Extreme condiționale și metoda multiplicatorilor Lagrange. Metoda multiplicatorului Lagrange

Scurtă teorie

Metoda multiplicatorilor Lagrange este o metodă clasică de rezolvare a problemelor de programare matematică (în special, convexe). Din păcate, în aplicarea practică a metodei, pot apărea dificultăți de calcul semnificative, restrângând aria de utilizare a acesteia. Considerăm aici metoda Lagrange în principal pentru că este un aparat utilizat în mod activ pentru a justifica diverse metode numerice moderne care sunt utilizate pe scară largă în practică. În ceea ce privește funcția Lagrange și multiplicatorii Lagrange, acestea joacă un rol independent și extrem de important în teoria și aplicațiile nu numai ale programării matematice.

Luați în considerare o problemă clasică de optimizare:

Printre restricțiile acestei probleme nu există inegalități, nu există condiții pentru nenegativitatea variabilelor, discretitatea acestora și funcțiile și sunt continue și au derivate parțiale de cel puțin ordinul doi.

Abordarea clasică a rezolvării problemei oferă un sistem de ecuații (condiții necesare) care trebuie satisfăcut de punctul care asigură funcția cu un extremum local pe mulțimea de puncte care satisfac constrângerile (pentru o problemă de programare convexă, punctul găsit va fi în același timp punctul extremum global).

Să presupunem că funcția (1) are un extremum condiționat local în punctul și rangul matricei este egal cu . Atunci condițiile necesare pot fi scrise ca:

este funcția Lagrange; sunt multiplicatorii Lagrange.

Există și condiții suficiente în care soluția sistemului de ecuații (3) determină punctul extremum al funcției . Această întrebare este rezolvată pe baza studiului semnului celei de-a doua diferenţiale a funcţiei Lagrange. Cu toate acestea, condițiile suficiente sunt în principal de interes teoretic.

Puteți specifica următoarea procedură pentru rezolvarea problemei (1), (2) prin metoda multiplicatorului Lagrange:

1) alcătuiți funcția Lagrange (4);

2) găsiți derivatele parțiale ale funcției Lagrange în raport cu toate variabilele și egalați-le

zero. Astfel, se va obtine un sistem (3) format din ecuatii Rezolvati sistemul rezultat (daca se dovedeste a fi posibil!) si gasiti astfel toate punctele stationare ale functiei Lagrange;

3) din punctele staționare luate fără coordonate, selectați punctele la care funcția are extreme locale condiționate în prezența constrângerilor (2). Această alegere se face, de exemplu, folosind condiții suficiente pentru un extremum local. Adesea, studiul este simplificat dacă sunt utilizate condiții specifice ale problemei.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcina

Firma produce două tipuri de mărfuri în cantităţi şi . Funcția de cost util este definită de relația . Prețurile acestor bunuri pe piață sunt egale și respectiv.

Determinați la ce volume de producție se realizează profitul maxim și cu ce este egal dacă costurile totale nu depășesc

Aveți dificultăți în înțelegerea procesului de soluționare? Site-ul dispune de un serviciu Rezolvarea problemelor prin metode de solutii optime la comanda

Rezolvarea problemei

Modelul economic și matematic al problemei

Funcția de profit:

Limite de cost:

Obținem următorul model economic și matematic:

În plus, conform sensului sarcinii

Metoda multiplicatorului Lagrange

Să compunem funcția Lagrange:

Găsim derivate parțiale de ordinul I:

Compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:

De atunci

Profit maxim:

Răspuns

Astfel, este necesar să se producă unități. mărfuri de primul tip și unități. bunuri de al 2-lea tip. În acest caz, profitul va fi maxim și va fi de 270.
Este dat un exemplu de rezolvare a problemei programării convexe pătratice printr-o metodă grafică.

Rezolvarea unei probleme liniare printr-o metodă grafică
Este considerată o metodă grafică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară (LPP) cu două variabile. Pe exemplul problemei, se oferă o descriere detaliată a construcției unui desen și găsirea unei soluții.

Modelul de gestionare a stocurilor Wilson
Pe exemplul de rezolvare a problemei se ia în considerare modelul principal de gestionare a stocurilor (modelul Wilson). Se calculează indicatori ai modelului precum dimensiunea optimă a lotului de comandă, costurile anuale de depozitare, intervalul dintre livrări și punctul de plasare a comenzii.

Matricea raportului cost direct și matricea intrări-ieșiri
Pe exemplul rezolvării problemei, este luat în considerare modelul intersectorial Leontiev. Se arată calculul matricei coeficienților costurilor directe ale materialelor, matricei „input-output”, matricei coeficienților costurilor indirecte, vectorilor consumului final și producției brute.

CU Esența metodei Lagrange este de a reduce problema extremului condiționat la soluția problemei extremului necondiționat. Luați în considerare un model de programare neliniară:

(5.2)

Unde
sunt funcții binecunoscute,

A
sunt dați coeficienți.

Rețineți că în această formulare a problemei, constrângerile sunt date de egalități și nu există nicio condiție ca variabilele să fie nenegative. În plus, presupunem că funcțiile
sunt continue cu primele lor derivate parțiale.

Să transformăm condițiile (5.2) în așa fel încât părțile din stânga sau din dreapta ale egalităților să conțină zero:

(5.3)

Să compunem funcția Lagrange. Include funcția obiectiv (5.1) și părțile din dreapta ale constrângerilor (5.3), luate respectiv cu coeficienții
. Vor fi atât de mulți coeficienți Lagrange câte constrângeri există în problemă.

Punctele extreme ale funcției (5.4) sunt punctele extreme ale problemei inițiale și invers: planul optim al problemei (5.1)-(5.2) este punctul extremum global al funcției Lagrange.

Într-adevăr, să se găsească soluția
problema (5.1)-(5.2), atunci condițiile (5.3) sunt îndeplinite. Să înlocuim planul
în funcția (5.4) și verificați validitatea egalității (5.5).

Astfel, pentru a găsi planul optim al problemei inițiale, este necesar să se investigheze funcția Lagrange pentru un extremum. Funcția are valori extreme în punctele în care derivatele sale parțiale sunt egale zero. Se numesc astfel de puncte staționar.

Definim derivatele parțiale ale funcției (5.4)

,

.

După egalizare zero derivate obținem sistemul m+n ecuatii cu m+n necunoscut

,(5.6)

În cazul general, sistemul (5.6)-(5.7) va avea mai multe soluții, care includ toate maximele și minimele funcției Lagrange. Pentru a evidenția maximul sau minimul global, valorile funcției obiectiv sunt calculate la toate punctele găsite. Cea mai mare dintre aceste valori va fi maximul global, iar cel mai mic va fi minimul global. În unele cazuri este posibil să se utilizeze condiţii suficiente pentru un extremum strict funcții continue (vezi problema 5.2 de mai jos):

lasa functia
este continuă și de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului său staționar (acestea.
)). Apoi:

A ) Dacă
, (5.8)

Acea este punctul maxim strict al funcției
;

b) Dacă
, (5.9)

Acea este punctul minim strict al funcției
;

G ) Dacă
,

atunci chestiunea prezenței unui extremum rămâne deschisă.

Mai mult, unele soluții ale sistemului (5.6)-(5.7) pot fi negative. Ceea ce nu este în concordanță cu sensul economic al variabilelor. În acest caz, ar trebui analizată posibilitatea înlocuirii valorilor negative cu zero.

Sensul economic al multiplicatorilor Lagrange. Valoarea optimă a multiplicatorului
arată cât de mult se va modifica valoarea criteriului Z la creşterea sau scăderea resursei j pe unitate, din moment ce

Metoda Lagrange poate fi aplicată și atunci când constrângerile sunt inegalități. Deci, găsirea extremului funcției
in conditii

,

realizat în mai multe etape:

1. Determinați punctele staționare ale funcției obiectiv, pentru care rezolvă sistemul de ecuații

.

2. Din punctele staţionare sunt selectate acelea ale căror coordonate îndeplinesc condiţiile

3. Metoda Lagrange este folosită pentru a rezolva problema cu constrângeri de egalitate (5.1)-(5.2).

4. Punctele găsite la a doua și a treia etapă sunt examinate pentru un maxim global: valorile funcției obiective în aceste puncte sunt comparate - cea mai mare valoare corespunde planului optim.

Sarcina 5.1 Să rezolvăm problema 1.3, considerată în prima secțiune, prin metoda Lagrange. Distribuția optimă a resurselor de apă este descrisă de un model matematic

.

Compuneți funcția Lagrange

Găsiți maximul necondiționat al acestei funcții. Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale și le echivalăm cu zero

,

Astfel, am obținut un sistem de ecuații liniare de forma

Rezolvarea sistemului de ecuații este planul optim de repartizare a resurselor de apă pe suprafețele irigate

, .

Cantitati
măsurată în sute de mii de metri cubi.
- suma venitului net la o sută de mii de metri cubi de apă de irigare. Prin urmare, prețul marginal al 1 m 3 de apă de irigare este
den. unitati

Venitul net suplimentar maxim din irigare va fi

160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=

172391.02 (unități den.)

Sarcina 5.2 Rezolvați o problemă de programare neliniară

Reprezentăm constrângerea ca:

.

Compuneți funcția Lagrange și determinați derivatele ei parțiale

.

Pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange, ar trebui să echivaleze derivatele sale parțiale cu zero. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații

.

Din prima ecuație urmează

. (5.10)

Expresie înlocuiți în a doua ecuație

,

din care există două soluţii pt :

Și
. (5.11)

Înlocuind aceste soluții în a treia ecuație, obținem

,
.

Valorile multiplicatorului Lagrange și ale necunoscutului calculați prin expresiile (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Astfel, avem două puncte extreme:

;
.

Pentru a afla dacă aceste puncte sunt puncte maxime sau minime, folosim condițiile suficiente pentru un extremum strict (5.8)-(5.9). Preexpresie pentru , obținut din restricția modelului matematic, substituim în funcția obiectiv

,

. (5.12)

Pentru a verifica condițiile pentru un extremum strict, ar trebui să determinăm semnul derivatei a doua a funcției (5.11) în punctele extreme pe care le-am găsit
Și
.

,
;

.

Prin urmare, (·)
este punctul minim al problemei inițiale (
), A (·)
- punct maxim.

Planul optim:

,
,
,

.

Astăzi, în lecție, vom învăța cum să găsim condiţional sau, cum se mai numesc, extreme relative funcții ale mai multor variabile și, în primul rând, vom vorbi, desigur, despre extreme condiționale funcții de doiȘi trei variabile, care se regăsesc în marea majoritate a problemelor tematice.

Ce trebuie să știi și să poți face chiar acum? În ciuda faptului că acest articol este „la periferia” subiectului, nu va fi nevoie atât de mult pentru a asimila cu succes materialul. În acest moment, ar trebui să fii ghidat de principal suprafețe ale spațiului, să poată găsi derivate parțiale (cel putin la nivel intermediar)și, așa cum sugerează logica nemiloasă, să înțelegem extreme necondiționate. Dar chiar dacă aveți un nivel scăzut de pregătire, nu vă grăbiți să plecați - toate cunoștințele / abilitățile lipsă pot fi într-adevăr „prinse pe parcurs” și fără multe ore de chin.

În primul rând, analizăm conceptul în sine și, în același timp, efectuăm o repetare expresă a celor mai comune suprafete. Deci, ce este un extremum condiționat? ... Logica aici nu este mai puțin nemiloasă =) Extremul condiționat al unei funcții este un extremum în sensul obișnuit al cuvântului, care se realizează atunci când este îndeplinită o anumită condiție (sau condiții).

Imaginați-vă un „oblic” arbitrar avion V Sistemul cartezian. Nici unul extremum aici nu se vede. Dar asta este deocamdată. Considera cilindru eliptic, pentru simplitate - o „țeavă” rotundă nesfârșită paralelă cu axa. Este evident că această „țeavă” se va „ciopli” din avionul nostru elipsă, rezultând un maxim în partea de sus și un minim în partea de jos. Cu alte cuvinte, funcția care definește planul atinge extreme dat fiind că a fost străbătută de cilindrul circular dat. Asta e „cu condiția”! Un alt cilindru eliptic care traversează acest plan va produce aproape sigur un minim și un maxim diferit.

Dacă nu este foarte clar, atunci situația poate fi simulată realist (dar in ordine inversa): luați un topor, ieșiți afară și tăiați ... nu, Greenpeace nu vă va ierta mai târziu - este mai bine să tăiați țeava de scurgere cu o „râșniță” =). Minimul și maximul condiționat vor depinde de la ce înălțime și sub ce (neorizontal) tăiat în unghi.

Este timpul să punem calculele în ținută matematică. Considera paraboloid eliptic, care are minim absolut la punctul . Acum să găsim extremul dat fiind. Acest avion paralel cu axa, ceea ce înseamnă că „taie” din paraboloid parabolă. Vârful acestei parabole va fi minimul condiționat. Mai mult, avionul nu trece prin origine, prin urmare, punctul va rămâne în afara afacerii. Nu ai trimis o poză? Să mergem la link-uri! Va dura de multe, de multe ori.

Întrebare: cum să găsiți acest extremum condiționat? Cel mai simplu mod de a o rezolva este să folosești ecuația (care se numește - condiție sau ecuația conexiunii) exprimă, de exemplu: - și înlocuiește-l în funcția:

Ca urmare, se obține o funcție a unei variabile, care definește o parabolă, al cărei vârf este „calculat” cu ochii închiși. Sa gasim puncte critice:

- punct critic.

În continuare, este cel mai ușor de utilizat a doua condiție extremum suficientă:

În special: , deci funcția își atinge minimul în punctul . Se poate calcula direct: , dar vom merge într-un mod mai academic. Să găsim coordonatele „joc”:
,

să notăm punctul minim condiționat, să ne asigurăm că se află într-adevăr în plan (satisface ecuația constrângerii):

și calculați minimul condiționat al funcției:
dat fiind ("este necesar un aditiv"!!!).

Metoda considerată fără nicio umbră de îndoială poate fi folosită în practică, cu toate acestea, are o serie de dezavantaje. În primul rând, geometria problemei este departe de a fi întotdeauna clară și, în al doilea rând, este adesea neprofitabilă să exprimați „x” sau „y” din ecuația de comunicare. (dacă există o oportunitate de a exprima ceva). Și acum vom lua în considerare o metodă universală pentru găsirea extremelor condiționale, numită Metoda multiplicatorului Lagrange:

Exemplul 1

Găsiți extremele condiționate ale funcției pentru ecuația de conexiune specificată pentru argumente .

Recunoașteți suprafețele? ;-) …Mă bucur să vă văd fețele fericite =)

Apropo, din formularea acestei probleme devine clar de ce se numește condiția ecuația conexiunii- argumente ale funcției conectat condiție suplimentară, adică punctele extreme găsite trebuie să aparțină în mod necesar unui cilindru circular.

Soluţie: la primul pas, trebuie să reprezentați ecuația constrângerii în formă și să compuneți Funcția Lagrange:
, unde este așa-numitul multiplicator Lagrange.

În cazul nostru și:

Algoritmul pentru găsirea extremelor condiționale este foarte asemănător cu schema pentru găsirea „obișnuită” extreme. Sa gasim derivate parțiale Funcțiile Lagrange, în timp ce „lambda” ar trebui tratată ca o constantă:

Să creăm și să rezolvăm următorul sistem:

Mingea se descurcă în modul standard:
din prima ecuație pe care o exprimăm ;
din a doua ecuație pe care o exprimăm .

Înlocuiți în ecuația comunicării și efectuați simplificări:

Ca rezultat, obținem două puncte staționare. Daca atunci:

daca atunci:

Este ușor de observat că coordonatele ambelor puncte satisfac ecuația . Oamenii scrupuloși pot efectua și o verificare completă: pentru aceasta trebuie să înlocuiți în prima și a doua ecuație a sistemului și apoi faceți același lucru cu mulțimea . Totul trebuie să se potrivească.

Să verificăm îndeplinirea condiției extreme suficiente pentru punctele staționare găsite. Voi lua în considerare trei abordări pentru a rezolva această problemă:

1) Prima modalitate este o justificare geometrică.

Să calculăm valorile funcției în punctele staționare:

În continuare, notăm o frază cu aproximativ următorul conținut: secțiunea planului printr-un cilindru circular este o elipsă, în vârful căreia se atinge maximul, iar în partea de jos - minimul. Astfel, o valoare mai mare este un maxim condiționat, iar una mai mică este un minim condiționat.

Dacă este posibil, este mai bine să utilizați această metodă specială - este simplă, iar profesorii numără această soluție. (un mare plus este că ați arătat o înțelegere a semnificației geometrice a problemei). Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, este departe de a fi întotdeauna clar ce se intersectează cu ce și unde, iar apoi o verificare analitică vine în ajutor:

2) A doua metodă se bazează pe utilizarea semnelor diferențiale de ordinul doi. Dacă se dovedește că într-un punct staționar , atunci funcția atinge un maxim acolo, dar dacă - atunci un minim.

Sa gasim derivate parțiale de ordinul doi:

și creați această diferență:

Pentru , înseamnă că funcția atinge maximul în punctul ;
pentru , atunci funcția atinge un minim în punct .

Metoda luată în considerare este foarte bună, dar are dezavantajul că în unele cazuri este aproape imposibil să se determine semnul diferenţialului 2. (de obicei, acest lucru se întâmplă dacă și/sau au semne diferite). Și apoi „artileria grea” vine în ajutor:

3) Diferențiați în raport cu „x” și pentru „y” ecuația conexiunii:

și faceți următoarele simetric matrice:

Dacă într-un punct staționar, atunci funcția ajunge acolo ( Atenţie!) minim, dacă – atunci maxim.

Să scriem o matrice pentru valoarea și punctul corespunzător:

Să-l calculăm determinant:
, deci funcția are un maxim în punctul .

În mod similar pentru valoare și punct:

Astfel, funcția are un minim în punctul .

Răspuns: dat fiind :

După o analiză detaliată a materialului, nu pot decât să vă ofer câteva sarcini tipice pentru autoexaminare:

Exemplul 2

Găsiți extremul condiționat al funcției dacă argumentele sale sunt legate de ecuație

Exemplul 3

Găsiți extremele funcției în condiția

Și din nou, recomand cu tărie înțelegerea esenței geometrice a sarcinilor, mai ales pentru ultimul exemplu, unde verificarea analitică a unei condiții suficiente nu este un dar. Ține minte care A doua linie de comandă stabilește ecuația și ce suprafaţă această linie generează în spațiu. Analizați pe ce curbă cilindrul va intersecta planul și unde pe această curbă va fi un minim și unde va fi un maxim.

Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Problema luată în considerare este utilizată pe scară largă în diverse domenii, în special - nu vom merge departe, în geometrie. Să rezolvăm problema preferată a tuturor despre o jumătate de litru (vezi Exemplul 7 al articoluluiSarcini extreme ) a doua cale:

Exemplul 4

Care ar trebui să fie dimensiunile unei conserve cilindrice, astfel încât să se folosească cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea conservei, dacă volumul cutiei este egal cu

Soluţie: luați în considerare o rază variabilă a bazei, o înălțime variabilă și compuneți o funcție a ariei întregii suprafețe a cutiei:
(suprafață a două capace + suprafață laterală)

Numele parametrului	Sens
Subiect articol:	Metoda Lagrange.
Rubrica (categoria tematica)	Matematică

A găsi un polinom înseamnă a determina valorile coeficientului său . Pentru a face acest lucru, folosind condiția de interpolare, puteți forma un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE).

Determinantul acestui SLAE este de obicei numit determinant Vandermonde. Determinantul Vandermonde nu este egal cu zero atunci când pentru , adică în cazul în care nu există noduri care se potrivesc în tabelul de căutare. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, se poate argumenta că SLAE are o soluție și această soluție este unică. Rezolvarea SLAE și determinarea coeficienților necunoscuți se poate construi un polinom de interpolare.

Un polinom care satisface condițiile de interpolare, atunci când este interpolat prin metoda Lagrange, este construit ca o combinație liniară de polinoame de gradul al n-lea:

Polinoamele se numesc de bază polinomiale. Pentru a polinomul Lagrange satisface condițiile de interpolare, este extrem de important ca următoarele condiții să fie îndeplinite pentru polinoamele sale de bază:

Pentru .

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci pentru oricare avem:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, îndeplinirea condițiilor date pentru polinoamele de bază înseamnă că și condițiile de interpolare sunt îndeplinite.

Să determinăm forma polinoamelor de bază pe baza restricțiilor impuse acestora.

Prima condiție: la .

a 2-a condiție: .

În cele din urmă, pentru polinomul de bază, putem scrie:

Apoi, înlocuind expresia rezultată pentru polinoamele de bază în polinomul original, obținem forma finală a polinoamului Lagrange:

O formă particulară a polinomului Lagrange la este de obicei numită formulă de interpolare liniară:

.

Polinomul Lagrange luat la se numește de obicei formulă de interpolare pătratică:

Metoda Lagrange. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda Lagrange”. 2017, 2018.

- Metoda Lagrange (metoda de variaţie a unei constante arbitrare).

Telecomenzi liniare. Definiție. control de tip, adică liniară în raport cu funcția necunoscută și derivata ei se numește liniară. Pentru o soluție de acest tip, ur-th luăm în considerare două metode: metoda Lagrange și metoda Bernoulli Să considerăm un DE omogen.

- Telecomanda liniara, omogena si eterogena. Conceptul de soluție generală. Metoda lui Lagrange de variație a produselor constantelor.

Definiție. DU se numește omogen dacă f-i poate fi reprezentat ca f-i în raport cu argumentele lor Exemplu. F-a se numește f-a măsură omogenă dacă Exemple: 1) - ordinul 1 de omogenitate. 2) - ordinul 2 de omogenitate. 3) - ordinul zero al omogenității (doar omogen... .

- Curs 8. Aplicarea derivatelor parțiale: sarcini pentru extremum. Metoda Lagrange.

Sarcinile extreme sunt de mare importanță în calculele economice. Acesta este calculul, de exemplu, al venitului maxim, al profitului, al costurilor minime, în funcție de mai multe variabile: resurse, active de producție etc. Teoria găsirii extremelor de funcții... .

- T.2.3. DE de ordine superioare. Ecuația în diferențiale totale. T.2.4. DE liniar de ordinul doi cu coeficienți constanți. Metoda Lagrange.

3. 2. 1. DE cu variabile separabile S.R. 3. În știința naturii, tehnologie și economie, de multe ori trebuie să se ocupe de formule empirice, i.e. formule întocmite pe baza prelucrării datelor statistice sau...

Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul întâi:
(1) .
Există trei moduri de a rezolva această ecuație:

• metoda variației constante (Lagrange).

Luați în considerare soluția unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange.

Metoda variației constante (Lagrange)

În metoda variației constante, rezolvăm ecuația în doi pași. În prima etapă, simplificăm ecuația inițială și rezolvăm ecuația omogenă. În a doua etapă, vom înlocui constanta de integrare obținută în prima etapă a soluției cu o funcție. Apoi căutăm soluția generală a ecuației inițiale.

Luați în considerare ecuația:
(1)

Pasul 1 Rezolvarea ecuației omogene

Căutăm o soluție pentru ecuația omogenă:

Aceasta este o ecuație separabilă

Separați variabile - înmulțiți cu dx, împărțiți cu y:

Integram:

Integrală peste y - tabelar:

Apoi

Potențiați:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnul modulului, care se reduce la înmulțire cu constanta ±1, pe care îl includem în C:

Pasul 2 Înlocuiește constanta C cu funcția

Acum să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
c → u (X)
Adică, vom căuta o soluție la ecuația originală (1) la fel de:
(2)
Găsim derivata.

Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.
Conform regulii de diferențiere a produselor:

.
Inlocuim in ecuatia initiala (1) :
(1) ;

.
Se reduc doi termeni:
;
.
Integram:
.
Înlocuiește în (2) :
.
Ca rezultat, obținem soluția generală a ecuației diferențiale liniare de ordinul întâi:
.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Lagrange

rezolva ecuatia

Soluţie

Rezolvăm ecuația omogenă:

Separarea variabilelor:

Să înmulțim cu:

Integram:

Integrale de tabel:

Potențiați:

Să înlocuim constanta e C cu C și să eliminăm semnele modulului:

De aici:

Să înlocuim constanta C cu o funcție a lui x:
c → u (X)

Găsim derivata:
.
Inlocuim in ecuatia initiala:
;
;
Sau:
;
.
Integram:
;
Soluția ecuației:
.