Cum să găsiți un punct care este simetric față de o dreaptă.

O linie dreaptă în spațiu poate fi întotdeauna definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele. Dacă ecuația unui plan este ecuația celui de-al doilea plan, atunci ecuația dreptei este dată ca

Aici necoliniare
. Aceste ecuații se numesc ecuații generale linie dreaptă în spațiu.

Ecuații canonice ale dreptei

Orice vector diferit de zero situat pe o dreaptă dată sau paralel cu ea se numește vector de direcție al acestei linii.

Daca se stie punctul
linia și vectorul său de direcție
, atunci ecuațiile canonice ale dreptei au forma:

. (9)

Ecuații parametrice ale unei linii drepte

Să fie date ecuațiile canonice ale dreptei

.

De aici, obținem ecuațiile parametrice ale dreptei:

(10)

Aceste ecuații sunt utile pentru găsirea punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte
și
se pare ca:

.

Unghiul dintre linii

Unghiul dintre linii

și

este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Prin urmare, poate fi calculat prin formula (4):

Starea liniilor paralele:

.

Condiția de perpendicularitate a planurilor:

Distanța unui punct față de o dreaptă

P punct dat
si direct

.

Din ecuațiile canonice ale dreptei, punctul este cunoscut
, aparținând dreptei și vectorul de direcție al acesteia
. Apoi distanța punctului
dintr-o linie dreaptă este egală cu înălțimea unui paralelogram construit pe vectori și
. Prin urmare,

.

Starea de intersecție a liniilor

Două linii neparalele

,

se intersectează dacă și numai dacă

.

Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan.

Lasă linia dreaptă
și plată. Colţ între ele pot fi găsite prin formula

.

Problema 73. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei

(11)

Soluţie. Pentru a scrie ecuațiile canonice ale dreptei (9), este necesar să se cunoască orice punct aparținând dreptei și vectorul de direcție al dreptei.

Să găsim vectorul paralel cu linia dată. Deoarece trebuie să fie perpendicular pe vectorii normali ai acestor plane, i.e.

,
, apoi

.

Din ecuațiile generale ale dreptei, avem asta
,
. Apoi

.

De la punctul
orice punct al dreptei, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile dreptei, iar una dintre ele poate fi specificată, de exemplu,
, găsim celelalte două coordonate din sistemul (11):

De aici,
.

Astfel, ecuațiile canonice ale dreptei dorite au forma:

sau
.

Problema 74.

și
.

Soluţie. Din ecuațiile canonice ale primei drepte se cunosc coordonatele punctului
aparținând dreptei și coordonatele vectorului de direcție
. Din ecuațiile canonice ale celei de-a doua drepte se cunosc și coordonatele punctului
și coordonatele vectorului de direcție
.

Distanța dintre liniile paralele este egală cu distanța unui punct
din a doua linie. Această distanță este calculată prin formula

.

Să găsim coordonatele vectorului
.

Calculați produsul vectorial
:

.

Problema 75. Găsiți un punct punct simetric
relativ drept

.

Soluţie. Scriem ecuația planului perpendicular pe dreapta dată și care trece prin punct . Ca vectorul său normal putem lua vectorul de direcție ca o linie dreaptă. Apoi
. Prin urmare,

Să găsim un punct
punctul de intersecție al dreptei date și al planului P. Pentru a face acest lucru, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei, folosind ecuațiile (10), obținem

Prin urmare,
.

Lăsa
punct simetric la punct
despre această linie. Apoi punctul
punct de mijloc
. Pentru a găsi coordonatele unui punct folosim formulele pentru coordonatele mijlocului segmentului:

,
,
.

Asa de,
.

Problema 76. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă
și

a) printr-un punct
;

b) perpendicular pe plan.

Soluţie. Să scriem ecuațiile generale ale acestei linii drepte. Pentru a face acest lucru, luați în considerare două egalități:

Aceasta înseamnă că planul dorit aparține unui creion de avioane cu generatoare și ecuația acestuia poate fi scrisă sub forma (8):

a) găsi
și din condiţia ca planul să treacă prin punct
, prin urmare, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația planului. Înlocuiți coordonatele punctului
în ecuația unui fascicul de plane:

Valoare găsită
înlocuim în ecuația (12). obținem ecuația planului dorit:

b) găsi
și din condiţia ca planul dorit să fie perpendicular pe plan. Vectorul normal al unui plan dat
, vectorul normal al planului dorit (vezi ecuația pentru un mănunchi de plane (12).

Doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero. Prin urmare,

Înlocuiți valoarea găsită
în ecuația unui fascicul de plane (12). Obținem ecuația planului dorit:

Sarcini pentru soluție independentă

Problema 77. Aduceți la forma canonică ecuațiile de linii:

1)
2)

Problema 78. Scrieți ecuații parametrice ale unei linii drepte
, dacă:

1)
,
; 2)
,
.

Problema 79. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct
perpendicular pe linie

Problema 80. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe plan.

Problema 81. Găsiți unghiul dintre linii:

1)
și
;

2)
și

Problema 82. Demonstrați drepte paralele:

și
.

Problema 83. Demonstrați perpendicularitatea dreptelor:

și

Problema 84. Calculați distanța punctului
din dreapta:

1)
; 2)
.

Problema 85. Calculați distanța dintre liniile paralele:

și
.

Problema 86. În ecuații în linie dreaptă
defini parametrul astfel încât această dreaptă să se intersecteze cu dreapta și să găsească punctul de intersecție a acestora.

Problema 87. Arată că este drept
paralel cu planul
, și linia dreaptă
se află în acest plan.

Problema 88. Găsiți un punct punct simetric raportat la avion
, dacă:

1)
, ;

2)
, ;.

Problema 89. Scrieți ecuația pentru o perpendiculară căzută dintr-un punct
direct
.

Problema 90. Găsiți un punct punct simetric
relativ drept
.

Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat astăzi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte

Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și toți coeficienții ecuației reduceți cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: , dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite

Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, se poate folosi schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:

Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

În acest fel,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.

Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând vei învăța (sau chiar ai învățat deja) să rezolvi problema luată în considerare verbal, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv să ofer ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „te”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

Verificarea analitică în cele mai multe cazuri este ușor de efectuat oral. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.

Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

În sănătatea ta semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.

Calea grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Sarcina poate fi împărțită convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului:

O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.

Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să desfășurăm schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie se exprimă prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta . Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.

Unghiul dintre două linii

Oricare ar fi colțul, apoi cantul:


În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția „defilării” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.

Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

Soluţieși Metoda unu

Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, apoi orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudata tangentei arcului (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

Formularea problemei. Găsiți coordonatele unui punct simetric față de un punct raportat la avion.

Plan de rezolvare.

1. Găsim ecuația unei drepte care este perpendiculară pe un plan dat și trece printr-un punct . Deoarece linia este perpendiculară pe planul dat, atunci vectorul normalei planului poate fi luat ca vector de direcție, i.e.

.

Prin urmare, ecuația unei linii drepte va fi

.

2. Găsiți un punct intersectia liniei și avioane (vezi problema 13).

3. Punct este punctul de mijloc al segmentului, unde punctul este un punct simetric față de un punct , de aceea

Sarcina 14. Găsiți un punct simetric față de un punct față de plan.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct perpendicular pe un plan dat va fi:

.

Aflați punctul de intersecție al dreptei și al planului.

Unde - punctul de intersecție al dreptei și al planului.este punctul de mijloc al segmentului deci

Acestea. .

Coordonate plane omogene. Transformări afine pe plan.

Lăsa M Xși la

M(X, laPe mine (X, la, 1) în spațiu (Fig. 8).

Pe mine (X, la

Pe mine (X, la hu.

(hx, hy, h), h  0,

cometariu

h(de exemplu, h

Într-adevăr, având în vedere h

cometariu

Exemplul 1

b) la colț (Fig. 9).

primul pas.

al 2-lea pas. Rotirea unghiului 

matricea transformării corespunzătoare.

al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b)

matricea transformării corespunzătoare.

Exemplul 3

 de-a lungul axei x și

primul pas.

matricea transformării corespunzătoare.

al 2-lea pas.

al 3-lea pas.

ajunge in sfarsit

cometariu

[R],[D],[M],[T],

Lăsa M- punct arbitrar al planului cu coordonate Xși la calculate în raport cu un sistem de coordonate rectiliniu dat. Coordonatele omogene ale acestui punct sunt orice triplu de numere simultan nenule x 1, x 2, x 3, asociate numerelor date x și y prin următoarele relații:

La rezolvarea problemelor de grafică pe computer, coordonatele omogene sunt introduse de obicei după cum urmează: un punct arbitrar M(X, la) planului i se atribuie un punct Pe mine (X, la, 1) în spațiu (Fig. 8).

Rețineți că un punct arbitrar pe linia care leagă originea, punctul 0(0, 0, 0), cu punctul Pe mine (X, la, 1) poate fi dat de un triplu de numere de forma (hx, hy, h).

Vectorul cu coordonatele hx, hy este vectorul direcție al dreptei care leagă punctele 0 (0, 0, 0) și Pe mine (X, la, unu). Această dreaptă intersectează planul z = 1 în punctul (x, y, 1), care determină în mod unic punctul (x, y) al planului de coordonate hu.

Astfel, între un punct arbitrar cu coordonate (x, y) și o mulțime de triple de numere de forma

(hx, hy, h), h  0,

se stabilește o corespondență (unu-la-unu), care ne permite să considerăm numerele hx, hy, h ca noi coordonate ale acestui punct.

cometariu

Coordonatele omogene utilizate pe scară largă în geometria proiectivă fac posibilă descrierea eficientă a așa-numitelor elemente improprie (în esență, acelea în care planul proiectiv diferă de planul euclidian cunoscut nouă). Mai multe detalii despre noile caracteristici oferite de coordonatele omogene introduse sunt discutate în secțiunea a patra a acestui capitol.

În geometria proiectivă, pentru coordonate omogene, se acceptă următoarea notație:

x: y: 1 sau, mai general, x 1: x 2: x 3

(reamintim că aici este absolut necesar ca numerele x 1, x 2, x 3 în același timp să nu dispară).

Utilizarea coordonatelor omogene se dovedește a fi convenabilă chiar și atunci când se rezolvă cele mai simple probleme.

Luați în considerare, de exemplu, problemele legate de scalare. Dacă dispozitivul de afișare funcționează numai cu numere întregi (sau dacă este necesar să funcționeze numai cu numere întregi), atunci pentru o valoare arbitrară h(de exemplu, h= 1) un punct cu coordonate omogene

nu poate fi imaginat. Cu toate acestea, cu o alegere rezonabilă a lui h, este posibil să ne asigurăm că coordonatele acestui punct sunt numere întregi. În special, pentru h = 10, pentru exemplul luat în considerare, avem

Să luăm în considerare un alt caz. Pentru ca rezultatele transformării să nu conducă la depășire aritmetică, pentru un punct cu coordonate (80000 40000 1000) puteți lua, de exemplu, h=0,001. Ca rezultat, obținem (80 40 1).

Exemplele date arată utilitatea utilizării coordonatelor omogene în calcule. Cu toate acestea, scopul principal al introducerii coordonatelor omogene în grafica computerizată este confortul lor incontestabil în aplicarea transformărilor geometrice.

Cu ajutorul triplelor de coordonate omogene și matrice de ordinul trei se poate descrie orice transformare afină a planului.

Într-adevăr, având în vedere h= 1, comparați două intrări: marcate cu * și următoarele, matrice:

Este ușor de observat că după înmulțirea expresiilor din partea dreaptă a ultimei relații, obținem ambele formule (*) și egalitatea numerică corectă 1=1.

cometariu

Uneori, în literatură se folosește o altă notație - o notație pe coloane:

Această notație este echivalentă cu notația de linie de mai sus (și se obține din ea prin transpunere).

Elementele unei matrice arbitrare a unei transformări afine nu poartă o semnificație geometrică explicită. Prin urmare, pentru a implementa o anumită mapare, adică pentru a găsi elementele matricei corespunzătoare conform unei descrieri geometrice date, sunt necesare tehnici speciale. De obicei, construcția acestei matrice, în conformitate cu complexitatea problemei luate în considerare și cu cazurile particulare descrise mai sus, este împărțită în mai multe etape.

În fiecare etapă, se caută o matrice care corespunde unuia sau altuia dintre cazurile de mai sus A, B, C sau D, care au proprietăți geometrice bine definite.

Să scriem matricele corespunzătoare de ordinul al treilea.

A. Matrice de rotație, (rotație)

B. Matricea de dilatare

B. Matricea de reflecție

D. Matricea de transfer (traducere)

Luați în considerare exemple de transformări afine ale planului.

Exemplul 1

Construiți o matrice de rotație în jurul punctului A (a,b) la colț (Fig. 9).

primul pas. Transferați la vectorul - A (-a, -b) pentru a alinia centrul de rotație cu originea;

matricea transformării corespunzătoare.

al 2-lea pas. Rotirea unghiului 

matricea transformării corespunzătoare.

al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de rotație în poziția anterioară;

matricea transformării corespunzătoare.

Înmulțim matricele în aceeași ordine în care sunt scrise:

Ca rezultat, obținem că transformarea dorită (în notație matriceală) va arăta astfel:

Elementele matricei rezultate (în special în ultimul rând) nu sunt ușor de reținut. În același timp, fiecare dintre cele trei matrici multiplicate poate fi construită cu ușurință din descrierea geometrică a mapării corespunzătoare.

Exemplul 3

Construiți matrice de întindere cu factori de întindere de-a lungul axei x și de-a lungul axei y și centrat în punctul A(a, b).

primul pas. Transferați la vectorul -А(-а, -b) pentru a potrivi centrul de întindere cu originea;

matricea transformării corespunzătoare.

al 2-lea pas.Întinderea de-a lungul axelor de coordonate cu coeficienții  și respectiv ; matricea de transformare are forma

al 3-lea pas. Transferați la vectorul A(a, b) pentru a readuce centrul de întindere în poziția anterioară; matricea transformării corespunzătoare este

Înmulțiți matrice în aceeași ordine

ajunge in sfarsit

cometariu

Argumentarea în mod similar, adică ruperea transformării propuse în etape susținute de matrici[R],[D],[M],[T], se poate construi matricea oricărei transformări afine din descrierea ei geometrică.

Schimbarea este implementată prin adunare, iar scalarea și rotația prin înmulțire.

Transformarea la scară (dilatarea) relativ la origine are forma:

sau sub formă de matrice:

Unde DX,Dy sunt factorii de scalare de-a lungul axelor și

- matricea de scalare.

Pentru D > 1, are loc expansiunea, pentru 0<=D<1- сжатие

Rotiți Transformare relativ la origine are forma:

sau sub formă de matrice:

unde φ este unghiul de rotație și

- matricea de rotatie.

Cometariu: Coloanele și rândurile matricei de rotație sunt vectori unitari reciproc ortogonali. Într-adevăr, pătratele lungimilor vectorilor rând sunt egale cu unu:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 și (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

iar produsul scalar al vectorilor rând este

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Deoarece produsul scalar al vectorilor A · B = |A| ·| B| ·cosψ, unde | A| - lungimea vectorului A, |B| - lungimea vectorului B, iar ψ este cel mai mic unghi pozitiv dintre ele, apoi din egalitatea 0 a produsului scalar a doi vectori rând de lungime 1 rezultă că unghiul dintre ei este de 90 ° .

Să fie date o dreaptă dată de o ecuație liniară și un punct dat de coordonatele sale (x0, y0) și care nu se află pe această dreaptă. Este necesar să se găsească un punct care să fie simetric față de un punct dat față de o dreaptă dată, adică să coincidă cu acesta, dacă planul este îndoit mental în jumătate de-a lungul acestei drepte.

Instruire

1. Este clar că ambele puncte - date și dorite - trebuie să se afle pe aceeași linie dreaptă, iar această dreaptă trebuie să fie perpendiculară pe cea dată. Astfel, prima parte a problemei este de a găsi ecuația unei drepte care ar fi perpendiculară pe o dreaptă dată și, în același timp, ar trece printr-un punct dat.

2. O linie dreaptă poate fi definită în două moduri. Ecuația canonică a unei linii drepte arată astfel: Ax + By + C = 0, unde A, B și C sunt constante. De asemenea, o linie dreaptă poate fi determinată folosind o funcție liniară: y \u003d kx + b, unde k este exponentul unghiular, b este deplasarea. Aceste două metode sunt interschimbabile și este permis să se deplaseze de la una la alta. Dacă Ax + By + C = 0, atunci y = – (Ax + C)/B. Cu alte cuvinte, într-o funcție liniară y = kx + b, exponentul unghiular k = -A/B și decalajul b = -C/B. Pentru sarcina în cauză, este mai confortabil să raționezi pe baza ecuației canonice a unei linii drepte.

3. Dacă două drepte sunt perpendiculare una pe cealaltă, iar ecuația primei linii este Ax + By + C = 0, atunci ecuația celei de-a doua drepte ar trebui să fie Bx - Ay + D = 0, unde D este o constantă. Pentru a găsi o anumită valoare a lui D, este necesar să se știe suplimentar prin ce punct trece dreapta perpendiculară. În acest caz, acesta este punctul (x0, y0) În consecință, D trebuie să satisfacă egalitatea: Bx0 – Ay0 + D = 0, adică D = Ay0 – Bx0.

4. Ulterior, după ce se găsește linia perpendiculară, este necesar să se calculeze coordonatele punctului său de intersecție cu cel dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Soluția sa va da numerele (x1, y1) care servesc drept coordonate ale punctul de intersecție al liniilor.

5. Punctul dorit trebuie să se afle pe linia detectată, iar distanța sa până la punctul de intersecție trebuie să fie egală cu distanța de la punctul de intersecție la punctul (x0, y0). Coordonatele unui punct simetric fata de punctul (x0, y0) pot fi gasite astfel prin rezolvarea sistemului de ecuatii: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Dar să facem totul mai ușor. Dacă punctele (x0, y0) și (x, y) sunt la distanțe egale de punctul (x1, y1) și toate cele trei puncte se află pe aceeași linie dreaptă, atunci: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0.În consecință, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Înlocuind aceste valori în a doua ecuație a primului sistem și simplificând expresiile, este ușor să vă asigurați că partea dreaptă a acestuia devine aceeași cu partea stângă. În plus, nu are sens să luăm în considerare prima ecuație mai îndeaproape, deoarece se știe că punctele (x0, y0) și (x1, y1) o satisfac, iar punctul (x, y) se află cu siguranță pe aceeași dreaptă .