Care este a doua limită minunată. A doua limită remarcabilă: exemple de găsire, probleme și soluții detaliate

Acest articol: „A doua limită remarcabilă” este dedicat dezvăluirii în incertitudinile speciei:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ și $ ^\infty $.

De asemenea, astfel de incertitudini pot fi dezvăluite folosind logaritmul funcției de putere exponențială, dar aceasta este o altă metodă de soluție, care va fi tratată într-un alt articol.

Formula și consecințele

Formulă a doua limită remarcabilă se scrie după cum urmează: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $ $

Din formula urmează consecințe, care sunt foarte convenabile pentru rezolvarea exemplelor cu limite: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Trebuie remarcat faptul că a doua limită remarcabilă nu poate fi aplicată întotdeauna unei funcții de putere exponențială, ci numai în cazurile în care baza tinde spre unitate. Pentru a face acest lucru, mai întâi calculați limita bazei din minte și apoi trageți concluzii. Toate acestea vor fi discutate în exemplele de soluții.

Exemple de soluții

Luați în considerare exemple de soluții folosind formula directă și consecințele acesteia. Vom analiza și cazurile în care formula nu este necesară. Este suficient să scrieți doar răspunsul gata.

Exemplul 1

Găsiți limita $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

Soluţie

Înlocuind infinitul în limită și analizând incertitudinea: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg( \frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Aflați limita bazei: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac( 4)( x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Avem o bază egală cu unu, ceea ce înseamnă că puteți aplica deja a doua limită minunată. Pentru a face acest lucru, vom potrivi baza funcției la formulă scăzând și adăugând una: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Ne uităm la a doua consecință și notăm răspunsul: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

Exemplul 4

Rezolvați limita $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

Soluţie

Găsim limita bazei și vedem că $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, deci putem aplica a doua limită minunată. Ca standard, conform planului, adunăm și scădem unul din baza gradului: $$ \lim_(x\la \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Ajustăm fracția sub formula celei de-a doua observații. limită: $$ = \lim_(x\la \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Acum reglați gradul. Exponentul trebuie să conțină o fracție egală cu numitorul bazei $ \frac(3x^2-2)(6) $. Pentru a face acest lucru, înmulțiți și împărțiți gradul cu acesta și continuați să rezolvați: $$ = \lim_(x\la \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Limita situată în puterea la $ e $ este: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Așadar, continuând soluția avem:

Răspuns

$$ \lim_(x\la \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

Să analizăm cazurile în care problema este similară cu cea de-a doua limită remarcabilă, dar este rezolvată fără ea.

În articolul: „A doua limită remarcabilă: exemple de soluții”, s-a analizat formula, au fost date consecințele acesteia și tipuri frecvente de probleme pe această temă.

Dovada:

Să demonstrăm mai întâi teorema pentru cazul șirului

Conform formulei binomiale a lui Newton:

Presupunând că primim

Din această egalitate (1) rezultă că pe măsură ce n crește, numărul de termeni pozitivi din partea dreaptă crește. În plus, pe măsură ce n crește, numărul scade, deci și cantitățile crește. Prin urmare, succesiunea crescând, în timp ce (2)* Să arătăm că este mărginit. Înlocuim fiecare paranteză din partea dreaptă a egalității cu una, partea dreaptă crește, obținem inegalitatea

Întărim inegalitatea rezultată, înlocuim 3,4,5, ..., stând în numitorii fracțiilor, cu numărul 2: Găsim suma între paranteze folosind formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice: Prin urmare (3)*

Astfel, șirul este mărginit de sus, în timp ce inegalitățile (2) și (3) sunt valabile: Prin urmare, pe baza teoremei Weierstrass (un criteriu pentru convergența unei secvențe), secvența crește monoton și este mărginit, ceea ce înseamnă că are o limită, notată cu litera e. Acestea.

Știind că a doua limită remarcabilă este adevărată pentru valorile naturale ale lui x, demonstrăm a doua limită remarcabilă pentru x real, adică demonstrăm că . Luați în considerare două cazuri:

1. Fie fiecare valoare x să fie între două numere întregi pozitive: , unde este partea întreagă a lui x. => =>

Dacă , atunci Prin urmare, în funcție de limită Avem

Pe baza (pe limita unei funcţii intermediare) a existenţei limitelor

2. Fie . Să facem o înlocuire − x = t, atunci

Din aceste două cazuri rezultă că pentru x real.

Consecințe:

9 .) Comparația infinitezimale. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu echivalente în limită și teorema asupra părții principale a infinitezimale.

Fie funcțiile a( X) și b( X) – b.m. la X ® X 0 .

DEFINIȚII.

1) a( X) numit un ordin infinitezimal mai mare decât b (X) Dacă

Scrieți: a( X) = o(b( X)) .

2) a( X) Și b( X)numit infinitezimale de același ordin, Dacă

unde Cнℝ și C¹ 0 .

Scrieți: a( X) = O(b( X)) .

3) a( X) Și b( X) numit echivalent , Dacă

Scrieți: a( X) ~ b( X).

4) a( X) se numește ordin infinitezimal k față de
foarte infinitezimal b( X), dacă infinitezimal A( X)Și(b( X)) k au aceeași ordine, adică Dacă

unde Cнℝ și C¹ 0 .

TEOREMA 6 (despre înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente).

Lăsa A( X), b( X), a 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. la x ® X 0 . Dacă A( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),

Acea

Dovada: Fie a( X) ~ a 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Apoi

TEOREMA 7 (despre partea principală a infinitului mic).

Lăsa A( X)Și b( X)– b.m. la x ® X 0 , și b( X)– b.m. ordin mai mare decât A( X).

= , a deoarece b( X) – ordin mai mare decât a( X), atunci , i.e. din este clar că un( X) + b( X) ~ a( X)

10) Continuitatea funcției într-un punct (în limbajul limitelor epsilon-delta, geometric) Continuitate unilaterală. Continuitate pe un interval, pe un segment. Proprietățile funcțiilor continue.

1. Definiții de bază

Lăsa f(X) este definită într-o vecinătate a punctului X 0 .

DEFINIȚIA 1. funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 dacă egalitatea este adevărată

Remarci.

1) Prin teorema 5 din §3, egalitatea (1) poate fi scrisă ca

Stare (2) - definirea continuității unei funcții într-un punct în limbajul limitelor unilaterale.

2) Egalitatea (1) poate fi scrisă și ca:

Ei spun: „dacă o funcție este continuă într-un punct X 0 , atunci semnul limitei și funcția pot fi schimbate.

DEFINIȚIA 2 (în limba e-d).

funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 Dacă„e>0 $d>0 astfel de, Ce

dacă xОU( X 0, d) (adică | X – X 0 | < d),

apoi f(X)ОU( f(X 0), e) (adică | f(X) – f(X 0) | < e).

Lăsa X, X 0 Î D(f) (X 0 - fix, X- arbitrar)

Notă: D X= x-x 0 – increment de argument

D f(X 0) = f(X) – f(X 0) – creșterea funcției în punctul x 0

DEFINIȚIA 3 (geometrică).

funcția f(X) pe numit continuu la un punct X 0 dacă în acest moment un increment infinitezimal al argumentului corespunde unui increment infinitezimal al funcţiei, adică

Lasă funcția f(X) este definită pe intervalul [ X 0 ; X 0 + d) (pe intervalul ( X 0 - d; X 0 ]).

DEFINIȚIE. funcția f(X) numit continuu la un punct X 0 pe dreapta (stânga ), dacă egalitatea este adevărată

Este evident că f(X) este continuă la punct X 0 Û f(X) este continuă la punct X 0 dreapta si stanga.

DEFINIȚIE. funcția f(X) numit continuu pe interval e ( A; b) dacă este continuă în fiecare punct al acestui interval.

funcția f(X) se numeste continuu pe segment [A; b] dacă este continuă pe interval (A; b) și are continuitate unilaterală la punctele de limită(adică continuu la punctul A corect, punct b- la stânga).

11) Puncte de break, clasificarea lor

DEFINIȚIE. Dacă funcția f(X) este definită într-o vecinătate a punctului x 0 , dar nu este continuă în acel moment, atunci f(X) se numeste discontinuu in punctul x 0 , dar ideea X 0 numit punct de rupere funcții f(X) .

Remarci.

1) f(X) poate fi definită într-o vecinătate incompletă a punctului X 0 .

Apoi luați în considerare continuitatea unilaterală corespunzătoare a funcției.

2) Din definiția lui z, punctul X 0 este punctul de întrerupere al funcției f(X) în două cazuri:

a) U( X 0, d)n D(f) , dar pentru f(X) egalitatea nu este satisfăcută

b) U * ( X 0, d)n D(f) .

Pentru funcțiile elementare, este posibil doar cazul b).

Lăsa X 0 - punctul de întrerupere a funcției f(X) .

DEFINIȚIE. punctul x 0 numit punctul limita eu drăguț dacă funcția f(X)are limite finite în acest punct în stânga și în dreapta.

Dacă, în plus, aceste limite sunt egale, atunci punctul x 0 numit punct de rupere , in caz contrar - punct de salt .

DEFINIȚIE. punctul x 0 numit punctul limita II drăguț dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției f(X)în acest punct este egal cu¥ sau nu există.

12) Proprietățile funcțiilor continue pe un segment (teoremele lui Weierstrass (fără dovezi) și teoremele lui Cauchy

Teorema Weierstrass

Fie funcția f(x) continuă pe segmentul , atunci

1)f(x) este limitat la

2) f (x) ia intervalul valorile sale cele mai mici și cele mai mari

Definiție: Valoarea funcției m=f se numește cea mai mică dacă m≤f(x) pentru orice x € D(f).

Valoarea funcției m=f se numește cea mai mare dacă m≥f(x) pentru orice x € D(f).

Funcția poate lua cea mai mică \ cea mai mare valoare în mai multe puncte ale segmentului.

f(x 3)=f(x 4)=max

teorema lui Cauchy.

Fie funcția f(x) continuă pe segment și x numărul cuprins între f(a) și f(b), atunci există cel puțin un punct x 0 € astfel încât f(x 0)= g

Acum, cu liniște sufletească, trecem la considerație limite minunate.
se pare ca .

În loc de variabila x, pot fi prezente diverse funcții, principalul lucru este că tind la 0.

Trebuie să calculăm limita

După cum puteți vedea, această limită este foarte asemănătoare cu prima remarcabilă, dar acest lucru nu este în întregime adevărat. În general, dacă observați păcat în limită, atunci ar trebui să vă gândiți imediat dacă este posibil să folosiți prima limită remarcabilă.

Conform regulii noastre nr. 1, înlocuim zero cu x:

Primim incertitudine.

Acum să încercăm să organizăm în mod independent prima limită remarcabilă. Pentru a face acest lucru, vom efectua o combinație simplă:

Așa că aranjam numărătorul și numitorul pentru a face ca 7x să iasă în evidență. Limita remarcabilă familiară a apărut deja. Este recomandabil să o evidențiați atunci când decideți:

Înlocuim soluția primului exemplu remarcabil și obținem:

Simplificați fracția:

Raspuns: 7/3.

După cum puteți vedea, totul este foarte simplu.

Are forma , unde e = 2,718281828... este un număr irațional.

În loc de variabila x, pot fi prezente diverse funcții, principalul lucru este că acestea tind să .

Trebuie să calculăm limita

Aici vedem prezența unui grad sub semnul limită, ceea ce înseamnă că a doua limită remarcabilă poate fi aplicată.

Ca întotdeauna, vom folosi regula numărul 1 - înlocuiți în loc de x:

Se poate observa că pentru x baza gradului este , iar exponentul este 4x > , adică. obținem o incertitudine a formei:

Să folosim a doua limită minunată pentru a ne dezvălui incertitudinea, dar mai întâi trebuie să o organizăm. După cum puteți vedea, este necesar să obțineți prezența în indicator, pentru care ridicăm baza la puterea de 3x și, în același timp, la puterea de 1/3x, astfel încât expresia să nu se schimbe:

Nu uitați să subliniați limita noastră minunată:

Acestea sunt cu adevărat limite minunate!
Dacă aveți întrebări despre prima și a doua limite minunate nu ezitați să-i întrebați în comentarii.
Vom răspunde tuturor cât mai curând posibil.

De asemenea, puteți lucra cu un profesor pe această temă.
Suntem încântați să vă oferim serviciile de selectare a unui tutor calificat în orașul dumneavoastră. Partenerii noștri vor selecta prompt un profesor bun pentru tine, în condiții favorabile pentru tine.

Nu sunt suficiente informații? - Puteți !

Puteți scrie calcule matematice în blocnotes. Este mult mai plăcut să scrii în caiete individuale cu logo (http://www.blocnot.ru).

Prima limită remarcabilă este adesea folosită pentru a calcula limitele care conțin sinus, arcsinus, tangentă, arctangentă și incertitudinile rezultate zero împărțit la zero.

Formulă

Formula pentru prima limită remarcabilă este: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Observăm că $ \alpha\to 0 $ generează $ \sin\alpha \to 0 $, astfel avem zerouri în numărător și numitor. Astfel, formula primei limite remarcabile este necesară pentru a releva incertitudinile lui $ \frac(0)(0) $.

Pentru ca formula să se aplice, trebuie îndeplinite două condiții:

1. Expresiile conținute în sinusul și numitorul unei fracții sunt aceleași
2. Expresiile din sinusul și numitorul unei fracții tind spre zero

Atenţie! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Deși expresiile de sub sinus și la numitor sunt aceleași, totuși $ 2x ^2+1 = 1 $, când $ x\la 0 $. A doua condiție nu este îndeplinită, deci formula NU POATE fi aplicată!

Consecințe

Destul de rar, în sarcini puteți vedea o primă limită minunată curată în care puteți nota imediat răspunsul. În practică, totul pare puțin mai complicat, dar pentru astfel de cazuri va fi util să cunoaștem consecințele primei limite remarcabile. Datorită acestora, puteți calcula rapid limitele dorite.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Exemple de soluții

Să luăm în considerare prima limită remarcabilă, exemple ale cărei soluție pentru calculul limitelor care conțin funcții trigonometrice și incertitudine $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Exemplul 1

Calculați $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Soluţie

Luați în considerare limita și rețineți că conține un sinus. Apoi, înlocuim $ x = 0 $ în numărător și numitor și obținem incertitudinea lui zero împărțită la zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Deja două semne că trebuie să aplicați o limită minunată, dar există o mică nuanță: nu vom putea aplica imediat formula, deoarece expresia de sub semnul sinus diferă de expresia din numitor. Și avem nevoie de ei să fie egali. Prin urmare, cu ajutorul transformărilor elementare ale numărătorului, îl vom transforma în $2x$. Pentru a face acest lucru, vom scoate zeul de la numitorul fracției printr-un factor separat. Arată astfel: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , că la sfârșit $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ a fost obținut prin formula. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \lim_(x\la 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Exemplul 2

Găsiți $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Soluţie

Ca întotdeauna, mai întâi trebuie să cunoașteți tipul de incertitudine. Dacă este zero împărțit la zero, atunci acordăm atenție prezenței unui sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Această incertitudine ne permite să folosim formula primei limite remarcabile, dar expresia de la numitor nu este egală cu argumentul sinusului? Prin urmare, este imposibil să se aplice formula „pe frunte”. Trebuie să înmulțiți și să împărțiți fracția cu argumentul sinus: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ Acum descriem proprietățile limitelor: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ A doua limită se potrivește doar formulei și este egală cu unu: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Înlocuiți din nou $ x = 0 $ într-o fracție și obțineți incertitudinea $ \frac(0)(0) $. Pentru a o elimina, este suficient să scoateți $ x $ din paranteze și să reduceți cu el: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Răspuns

$$ \lim_(x\la 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Exemplul 4

Calculați $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Soluţie

Să începem calculul înlocuind $ x=0 $. Ca rezultat, obținem incertitudinea $ \frac(0)(0) $. Limita conține un sinus și o tangentă, care sugerează o posibilă desfășurare a situației folosind formula primei limite remarcabile. Să transformăm numărătorul și numitorul fracției într-o formulă și o consecință: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Acum vedem în numărător și numitor există expresii potrivite pentru formula și consecințe. Argumentul sinus și argumentul tangentei sunt aceleași pentru numitorii respectivi $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Răspuns

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

În articolul: „Prima limită remarcabilă, exemple de soluții” s-a spus despre cazurile în care este indicat să se folosească această formulă și consecințele ei.

Formula pentru a doua limită remarcabilă este lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . O altă formă de scriere arată astfel: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Când vorbim despre a doua limită remarcabilă, avem de-a face cu o incertitudine de forma 1 ∞ , i.e. unitate într-un grad infinit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Luați în considerare problemele în care avem nevoie de capacitatea de a calcula a doua limită minunată.

Exemplul 1

Aflați limita limită x → ​​∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Soluţie

Înlocuiți formula dorită și efectuați calculele.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

În răspunsul nostru, am primit o unitate la puterea infinitului. Pentru a determina metoda de rezolvare, folosim tabelul de incertitudini. Alegem a doua limită remarcabilă și facem o schimbare de variabile.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Dacă x → ​​∞ atunci t → - ∞ .

Să vedem ce avem după înlocuire:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Răspuns: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​∞ x - 1 x + 1 x .

Soluţie

Înlocuiți infinitul și obțineți următoarele.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

În răspuns, am primit din nou același lucru ca în problema anterioară, prin urmare, putem folosi din nou a doua limită minunată. În continuare, trebuie să selectăm partea întreagă de la baza funcției de putere:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

După aceea, limita ia următoarea formă:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Înlocuim variabilele. Să presupunem că t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; dacă x → ​​∞ , atunci t → ∞ .

După aceea, notăm ce am obținut în limita inițială:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Pentru a efectua această transformare, am folosit proprietățile de bază ale limitelor și puterilor.

Răspuns: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

După aceea, trebuie să efectuăm o transformare a funcției pentru a aplica a doua limită minunată. Avem următoarele:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Deoarece acum avem aceiași exponenți în numărătorul și numitorul fracției (egal cu șase), limita fracției la infinit va fi egală cu raportul acestor coeficienți la puteri mai mari.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Înlocuind t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, obținem a doua limită remarcabilă. Înseamnă ceea ce:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

concluzii

Incertitudinea 1 ∞ , i.e. unitate într-un grad infinit, este o incertitudine a legii puterii, prin urmare, poate fi dezvăluită folosind regulile pentru găsirea limitelor funcțiilor de putere exponențială.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter