Care este suma unghiurilor dintr-un triunghi. Suma unghiurilor unui triunghi

1) Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Dovada

Fie ABC" un triunghi arbitrar. Să tragem o linie prin vârful B paralelă cu dreapta AC (o astfel de linie se numește linie euclidiană). Marcați punctul D pe ea astfel încât punctele A și D să se afle pe laturi opuse a dreptei BC. Unghiurile DBC și ACB sunt egale ca interioare situate transversal, formate din secanta BC cu drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD . Suma tuturor celor trei unghiuri ale triunghiului este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralele AC și BD la secante AB, atunci suma lor este egală cu 180° Teorema este demonstrat.
2) Unghiul extern al unui triunghi la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului triunghiului la acel vârf.

Teoremă: Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale unui triunghi care nu sunt adiacente lui

Dovada. Fie ABC triunghiul dat. Conform teoremei despre suma unghiurilor dintr-un triunghi
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180º.
asta implică
∠ ABC + ∠ CAB = 180º - ∠ BCA = ∠ BCD
Teorema a fost demonstrată.

Din teorema rezulta:
Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.
3) Suma unghiurilor unui triunghi = 180 de grade. Dacă unul dintre unghiuri este o linie dreaptă (90 de grade), celelalte două au și 90, ceea ce înseamnă că fiecare dintre ele este mai mic de 90, adică sunt ascuțite. dacă unul dintre unghiuri este obtuz, atunci celelalte două sunt mai mici de 90, adică sunt clar ascuțite.
4) obtuz - mai mare de 90 de grade
acută - mai puțin de 90 de grade
5) a. Un triunghi cu unul dintre unghiuri egal cu 90 de grade.
b. Picioare și ipotenuză
6) 6°. În fiecare triunghi, un unghi mai mare se află opus laturii mai mari și invers: latura mai mare se află opusă unghiului mai mare. Orice segment are unul și un singur punct de mijloc.
7) Conform teoremei lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, ceea ce înseamnă că ipotenuza este mai mare decât fiecare catete.
8) --- la fel ca 7
9) Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. iar dacă fiecare latură a triunghiului ar fi mai mare decât suma celorlalte două laturi, atunci suma unghiurilor ar fi mai mare decât 180, ceea ce este imposibil. prin urmare - fiecare latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
10) Suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180 de grade.
Deoarece acest triunghi este dreptunghic, atunci unul dintre unghiurile sale este drept, adică este egal cu 90 de grade.
Prin urmare, suma celorlalte două unghiuri ascuțite este 180-90=90 de grade.
11) 1. Luați în considerare un triunghi dreptunghic ABC în care unghiul A este un unghi drept, unghiul B \u003d 30 de grade și unghiul C \u003d 60. Să aplicăm triunghiul ABD egal cu acesta triunghiului ABC. Obținem triunghiuri BCD în care unghiul B = unghiul D = 60 de grade, deci DC = BC. Dar prin construirea AC 1/2 î.Hr., ceea ce urma să fie demonstrat.2. Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul care se află vizavi de acest catet este de 30 de grade. Să aplicăm triunghiului ABC triunghiul său egal ABD. Obțineți un triunghi echilateral BCD. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale între ele (deoarece unghiurile egale se află pe laturi egale), deci fiecare dintre ele = 60 de grade. Dar unghiul DBC = 2 unghiuri ABC, de unde unghiul ABC = 30 de grade, ceea ce trebuia să se dovedească.

Această teoremă a fost formulată și în manualul lui L.S. Atanasyan. , iar în manualul Pogorelov A.V. . Demonstrațiile acestei teoreme din aceste manuale nu diferă semnificativ și, prin urmare, prezentăm demonstrația ei, de exemplu, din manualul lui Pogorelov A.V.

Teorema: suma unghiurilor unui triunghi este 180°

Dovada. Fie ABC triunghiul dat. Desenați o dreaptă prin vârful B paralelă cu dreapta AC. Marcați punctul D pe acesta astfel încât punctele A și D să se afle pe părțile opuse ale dreptei BC (Fig. 6).

Unghiurile DBC și ACB sunt egale ca încrucișări interne, formate dintr-o secantă BC cu drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului de la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD. Și suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralele AC și BD și secanta AB, suma lor este 180 °. Teorema a fost demonstrată.

Ideea acestei dovezi este de a trage o linie paralelă și de a indica egalitatea unghiurilor dorite. Reconstituim ideea unei astfel de construcții suplimentare prin demonstrarea acestei teoreme folosind conceptul de experiment de gândire. Demonstrarea teoremei folosind un experiment de gândire. Deci, subiectul experimentului nostru de gândire este unghiurile unui triunghi. Să-l plasăm psihic în asemenea condiții în care esența sa poate fi dezvăluită cu o certitudine deosebită (etapa 1).

Astfel de condiții vor fi o astfel de aranjare a colțurilor triunghiului, în care toate cele trei vârfuri ale lor vor fi combinate la un moment dat. O astfel de combinație este posibilă dacă permitem posibilitatea „deplasării” colțurilor, prin deplasarea laturilor triunghiului fără modificarea unghiului de înclinare (Fig. 1). Astfel de mișcări sunt în esență transformări mentale ulterioare (etapa 2).

Făcând desemnarea unghiurilor și laturilor triunghiului (Fig. 2), unghiurile obținute în timpul „mișcării”, formăm astfel mental mediul, sistemul de conexiuni în care ne plasăm subiectul de gândire (etapa 3).

Linia AB „se mișcă” de-a lungul liniei BC și nu schimbă unghiul de înclinare față de aceasta, traduce unghiul 1 în unghiul 5, iar „deplasarea” de-a lungul liniei AC, traduce unghiul 2 în unghiul 4. Deoarece cu o astfel de „mișcare” linia AB nu modifică unghiul de înclinare față de liniile AC și BC, atunci concluzia este evidentă: razele a și a1 sunt paralele cu AB și trec una în cealaltă, iar razele b și b1 sunt continuare ale laturilor BC și, respectiv, AC. Deoarece unghiul 3 și unghiul dintre razele at și at1 sunt verticale, ele sunt egale. Suma acestor unghiuri este egală cu unghiul extins aa1 - ceea ce înseamnă 180 °.

CONCLUZIE

În lucrarea de teză au fost realizate dovezi „construite” ale unor teoreme geometrice școlare, folosind structura unui experiment de gândire, care a fost o confirmare a ipotezei formulate.

Dovezile prezentate s-au bazat pe astfel de idealizări vizual-senzoriale: „compresie”, „întindere”, „alunecare”, care au făcut posibilă transformarea obiectului geometric original într-un mod special și evidențierea caracteristicilor sale esențiale, ceea ce este tipic pentru o gândire. experiment. În același timp, experimentul mental acționează ca un anumit „instrument creativ” care contribuie la apariția cunoștințelor geometrice (de exemplu, despre linia mediană a unui trapez sau despre unghiurile unui triunghi). Astfel de idealizări fac posibilă înțelegerea întregii idei de demonstrație, ideea de a realiza o „construcție suplimentară”, ceea ce ne permite să vorbim despre posibilitatea unei înțelegeri mai conștiente de către școlari a procesului de demonstrare deductivă formală. a teoremelor geometrice.

Un experiment de gândire este una dintre metodele de bază pentru obținerea și descoperirea teoremelor geometrice. Este necesar să se elaboreze o metodologie de transfer al metodei către student. Rămâne o întrebare deschisă despre vârsta elevului acceptabilă pentru „acceptarea” metodei, despre „efectele secundare” ale dovezilor prezentate în acest fel.

Aceste întrebări necesită un studiu suplimentar. Dar, în orice caz, nu există îndoială un lucru: un experiment de gândire dezvoltă gândirea teoretică la școlari, este baza sa și, prin urmare, capacitatea de experimentare mentală trebuie dezvoltată.

Teorema. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte.

Luați un triunghi ABC (Fig. 208). Să notăm unghiurile sale interioare cu 1, 2 și 3. Să demonstrăm că

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Să desenăm printr-un vârf al triunghiului, de exemplu B, dreapta MN paralelă cu AC.

La vârful B, avem trei unghiuri: ∠4, ∠2 și ∠5. Suma lor este un unghi drept, prin urmare, este egală cu 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Dar ∠4 \u003d ∠1 sunt unghiuri interioare încrucișate cu drepte paralele MN și AC și o secanta AB.

∠5 = ∠3 sunt unghiuri interioare încrucișate cu drepte paralele MN și AC și secante BC.

Prin urmare, ∠4 și ∠5 pot fi înlocuite cu egalii lor ∠1 și ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema a fost demonstrată.

2. Proprietatea unghiului extern al unui triunghi.

Într-adevăr, în triunghiul ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, dar și ∠BCD, unghiul extern al acestui triunghi, neadiacent cu ∠1 și ∠2, este de asemenea egal cu 180° - ∠3 .

Prin urmare:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Proprietatea derivată a unghiului extern al unui triunghi rafinează conținutul teoremei demonstrate anterior asupra unghiului extern al unui triunghi, în care s-a afirmat doar că unghiul extern al unui triunghi este mai mare decât fiecare unghi intern al triunghiului care este nu este adiacent cu acesta; acum se stabilește că unghiul exterior este egal cu suma ambelor unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

3. Proprietatea unui triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

Fie unghiul B egal cu 30° într-un triunghi dreptunghic ACB (Fig. 210). Apoi celălalt unghi ascuțit al său va fi de 60°.

Să demonstrăm că catetul AC este egal cu jumătate din ipotenuza AB. Continuăm catetul AC dincolo de vârful unghiului drept C și lăsăm deoparte segmentul CM, egal cu segmentul AC. Conectăm punctul M cu punctul B. Triunghiul rezultat BCM este egal cu triunghiul DIA. Vedem că fiecare unghi al triunghiului AVM este egal cu 60°, prin urmare, acest triunghi este echilateral.

Catemul AC este egal cu jumătate din AM și, deoarece AM este egal cu AB, catetul AC va fi egal cu jumătate din ipotenuza AB.

>>Geometrie: suma unghiurilor unui triunghi. Lecții complete

TEMA LECȚIEI: Suma unghiurilor unui triunghi.

Obiectivele lecției:

• Consolidarea și testarea cunoștințelor elevilor pe tema: „Suma unghiurilor unui triunghi”;
• Dovada proprietăților unghiurilor unui triunghi;
• Utilizarea acestei proprietăți în rezolvarea celor mai simple probleme;
• Utilizarea materialului istoric pentru dezvoltarea activității cognitive a elevilor;
• Insuflarea abilității de precizie în construcția desenelor.

Obiectivele lecției:

• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției:

1. Triunghi;
2. Teoremă asupra sumei unghiurilor unui triunghi;
3. Exemplu de sarcină.

Triunghi.

Fișier:O.gif Triunghi- cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (colțuri) și 3 laturi; o parte a unui plan mărginită de trei puncte și trei segmente de dreaptă care leagă aceste puncte în perechi.
Trei puncte din spațiu care nu se află pe o singură dreaptă corespund unui singur plan.
Orice poligon poate fi împărțit în triunghiuri - acest proces se numește triangulaţie.
Există o secțiune de matematică dedicată în întregime studiului modelelor de triunghiuri - Trigonometrie.

Teoremă asupra sumei unghiurilor unui triunghi.

Fișier:T.gif Teorema sumei unghiurilor triunghiulare este o teoremă clasică în geometria euclidiană care afirmă că suma unghiurilor unui triunghi este de 180°.

dovada" :

Fie dat Δ ABC. Să trasăm o dreaptă paralelă cu (AC) prin vârful B și să marchem punctul D pe acesta, astfel încât punctele A și D să se afle pe laturile opuse ale dreptei BC. Atunci unghiul (DBC) și unghiul (ACB) sunt egale ca cruci interne situate la liniile paralele BD și AC și secanta (BC). Atunci suma unghiurilor triunghiului de la vârfurile B și C este egală cu unghiul (ABD). Dar unghiul (ABD) și unghiul (BAC) la vârful A al triunghiului ABC sunt interioare unilaterale cu drepte paralele BD și AC și secante (AB), iar suma lor este de 180°. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi este 180°. Teorema a fost demonstrată.

Consecințe.

Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.

Dovada:

Fie dat Δ ABC. Punctul D se află pe dreapta AC astfel încât A se află între C și D. Atunci BAD este extern unghiului triunghiului la vârful A și A + BAD = 180°. Dar A + B + C = 180°, și deci B + C = 180° – A. Prin urmare BAD = B + C. Corolarul este demonstrat.

Consecințe.

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.

Sarcină.

Unghiul exterior al unui triunghi este unghiul adiacent oricărui unghi al acestui triunghi. Demonstrați că un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.
(Fig.1)

Soluţie:

Fie în Δ ABC ∠DAC extern (Fig.1). Atunci ∠DAC=180°-∠BAC (după proprietatea unghiurilor adiacente), conform teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi ∠B+∠C =180°-∠BAC. Din aceste egalități obținem ∠DAC=∠B+∠C

Fapt interesant:

Suma unghiurilor unui triunghi :

În geometria lui Lobaciovski, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică de 180. În geometria lui Euclid, este întotdeauna egală cu 180. În geometria riemanniană, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mare decât 180.

Din istoria matematicii:

Euclid (secolul al III-lea î.Hr.) în lucrarea „Începuturi” dă următoarea definiție: „Paralele sunt drepte care se află în același plan și, fiind prelungite la nesfârșit de ambele părți, nu se întâlnesc una cu cealaltă de nicio parte”.
Posidonius (secolul I î.Hr.) „Două linii drepte situate în același plan, echidistante una de cealaltă”
Omul de știință grec antic Pappus (sec. III î.Hr.) a introdus simbolul liniilor paralele - semnul =. Ulterior, economistul englez Ricardo (1720-1823) a folosit acest simbol ca semn egal.
Abia în secolul al XVIII-lea au început să folosească simbolul liniilor paralele - semnul ||.
Legătura live dintre generații nu se întrerupe nicio clipă, în fiecare zi învățăm experiența acumulată de strămoșii noștri. Grecii antici, pe baza observațiilor și a experienței practice, au tras concluzii, au exprimat ipoteze, iar apoi, la întâlnirile oamenilor de știință - simpozioane (literalmente „sărbătoare”) - au încercat să fundamenteze și să demonstreze aceste ipoteze. În acel moment, s-a format declarația: „Adevărul se naște într-o dispută”.

Întrebări:

1. Ce este un triunghi?
2. Ce spune teorema sumei triunghiului?
3. Care este unghiul exterior al triunghiului?