Erori de măsurare. Erori absolute, relative

Eroare de măsurare

Eroare de măsurare- evaluarea abaterii valorii valorii măsurate a mărimii de la valoarea ei adevărată. Eroarea de măsurare este o caracteristică (măsură) a preciziei măsurătorii.

• Eroare redusă- eroare relativă, exprimată ca raport dintre eroarea absolută a instrumentului de măsurare și valoarea cantității acceptată condiționat, constantă pe întregul interval de măsurare sau pe o parte a intervalului. Se calculează după formula

Unde X n- valoare de normalizare, care depinde de tipul de scară a instrumentului de măsură și este determinată de gradarea acestuia:

Dacă scara dispozitivului este unilaterală, de ex. atunci limita inferioară de măsurare este zero X n se determină egal cu limita superioară a măsurătorilor;
- dacă scara dispozitivului este pe două fețe, atunci valoarea de normalizare este egală cu lățimea domeniului de măsurare a dispozitivului.

Eroarea dată este o valoare adimensională (poate fi măsurată ca procent).

Datorita aparitiei

• Erori instrumentale / instrumentale- erori care sunt determinate de erorile instrumentelor de masura folosite si sunt cauzate de imperfectiunea principiului de functionare, inexactitatea gradatiei scalei, si lipsa vizibilitatii aparatului.
• Erori metodologice- erori datorate imperfecțiunii metodei, precum și simplificărilor care stau la baza metodologiei.
• Erori subiective / operator / personale- erori datorate gradului de atenție, concentrare, pregătire și alte calități ale operatorului.

În inginerie, dispozitivele sunt folosite pentru a măsura numai cu o anumită precizie predeterminată - eroarea principală permisă de normal în condiții normale de funcționare pentru acest dispozitiv.

Dacă dispozitivul este operat în alte condiții decât cele normale, atunci apare o eroare suplimentară, care crește eroarea generală a dispozitivului. Erori suplimentare includ: temperatura, cauzată de abaterea temperaturii ambiante de la normal, instalare, din cauza abaterii poziției dispozitivului de la poziția normală de funcționare etc. 20°C este considerată temperatură ambientală normală și 01,325 kPa ca presiune atmosferică normală.

O caracteristică generalizată a instrumentelor de măsurare este o clasă de precizie determinată de valorile limită ale erorilor de bază și suplimentare permise, precum și de alți parametri care afectează precizia instrumentelor de măsurare; valoarea parametrilor este stabilită prin standarde pentru anumite tipuri de instrumente de măsură. Clasa de precizie a instrumentelor de măsurare caracterizează proprietățile lor de precizie, dar nu este un indicator direct al acurateței măsurătorilor efectuate cu ajutorul acestor instrumente, deoarece acuratețea depinde și de metoda de măsurare și de condițiile de implementare a acestora. Instrumentelor de măsurare, ale căror limite ale erorii de bază admisibile sunt date sub formă de erori de bază reduse (relative), li se atribuie clase de precizie selectate dintr-un număr dintre următoarele numere: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0) ;5,0;6,0)*10n, unde n = 1; 0; -unu; -2 etc.

După natura manifestării

• eroare aleatorie- eroare, schimbare (în mărime și în semn) de la măsurare la măsurare. Erorile aleatorii pot fi asociate cu imperfecțiunea dispozitivelor (frecare în dispozitive mecanice etc.), tremurări în condiții urbane, cu imperfecțiunea obiectului de măsurare (de exemplu, la măsurarea diametrului unui fir subțire, care poate să nu aibă o secțiune transversală complet rotundă ca urmare a imperfecțiunii procesului de fabricație ), cu caracteristicile cantității măsurate în sine (de exemplu, la măsurarea numărului de particule elementare care trec pe minut printr-un contor Geiger).
• Eroare sistematică- o eroare care se modifică în timp conform unei anumite legi (un caz special este o eroare constantă care nu se modifică în timp). Erorile sistematice pot fi asociate cu erorile instrumentului (scara incorectă, calibrare etc.) neluând în considerare de către experimentator.
• Eroare progresivă (derivare). este o eroare imprevizibilă care se modifică lent în timp. Este un proces aleator non-staționar.
• Eroare grosolană (rată)- o eroare rezultată dintr-o supraveghere a experimentatorului sau o defecțiune a echipamentului (de exemplu, dacă experimentatorul a citit greșit numărul diviziunii pe scara dispozitivului, dacă a existat un scurtcircuit în circuitul electric).

După metoda de măsurare

• Precizia măsurătorilor directe
• Incertitudinea măsurătorilor indirecte- eroarea valorii calculate (nu măsurate direct):

În cazul în care un F = F(X 1 ,X 2 ...X n) , Unde X i- mărimi independente măsurate direct cu o eroare Δ X i, apoi:

Vezi si

• Măsurarea mărimilor fizice
• Sistem pentru colectarea automată a datelor de la contoare peste aer

Literatură

• Nazarov N. G. Metrologie. Concepte de bază și modele matematice. M.: Şcoala superioară, 2002. 348 p.

• Cursuri de laborator de fizică. Manual / Goldin L. L., Igoshin F. F., Kozel S. M. și alții; ed. Goldina L. L. - M .: Știință. Ediția principală de literatură fizică și matematică, 1983. - 704 p.

Fundația Wikimedia. 2010 .

eroare de măsurare a timpului- laiko matavimo paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. eroare de măsurare a timpului vok. Zeitmeßfehler, m rus. eroare de măsurare a timpului, fpranc. erreur de mesure de temps, f … Automatikos terminų žodynas

eroare sistematică (măsurare)- introduceți o eroare sistematică - Subiecte industria petrolului și gazelor Sinonime introduce o eroare sistematică EN bias ...

ERORI STANDARD DE MĂSURARE- Evaluarea măsurii în care un anumit set de măsurători obținute într-o situație dată (de exemplu, într-un test sau într-una din mai multe forme paralele ale unui test) poate fi de așteptat să devieze de la valorile adevărate. Desemnat ca (M)...

eroare de suprapunere- Cauzat de suprapunerea impulsurilor de ieșire cu răspuns scurt atunci când intervalul de timp dintre impulsurile de curent de intrare este mai mic decât durata unui impuls de ieșire de răspuns individual. Erorile de suprapunere pot fi ...... Manualul Traducătorului Tehnic

eroare- 01.02.47 eroare (date digitale) (1-4): Rezultatul colectării, stocării, procesării și transmiterii datelor, în care biții sau biții iau valori inadecvate sau nu există destui biți în fluxul de date. 4) Terminologic ...... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Nu există mișcare, spuse înțeleptul cu barbă. Celălalt a tăcut și a început să meargă înaintea lui. Nu ar fi putut obiecta mai tare; Toți au lăudat răspunsul complicat. Dar, domnilor, acest caz amuzant îmi aduce în minte un alt exemplu: La urma urmei, în fiecare zi... Wikipedia

OPȚIUNI DE EROARE- Mărimea varianței, care nu poate fi explicată prin factori controlabili. Eroarea de varianță este compensată de erori de eșantionare, erori de măsurare, erori experimentale etc... Dicţionar explicativ de psihologie

Măsurarea unei mărimi este o operație, în urma căreia aflăm de câte ori valoarea măsurată este mai mare (sau mai mică) decât valoarea corespunzătoare, luată ca standard (unitate de măsură). Toate măsurătorile pot fi împărțite în două tipuri: directe și indirecte.

DIRECT - sunt măsurători în care se măsoară mărimea fizică de interes direct pentru noi (masă, lungime, intervale de timp, modificarea temperaturii etc.).

INDIRECTE - sunt măsurători în care cantitatea de interes pentru noi este determinată (calculată) din rezultatele măsurătorilor directe ale altor mărimi asociate acesteia printr-o anumită dependență funcțională. De exemplu, determinarea vitezei de mișcare uniformă prin măsurarea distanței parcurse într-o perioadă de timp, măsurarea densității unui corp prin măsurarea masei și volumului unui corp etc.

O caracteristică comună a măsurătorilor este imposibilitatea de a obține valoarea adevărată a mărimii măsurate, rezultatul măsurării conține întotdeauna un fel de eroare (eroare). Acest lucru se explică atât prin acuratețea de măsurare limitată fundamental, cât și prin natura obiectelor măsurate în sine. Prin urmare, pentru a indica cât de aproape este rezultatul obținut de valoarea adevărată, se indică eroarea de măsurare împreună cu rezultatul obținut.

De exemplu, am măsurat distanța focală a unui obiectiv f și am scris asta

f = (256 ± 2) mm (1)

Aceasta înseamnă că distanța focală este între 254 și 258 mm. Dar de fapt această egalitate (1) are un sens probabilist. Nu putem spune cu deplină certitudine că valoarea se încadrează în limitele indicate, există doar o anumită probabilitate pentru aceasta, prin urmare egalitatea (1) trebuie completată cu o indicație a probabilității cu care acest raport are sens (mai jos vom formula acest lucru afirmație mai precis).

Evaluarea erorilor este necesară, deoarece fără a ști care sunt acestea, este imposibil să tragem concluzii definitive din experiment.

De obicei se calculează eroarea absolută și relativă. Eroarea absolută Δx este diferența dintre valoarea adevărată a mărimii măsurate μ și rezultatul măsurării x, adică. Δx = μ - x

Raportul dintre eroarea absolută și valoarea adevărată a valorii măsurate ε = (μ - x)/μ se numește eroare relativă.

Eroarea absolută caracterizează eroarea metodei care a fost aleasă pentru măsurare.

Eroarea relativă caracterizează calitatea măsurătorilor. Precizia măsurării este reciproca erorii relative, adică 1/ε.

§ 2. Clasificarea erorilor

Toate erorile de măsurare sunt împărțite în trei clase: erori (erori brute), erori sistematice și aleatorii.

O PIERDERE este cauzată de o încălcare bruscă a condițiilor de măsurare în observațiile individuale. Aceasta este o eroare asociată cu un șoc sau o spargere a dispozitivului, o greșeală de calcul gravă a experimentatorului, interferențe neprevăzute etc. o eroare grosolană apare de obicei în nu mai mult de una sau două dimensiuni și diferă brusc ca amploare de alte erori. Prezența unei rate poate denatura foarte mult rezultatul care conține ratarea. Cel mai simplu mod este stabilirea cauzei alunecării și eliminarea acesteia în timpul procesului de măsurare. Dacă o alunecare nu a fost exclusă în timpul procesului de măsurare, atunci aceasta ar trebui făcută la procesarea rezultatelor măsurătorii, folosind criterii speciale care să permită identificarea obiectivă a unei erori grosolane în fiecare serie de observații, dacă este cazul.

O eroare sistematică este o componentă a erorii de măsurare care rămâne constantă și se modifică în mod regulat în timpul măsurătorilor repetate de aceeași valoare. Apar erori sistematice dacă, de exemplu, dilatarea termică nu este luată în considerare la măsurarea volumului unui lichid sau gaz produs la o temperatură care se schimbă lent; dacă la măsurarea masei nu se ține cont de efectul forței de flotabilitate a aerului asupra corpului cântărit și asupra greutăților etc.

Se observă erori sistematice dacă scara riglei este aplicată incorect (neuniform); capilarul termometrului în diferite părți are o secțiune transversală diferită; în absența curentului electric prin ampermetru, săgeata dispozitivului nu este la zero etc.

După cum se poate observa din exemple, eroarea sistematică este cauzată de anumite motive, valoarea ei rămâne constantă (deplasarea zero a scalei instrumentului, scale neuniforme), sau se modifică după o anumită lege (uneori destul de complexă) (neuniformitatea scara, secțiunea transversală neuniformă a capilarului termometrului etc.).

Putem spune că o eroare sistematică este o expresie atenuată care înlocuiește cuvintele „eroarea experimentatorului”.

Aceste erori apar din cauza:

1. instrumente de măsurare inexacte;
2. instalația reală este oarecum diferită de cea ideală;
3. teoria fenomenului nu este în întregime corectă, adică. nu au fost luate în considerare efecte.

Știm ce să facem în primul caz - este necesară calibrarea sau gradarea. În celelalte două cazuri, nu există o rețetă gata făcută. Cu cât cunoașteți mai bine fizica, cu atât aveți mai multă experiență, cu atât aveți mai multe șanse să detectați astfel de efecte și, prin urmare, să le eliminați. Nu există reguli generale, rețete pentru identificarea și eliminarea erorilor sistematice, dar se pot face unele clasificări. Distingem patru tipuri de erori sistematice.

1. Erorile sistematice, a căror natură vă cunoașteți și valoarea pot fi găsite, prin urmare, excluse prin introducerea modificărilor. Exemplu. Cântărirea pe cântare inegale. Fie diferența dintre lungimile umerilor să fie de 0,001 mm. Cu o lungime balansier de 70 mmși a cântărit greutatea corporală 200 G eroarea sistematică va fi 2,86 mg. Eroarea sistematică a acestei măsurători poate fi eliminată prin aplicarea unor metode speciale de ponderare (metoda Gauss, metoda Mendeleev etc.).
2. Erori sistematice despre care se știe că sunt mai mici sau egale cu o anumită valoare. În acest caz, la înregistrarea răspunsului, poate fi indicată valoarea maximă a acestora. Exemplu. Pașaportul atașat micrometrului spune: „Eroarea admisă este ± 0,004 mm. Temperatura +20 ± 4 ° C. Aceasta înseamnă că la măsurarea dimensiunilor unui corp cu acest micrometru la temperaturile indicate în pașaport, vom avea o eroare absolută care nu depășește ± 0,004 mm pentru orice rezultat al măsurătorilor.

   Adesea, eroarea absolută maximă dată de un instrument dat este indicată de clasa de precizie a instrumentului, care este afișată pe scara instrumentului prin numărul corespunzător, cel mai adesea luat în cerc.

   Numărul care indică clasa de precizie indică eroarea absolută maximă a instrumentului, exprimată ca procent din cea mai mare valoare a valorii măsurate la limita superioară a scalei.

   Să se folosească un voltmetru în măsurători, având o scară de la 0 la 250 LA, clasa sa de precizie este 1. Aceasta înseamnă că eroarea absolută maximă care poate fi făcută la măsurarea cu acest voltmetru nu va fi mai mare de 1% din cea mai mare valoare a tensiunii care poate fi măsurată pe această scară a instrumentului, cu alte cuvinte:

   5 = ±0,01 250 LA= ±2,5 LA.

   Clasa de precizie a instrumentelor electrice de măsurare determină eroarea maximă, a cărei valoare nu se modifică la trecerea de la începutul până la sfârșitul scalei. În acest caz, eroarea relativă se modifică dramatic, deoarece instrumentele oferă o bună acuratețe atunci când săgeata deviază aproape la întreaga scară și nu o dă la măsurarea la începutul scalei. De aici recomandarea: selectați instrumentul (sau scara instrumentului multi-gamă) astfel încât săgeata instrumentului în timpul măsurătorilor să depășească mijlocul scalei.

   Dacă clasa de precizie a dispozitivului nu este specificată și nu există date de pașaport, atunci jumătate din prețul celei mai mici diviziuni la scară a dispozitivului este considerată eroarea maximă a dispozitivului.

   Câteva cuvinte despre acuratețea conducătorilor. Riglele metalice sunt foarte precise: diviziunile milimetrice sunt aplicate cu o eroare de cel mult ±0,05 mm, iar cele centimetrice nu sunt mai rele decât cu o precizie de 0,1 mm. Eroarea măsurătorilor efectuate cu acuratețea unor astfel de rigle este practic egală cu eroarea de citire cu ochiul (≤0,5). mm). Este mai bine să nu folosiți rigle din lemn și plastic, erorile lor se pot dovedi a fi neașteptat de mari.

   Un micrometru de lucru oferă o precizie de 0,01 mm, iar eroarea de măsurare cu un șubler este determinată de precizia cu care se poate face o citire, adică. precizie vernier (de obicei 0,1 mm sau 0,05 mm).

3. Erori sistematice datorate proprietăților obiectului măsurat. Aceste erori pot fi adesea reduse la unele aleatorii. Exemplu.. Se determină conductivitatea electrică a unor materiale. Dacă pentru o astfel de măsurare se ia o bucată de sârmă care are un fel de defect (îngroșare, fisurare, neomogenitate), atunci se va face o eroare în determinarea conductivității electrice. Repetarea măsurătorilor dă aceeași valoare, adică există o eroare sistematică. Să măsurăm rezistența mai multor segmente ale unui astfel de fir și să găsim valoarea medie a conductibilității electrice a acestui material, care poate fi mai mare sau mai mică decât conductivitatea electrică a măsurătorilor individuale, prin urmare, erorile făcute în aceste măsurători pot fi atribuite la așa-numitele erori aleatorii.
4. Erori sistematice, a căror existență nu este cunoscută. Exemplu.. Determinați densitatea oricărui metal. Mai întâi, găsiți volumul și masa probei. În interiorul eșantionului există un gol despre care nu știm nimic. Se va face o eroare la determinarea densității, care se va repeta pentru orice număr de măsurători. Exemplul dat este simplu, sursa erorii și amploarea acesteia pot fi determinate fără mare dificultate. Erorile de acest tip pot fi detectate cu ajutorul unor studii suplimentare, prin efectuarea măsurătorilor printr-o metodă complet diferită și în condiții diferite.

RANDOM este componenta erorii de măsurare care se modifică aleatoriu cu măsurători repetate de aceeași valoare.

Când măsurătorile repetate ale aceleiași cantități constante și neschimbate sunt efectuate cu aceeași grijă și în aceleași condiții, obținem rezultate de măsurare - unele dintre ele diferă unele de altele, iar unele coincid. Astfel de discrepanțe în rezultatele măsurătorii indică prezența componentelor de eroare aleatoare în ele.

Eroarea aleatorie apare din acțiunea simultană a mai multor surse, fiecare dintre acestea având un efect imperceptibil asupra rezultatului măsurării, dar efectul total al tuturor surselor poate fi destul de puternic.

O eroare aleatorie poate lua diferite valori absolute, care nu pot fi prezise pentru un anumit act de măsurare. Această eroare poate fi atât pozitivă, cât și negativă. Erorile aleatorii sunt întotdeauna prezente într-un experiment. În absența erorilor sistematice, acestea fac ca măsurătorile repetate să se împrăștie în jurul valorii adevărate ( fig.14).

Dacă, în plus, există o eroare sistematică, atunci rezultatele măsurătorii vor fi împrăștiate nu în raport cu valoarea adevărată, ci cu valoarea părtinitoare ( fig.15).

Orez. 14 Fig. cincisprezece

Sa presupunem ca cu ajutorul unui cronometru masuram perioada de oscilatie a pendulului, iar masurarea se repeta de multe ori. Erori la pornirea și oprirea cronometrului, o eroare în valoarea referinței, o mică mișcare neuniformă a pendulului - toate acestea provoacă o împrăștiere a rezultatelor măsurătorilor repetate și, prin urmare, pot fi clasificate drept erori aleatorii.

Dacă nu există alte erori, atunci unele rezultate vor fi oarecum supraestimate, în timp ce altele vor fi ușor subestimate. Dar dacă, pe lângă aceasta, și ceasul este în urmă, atunci toate rezultatele vor fi subestimate. Aceasta este deja o eroare sistematică.

Unii factori pot provoca atât erori sistematice, cât și aleatorii în același timp. Deci, pornind și oprind cronometrul, putem crea o mică răspândire neregulată în momentele de pornire și oprire a ceasului în raport cu mișcarea pendulului și, prin urmare, să introducem o eroare aleatorie. Dar dacă, în plus, de fiecare dată când ne grăbim să pornim cronometrul și întârziem oarecum să-l oprim, atunci aceasta va duce la o eroare sistematică.

Erorile aleatorii sunt cauzate de o eroare de paralaxă la citirea diviziunilor scalei instrumentului, scuturarea fundației clădirii, influența mișcării ușoare a aerului etc.

Deși este imposibil să se excludă erori aleatorii ale măsurătorilor individuale, teoria matematică a fenomenelor aleatorii face posibilă reducerea influenței acestor erori asupra rezultatului final al măsurării. Se va arăta mai jos că pentru aceasta este necesar să se facă nu una, ci mai multe măsurători, iar cu cât valoarea erorii pe care dorim să o obținem este mai mică, cu atât mai multe măsurători trebuie efectuate.

Trebuie avut în vedere faptul că, dacă eroarea aleatorie obținută din datele de măsurare se dovedește a fi semnificativ mai mică decât eroarea determinată de precizia instrumentului, atunci, evident, nu are rost să încercăm să reducem și mai mult amploarea eroare aleatorie - cu toate acestea, rezultatele măsurătorilor nu vor deveni mai precise din aceasta.

Dimpotrivă, dacă eroarea aleatorie este mai mare decât eroarea instrumentală (sistematică), atunci măsurarea trebuie efectuată de mai multe ori pentru a reduce valoarea erorii pentru o serie dată de măsurători și pentru a face această eroare mai mică sau de un ordin de magnitudinea cu eroarea instrumentului.

Eroarea absolută și relativă sunt folosite pentru a evalua inexactitatea în calculele efectuate cu complexitate ridicată. Ele sunt, de asemenea, utilizate în diferite măsurători și pentru rotunjirea rezultatelor calculelor. Luați în considerare cum să determinați eroarea absolută și relativă.

Eroare absolută

Eroarea absolută a numărului numiți diferența dintre acest număr și valoarea lui exactă.
Luați în considerare un exemplu : 374 de elevi învață la școală. Dacă acest număr este rotunjit la 400, atunci eroarea absolută de măsurare este 400-374=26.

Pentru a calcula eroarea absolută, scădeți numărul mai mic din numărul mai mare.

Există o formulă pentru eroarea absolută. Notăm numărul exact cu litera A, iar cu litera a - aproximarea la numărul exact. Un număr aproximativ este un număr care diferă ușor de numărul exact și îl înlocuiește de obicei în calcule. Apoi formula va arăta astfel:

Δa=A-a. Cum să găsiți eroarea absolută prin formula, am discutat mai sus.

În practică, eroarea absolută nu este suficientă pentru a evalua cu precizie măsurarea. Rareori se poate cunoaște exact valoarea mărimii măsurate pentru a calcula eroarea absolută. Dacă măsurați o carte de 20 cm lungime și permiteți o eroare de 1 cm, puteți citi măsurarea cu o eroare mare. Dar dacă s-a făcut o eroare de 1 cm la măsurarea unui perete de 20 de metri, această măsurătoare poate fi considerată cât se poate de precisă. Prin urmare, în practică, determinarea erorii relative de măsurare este mai importantă.

Înregistrați eroarea absolută a numărului folosind semnul ±. De exemplu , lungimea rolei de tapet este de 30 m ± 3 cm Limita erorii absolute se numește eroare absolută limitatoare.

Eroare relativă

Eroare relativă numit raportul dintre eroarea absolută a unui număr și numărul însuși. Pentru a calcula eroarea relativă din exemplul studentului, împărțim 26 la 374. Obținem numărul 0,0695, îl transformăm într-un procent și obținem 6%. Eroarea relativă se notează procentual, deoarece este o mărime adimensională. Eroarea relativă este o estimare precisă a erorii de măsurare. Dacă luăm o eroare absolută de 1 cm la măsurarea lungimii segmentelor de 10 cm și 10 m, atunci erorile relative vor fi egale cu 10% și respectiv 0,1%. Pentru un segment cu lungimea de 10 cm, eroarea de 1 cm este foarte mare, aceasta este o eroare de 10%. Iar pentru un segment de zece metri, 1 cm nu contează, doar 0,1%.

Există erori sistematice și aleatorii. Eroarea sistematică este eroarea care rămâne neschimbată în timpul măsurătorilor repetate. Eroarea aleatorie apare ca urmare a influenței factorilor externi asupra procesului de măsurare și poate modifica valoarea acesteia.

Reguli pentru calcularea erorilor

Există mai multe reguli pentru estimarea nominală a erorilor:

• la adunarea și scăderea numerelor, este necesar să se adauge erorile absolute ale acestora;
• la împărțirea și înmulțirea numerelor, este necesar să se adauge erori relative;
• atunci când este exponențiată, eroarea relativă este înmulțită cu exponent.

Numerele aproximative și exacte sunt scrise folosind fracții zecimale. Se ia doar valoarea medie, deoarece valoarea exactă poate fi infinit de lungă. Pentru a înțelege cum să scrieți aceste numere, trebuie să aflați despre numerele corecte și îndoielnice.

Numerele adevărate sunt acele numere a căror cifră depășește eroarea absolută a numărului. Dacă cifra cifrei este mai mică decât eroarea absolută, se numește îndoielnică. De exemplu , pentru o fracție de 3,6714 cu o eroare de 0,002, numerele 3,6,7 vor fi corecte, iar 1 și 4 vor fi îndoielnice.În înregistrarea numărului aproximativ rămân doar numerele corecte. Fracția în acest caz va arăta astfel - 3,67.

Eroare absolută de măsurare numită valoare determinată de diferența dintre rezultatul măsurării Xși valoarea adevărată a mărimii măsurate X 0:

Δ X = |X - X 0 |.

Valoarea δ, egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare și rezultatul măsurării, se numește eroare relativă:

Exemplul 2.1. Valoarea aproximativă a numărului π este 3,14. Atunci eroarea sa este 0,00159. Eroarea absolută poate fi considerată egală cu 0,0016, iar eroarea relativă egală cu 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Cifre semnificative. Dacă eroarea absolută a valorii a nu depășește o unitate din ultima cifră a numărului a, atunci ei spun că numărul are toate semnele corecte. Numerele aproximative trebuie notate, păstrând doar semnele corecte. Dacă, de exemplu, eroarea absolută a numărului 52400 este egală cu 100, atunci acest număr ar trebui scris, de exemplu, ca 524·10 2 sau 0,524·10 5 . Puteți estima eroarea unui număr aproximativ indicând câte cifre adevărate semnificative conține acesta. La numărarea cifrelor semnificative, zerourile din partea stângă a numărului nu sunt numărate.

De exemplu, numărul 0,0283 are trei cifre semnificative valide, iar 2,5400 are cinci cifre semnificative valide.

Reguli de rotunjire a numerelor. Dacă numărul aproximativ conține caractere suplimentare (sau incorecte), atunci ar trebui să fie rotunjit. La rotunjire, apare o eroare suplimentară, care nu depășește jumătate din unitatea ultimei cifre semnificative ( d) număr rotunjit. La rotunjire se păstrează doar semnele corecte; caracterele suplimentare sunt eliminate, iar dacă prima cifră eliminată este mai mare sau egală cu d/2, apoi ultima cifră stocată este mărită cu unu.

Cifrele suplimentare în numere întregi sunt înlocuite cu zerouri, iar în fracții zecimale sunt eliminate (precum și zerourile suplimentare). De exemplu, dacă eroarea de măsurare este de 0,001 mm, atunci rezultatul 1,07005 este rotunjit la 1,070. Dacă prima dintre cifrele modificate cu zero și aruncate este mai mică de 5, cifrele rămase nu sunt modificate. De exemplu, numărul 148935 cu o precizie de măsurare de 50 are o rotunjire de 148900. Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este 5 și nu este urmată de nicio cifre sau zerouri, atunci rotunjirea este efectuată la cea mai apropiată cifră pară. număr. De exemplu, numărul 123,50 este rotunjit la 124. Dacă prima cifră care trebuie înlocuită cu zerouri sau aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, dar urmată de o cifră semnificativă, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu. De exemplu, numărul 6783.6 este rotunjit la 6784.

Exemplul 2.2. La rotunjirea numărului de la 1284 la 1300, eroarea absolută este 1300 - 1284 = 16, iar la rotunjirea la 1280, eroarea absolută este 1280 - 1284 = 4.

Exemplul 2.3. Când se rotunjește numărul 197 la 200, eroarea absolută este 200 - 197 = 3. Eroarea relativă este 3/197 ≈ 0,01523 sau aproximativ 3/200 ≈ 1,5%.

Exemplul 2.4. Vânzătorul cântărește pepenele pe o cântar. În setul de greutăți, cel mai mic este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă a pepenelui este necunoscută. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g. Eroarea relativă nu depășește 50/3600 = 1,4%.

Erori la rezolvarea problemei pe PC

Trei tipuri de erori sunt de obicei considerate ca fiind principalele surse de eroare. Acestea sunt așa-numitele erori de trunchiere, erori de rotunjire și erori de propagare. De exemplu, când se folosesc metode iterative pentru găsirea rădăcinilor ecuațiilor neliniare, rezultatele sunt aproximative, spre deosebire de metodele directe care dau o soluție exactă.

Erori de trunchiere

Acest tip de eroare este asociat cu eroarea inerentă problemei în sine. Poate fi din cauza inexactității în definirea datelor inițiale. De exemplu, dacă sunt specificate dimensiuni în starea problemei, atunci, în practică, pentru obiectele reale, aceste dimensiuni sunt întotdeauna cunoscute cu o oarecare precizie. Același lucru este valabil și pentru orice alți parametri fizici. Aceasta include și inexactitatea formulelor de calcul și a coeficienților numerici incluși în acestea.

Erori de propagare

Acest tip de eroare este asociat cu utilizarea uneia sau alteia metode de rezolvare a problemei. În cursul calculelor, are loc inevitabil o acumulare sau, cu alte cuvinte, propagarea erorilor. Pe lângă faptul că datele originale în sine nu sunt exacte, apare o nouă eroare atunci când sunt înmulțite, adăugate etc. Acumularea erorii depinde de natura și numărul de operații aritmetice utilizate în calcul.

Erori de rotunjire

Acest tip de eroare se datorează faptului că valoarea adevărată a unui număr nu este întotdeauna stocată cu acuratețe de computer. Când un număr real este stocat în memoria computerului, acesta este scris ca mantisă și exponent în aproape același mod în care un număr este afișat pe un calculator.

În fizică și în alte științe este de foarte multe ori necesar să se măsoare diverse mărimi (de exemplu, lungimea, masa, timpul, temperatura, rezistența electrică etc.).

Măsurare- procesul de aflare a valorii unei marimi fizice cu ajutorul mijloacelor tehnice speciale - instrumente de masura.

Instrument de masurare numit dispozitiv prin care o mărime măsurată este comparată cu o mărime fizică de același fel, luată ca unitate de măsură.

Există metode de măsurare directe și indirecte.

Metode de măsurare directă - metode în care valorile mărimilor care se determină se regăsesc prin compararea directă a obiectului măsurat cu unitatea de măsură (standard). De exemplu, lungimea unui corp măsurată de o riglă este comparată cu o unitate de lungime - un metru, masa unui corp măsurată cu cântare este comparată cu o unitate de masă - un kilogram etc. Astfel, ca urmare a masurare directa, valoarea determinata se obtine imediat, direct.

Metode indirecte de măsurare- metode în care valorile mărimilor determinate sunt calculate din rezultatele măsurătorilor directe ale altor mărimi cu care acestea sunt legate printr-o dependență funcțională cunoscută. De exemplu, determinarea circumferinței unui cerc pe baza rezultatelor măsurării diametrului sau determinarea volumului unui corp pe baza rezultatelor măsurării dimensiunilor sale liniare.

Din cauza imperfecțiunii instrumentelor de măsură, a organelor noastre de simț, a influenței influențelor externe asupra echipamentului de măsurare și a obiectului de măsurare, precum și a altor factori, toate măsurătorile pot fi efectuate numai cu un anumit grad de precizie; prin urmare, rezultatele măsurătorilor nu dau valoarea adevărată a mărimii măsurate, ci doar una aproximativă. Dacă, de exemplu, greutatea corporală este determinată cu o precizie de 0,1 mg, atunci aceasta înseamnă că greutatea găsită diferă de greutatea corporală reală cu mai puțin de 0,1 mg.

Precizia măsurătorilor - o caracteristică a calității măsurătorilor, care reflectă apropierea rezultatelor măsurătorilor de valoarea reală a mărimii măsurate.

Cu cât erorile de măsurare sunt mai mici, cu atât este mai mare precizia măsurării. Precizia măsurătorilor depinde de instrumentele utilizate în măsurători și de metodele generale de măsurare. Este absolut inutil să încerci să depășești această limită de precizie atunci când se efectuează măsurători în condiții date. Este posibil să se minimizeze impactul cauzelor care reduc acuratețea măsurătorilor, dar este imposibil să se scape complet de ele, adică erori mai mult sau mai puțin semnificative (erori) sunt întotdeauna făcute în timpul măsurătorilor. Pentru a crește acuratețea rezultatului final, orice măsurătoare fizică trebuie făcută nu o dată, ci de mai multe ori în aceleași condiții experimentale.

În urma celei de-a i-a măsurători (i este numărul de măsurare) a valorii „X”, se obține un număr aproximativ X i, care diferă de valoarea adevărată Xist printr-o anumită valoare ∆X i = |X i - X |, care este o greșeală sau, cu alte cuvinte, eroare. Eroarea adevărată nu ne este cunoscută, deoarece nu cunoaștem valoarea adevărată a mărimii măsurate. Valoarea adevărată a mărimii fizice măsurate se află în interval

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

unde X i este valoarea valorii X obținută în timpul măsurării (adică valoarea măsurată); ∆X este eroarea absolută în determinarea valorii lui X.

Eroare absolută (eroarea) de măsurare ∆X este valoarea absolută a diferenței dintre valoarea adevărată a mărimii măsurate Hist și rezultatul măsurării X i: ∆X = |X ist - X i |.

Eroare relativă (eroare) măsurarea δ (care caracterizează precizia măsurării) este numeric egală cu raportul dintre eroarea absolută de măsurare ∆X și valoarea adevărată a valorii măsurate X sist (deseori exprimată ca procent): δ \u003d (∆X / X sist) 100% .

Erorile sau erorile de măsurare pot fi împărțite în trei clase: sistematice, aleatorii și brute (ratele).

Sistematic ei numesc o astfel de eroare care rămâne constantă sau în mod natural (după o anumită dependență funcțională) modificări în timpul măsurătorilor repetate ale aceleiași mărimi. Astfel de erori apar ca urmare a caracteristicilor de proiectare ale instrumentelor de măsurare, a deficiențelor metodei de măsurare acceptate, a oricăror omisiuni ale experimentatorului, a influenței condițiilor externe sau a unui defect în obiectul de măsurare în sine.

În orice dispozitiv de măsurare este inerentă una sau alta eroare sistematică, care nu poate fi eliminată, dar a cărei ordine poate fi luată în considerare. Erorile sistematice fie măresc, fie scad rezultatele măsurătorilor, adică aceste erori sunt caracterizate de un semn constant. De exemplu, dacă în timpul cântăririi una dintre greutăți are o masă cu 0,01 g mai mare decât cea indicată pe ea, atunci valoarea găsită a greutății corporale va fi supraestimată cu această sumă, indiferent de câte măsurători se fac. Uneori erorile sistematice pot fi luate în considerare sau eliminate, alteori acest lucru nu se poate face. De exemplu, erorile fatale includ erorile de instrument, despre care putem spune doar că nu depășesc o anumită valoare.

Greșeli aleatorii numite erori care își schimbă amploarea și semnează într-un mod imprevizibil de la experiență la experiență. Apariția erorilor aleatorii se datorează acțiunii multor cauze diverse și incontrolabile.

De exemplu, la cântărirea cu o balanță, aceste motive pot fi vibrațiile aerului, particulele de praf care s-au depus, frecarea diferită în suspensia din stânga și din dreapta a cupelor etc. valori diferite: X1, X2, X3,…, X i , …, X n , unde X i este rezultatul celei de-a i-a măsurători. Nu este posibil să se stabilească nicio regularitate între rezultate, prin urmare rezultatul celei de-a i-a măsurători X este considerat o variabilă aleatorie. Erorile aleatoare pot avea un anumit efect asupra unei singure măsurări, dar cu măsurători repetate se supun legilor statistice și influența lor asupra rezultatelor măsurătorilor poate fi luată în considerare sau redusă semnificativ.

Ratele și gafele– erori excesiv de mari care distorsionează clar rezultatul măsurării. Această clasă de erori este cauzată cel mai adesea de acțiuni incorecte ale experimentatorului (de exemplu, din cauza neatenției, în loc de citirea dispozitivului „212”, este scris un număr complet diferit - „221”). Măsurătorile care conțin erori și erori grave ar trebui eliminate.

Măsurătorile pot fi făcute în ceea ce privește acuratețea lor prin metode tehnice și de laborator.

Când se utilizează metode tehnice, măsurarea se efectuează o singură dată. În acest caz, ei sunt mulțumiți de o asemenea precizie la care eroarea nu depășește o anumită valoare specifică, predeterminată, determinată de eroarea echipamentului de măsurare utilizat.

Cu metodele de măsurare de laborator, este necesar să se indice valoarea mărimii măsurate cu mai multă acuratețe decât permite măsurarea sa unică prin metoda tehnică. În acest caz, se fac mai multe măsurători și se calculează media aritmetică a valorilor obținute, care este considerată cea mai fiabilă (adevărată) valoare a valorii măsurate. Apoi, se evaluează acuratețea rezultatului măsurării (luând în considerare erorile aleatoare).

Din posibilitatea efectuării măsurătorilor prin două metode rezultă existența a două metode de apreciere a preciziei măsurătorilor: tehnică și de laborator.