Cum să asamblați un cub chinezesc din 6 părți. Noduri puzzle din lemn din bare

Data de: 2013-11-07

Lumea este aranjată în așa fel încât lucrurile din ea să poată trăi mai mult decât oamenii, să aibă nume diferite în momente diferite și în diferite țări, putem chiar să jucăm jocuri Simpsons. Jucăria pe care o vedeți în imagine este cunoscută la noi ca „puzzle-ul amiralului Makarov”. În alte țări, are și alte denumiri, dintre care cele mai frecvente sunt „crucea diavolului” și „nodul diavolului”.

Acest nod este conectat din 6 bare de secțiune pătrată. Există caneluri în bare, datorită cărora este posibilă traversarea barelor în centrul nodului. Una dintre bare nu are caneluri, este așezată ultima în ansamblu, iar atunci când este dezasamblată, este scoasă mai întâi.

Autorul acestui puzzle este necunoscut. A apărut cu multe secole în urmă în China. În Muzeul de Antropologie și Etnografie din Leningrad. Petru cel Mare, cunoscut sub numele de „Kunstkammer”, se află o veche cutie din lemn de santal din India, în 8 colțuri dintre care intersecțiile barelor de cadru formează 8 puzzle-uri. În Evul Mediu, marinarii și negustorii, războinicii și diplomații se distrau cu astfel de puzzle-uri și, în același timp, le transportau în jurul lumii. Amiralul Makarov, care a vizitat de două ori China înainte de ultima sa călătorie și moartea în Port Arthur, a adus jucăria la Sankt Petersburg, unde a devenit la modă în saloanele seculare. Puzzle-ul a pătruns și în adâncurile Rusiei pe alte drumuri. Se știe că un soldat care s-a întors din războiul ruso-turc a adus un pachet de diavol în satul Olsufyevo din regiunea Bryansk.

Acum puzzle-ul poate fi cumpărat din magazin, dar este mai plăcut să-l faci singur. Cea mai potrivită dimensiune a barelor pentru un design de casă: 6x2x2 cm.

O varietate de noduri

Înainte de începutul secolului nostru, timp de câteva sute de ani de existență a jucăriilor în China, Mongolia și India, au fost inventate peste o sută de variante ale puzzle-ului, care diferă unele de altele prin configurația decupajelor din bare. Dar cele mai populare sunt două opțiuni. Cel prezentat în Figura 1 este destul de ușor de rezolvat, doar fă-l. Acest design este folosit în vechea cutie indiană. Din barele din Figura 2, se formează un puzzle, care se numește „Nodul Diavolului”. După cum ați putea ghici, și-a primit numele pentru dificultatea de a rezolva.

Orez. 1 Cea mai simplă versiune a puzzle-ului „la naiba”.

În Europa, unde, de la sfârșitul secolului trecut, „Nodul Diavolului” a devenit cunoscut pe scară largă, pasionații au început să inventeze și să realizeze seturi de bare cu diferite configurații de decupaj. Unul dintre cele mai de succes seturi vă permite să obțineți 159 de puzzle-uri și este format din 20 de bare de 18 tipuri. Deși toate nodurile nu se pot distinge în exterior, ele sunt aranjate complet diferit în interior.

Orez. 2 „Puzzle-ul amiralului Makarov”

Artistul bulgar, profesorul Petr Chukhovski, autorul multor noduri de lemn bizare și frumoase dintr-un număr diferit de bare, a lucrat și el la puzzle-ul Nodul Diavolului. El a dezvoltat un set de configurații de bare și a explorat toate combinațiile posibile de 6 bare pentru un subset simplu al acestora.

Cel mai persistent dintre toate în astfel de căutări a fost profesorul olandez de matematică Van de Boer, care a realizat un set de câteva sute de bare cu propriile mâini și a compilat tabele care arată cum să asamblați opțiunile de 2906 de noduri.

Era în anii 60, iar în 1978 matematicianul american Bill Cutler a scris un program pentru computer și a determinat prin forță brută că există 119.979 de variante ale unui puzzle din 6 elemente care diferă unele de altele prin combinații de proeminențe și depresiuni în bare. , precum și barele de plasare, cu condiția ca în interiorul nodului să nu existe goluri.

Număr surprinzător de mare pentru o jucărie atât de mică! Prin urmare, pentru a rezolva problema, a fost nevoie de un computer.

Cum rezolvă un computer puzzle-uri?

Nu ca un om, desigur, dar nici într-un fel magic. Un computer rezolvă puzzle-uri (și alte probleme) conform unui program; programele sunt scrise de programatori. Ei scriu cum le este convenabil, dar în așa fel încât computerul să poată înțelege. Cum manipulează un computer blocurile de lemn?

Vom pleca de la faptul că avem un set de 369 de bare care diferă între ele în configurația proeminențelor (acest set a fost identificat pentru prima dată de Van de Boer). Descrierile acestor bare trebuie introduse în computer. Crestătura minimă (sau proeminența) dintr-un bloc este un cub cu o margine egală cu 0,5 din grosimea blocului. Să-i spunem un cub unitar. Întreaga bară conține 24 de astfel de cuburi (Figura 1). În computer, pentru fiecare bară, se introduce o matrice „mică” de 6x2x2=24 de numere. O bară cu decupaje este dată de o secvență de 0 și 1 într-o matrice „mică”: 0 corespunde cubului decupat, 1 - întregului. Fiecare dintre matricele „mici” are propriul său număr (de la 1 la 369). Oricare dintre ele i se poate atribui și un număr de la 1 la 6, corespunzător poziției barei în interiorul puzzle-ului.

Să trecem la puzzle acum. Imaginează-ți că se potrivește într-un cub de 8x8x8. Într-un computer, acest cub corespunde unei matrice „mare” constând din 8x8x8=512 celule-numere. A plasa o anumită bară în interiorul unui cub înseamnă a umple celulele corespunzătoare ale matricei „mare” cu numere egale cu numărul barei date.

Comparând 6 matrice „mici” și cel principal, computerul (adică programul) adună 6 bare, așa cum ar fi. Pe baza rezultatelor adunării numerelor, determină câte și care celule „goale”, „umplute” și „debordate” s-au format în matricea principală. Celulele „goale” corespund unui spațiu gol din interiorul puzzle-ului, celulele „umplute” corespund proeminențelor din bare, iar celulele „debordate” corespund unei încercări de a conecta două cuburi individuale, ceea ce, desigur, este interzis. O astfel de comparație se face de multe ori, nu numai cu diferite bare, ci și ținând cont de turele acestora, de locurile pe care le ocupă în „cruce” etc.

Ca rezultat, sunt selectate acele opțiuni în care nu există celule goale și debordante. Pentru a rezolva această problemă, ar fi suficientă o matrice „mare” de celule 6x6x6. Se dovedește, totuși, că există combinații de bare care umplu complet volumul intern al puzzle-ului, dar este imposibil să le demontăm. Prin urmare, programul trebuie să poată verifica nodul pentru posibilitatea de demontare. Pentru a face acest lucru, Cutler a luat o matrice de 8x8x8, deși dimensiunile sale ar putea să nu fie suficiente pentru a verifica toate cazurile.

Este plin cu informații despre o anumită variantă a puzzle-ului. În interiorul matricei, programul încearcă să „mute” barele, adică mută părți ale barei cu o dimensiune de 2x2x6 celule în matricea „mare”. Mișcarea este de 1 celulă în fiecare dintre cele 6 direcții paralele cu axele puzzle-ului. Rezultatele celor din cele 6 încercări, în care nu se formează celule „debordate”, sunt stocate ca poziții de pornire pentru următoarele șase încercări. Ca urmare, se construiește un arbore cu toate mișcările posibile până când o bară părăsește complet matricea principală sau, după toate încercările, rămân celule „debordate”, ceea ce corespunde unei variante care nu poate fi analizată.

Așa s-au obținut pe calculator 119.979 de variante ale „Nodului Diavolului”, inclusiv nu 108, așa cum credeau anticii, ci 6402 variante, având 1 bară întreagă fără decupaje.

Supernod

Rețineți că Cutler a refuzat să studieze problema generală - când nodul conține și goluri interne. În acest caz, numărul de noduri de 6 bare crește foarte mult și căutarea exhaustivă necesară pentru a găsi soluții fezabile devine nerealistă chiar și pentru un computer modern. Dar, după cum vom vedea acum, cele mai interesante și dificile puzzle-uri sunt cuprinse tocmai în cazul general - atunci dezasamblarea puzzle-ului poate fi făcută departe de a fi banală.

Datorită prezenței golurilor, este posibil să se mute succesiv mai multe bare înainte de a fi posibilă separarea completă a oricărei bare. Bara mobilă desprinde unele bare, permite mișcarea următoarei bare și, simultan, cuplează alte bare.

Cu cât trebuie să faci mai multe manipulări în timpul dezasamblarii, cu atât varianta puzzle-ului este mai interesantă și mai dificilă. Canelurile din bare sunt aranjate atât de viclean, încât căutarea unei soluții este ca rătăcirea printr-un labirint întunecat, în care dai constant fie peste pereți, fie peste fundături. Acest tip de nod merită cu siguranță un nou nume; îl vom numi „supernod”. O măsură a complexității unui supernod este numărul de mișcări ale barelor individuale care trebuie făcute înainte ca primul element să fie separat de puzzle.

Nu știm cine a inventat primul supernod. Cele mai cunoscute (și mai greu de rezolvat) sunt două supernoduri: „Spinul lui Bill” de complexitate 5, inventat de W. Cutler, și „Supernodul Dubois” de complexitate 7. Până acum, se credea că complexitatea 7 cu greu putea fi depăşit. Cu toate acestea, primul dintre autorii acestui articol a reușit să îmbunătățească „nodul Dubois” și să crească complexitatea la 9, iar apoi, folosind câteva idei noi, să obțină supernoduri cu complexitatea 10, 11 și 12. Dar numărul 13 rămâne de netrecut, așa că departe. Poate că numărul 12 este cea mai mare complexitate a supernodului?

Soluție de supernod

Desenarea unor astfel de puzzle-uri dificile precum supernoduri și a nu dezvălui secretele lor ar fi prea crudă chiar și pentru cunoscătorii de puzzle-uri. Vom da soluția supernodurilor într-o formă compactă, algebrică.

Înainte de dezasamblare, luăm puzzle-ul și îl orientăm astfel încât numerele pieselor să corespundă cu figura 1. Secvența de dezasamblare este scrisă ca o combinație de numere și litere. Cifrele indică numerele barelor, literele indică direcția de mișcare în conformitate cu sistemul de coordonate prezentat în figurile 3 și 4. O bară deasupra unei litere înseamnă mișcare în direcția negativă a axei de coordonate. Un pas este să mutați bara cu 1/2 din lățime. Când bara se mișcă doi pași deodată, mișcarea sa este scrisă între paranteze cu un exponent de 2. Dacă sunt mutate simultan mai multe părți care sunt legate între ele, atunci numerele lor sunt cuprinse între paranteze, de exemplu (1, 3, 6) x. Separarea blocului de puzzle este marcată cu o săgeată verticală.

Să dăm acum exemple ale celor mai bune supernoduri.

Puzzle-ul lui W. Cutler („Spinul lui Bill”)

Este alcătuit din părțile 1, 2, 3, 4, 5, 6, prezentate în Figura 3. Acolo este și un algoritm de rezolvare. În mod curios, Scientific American (1985, nr. 10) oferă o versiune diferită a acestui puzzle și raportează că „Spinul lui Bill” are o soluție unică. Diferența dintre opțiuni este doar într-o singură bară: detaliile 2 și 2 B din Figura 3.

Orez. 3 „Bill’s Thorn”, proiectat pe computer.

Datorită faptului că partea 2 B conține mai puține decupaje decât partea 2, nu este posibil să o inserați în spinul lui Bill conform algoritmului prezentat în Figura 3. Rămâne de presupus că puzzle-ul de la „Scientific American” este asamblat într-un alt mod.

Dacă acesta este cazul și îl colectăm, atunci putem înlocui partea 2 B cu partea 2, deoarece aceasta din urmă ocupă mai puțin volum decât 2 V. Ca urmare, vom obține a doua soluție a puzzle-ului. Dar „Spinul lui Bill” are o soluție unică și din contradicția noastră se poate trage o singură concluzie: în cea de-a doua versiune a fost făcută o eroare în desen.

O greșeală similară a fost făcută într-o altă publicație (J. Slocum, J. Botermans „Puzzles old and new”, 1986), dar într-o altă bară (detaliul 6 C în Figura 3). Cum a fost pentru acei cititori care au încercat și, poate, încă încearcă să rezolve aceste puzzle-uri?