Modele matematice ale celor mai simple sisteme de așteptare. Funcțiile p0(t) și p1(t) determină procesul tranzitoriu într-un QS cu un singur canal și descriu procesul prin care QS se apropie exponențial de starea limită cu o constantă de timp caracteristică d

23 octombrie 2013 la 14:22

Squeak: Modelarea sistemelor de așteptare

• programare,
• OOP,
• Programare în paralel

Există foarte puține informații despre Habré despre un astfel de limbaj de programare precum Squeak. Voi încerca să vorbesc despre asta în contextul modelării sistemelor de așteptare. Voi arăta cum să scrieți o clasă simplă, să descriu structura ei și să o folosesc într-un program care va servi cererile prin mai multe canale.

Câteva cuvinte despre Squeak

Squeak este o implementare deschisă, multiplatformă, a limbajului de programare Smalltalk-80, cu tastare dinamică și un colector de gunoi. Interfața este destul de specifică, dar destul de convenabilă pentru depanare și analiză. Squeak respectă pe deplin conceptul de OOP. Totul este alcătuit din obiecte, chiar și din structuri dacă-atunci-altfel, pentru, în timp ce implementate cu ajutorul lor. Întreaga sintaxă se rezumă la trimiterea unui mesaj către obiect sub forma:

<объект> <сообщение>

Orice metodă returnează întotdeauna un obiect și i se poate trimite un mesaj nou.
Squeak este adesea folosit pentru modelarea proceselor, dar poate fi folosit și ca instrument pentru crearea de aplicații multimedia și o varietate de platforme educaționale.

Sisteme de așteptare

Sistemele de așteptare (QS) conțin unul sau mai multe canale care procesează aplicații din mai multe surse. Timpul de deservire a fiecărei cereri poate fi fix sau arbitrar, precum și intervalele dintre sosirea lor. Poate fi o centrală telefonică, o spălătorie, casierii într-un magazin, un birou de dactilografiere etc. Arata cam așa:

QS include mai multe surse care intră în coada comună și sunt trimise pentru service pe măsură ce canalele de procesare devin libere. În funcție de caracteristicile specifice ale sistemelor reale, modelul poate conține un număr diferit de surse de solicitare și canale de servicii și are restricții diferite privind lungimea cozii și posibilitatea asociată de pierdere a cererilor (eșecuri).

La modelarea unui QS, sarcinile de estimare a lungimilor medii și maxime ale cozilor de așteptare, frecvența de refuzare a serviciului, încărcarea medie a canalului și determinarea numărului acestora sunt de obicei rezolvate. În funcție de sarcină, modelul include blocuri software pentru colectarea, acumularea și prelucrarea datelor statistice necesare privind comportamentul proceselor. Cele mai utilizate modele de flux de evenimente în analiza QS sunt regulate și Poisson. Cele obișnuite sunt caracterizate de același timp între apariția evenimentelor, în timp ce cele Poisson sunt aleatorii.

Un pic de matematică

Pentru un flux Poisson, numărul de evenimente X care se încadrează în intervalul de lungime τ (tau) adiacent punctului t, distribuit conform legii Poisson:
Unde a (t, τ)- numărul mediu de evenimente care au loc în intervalul de timp τ .
Numărul mediu de evenimente care au loc pe unitatea de timp este egal cu λ(t). Prin urmare, numărul mediu de evenimente pe interval de timp τ , alăturat momentului de timp t, va fi egal cu:

Timp Tîntre două evenimente λ(t) = const = λ distribuite conform legii:
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare T se pare ca:
Pentru a obține secvențe Poisson pseudoaleatoare ale intervalelor de timp t i rezolva ecuatia:
Unde r i este un număr aleatoriu distribuit uniform pe interval.
În cazul nostru, aceasta dă expresia:

Prin generarea de numere aleatorii, puteți scrie volume întregi. Aici, pentru a genera numere întregi distribuite uniform pe interval, folosim următorul algoritm:
Unde R i- un alt număr întreg aleatoriu;
R- un număr prim mare (ex. 2311);
Q- întreg - limita superioară a intervalului, de exemplu, 2 21 = 2097152;
rem- operația de obținere a restului din împărțirea numerelor întregi.

Valoarea initiala R0 de obicei, setate arbitrar, de exemplu, folosind citirile temporizatorului:
Timp totalSecunde
Pentru a obține numere distribuite uniform pe interval, folosim operatorul de limbă:

clasa Rand

Pentru a obține numere aleatoare distribuite uniform pe interval, creăm o clasă - un generator de numere reale:

Float variableWordSubclass: #Rand „nume de clasă” instanceVariableNames: „” „variabile de instanță” classVariableNames: „R” „variabile de clasă” poolDictionaries: „” „dicționare comune” categoria: „Eșantion” „nume categorie”
Metode:

„Inițializare” init R:= Timp totalSeconds.next „Următorul număr pseudo-aleatoriu” următor R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Pentru a seta starea inițială a senzorului, trimiteți un mesaj Rand init.
Pentru a obține un alt număr aleatoriu, trimiteți Rand în continuare.

Programul de procesare a aplicațiilor

Deci, ca exemplu simplu, să facem următoarele. Să presupunem că trebuie să simulăm menținerea unui flux regulat de cereri dintr-o singură sursă cu un interval de timp aleator între cereri. Există două canale de performanță diferită, care permit întreținerea aplicațiilor în 2 și, respectiv, 7 unități de timp. Este necesar să se înregistreze numărul de cereri deservite de fiecare canal în intervalul de 100 de unități de timp.

Cod scârțâit

„Declararea variabilelor temporare” | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority coada continua r | „Setări inițiale ale variabilei” Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. continua:=adevarat. sysPriority:= Prioritate procesor activeProcess. Coada „Prioritate curentă”:= Semafor nou. „Claim Queue Model” „Creating Process - Channel Model 1” s1:= s1 + 1. proc1 suspend.” Suspendarea procesului în așteptarea încheierii serviciului” ].proc1:= nil.” Eliminați referința la procesul 1” ]priority: (sysPriority + 1)) relua. „Prioritatea nouă este mai mare decât fundalul” „Creare proces - model de canal 2” .proc2:= nil.] prioritate: (sysPriority + 1)) reluare. „Descrierea continuă a procesului principal și a modelului sursă” whileTrue: [ r:= (Rand next * 10) rotunjit. (r = 0) dacă este adevărat: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . „Trimiteți cererea” „Comutați proces de service” (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. „Model time is ticking” ]. „Afișează starea contorului cererii” PopUpMenu informează: „proc1: „,(s1 printString),”, proc2: „,(s2 printString). continua:= false.

La pornire, vedem că procesul 1 a reușit să proceseze 31 de solicitări, iar 2 doar 11:

Clasificare, concepte de bază, elemente de model, calculul principalelor caracteristici.

La rezolvarea problemelor de organizare rațională a comerțului, serviciilor consumatorilor, depozitare etc. foarte utilă este interpretarea activităţilor structurii de producţie ca sisteme de asteptare, adică un sistem în care, pe de o parte, apar în mod constant solicitări pentru efectuarea oricărei lucrări, iar pe de altă parte, aceste solicitări sunt satisfăcute în mod constant.

Fiecare SMO include patru elemente: flux de intrare, coadă, server, flux de ieșire.

cerinţă(client, aplicație) în QS este fiecare cerere individuală pentru efectuarea oricărei lucrări.

Serviciu este executarea lucrărilor pentru a satisface cererea primită. Obiectul care realizează întreținerea cerințelor se numește dispozitiv de serviciu (dispozitiv) sau canal de serviciu.

Timpul de serviciu este perioada în care este îndeplinită cerința de serviciu, de exemplu. perioada de la începutul serviciului până la finalizarea acestuia. Perioada de la momentul în care o solicitare intră în sistem și până la începerea serviciului se numește timp de așteptare a serviciului. Timpul de așteptare pentru service, împreună cu timpul de service, este timpul de rezidență al cerinței în sistem.

SMO-urile sunt clasificate în funcție de diferite criterii..

1. În funcție de numărul de canale de servicii, QS sunt împărțite în cu un singur canal și cu mai multe canale.

2. În funcție de condițiile de așteptare, cerința de pornire a serviciului distinge QS cu pierderi (eșecuri) și QS cu așteptare.

LA QS cu pierderea cererii, primite în momentul în care toate dispozitivele sunt ocupate cu întreținere, sunt respinse, sunt pierdute pentru acest sistem și nu au niciun efect asupra procesului de întreținere ulterioară. Exemplul clasic de sistem defect este centrala telefonică - o cerere de conectare este refuzată dacă persoana apelată este ocupată.

Pentru un sistem cu defecțiuni, principala caracteristică a eficienței funcționării este probabilitatea de defecțiune sau proporția medie a cererilor care rămân neservite.

LA CMO cu cerere în așteptare, primit în momentul în care toate dispozitivele sunt ocupate cu întreținerea, nu părăsește sistemul, ci sta în coadă și așteaptă până când unul dintre canale devine liber. Când următorul dispozitiv este lansat, una dintre aplicațiile din coadă este imediat acceptată pentru service.

Pentru QS cu așteptare, principalele caracteristici sunt așteptările matematice privind lungimea cozii și timpul de așteptare.

Un exemplu de sistem de așteptare este procesul de restaurare a televizoarelor într-un atelier de reparații.

Există sisteme care se află între aceste două grupuri ( CMO mixte). Ele se caracterizează prin prezența unor condiții intermediare: restricții pot fi restricții asupra timpului de așteptare pentru începerea serviciului, asupra lungimii cozii etc.

Ca caracteristici de performanță, probabilitatea de defecțiune poate fi utilizată atât în ​​sistemele cu pierderi (sau caracteristici de timp de așteptare), cât și în sistemele cu așteptare.

3. Conform disciplinei de serviciu, QS-urile sunt împărțite în sisteme cu prioritate de serviciu și sisteme fără prioritate de serviciu.

Cererile pot fi deservite în ordinea în care sunt primite, fie aleatoriu, fie pe baza priorităților stabilite.

4. QS poate fi monofazat și multifazat.

LA fază singulară sisteme, cerințele sunt deservite de canale de același tip (de exemplu, lucrători de aceeași profesie) fără a le transfera de la un canal la altul, în multifazic sisteme astfel de transferuri sunt posibile.

5. În funcție de locația sursei cerințelor, QS-urile sunt împărțite în deschise (când sursa cerinței este în afara sistemului) și închise (când sursa se află în sistemul însuși).

La închis includ sisteme în care fluxul de cerințe de intrare este limitat. De exemplu, un maistru a cărui sarcină este să monteze mașini în atelier trebuie să le întrețină periodic. Fiecare mașină configurată devine o sursă potențială de cerințe de configurare în viitor. În astfel de sisteme, numărul total de revendicări circulante este finit și cel mai adesea constant.

Dacă sursa de alimentare are un număr infinit de cerințe, atunci sistemele sunt apelate deschis. Exemple de astfel de sisteme sunt magazinele, casele de bilete ale stațiilor, porturile etc. Pentru aceste sisteme, fluxul de cereri de intrare poate fi considerat nelimitat.

Metodele și modelele pentru studierea QS pot fi împărțite condiționat în analitice și statistice (modelarea prin simulare a proceselor de așteptare).

Metodele analitice fac posibilă obținerea caracteristicilor sistemului ca unele funcții ale parametrilor funcționării acestuia. Acest lucru face posibilă efectuarea unei analize calitative a influenței factorilor individuali asupra eficienței QS.

Din nefericire, doar o gamă destul de limitată de probleme din teoria cozilor de așteptare poate fi rezolvată analitic. În ciuda dezvoltării continue a metodelor analitice, în multe cazuri reale, o soluție analitică este fie imposibil de obținut, fie dependențele rezultate se dovedesc a fi atât de complexe încât analiza lor devine o sarcină dificilă independentă. Prin urmare, pentru a putea aplica metode analitice de soluționare, trebuie să recurgem la diverse ipoteze simplificatoare, care este într-o oarecare măsură compensată de posibilitatea aplicării unei analize calitative a dependențelor finale (în acest caz, desigur, este este necesar ca ipotezele făcute să nu denatureze imaginea reală a procesului).

În prezent, teoretic, cele mai dezvoltate și convenabile în aplicațiile practice sunt metodele de rezolvare a unor astfel de probleme de coadă în care fluxul de cerințe este cel mai simplu ( Poisson).

Pentru cel mai simplu flux, frecvența de primire a cerințelor în sistem respectă legea Poisson, adică probabilitatea de a ajunge în timpul t egală cu k cerințe este dată de formula:

unde λ este parametrul de curgere (vezi mai jos).

Cel mai simplu flux are trei proprietăți principale: obișnuit, staționar și fără efecte secundare.

Ordinaritatea flux înseamnă imposibilitatea practică a primirii simultane a două sau mai multe cerințe. De exemplu, probabilitatea ca mai multe utilaje dintr-un grup de mașini deservite de o echipă de reparatori să se defecteze în același timp este destul de mică.

Staționar numit curgere, pentru care așteptarea matematică a numărului de revendicări care intră în sistem pe unitatea de timp (notat cu λ) nu se modifică în timp. Astfel, probabilitatea ca un anumit număr de revendicări să intre în sistem într-un interval de timp dat Δt depinde de valoarea sa și nu depinde de originea sa pe axa timpului.

Fără efect secundarînseamnă că numărul de clienți care intră în sistem înainte de momentul t nu determină câți clienți vor intra în sistem în timpul t + Δt.

De exemplu, dacă o rupere a firului are loc pe un răzător de țesut în acest moment și este eliminată de țesător, atunci aceasta nu determină dacă o nouă rupere va avea loc pe acest răzător în momentul următor sau nu, cu atât mai mult se întâmplă. nu afectează probabilitatea unei întreruperi la alte mașini.

O caracteristică importantă a QS este timpul de service al cerințelor din sistem. Timpul de serviciu este, de regulă, o variabilă aleatorie și, prin urmare, poate fi descris printr-o lege de distribuție. Legea exponențială a primit cea mai mare distribuție în teorie și, mai ales în aplicații practice. Pentru această lege, funcția de distribuție a probabilității are forma:

F(t) \u003d 1 - e -μt,

acestea. probabilitatea ca timpul de serviciu să nu depășească o anumită valoare t este determinată de formula (1 - e -μt), unde μ este parametrul legii exponențiale a timpului de serviciu al cerințelor în sistem - reciproca mediei timpul de serviciu, de ex. .

Luați în considerare modele analitice QS cu așteptări(cel mai comun QS, în care cererile primite în momentul în care toate unitățile de service sunt ocupate sunt puse în coadă și deservite pe măsură ce unitățile de service devin libere).

Sarcinile cu cozi sunt tipice în condițiile de producție, de exemplu, la organizarea lucrărilor de reglare și reparații, în timpul întreținerii cu mai multe mașini etc.

Declarația generală a problemei este următoarea.

Sistemul este format din n canale de servire. Fiecare dintre ele poate servi o singură cerere la un moment dat. Sistemul primește cel mai simplu flux (Poisson) de cerințe cu parametrul λ. Dacă în momentul sosirii următoarei solicitări în sistem există deja cel puțin n cereri în serviciu (adică toate canalele sunt ocupate), atunci această solicitare intră în coadă și așteaptă să înceapă serviciul.

Timpul de serviciu al fiecărei cerințe t despre este o variabilă aleatoare care respectă legea distribuției exponențiale cu parametrul μ.

După cum sa menționat mai sus, QS cu așteptări poate fi împărțit în două grupuri mari: închis și deschis.

Caracteristicile funcționării fiecăruia dintre aceste două tipuri de sisteme își impun propria nuanță asupra aparatului matematic utilizat. Calculul caracteristicilor operațiunii QS de diferite tipuri poate fi efectuat pe baza calculului probabilităților stărilor QS (formule Erlang).

Deoarece sistemul este închis, la declarația problemei ar trebui adăugată o condiție: fluxul de cereri primite este limitat, de exemplu. sistemul de așteptare nu poate avea mai mult de m cereri în același timp (m este numărul de obiecte deservite).

Ca principale criterii care caracterizează calitatea funcționării sistemului luat în considerare, vom alege: 1) raportul dintre lungimea medie a cozii de așteptare și cel mai mare număr de cerințe care se află simultan în sistemul de service - coeficientul de nefuncționare al obiectului deservit; 2) raportul dintre numărul mediu de canale de difuzare inactive și numărul lor total este raportul de inactivitate al canalului deservit.

Luați în considerare calculul caracteristicilor probabilistice necesare (indicatorii de performanță) ale unui QS închis.

1. Probabilitatea ca în sistem să existe k cerințe, cu condiția ca numărul acestora să nu depășească numărul de dispozitive de service n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

Unde

λ este frecvența (intensitatea) de primire a cerințelor în sistem de la o sursă;

Durata medie de serviciu pentru o singură cerință;

m - cel mai mare număr posibil de cerințe care se află în sistemul de servire în același timp;

n este numărul de dispozitive de service;

P 0 - probabilitatea ca toate dispozitivele de serviciu să fie libere.

2. Probabilitatea ca în sistem să existe k cerințe, cu condiția ca numărul acestora să fie mai mare decât numărul de dispozitive de service:

P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),

Unde

3. Probabilitatea ca toate serverele să fie libere este determinată de condiție

Prin urmare,

4. Numărul mediu de solicitări care așteaptă să înceapă serviciul (lungimea medie a cozii de așteptare):

5. Rata de nefuncționare a cererii în așteptarea serviciului:

6. Probabilitatea ca toate dispozitivele de service să fie ocupate:

7. Numărul mediu de cerințe în sistemul de servicii (servite și în așteptare):

8. Raportul dintre timpul total de nefuncționare al cerințelor pentru service și așteptarea serviciului:

9. Timpul mediu de inactivitate al unei reclamații într-o coadă de service:

10. Numărul mediu de însoțitori gratuiti:

11. Rata timpului de nefuncționare a vehiculelor de service:

12. Probabilitatea ca numărul de clienți care așteaptă să fie deserviți să fie mai mare decât un număr B (probabilitatea ca în coada de servicii să fie mai mulți clienți B):

În multe domenii ale economiei, finanțelor, producției și vieții de zi cu zi, sistemele care implementează executarea repetată a sarcinilor de același tip joacă un rol important. Se numesc astfel de sisteme sisteme de așteptare ( CMO ). Exemple de SMO sunt: ​​bănci de diferite tipuri, organizații de asigurări, inspectorate fiscale, servicii de audit, diverse sisteme de comunicații, complexe de încărcare și descărcare, benzinării, diverse întreprinderi și organizații din sectorul serviciilor.

3.1.1 Informații generale despre sistemele de așteptare

Fiecare QS este conceput pentru a servi (executa) un anumit flux de aplicații (cerințe) care ajung la intrarea sistemului în cea mai mare parte nu în mod regulat, ci în momente aleatorii. De asemenea, serviciul aplicațiilor durează nu un timp constant, prestabilit, ci aleatoriu, care depinde de multe motive aleatorii, uneori necunoscute nouă. După deservirea cererii, canalul este eliberat și este gata să primească următoarea solicitare. Natura aleatorie a fluxului de aplicații și timpul de serviciu al acestora duce la o sarcină de lucru neuniformă a QS. La anumite intervale de timp, cererile se pot acumula la intrarea QS, ceea ce duce la supraîncărcare QS, în timp ce la alte intervale de timp, cu canale libere (dispozitive de service), nu vor exista solicitări la intrarea QS, ceea ce duce la subîncărcare QS, adică pentru a-și opri canalele. Aplicațiile care se acumulează la intrarea în QS fie „intră” în coadă, fie, din anumite motive, imposibilitatea de a rămâne în continuare în coadă, lasă QS-ul neservit.

Figura 3.1 prezintă o diagramă a QS.

Principalele elemente (caracteristici) ale sistemelor de așteptare sunt:

Nod de serviciu (bloc),

fluxul de aplicare,

Întoarce-te asteptarea serviciului (disciplina la coada).

Bloc de servicii concepute pentru a efectua acțiuni în conformitate cu cerințele sistemului de intrare aplicatii.

Orez. 3.1 Schema sistemului de așteptare

A doua componentă a sistemelor de așteptare este intrarea fluxul de aplicare. Aplicațiile intră în sistem aleatoriu. De obicei, se presupune că fluxul de intrare respectă o anumită lege a probabilității pe durata intervalelor dintre două cereri care sosesc succesiv, iar legea de distribuție este considerată a fi neschimbată pentru un timp suficient de lung. Sursa aplicațiilor este nelimitată.

A treia componentă este disciplina la coada. Această caracteristică descrie ordinea de deservire a cererilor care ajung la intrarea sistemului. Deoarece blocul de deservire are de obicei o capacitate limitată, iar cererile sosesc neregulat, se creează periodic o coadă de solicitări în așteptarea serviciului, iar uneori sistemul de servire este inactiv în așteptarea cererilor.

Caracteristica principală a proceselor de așteptare este aleatorietatea. În acest caz, există două părți care interacționează: notificat și notificat. Comportamentul aleatoriu al cel puțin uneia dintre părți duce la natura aleatorie a fluxului procesului de servicii în ansamblu. Sursele aleatoriei în interacțiunea acestor două părți sunt evenimente aleatorii de două tipuri.

1. Apariția unei aplicații (cerință) pentru service. Motivul aleatoriei acestui eveniment este adesea natura masivă a nevoii de serviciu.

2. Încheierea serviciului următoarei solicitări. Motivele aleatoriei acestui eveniment sunt atât caracterul aleatoriu al începerii serviciului, cât și durata aleatorie a serviciului în sine.

Aceste evenimente aleatoare constituie un sistem de două fluxuri în QS: fluxul de intrare al cererilor de serviciu și fluxul de ieșire al cererilor deservite.

Rezultatul interacțiunii acestor fluxuri de evenimente aleatoare este numărul de aplicații din QS în acest moment, care este de obicei numit starea sistemului.

Fiecare QS, în funcție de parametrii săi de natura fluxului de aplicații, de numărul de canale de servicii și de performanța acestora, de regulile de organizare a muncii, are o anumită eficiență de funcționare (capacitate), care îi permite să facă față cu succes fluxul de aplicații.

Domeniu special de matematică aplicată teoria maseiserviciu (TMO)– se ocupa de analiza proceselor din sistemele de asteptare. Subiectul de studiu al teoriei stării de așteptare este QS.

Scopul teoriei cozilor este de a dezvolta recomandări pentru construcția rațională a QS, organizarea rațională a muncii lor și reglarea fluxului de aplicații pentru a asigura o eficiență ridicată a QS. Pentru atingerea acestui scop se stabilesc sarcinile teoriei cozilor de aşteptare care constau în stabilirea dependenţelor eficienţei funcţionării QS de organizarea acestuia.

Sarcinile teoriei cozilor de așteptare sunt de natură de optimizare și au ca scop în cele din urmă determinarea unei astfel de variante a sistemului, care va asigura un minim de costuri totale din așteptarea serviciului, pierderea de timp și resurse pentru service și de la unitatea de service inactivă. . Cunoașterea acestor caracteristici oferă managerului informații pentru a dezvolta un impact direcționat asupra acestor caracteristici pentru a gestiona eficiența proceselor de așteptare.

Următoarele trei grupuri principale de indicatori (de obicei medii) sunt de obicei alese ca caracteristici ale eficienței funcționării QS:

Indicatori ai eficacității utilizării QS:

Debitul absolut al QS este numărul mediu de cereri pe care QS-ul le poate servi pe unitatea de timp.

Debitul relativ al QS este raportul dintre numărul mediu de cereri deservite de QS pe unitatea de timp și numărul mediu de cereri primite în același timp.

Durata medie a perioadei de angajare a SMO.

Rata de utilizare QS - cota medie de timp în care QS este ocupat cu întreținerea aplicațiilor etc.

Indicatori de calitate a serviciului aplicației:

Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă.

Timpul mediu de rezidență al unei cereri în CMO.

Probabilitatea ca cererea să fie refuzată serviciul fără așteptare.

Probabilitatea ca o solicitare primită să fie imediat acceptată pentru serviciu.

Legea distribuirii timpului în care aplicația rămâne în coadă.

Legea repartizării timpului petrecut de o aplicație în QS.

Numărul mediu de aplicații din coadă.

Numărul mediu de aplicații în QS etc.

Indicatorii de performanță ai perechii „QS – consumator”, unde „consumator” înseamnă întregul set de aplicații sau unele dintre ele

funcţionarea sau eficienţa sistemului de aşteptare sunt următoarele.

Pentru CMO cu eșecuri:

Pentru CMO cu așteptare nelimitată atât debitul absolut cât și cel relativ își pierd sensul, deoarece fiecare cerere primită va fi servită mai devreme sau mai târziu. Pentru un astfel de QS, indicatorii importanți sunt:

Pentru CMO tip mixt se folosesc ambele grupe de indicatori: atât relativ cât şi lățime de bandă absolută, și caracteristicile așteptărilor.

În funcție de scopul operațiunii de așteptare, oricare dintre indicatorii de mai sus (sau un set de indicatori) poate fi selectat ca criteriu de performanță.

model analitic QS este un set de ecuații sau formule care fac posibilă determinarea probabilităților stărilor sistemului în cursul funcționării sale și calcularea indicatorilor de performanță pe baza caracteristicilor cunoscute ale fluxului de intrare și canalelor de servicii.

Nu există un model analitic general pentru un QS arbitrar. Modelele analitice au fost dezvoltate pentru un număr limitat de cazuri speciale de QS. Modelele analitice care reprezintă mai mult sau mai puțin corect sistemele reale sunt, de regulă, complexe și greu de văzut.

Modelarea analitică a QS-ului este mult facilitată dacă procesele care au loc în QS sunt markoviane (fluxurile de cereri sunt simple, timpii de serviciu sunt distribuiti exponențial). În acest caz, toate procesele din QS pot fi descrise prin ecuații diferențiale obișnuite, iar în cazul limită, pentru stările staționare, prin ecuații algebrice liniare și, după rezolvarea acestora, se determină indicatorii de performanță selectați.

Să luăm în considerare exemple de QS.

2.5.1. QS multicanal cu defecțiuni

Exemplul 2.5. Trei inspectori de trafic verifică borderourile șoferilor de camion. Dacă cel puțin un inspector este liber, camionul care trece este oprit. Dacă toți inspectorii sunt ocupați, camionul trece fără oprire. Fluxul camioanelor este cel mai simplu, timpul de verificare este aleatoriu cu o distribuție exponențială.

O astfel de situație poate fi simulată printr-un QS cu trei canale cu defecțiuni (fără coadă). Sistemul este deschis, cu aplicații omogene, monofazat, cu canale absolut fiabile.

Descrierea statelor:

Toți inspectorii sunt liberi;

Un inspector este ocupat;

Doi inspectori sunt ocupați;

Trei inspectori sunt ocupați.

Graficul stărilor sistemului este prezentat în fig. 2.11.

Orez. 2.11.

Pe grafic: - intensitatea fluxului de camioane; - intensitatea verificărilor documentelor de către un singur inspector de trafic.

Simularea este efectuată pentru a determina partea mașinilor care nu va fi testată.

Soluţie

Partea dorită a probabilității este probabilitatea de angajare a tuturor celor trei inspectori. Deoarece graficul de stare reprezintă o schemă tipică de „moarte și reproducere”, vom găsi folosirea dependențelor (2.2).

Debitul acestui post de inspectori de trafic poate fi caracterizat debit relativ:

Exemplul 2.6. Pentru a primi și procesa rapoarte de la grupul de recunoaștere, un grup de trei ofițeri a fost repartizat la departamentul de recunoaștere al asociației. Rata estimată de raportare este de 15 rapoarte pe oră. Timpul mediu de procesare a unui raport de către un ofițer este de . Fiecare ofițer poate primi rapoarte de la orice grup de recunoaștere. Ofițerul eliberat procesează ultimul dintre rapoartele primite. Rapoartele primite trebuie procesate cu o probabilitate de cel puțin 95%.

Stabiliți dacă grupul de trei ofițeri alocat este suficient pentru a îndeplini sarcina atribuită.

Soluţie

Un grup de ofițeri lucrează ca CMO cu eșecuri, format din trei canale.

Fluxul de rapoarte cu intensitate poate fi considerat cel mai simplu, deoarece este totalul mai multor grupuri de recunoaștere. Intensitatea intretinerii . Legea distribuției este necunoscută, dar aceasta nu este esențială, deoarece se arată că pentru sistemele cu defecțiuni poate fi arbitrară.

Descrierea stărilor și graficul stărilor QS vor fi similare cu cele date în Exemplul 2.5.

Deoarece graficul de stare este o schemă de „moarte și reproducere”, există expresii gata făcute pentru probabilitățile de stare limită pentru acesta:

Relația se numește intensitatea redusă a fluxului de aplicații. Semnificația sa fizică este următoarea: valoarea este numărul mediu de cereri care vin la QS pentru timpul mediu de serviciu al unei cereri.

În exemplu .

În QS-ul considerat, eșecul apare atunci când toate cele trei canale sunt ocupate, adică . Apoi:

pentru că probabilitatea de eșecîn procesarea rapoartelor este mai mare de 34% (), atunci este necesar să se mărească personalul grupului. Să dublăm compoziția grupului, adică QS-ul va avea acum șase canale și să calculăm:

Astfel, doar un grup de șase ofițeri va putea procesa rapoartele primite cu o probabilitate de 95%.

2.5.2. QS multicanal cu așteptare

Exemplul 2.7. Există 15 instalații de trecere de același tip în secțiunea de forțare a râului. Fluxul de vehicule care sosesc la trecere este în medie de 1 unitate/min, timpul mediu de traversare a unei unități de echipament este de 10 minute (ținând cont de întoarcerea instalației de trecere).

Evaluați principalele caracteristici ale traversării, inclusiv probabilitatea unei traversări imediate imediat după sosirea unui echipament.

Soluţie

Lățimea de bandă absolută, adică tot ce vine la trecere este aproape imediat traversat.

Numărul mediu de instalații de trecere în funcțiune:

Încrucișarea ratelor de utilizare și timpi de nefuncționare:

A fost dezvoltat și un program pentru a rezolva exemplul. Intervalele de timp pentru sosirea echipamentelor la trecere, timpul traversării se iau a fi distribuite conform unei legi exponenţiale.

Ratele de utilizare a feribotului după 50 de curse sunt practic aceleași: .

INTRODUCERE

CAPITOLUL I. FORMULAREA PROBLEMELOR DE SERVICIU LA COAZĂ

1.1 Conceptul general al teoriei cozilor

1.2 Modelarea sistemelor de aşteptare

1.3 Grafice de stare QS

1.4 Procese stocastice

Capitolul II. ECUAȚII DE DESCRIERE A SISTEMELOR DE COZI

2.1 Ecuații Kolmogorov

2.2 Procesele de „naștere – moarte”

2.3 Formularea economică și matematică a problemelor de coadă

Capitolul III. MODELE DE SISTEME DE COZI DE COZI

3.1 QS cu un singur canal cu refuz de serviciu

3.2 QS multicanal cu refuz de serviciu

3.3 Modelul unui sistem de servicii turistice în mai multe faze

3.4 QS cu un singur canal cu lungime limitată la coadă

3.5 QS cu un singur canal cu coadă nelimitată

3.6 QS multicanal cu lungime limitată la coadă

3.7 QS multicanal cu coadă nelimitată

3.8 Analiza sistemului de așteptare a supermarketurilor

CONCLUZIE

Introducere

În prezent, a apărut o cantitate mare de literatură care este direct consacrat teoriei cozilor, dezvoltării aspectelor sale matematice, precum și diferitelor domenii de aplicare a acesteia - militar, medical, transport, comerț, aviație etc.

Teoria de așteptare se bazează pe teoria probabilității și statistica matematică. Dezvoltarea inițială a teoriei stării de așteptare este asociată cu numele omului de știință danez A.K. Erlang (1878-1929), cu lucrările sale în domeniul proiectării și exploatării centralelor telefonice.

Teoria cozilor de așteptare este un domeniu al matematicii aplicate care se ocupă cu analiza proceselor din sistemele de producție, servicii și control în care evenimentele omogene sunt repetate de multe ori, de exemplu, în întreprinderile de servicii pentru consumatori; în sisteme de primire, procesare și transmitere a informațiilor; linii automate de producție etc. O mare contribuție la dezvoltarea acestei teorii a avut-o matematicienii ruși A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel și alții.

Subiectul teoriei cozilor de aşteptare este stabilirea unor relaţii între natura fluxului de cereri, numărul de canale de servicii, performanţa unui singur canal şi serviciul eficient pentru a găsi cele mai bune modalităţi de control al acestor procese. Sarcinile teoriei cozilor de așteptare sunt de natură de optimizare și includ în cele din urmă aspectul economic al determinării unei astfel de variante a sistemului, care va asigura un minim de costuri totale din așteptarea serviciului, pierderea de timp și resurse pentru service și din timpul de nefuncționare. a canalelor de servicii.

În activitățile comerciale, aplicarea teoriei cozilor de așteptare nu a găsit încă distribuția dorită.

Acest lucru se datorează în principal dificultății de stabilire a obiectivelor, necesității unei înțelegeri profunde a conținutului activităților comerciale, precum și instrumentelor fiabile și precise care permit calcularea diferitelor opțiuni pentru consecințele deciziilor manageriale în activitățile comerciale.

Capitol eu . Stabilirea sarcinilor de așteptare

1.1 Conceptul general al teoriei cozilor

Natura cozii, în diverse domenii, este foarte subtilă și complexă. Activitatea comercială este asociată cu efectuarea multor operațiuni în stadiile de mișcare, de exemplu, o masă de mărfuri din sfera producției în sfera consumului. Astfel de operațiuni sunt încărcarea mărfurilor, transportul, descărcarea, depozitarea, prelucrarea, ambalarea, vânzarea. Pe lângă astfel de operațiuni de bază, procesul de circulație a mărfurilor este însoțit de un număr mare de operațiuni preliminare, pregătitoare, de însoțire, paralele și ulterioare cu documente de plată, containere, bani, mașini, clienți etc.

Fragmentele de activitate comercială enumerate se caracterizează prin primirea în masă a mărfurilor, banilor, vizitatorilor la ore aleatorii, apoi deservirea lor consecventă (satisfacerea cerințelor, solicitărilor, solicitărilor) prin efectuarea de operațiuni adecvate, al căror timp de execuție este tot aleatoriu. Toate acestea creează denivelări în muncă, generează subîncărcări, timpi de nefuncționare și supraîncărcări în operațiunile comerciale. Cozile cauzează o mulțime de probleme, de exemplu, vizitatorii din cafenele, cantine, restaurante sau șoferii de mașini la depozitele de mărfuri, care așteaptă descărcarea, încărcarea sau documentele. În acest sens, există sarcini de analiză a opțiunilor existente pentru efectuarea întregului set de operațiuni, de exemplu, podeaua comercială a unui supermarket, a unui restaurant sau în ateliere de producție de produse proprii pentru a evalua activitatea acestora, a identifica verigi slabe și rezerve, și în cele din urmă să dezvolte recomandări menite să crească eficiența operațiunilor comerciale.

În plus, apar și alte sarcini legate de crearea, organizarea și planificarea unei noi opțiuni economice, raționale pentru efectuarea multor operațiuni în cadrul platformei comerciale, a cofetăriei, a tuturor nivelurilor de servicii ale unui restaurant, cafenea, cantină, departament de planificare, departament de contabilitate, departamentul de personal etc.

Sarcinile de organizare a cozii de așteptare apar în aproape toate sferele activității umane, de exemplu, deservirea cumpărătorilor în magazine de către vânzători, deservirea vizitatorilor la unități de alimentație publică, deservirea clienților la întreprinderile de servicii pentru consumatori, furnizarea de convorbiri telefonice la o centrală telefonică, furnizarea de îngrijiri medicale pentru pacienţii dintr-o clinică etc. În toate exemplele de mai sus, există necesitatea de a satisface nevoile unui număr mare de consumatori.

Sarcinile enumerate pot fi rezolvate cu succes folosind metode și modele ale teoriei cozilor de așteptare (QMT) special create în aceste scopuri. Această teorie explică faptul că este necesar să se servească pe cineva sau ceva, care este definit de conceptul de „cerere (cerință) de serviciu”, iar operațiunile de serviciu sunt efectuate de cineva sau ceva numit canale de serviciu (noduri). Rolul aplicatiilor in activitatile comerciale il au marfa, vizitatori, bani, auditori, documente, iar rolul canalelor de servicii il au vanzatori, administratori, bucatari, cofetari, ospatari, casierii, comercianti, incarcatori, utilaje comerciale etc. Este important de reținut că într-o variantă, de exemplu, un bucătar în procesul de preparare a mâncărurilor este un canal de servicii, iar în alta, el acționează ca o cerere de serviciu, de exemplu, către directorul de producție pentru primirea mărfurilor.

Datorită naturii masive a primirii serviciilor, aplicațiile formează fluxuri care se numesc primite înainte de efectuarea operațiunilor de service și după o posibilă așteptare pentru începerea serviciului, de exemplu. timp de nefuncționare în coadă, serviciul de formulare circulă pe canale și apoi se formează un flux de cereri de ieșire. În general, setul de elemente ale fluxului de aplicații de intrare, coadă, canale de servicii și fluxul de ieșire al aplicațiilor formează cel mai simplu sistem de așteptare cu un singur canal - QS.

Un sistem este un set de interconectate și. părți (elemente) care interacționează intenționat. Exemple de astfel de QS simple în activități comerciale sunt locurile de recepție și procesare a mărfurilor, centrele de decontare cu clienți în magazine, cafenele, cantine, locuri de muncă de economist, contabil, comerciant, bucătar la distribuție etc.

Procedura de service este considerată finalizată atunci când cererea de service părăsește sistemul. Durata intervalului de timp necesar implementării procedurii de service depinde în principal de natura solicitării de solicitare a serviciului, de starea sistemului de servicii în sine și de canalul de serviciu.

Într-adevăr, durata șederii cumpărătorului în supermarket depinde, pe de o parte, de calitățile personale ale cumpărătorului, de solicitările acestuia, de gama de bunuri pe care urmează să le achiziționeze și, pe de altă parte, de forma de organizare a serviciului și însoțitori, ceea ce poate afecta semnificativ timpul petrecut de cumpărător în supermarket și intensitatea serviciului. De exemplu, casierii-controlori care stăpânesc metoda „oarbă” de lucru la o casă de marcat au făcut posibilă creșterea debitului nodurilor de decontare de 1,3 ori și economisirea timpului petrecut cu decontările cu clienții la fiecare casă de marcat cu mai mult de 1,5 ore pe zi. . Introducerea unui singur nod de decontare în supermarket oferă beneficii tangibile cumpărătorului. Deci, dacă cu forma tradițională de decontare, timpul de serviciu pentru un client a fost în medie de 1,5 minute, atunci cu introducerea unui singur nod de decontare - 67 de secunde. Dintre acestea, 44 de secunde sunt cheltuite pentru efectuarea unei achiziții în secțiune și 23 de secunde sunt cheltuite direct pentru plățile pentru achiziții. Dacă cumpărătorul face mai multe achiziții în secțiuni diferite, atunci pierderea de timp este redusă prin achiziționarea a două achiziții de 1,4 ori, de trei - cu 1,9, de cinci - cu 2,9 ori.

Prin cereri de service, înțelegem procesul de satisfacere a unei nevoi. Serviciul este diferit în natură. Cu toate acestea, în toate exemplele, solicitările primite trebuie să fie deservite de un dispozitiv. În unele cazuri, serviciul este efectuat de o singură persoană (serviciul clienți de către un singur vânzător, în unele cazuri de către un grup de persoane (serviciul pacientului de către o comisie medicală într-o policlinică), iar în unele cazuri prin dispozitive tehnice (vânzarea de apă sodă). , sandvișuri de la automate). Un set de instrumente care deservesc aplicațiile, se numește canal de servicii.

Dacă canalele de servicii sunt capabile să satisfacă aceleași solicitări, atunci canalele de servicii sunt numite omogene. Un set de canale omogene de servicii se numește sistem de servire.

Sistemul de așteptare primește un număr mare de solicitări în momente aleatorii, a căror durată de serviciu este, de asemenea, o variabilă aleatorie. Sosirea succesivă a clienților în sistemul de așteptare se numește flux de clienți de intrare, iar succesiunea clienților care părăsesc sistemul de așteptare se numește flux de ieșire.