Dacă indicatorii sunt aceiași, dar bazele sunt diferite. Lecția „înmulțirea și împărțirea puterilor”

Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a fi înregistrată și încearcă să o simplifice. Odinioară era la fel cu operația de adăugare. Era necesar ca oamenii să efectueze adăugiri repetate de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur pentru fiecare. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Din cauza volumului, sa crezut că se reduce notația la 3 * 100 = 300. De fapt, notația „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați o sută de triple și adună-le împreună. Înmulțirea a prins rădăcini, a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc, iar în Evul Mediu a devenit necesar să se efectueze înmulțiri repetate de același tip. Îmi amintesc de o veche ghicitoare indiană despre un înțelept care a cerut boabe de grâu în următoarea cantitate ca recompensă pentru munca depusă: pentru prima celulă a tablei de șah a cerut un bob, pentru a doua - două, a treia - patru, al cincilea - opt și așa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire a puterilor, deoarece numărul de boabe era egal cu doi cu puterea numărului celulei. De exemplu, pe ultima celulă ar fi 2*2*2*…*2 = 2^63 de boabe, care este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul ghicitorii.

Operația de ridicare la o putere a luat rădăcini destul de repede și a devenit rapid necesară, de asemenea, să se efectueze adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea gradelor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele de adăugare a puterilor sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin ele dacă operația de putere este înlocuită cu înmulțire. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți terminologia elementară. Expresia a ^ b (se citește „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a trebuie înmulțit cu el însuși de b ori, iar „a” se numește baza gradului, iar „b” este exponentul. Dacă bazele puterilor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu specific: găsiți valoarea expresiei 2^3 * 2^4. Pentru a ști ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. Introducând această expresie în orice calculator online, motor de căutare, tastând „înmulțirea puterilor cu baze diferite și la fel” sau într-un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum să scriem această expresie: 2^3 = 2*2*2, și 2^4 = 2 *2*2*2. Rezultă că 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Rezultă că produsul puterilor cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere egală cu suma celor două puteri anterioare.

Ai putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în general, formula arată astfel: a^n * a^m = a^(n+m) . Există, de asemenea, o regulă că orice număr la puterea zero este egal cu unu. Aici ar trebui să ne amintim regula puterilor negative: a^(-n) = 1 / a^n. Adică, dacă 2^3 = 8, atunci 2^(-3) = 1/8. Folosind această regulă, putem demonstra egalitatea a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) poate fi redus și rămâne unul. Din aceasta, se deduce regula că câtul puterilor cu aceleași baze este egal cu această bază într-un grad egal cu câtul dintre dividend și divizor: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Exemplu: simplificați expresia 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Înmulțirea este o operație comutativă, deci exponenții de înmulțire trebuie mai întâi adăugați: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. În continuare, ar trebui să vă ocupați de împărțirea într-un grad negativ. Este necesar să scădem exponentul divizor din exponentul dividendului: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. rezultă că operația de împărțire cu un grad negativ este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci răspunsul final este 8.

Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a puterilor. Înmulțirea puterilor cu baze diferite este foarte adesea mult mai dificilă și uneori chiar imposibilă. Ar trebui date mai multe exemple de diverse abordări posibile. Exemplu: simplificați expresia 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Evident, există o înmulțire a puterilor cu baze diferite. Dar, trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt puteri diferite ale unui triplu. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Folosind regula (a^n) ^m = a^(n*m) , ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Răspuns: 3^11. În cazurile în care există baze diferite, regula a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3^3 * 7^3 = 21^3. În caz contrar, atunci când există diferite baze și indicatori, este imposibil să se facă o înmulțire completă. Uneori puteți simplifica parțial sau puteți recurge la ajutorul tehnologiei informatice.

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.

Conceptul de diplomă în matematică este introdus încă din clasa a VII-a într-o lecție de algebră. Și în viitor, pe parcursul studierii matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra mai rapid și mai bine cu diplomele de matematică, au venit cu proprietățile unei diplome. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o oarecare măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută principalele proprietăți ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

proprietăți de grad

Vom lua în considerare 12 proprietăți ale unui grad, inclusiv proprietățile puterilor cu aceeași bază, și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade, precum și să vă salvați de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr la gradul zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită doar la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceeași bază.

a 4-a proprietate.

Dacă numărul din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat între paranteze pentru a înlocui corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și invers. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la o putere negativă.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Când se ridică o sumă sau o diferență la o putere, se folosesc formule de înmulțire abreviate, nu proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționar cu un numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar gradul rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul gradului.

De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acel număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina numărului nu este extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcina pătrată și gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată sunt aceleași, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile, trebuie să exersați și să conectați restul cunoștințelor matematice.

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Licențele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt rezolvate, precum și puterile complică adesea ecuațiile și exemplele legate de alte secțiuni ale matematicii. Exponenții ajută la evitarea calculelor mari și lungi, este mai ușor să reduceți și să calculați exponenții. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradului, ci și să lucrați în mod competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul de rezolvare prin eliminarea necesității unor calcule lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este puterea unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Ele nu pot folosi proprietățile gradelor, sunt descompuse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire prescurtată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate traducerile în sistemul SI se fac folosind grade, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se aplică proprietățile gradului. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ, pentru comoditatea numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversiile unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile gradului.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar puteți găsi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.

Cu ajutorul diplomelor, valori foarte mari și foarte mici sunt scrise în orice domeniu al științei.

ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradului ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursul școlar, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților gradului. Necunoscutul este întotdeauna în gradul însuși, prin urmare, cunoscând toate proprietățile, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de ecuație sau inegalitate.

În ultimul tutorial video, am aflat că gradul unei anumite baze este o expresie care este produsul bazei și ea însăși, luată într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum unele dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Să aruncăm o privire la această piesă în întregime:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calculând valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, așa cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca un produs al aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă numărați, atunci:

Astfel, se poate concluziona cu siguranță că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate de multiplicare a gradului decurge din regula păstrării sensului expresiilor în timpul transformărilor în produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a) x și (a) y este egal cu a (x + y). Cu alte cuvinte, la producerea oricăror expresii cu aceeași bază, monomiul final are un grad total format prin adăugarea gradului primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca bazele pentru toate să fie aceleași. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, în general, să efectuați acțiuni comune de putere cu două elemente ale expresiei, dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor în timpul unui produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:

Să facem o transformare termen cu termen a expresiei într-o formă completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în cursul soluției sale este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este deuce care se obține scăzând gradul celei de-a doua expresii din gradul primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. În formă abstractă, avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definiția gradului zero rezultă din regula împărțirii bazelor identice cu puteri. Evident, următoarea expresie este:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Pe de altă parte, dacă împărțim într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții, se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:

Indiferent de valoarea a.

Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care încă dă 0 pentru orice înmulțire) este într-un fel egal cu unu, așa că o expresie ca (0) 0 (de la zero la gradul zero) pur și simplu nu are sens și la formula (a) 0 = 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.

Hai să facem exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și este egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: Expresia este egală cu unu.