți LNDE-2 PD ca $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluție LNDE de ordinul 2 cu PC

Evident, forma unuia sau altuia PD $U$ a unui LNDE-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD a LNDE-2 sunt formulate ca următoarele patru reguli.

Regula numărul 1.

Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PR $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (NC).

Regula numărul 2.

Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NK.

Regula numărul 3.

Partea din dreapta a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta $ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc prin metoda NDT.

Regula numărul 4.

Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right) $ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcinile ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egale cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NK.

Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului, care fac parte din soluția particulară a ecuației diferențiale neomogene LNDE-2, este necesar:

• înlocuiți PD $U$, scris în formă generală, în partea stângă a LNDE-2;
• în partea stângă a LNDE-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
• în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
• rezolvați sistemul rezultat de ecuații liniare pentru coeficienți necunoscuți.

Exemplul 1

Sarcină: găsiți OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. De asemenea, găsiți PR , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.

Scrieți LODA-2 corespunzătoare: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt reale și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Partea dreaptă a acestui LNDE-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PR-ul acestui LNDE-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NK.

Găsim prima derivată a CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Găsim derivata a doua a CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim functiile $U""$, $U"$ si $U$ in loc de $y""$, $y"$ si $y$ in LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În același timp, deoarece exponentul $e^(3\cdot x) $ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Efectuăm acțiuni în partea stângă a egalității rezultate:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Folosim metoda NC. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ SAU:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Avem un sistem de ecuații:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

O rezolvam. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ este determinat din prima ecuație:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale este: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior.
DE liniar de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Exemple de soluții.

Se trece la considerarea ecuațiilor diferențiale de ordinul doi și a ecuațiilor diferențiale de ordinul superior. Dacă aveți o idee vagă despre ce este o ecuație diferențială (sau nu înțelegeți deloc ce este), atunci vă recomand să începeți cu lecția Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Multe principii de soluție și concepte de bază ale difuzoarelor de ordinul întâi sunt extinse automat la ecuații diferențiale de ordin superior, deci este foarte important să înțelegem mai întâi ecuațiile de ordinul întâi.

Mulți cititori pot avea o prejudecată că DE din ordinea a 2-a, a 3-a și a altora este ceva foarte dificil și inaccesibil pentru stăpânire. Nu este adevarat . A învăța să rezolvi difuze de ordin superior este cu greu mai dificilă decât DE „obișnuite” de ordinul I.. Și în unele locuri este și mai ușor, deoarece materialul din programa școlară este utilizat activ în decizii.

Cel mai popular ecuații diferențiale de ordinul doi. Într-o ecuație diferențială de ordinul doi neapărat include derivata a doua și nu este inclus

Trebuie remarcat faptul că unii dintre bebeluși (și chiar toți deodată) pot lipsi din ecuație, important este ca tatăl să fie acasă. Cea mai primitivă ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:

Ecuațiile diferențiale de ordinul trei în sarcinile practice sunt mult mai puțin frecvente, conform observațiilor mele subiective din Duma de Stat, ar câștiga aproximativ 3-4% din voturi.

Într-o ecuație diferențială de ordinul trei neapărat include derivata a treia și nu este inclus derivate de ordin superior:

Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul trei arată astfel: - tata e acasă, toți copiii sunt la plimbare.

În mod similar, pot fi definite ecuații diferențiale de ordinul 4, 5 și superior. În problemele practice, astfel de DE alunecă extrem de rar, totuși, voi încerca să dau exemple relevante.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior care sunt propuse în problemele practice pot fi împărțite în două grupe principale.

1) Primul grup - așa-numitul ecuații de ordin inferior. Zboară înăuntru!

2) Al doilea grup - ecuații liniare de ordin superior cu coeficienți constanți. Pe care vom începe să luăm în considerare chiar acum.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi
cu coeficienți constanți

În teorie și practică, se disting două tipuri de astfel de ecuații - ecuație omogenăși ecuație neomogenă.

DE omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți are următoarea formă:
, unde și sunt constante (numere), iar în partea dreaptă - strict zero.

După cum puteți vedea, nu există dificultăți speciale cu ecuațiile omogene, principalul lucru este că rezolvați corect ecuația pătratică.

Uneori există ecuații omogene non-standard, de exemplu, o ecuație în formă , unde la derivata a doua există o constantă , diferită de unitate (și, desigur, diferită de zero). Algoritmul de soluție nu se schimbă deloc, trebuie să compunem cu calm ecuația caracteristică și să-i găsim rădăcinile. Dacă ecuaţia caracteristică va avea două rădăcini reale diferite, de exemplu: , atunci soluția generală poate fi scrisă în modul obișnuit: .

În unele cazuri, din cauza unei greșeli de tipar în stare, pot apărea rădăcini „rele”, ceva de genul . Ce să faci, răspunsul va trebui scris astfel:

Cu rădăcini complexe conjugate „rele” ca nici o problema, solutie generala:

Acesta este, o soluţie generală există în orice caz. Pentru că orice ecuație pătratică are două rădăcini.

În ultimul paragraf, așa cum am promis, vom lua în considerare pe scurt:

Ecuații liniare omogene de ordin superior

Totul este foarte, foarte asemănător.

Ecuația liniară omogenă de ordinul trei are următoarea formă:
, unde sunt constante.
Pentru această ecuație, trebuie să compuneți și o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Ecuația caracteristică, după cum mulți au ghicit, arată astfel:
, si el oricum Are exact trei rădăcină.

Să fie, de exemplu, toate rădăcinile reale și distincte: , atunci soluția generală poate fi scrisă după cum urmează:

Dacă o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt complexe conjugate, atunci scriem soluția generală după cum urmează:

Un caz special este atunci când toate cele trei rădăcini sunt multipli (la fel). Să considerăm cel mai simplu DE omogen de ordinul 3 cu un tată singuratic: . Ecuația caracteristică are trei rădăcini zero coincidente. Scriem soluția generală după cum urmează:

Dacă ecuaţia caracteristică are, de exemplu, trei rădăcini multiple, atunci soluția generală, respectiv, este:

Exemplul 9

Rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul al treilea

Soluţie: Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică:

, - se obtin o radacina reala si doua radacini complexe conjugate.

Răspuns: decizie comună

În mod similar, putem considera o ecuație liniară omogenă de ordinul al patrulea cu coeficienți constanți: , unde sunt constante.