Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. regula lui Cramer

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind matricea inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

metoda lui Cramer.

Metoda lui Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ( SLAU).

Formule pe exemplul unui sistem de două ecuații cu două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer

Referitor la variabile Xși la.
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. :

Să aplicăm formulele lui Cramer și să găsim valorile variabilelor:
și .
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Xși la.
Soluţie:


Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu o coloană de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia:

Să facem o acțiune similară, înlocuind a doua coloană în primul determinant:

Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
și .
Răspuns:
Cometariu: Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.

Cometariu: Dacă se dovedește că și este imposibil de împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o soluție unică. În acest caz, sistemul are fie infinite de soluții, fie nicio soluție.

Exemplul 2(un număr infinit de soluții):

Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Xși la.
Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției.

Prima dintre ecuațiile sistemului este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Deci a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este o ecuație de relație între variabile.
Am obținut că soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate de egalitate.
Soluția generală este scrisă astfel:
Soluțiile particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x din această ecuație de relație.

etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:

Exemplul 3(fără soluții, sistemul este inconsecvent):

Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie:
Aflați determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Nu poți folosi formulele lui Cramer. Să rezolvăm acest sistem prin metoda substituției

A doua ecuație a sistemului este o egalitate care nu este valabilă pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii

Metoda lui Cramer este utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) în care numărul de variabile necunoscute este egal cu numărul de ecuații, iar determinantul matricei principale este diferit de zero. În acest articol, vom analiza modul în care variabilele necunoscute sunt găsite folosind metoda Cramer și vom obține formule. După aceea, ne întoarcem la exemple și descriem în detaliu soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Navigare în pagină.

Metoda lui Cramer - derivarea formulelor.

Trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații liniare de forma

Unde x 1 , x 2 , …, x n sunt variabile necunoscute, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- coeficienți numerici, b 1 , b 2 , ..., b n - membri liberi. Soluția SLAE este un astfel de set de valori x 1 , x 2 , …, x n pentru care toate ecuațiile sistemului se transformă în identități.

Sub formă de matrice, acest sistem poate fi scris ca A ⋅ X = B , unde - matricea principală a sistemului, elementele sale sunt coeficienții variabilelor necunoscute, - matricea este o coloană de termeni liberi și - matricea este o coloană de variabile necunoscute. După găsirea variabilelor necunoscute x 1 , x 2 , …, x n , matricea devine o soluție a sistemului de ecuații și egalitatea A ⋅ X = B se transformă într-o identitate .

Vom presupune că matricea A este nedegenerată, adică determinantul ei este diferit de zero. În acest caz, sistemul de ecuații algebrice liniare are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. (Metodele de rezolvare a sistemelor pentru sunt discutate în secțiunea de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare).

Metoda lui Cramer se bazează pe două proprietăți ale determinantului matricei:

Deci, să începem să găsim variabila necunoscută x 1 . Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale primei ecuații a sistemului cu A 1 1, ambele părți ale celei de-a doua ecuații - cu A 2 1 și așa mai departe, ambele părți ale ecuației a n-a - cu A n 1 ( adică înmulțim ecuațiile sistemului cu complementele algebrice corespunzătoare ale primei coloane a matricei A ):

Adăugăm toate părțile din stânga ale ecuației sistemului, grupând termenii cu variabile necunoscute x 1, x 2, ..., x n și echivalăm această sumă cu suma tuturor părților din dreapta ale ecuațiilor:

Dacă ne întoarcem la proprietățile exprimate anterior ale determinantului, atunci avem

iar egalitatea anterioară ia forma

Unde

În mod similar, găsim x 2 . Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuațiilor sistemului cu complementele algebrice ale coloanei a doua a matricei A:

Adăugăm toate ecuațiile sistemului, grupăm termenii cu variabile necunoscute x 1, x 2, ..., x n și aplicăm proprietățile determinantului:

Unde
.

Variabilele rămase necunoscute se găsesc în mod similar.

Dacă desemnăm

Apoi primim formule pentru găsirea variabilelor necunoscute folosind metoda Cramer .

Cometariu.

Dacă sistemul de ecuații algebrice liniare este omogen, adică , atunci are doar o soluție banală (pentru ). Într-adevăr, pentru zero termeni liberi, toți determinanții vor fi nule deoarece vor conține o coloană de elemente nule. Prin urmare, formulele va da .

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Să scriem algoritm de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Găsiți o soluție la un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Calculăm determinantul acestuia prin formula :

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, SLAE are o soluție unică și poate fi găsită prin metoda Cramer. Notăm determinanții și . Înlocuim prima coloană a matricei principale a sistemului cu o coloană de termeni liberi și obținem determinantul . În mod similar, înlocuim a doua coloană a matricei principale cu o coloană de termeni liberi și obținem .

Calculăm acești determinanți:

Găsim variabile necunoscute x 1 și x 2 folosind formulele :

Hai să facem o verificare. Inlocuim valorile obtinute x 1 si x 2 in sistemul original de ecuatii:

Ambele ecuații ale sistemului se transformă în identități, prin urmare, soluția este găsită corect.

Răspuns:

.

Unele elemente ale matricei SLAE principale pot fi egale cu zero. În acest caz, nu vor exista variabile necunoscute corespunzătoare în ecuațiile sistemului. Să luăm un exemplu.

Exemplu.

Găsiți o soluție la un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer .

Soluţie.

Să rescriem sistemul în formă pentru a vedea matricea principală a sistemului . Găsiți determinantul său după formula

Avem

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare are o soluție unică. Să-l găsim prin metoda lui Cramer. Calculați determinanții :

În acest fel,

Răspuns:

Denumirile variabilelor necunoscute din ecuațiile sistemului pot diferi de x 1 , x 2 , …, x n . Acest lucru nu afectează procesul decizional. Dar ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului este foarte importantă la compilarea matricei principale și a determinanților necesari ai metodei Cramer. Să explicăm acest punct cu un exemplu.

Exemplu.

Folosind metoda lui Cramer, găsiți o soluție la un sistem de trei ecuații algebrice liniare în trei necunoscute .

Soluţie.

În acest exemplu, variabilele necunoscute au o denumire diferită (x , y și z în loc de x 1 , x 2 și x 3 ). Acest lucru nu afectează cursul soluției, dar aveți grijă la notarea variabilelor. NU luați ca matrice principală a sistemului . Mai întâi trebuie să ordonați variabilele necunoscute în toate ecuațiile sistemului. Pentru a face acest lucru, rescriem sistemul de ecuații ca . Acum matricea principală a sistemului este clar vizibilă . Să calculăm determinantul acestuia:

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică. Să-l găsim prin metoda lui Cramer. Să notăm determinanții (atenție la notație) și calculează-le:

Rămâne să găsiți variabile necunoscute folosind formulele :

Hai să facem o verificare. Pentru a face acest lucru, înmulțim matricea principală cu soluția rezultată (dacă este necesar, vezi secțiunea ):

Ca rezultat, am obținut o coloană de termeni liberi ai sistemului original de ecuații, astfel încât soluția a fost găsită corect.

Răspuns:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de ecuații liniare prin metoda lui Cramer , unde a și b sunt numere reale.

Soluţie.

Răspuns:

Exemplu.

Găsiți o soluție a sistemului de ecuații Metoda lui Cramer este un număr real.

Soluţie.

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului: . expresiile au un interval, deci pentru orice valoare reală. Prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. Calculăm și:

Metode Kramerși gaussian una dintre cele mai populare soluții SLAU. În plus, în unele cazuri este indicat să folosiți metode specifice. Sesiunea este aproape, iar acum este momentul să le repetați sau să le stăpâniți de la zero. Astăzi ne ocupăm de soluția prin metoda Cramer. La urma urmei, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer este o abilitate foarte utilă.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Sistemul de ecuații algebrice liniare este un sistem de ecuații de forma:

Valoare setată X , la care ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește soluția sistemului, A și b sunt coeficienți reali. Un sistem simplu format din două ecuații cu două necunoscute poate fi rezolvat mental sau prin exprimarea unei variabile în termenii celeilalte. Dar pot exista mult mai mult de două variabile (x) în SLAE, iar manipulările școlare simple sunt indispensabile aici. Ce să fac? De exemplu, rezolvați SLAE prin metoda lui Cramer!

Deci, lasă sistemul să fie n ecuatii cu n necunoscut.

Un astfel de sistem poate fi rescris sub formă de matrice

Aici A este matricea principală a sistemului, X și B , respectiv, matrice coloane de variabile necunoscute și membri liberi.

Soluție SLAE prin metoda lui Cramer

Dacă determinantul matricei principale nu este egal cu zero (matricea este nesingulară), sistemul poate fi rezolvat folosind metoda Cramer.

Conform metodei Cramer, soluția se găsește prin formulele:

Aici delta este determinantul matricei principale și delta x n-a - determinantul obținut din determinantul matricei principale prin înlocuirea coloanei a n-a cu o coloană de membri liberi.

Acesta este scopul metodei lui Cramer. Înlocuind valorile găsite cu formulele de mai sus X în sistemul dorit, suntem convinși de corectitudinea (sau invers) soluției noastre. Pentru a vă ajuta să înțelegeți rapid esența, vă oferim mai jos un exemplu de soluție detaliată a SLAE prin metoda Cramer:

Chiar dacă nu reușești prima dată, nu te descuraja! Cu puțină exersare, vei începe să treci SLOW-uri ca nucile. Mai mult decât atât, acum nu este absolut necesar să studiezi un caiet, rezolvând calcule greoaie și scriind pe tijă. Este ușor să rezolvi SLAE prin metoda Cramer online, doar prin înlocuirea coeficienților în forma finită. Puteți încerca calculatorul online pentru rezolvarea metodei Cramer, de exemplu, pe acest site.

Și dacă sistemul s-a dovedit a fi încăpățânat și nu renunță, puteți oricând să apelați la autorii noștri pentru ajutor, de exemplu, la. Dacă există cel puțin 100 de necunoscute în sistem, cu siguranță o vom rezolva corect și la timp!

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează foarte mult procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție; dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție. Determinantul, compus din coeficienții necunoscutelor, se numește determinant al sistemului și se notează cu (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților la necunoscutele corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o singură soluție, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul este determinantul sistemului, iar numărătorul este determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților cu necunoscutul prin termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1 Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.

Trei cazuri în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum reiese din teoremele lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: sistemul de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: sistemul de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și nedeterminat)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistem inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n variabile este numită incompatibil dacă nu are soluții, și comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul incert.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin metoda Cramer

Lasă sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

identificatorul de sistem. Restul determinanților se obțin prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu membri liberi:

Exemplul 2

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Dacă în sistemul de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare acestora sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme folosind metoda Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți utiliza calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

În problemele pe sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un număr, cel mai adesea un număr real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații duc la probleme pentru a găsi proprietățile generale ale oricăror fenomene și obiecte. Adică ați inventat un material sau un dispozitiv nou și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul de copii, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de niște coeficienți pentru variabile există litere. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un număr real crește.

Exemplul 8 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute