Valori extreme, maxime și minime ale funcțiilor. Etichetă: extremum local

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Se spune că $f$ are maxim localîn punctul $x_(0) \în E$ dacă există o vecinătate $U$ a punctului $x_(0)$ astfel încât pentru toți $x \în U$ inegalitatea $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Maximul local este numit strict , dacă vecinătatea $U$ poate fi aleasă în așa fel încât pentru toți $x \în U$ diferit de $x_(0)$ să existe $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definiție
Fie $f$ o funcție reală pe o mulțime deschisă $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Se spune că $f$ are minim localîn punctul $x_(0) \în E$ dacă există o vecinătate $U$ a punctului $x_(0)$ astfel încât pentru toți $x \în U$ inegalitatea $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Se spune că un minim local este strict dacă vecinătatea $U$ poate fi aleasă astfel încât pentru toți $x \în U$ diferit de $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\dreapta)$.

Un extremum local combină conceptele de minim local și maxim local.

Teorema (condiția necesară pentru extremul unei funcții diferențiabile)
Fie $f$ o funcție reală pe o mulțime deschisă $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Dacă în punctul $x_(0) \în E$ funcția $f$ are și în acest punct un extremum local, atunci $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Egalitatea cu diferența zero este echivalentă cu faptul că toate sunt egale cu zero, adică. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

În cazul unidimensional, acesta este . Notați $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, unde $h$ este un vector arbitrar. Funcția $\phi$ este definită pentru valori modulo suficient de mici de $t$. În plus, în ceea ce privește , este diferențiabilă și $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Fie ca $f$ să aibă un maxim local de x $0$. Prin urmare, funcția $\phi$ la $t = 0$ are un maxim local și, după teorema lui Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Deci, am obținut că $df \left(x_(0)\right) = 0$, adică. funcția $f$ în punctul $x_(0)$ este egală cu zero pe orice vector $h$.

Definiție
Punctele în care diferența este egală cu zero, adică cele în care toate derivatele parțiale sunt egale cu zero se numesc staționari. puncte critice funcțiile $f$ sunt acele puncte în care $f$ nu este diferențiabil sau este egal cu zero. Dacă punctul este staționar, atunci nu rezultă încă că funcția are un extremum în acest punct.

Exemplul 1
Fie $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Apoi $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, deci $\left(0,0\right)$ este un punct staționar, dar funcția nu are nicio extremă în acest punct. Într-adevăr, $f \left(0,0\right) = 0$, dar este ușor de observat că în orice vecinătate a punctului $\left(0,0\right)$ funcția ia atât valori pozitive, cât și negative.

Exemplul 2
Funcția $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ are originea coordonatelor ca punct staționar, dar este clar că nu există un extremum în acest punct.

Teoremă (condiție suficientă pentru un extremum).
Fie ca o funcție $f$ să fie de două ori diferențiabilă continuu pe o mulțime deschisă $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Fie $x_(0) \in E$ un punct staționar și $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Atunci

1. daca $Q_(x_(0))$ este , atunci functia $f$ in punctul $x_(0)$ are un extremum local, si anume minim daca forma este definita pozitiv si maxim daca forma este negativ-definit;
2. dacă forma pătratică $Q_(x_(0))$ este nedefinită, atunci funcția $f$ în punctul $x_(0)$ nu are extremă.

Să folosim expansiunea conform formulei Taylor (12.7 p. 292) . Ținând cont de faptul că derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul $x_(0)$ sunt egale cu zero, obținem $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ parțial x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ unde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ și $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pentru $h \rightarrow 0$, atunci partea dreaptă este pozitivă pentru orice vector $h$ de lungime suficient de mică.
Astfel, am ajuns la concluzia că într-o apropiere a punctului $x_(0)$ inegalitatea $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ este satisfăcută numai dacă $ x \neq x_ (0)$ (punem $x=x_(0)+h$\dreapta). Aceasta înseamnă că în punctul $x_(0)$ funcția are un minim local strict și astfel se demonstrează prima parte a teoremei noastre.
Să presupunem acum că $Q_(x_(0))$ este o formă nedefinită. Apoi există vectori $h_(1)$, $h_(2)$ astfel încât $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Apoi obținem $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ stânga[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pentru $t>0$ suficient de mic, partea dreaptă este pozitiv. Aceasta înseamnă că în orice vecinătate a punctului $x_(0)$ funcția $f$ ia valori $f \left(x\right)$ mai mari decât $f \left(x_(0)\right)$.
În mod similar, obținem că în orice vecinătate a punctului $x_(0)$ funcția $f$ ia valori mai mici decât $f \left(x_(0)\right)$. Aceasta, împreună cu cea anterioară, înseamnă că funcția $f$ nu are un extrem în punctul $x_(0)$.

Să considerăm un caz particular al acestei teoreme pentru o funcție $f \left(x,y\right)$ a două variabile definite într-o vecinătate a punctului $\left(x_(0),y_(0)\right) $ și având derivate parțiale continue de ordinul întâi și al doilea. Fie $\left(x_(0),y_(0)\right)$ un punct staționar și fie $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Atunci teorema anterioară ia următoarea formă.

Teorema
Fie $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Apoi:

1. dacă $\Delta>0$, atunci funcția $f$ are un extremum local în punctul $\left(x_(0),y_(0)\right)$ și anume un minim dacă $a_(11)> 0$ și maxim dacă $a_(11)<0$;
2. dacă $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Exemple de rezolvare a problemelor

Algoritm pentru găsirea extremului unei funcții a mai multor variabile:

1. Găsim puncte staționare;
2. Găsim diferența de ordinul 2 în toate punctele staționare
3. Folosind condiția suficientă pentru extremul unei funcții a mai multor variabile, considerăm diferența de ordinul doi în fiecare punct staționar

1. Investigați funcția până la extremul $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Soluţie

   Găsiți derivate parțiale de ordinul I: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Compuneți și rezolvați sistemul: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Din a 2-a ecuație, exprimăm $x=4 \cdot y^(2)$ — înlocuiți în prima ecuație: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ dreapta )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Ca urmare, se obțin 2 puncte staționare:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Să verificăm îndeplinirea condiției extreme suficiente:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pentru punctul $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pentru punctul $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, deci există un extremum în punctul $M_(2)$, iar din moment ce $A_(2)>0 $, atunci acesta este minimul.
   Răspuns: Punctul $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ este punctul minim al funcției $f$.
   

2. Investigați funcția pentru extremul $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Soluţie

   Găsiți puncte staționare: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Compuneți și rezolvați sistemul: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Săgeată la dreapta \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(case) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ este un punct staționar.
   Să verificăm îndeplinirea condiției extremum suficiente: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Răspuns: nu există extreme.
   

Limita de timp: 0

Navigare (numai numere de job)

0 din 4 sarcini finalizate

informație

Faceți acest test pentru a vă testa cunoștințele despre subiectul pe care tocmai l-ați citit, Extrema locală a funcțiilor multor variabile.

Ai susținut deja testul înainte. Nu o poți rula din nou.

Testul se încarcă...

Trebuie să vă autentificați sau să vă înregistrați pentru a începe testul.

Trebuie să finalizați următoarele teste pentru a începe acesta:

rezultate

Răspunsuri corecte: 0 din 4

Timpul tau:

Timpul a expirat

Ai obținut 0 din 0 puncte (0)

Scorul tău a fost înregistrat pe clasament

1. Cu un răspuns
2. Verificat

Sarcina 1 din 4

1 .

Numar de puncte: 1

Investigați funcția $f$ pentru extreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Corect


Necorespunzător


1. Sarcina 2 din 4

   2 .

   Numar de puncte: 1

   Funcția $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Extreme

Funcția extremum

Definiţia extremum

Funcţie y = f(x) se numește crescând (în scădere) într-un anumit interval dacă pentru x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Dacă o funcție diferențiabilă y \u003d f (x) pe un segment crește (descrește), atunci derivata sa pe acest segment f " (X )> 0

(f"(X)< 0).

Punct X despre numit punct maxim local (minim) a funcției f (x ) dacă există o vecinătate a punctului x o, pentru toate punctele cărora inegalitatea f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Se numesc punctele maxime și minime puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extrema.

puncte extremum

Condiții necesare pentru un extremum . Dacă punct X despre este un punct extrem al funcției f (x), atunci fie f " (x o ) = 0 sau f(x o ) nu există. Se numesc astfel de puncte critic, unde funcția însăși este definită în punctul critic. Extremele unei funcții ar trebui căutate printre punctele sale critice.

Prima condiție suficientă. Lăsa X despre - punct critic. Dacă f" (x ) la trecerea prin punct X despre schimbă semnul plus în minus, apoi la punctul x o functia are un maxim, altfel are un minim. Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct critic, atunci la punctul X despre nu există extremum.

A doua condiție suficientă. Fie funcția f(x) să aibă
f" (x ) în vecinătatea punctului X despre iar derivata a doua chiar în punctul x o. Dacă f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o este un punct minim (maxim) local al funcției f(x). Dacă =0, atunci trebuie fie să folosiți prima condiție suficientă, fie să implicați altele mai mari.

Pe un segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică sau cea mai mare valoare fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.

Exemplul 3.22.

Soluţie. pentru că f " (

Sarcini pentru găsirea extremului unei funcții

Exemplul 3.23. A

Soluţie. Xși y y
0 ≤ X≤
> 0, în timp ce x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funcții mp. unitati).

Exemplul 3.24. p ≈

Soluţie. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22.Aflați extremele funcției f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. pentru că f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), apoi punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fi numai la acestea puncte. Deoarece atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în acest moment funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata își schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. Calcularea valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f (2) = 14 și minim f (3) = 13.

Exemplul 3.23.Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Soluţie.Indicați părțile laterale ale site-ului prin Xși y. Aria sitului este egala cu S = xy. Lăsa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x (a - 2x), unde
0 ≤ X≤ a /2 (lungimea și lățimea padului nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Pentru că x = a /4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru x a /4 S "> 0, în timp ce x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funcții S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (mp. unitati). Deoarece S este continuu și valorile sale la capetele lui S(0) și S(a /2) sunt egale cu zero, atunci valoarea găsită va fi cea mai mare valoare a funcției. Astfel, raportul de aspect cel mai favorabil al site-ului în condițiile date ale problemei este y = 2x.

Exemplul 3.24.Este necesară realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16 p ≈ 50 m 3. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?

Soluţie.Suprafața totală a cilindrului este S = 2 p R(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Deci S(R) = 2 p (R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 pentru R 3 = 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

PUNCTE MAXIMUM SI MINIM

punctele în care ia cele mai mari sau mai mici valori din domeniul definiției; se numesc astfel de puncte de asemenea puncte de maxim absolut sau minim absolut. Dacă f este definită pe o topologică spațiul X, apoi punctul x 0 numit punct de maxim local (minimum local), dacă un astfel de punct există x 0, că pentru restrângerea funcției avute în vedere la această vecinătate, punctul x 0 este punctul maxim (minim) absolut. Distingeți punctele de maxim strict și nestrict (mini m u m a) (atât absolut, cât și local). De exemplu, un punct numit punct al unui maxim local nestrict (strict) al funcției f, dacă există o astfel de vecinătate a punctului x 0, care este valabil pentru toate (respectiv, f(x) x0). )/

Pentru funcțiile definite pe domenii de dimensiuni finite, din punct de vedere al calculului diferențial, există condiții și criterii pentru ca un punct dat să fie un punct maxim (minim) local. Fie definită funcția f într-o anumită vecinătate a casetei x 0 a axei reale. În cazul în care un x 0 - punct de maxim (minim) local nestrict și în acest punct există f"( x0), atunci este egal cu zero.

Dacă o funcție dată f este diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct x 0 , cu excepția, poate, pentru acest punct în sine, la care este continuu, și derivata f" de fiecare parte a punctului x0 păstrează un semn constant în acest cartier, apoi pentru a x0 a fost un punct al unui maxim local strict (minimum local), este necesar și suficient ca derivata să schimbe semnul de la plus la minus, adică că f "(x)> 0 la x<.x0și f"(x)<0 при x>x0(respectiv de la minus la plus: f"(X) <0 la x<x0și f"(x)>0 când x>x 0). Totuși, nu pentru fiecare funcție diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct x 0 , se poate vorbi de o schimbare a semnului derivatei în acest punct. . "

Dacă funcţia f are în punct x 0 t derivate, de altfel, pentru a x 0 este un punct de maxim local strict, este necesar și suficient ca τ să fie par și ca f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Fie funcția f( x 1 ..., x p] este definită într-o vecinătate n-dimensională a unui punct și este diferențiabilă în acest punct. Dacă x (0) este un punct maxim (minim) local nestrict, atunci funcția f în acest punct este egală cu zero. Această condiție este echivalentă cu egalitatea cu zero în acest punct a tuturor derivatelor parțiale de ordinul 1 al funcției f. Dacă o funcție are derivate parțiale a 2-a continue la x(0), toate derivatele sale 1 dispar la x(0) și diferența de ordinul 2 la x(0) este o formă pătratică negativă (pozitivă), atunci x(0) este un punct de maxim local strict (minim). Sunt cunoscute condiții pentru funcțiile diferențiabile M. și M. T., când se impun anumite restricții asupra modificărilor argumentelor: ecuațiile de constrângere sunt îndeplinite. Condițiile necesare și suficiente pentru maximul (minimul) unei funcții reale, care are o structură mai complexă, sunt studiate în ramuri speciale ale matematicii: de exemplu, în analiză convexă, programare matematică(Vezi si Maximizare și minimizarea funcției). Funcțiile M. și m.t. definite pe varietăți sunt studiate în calculul variațiilor în general,și M. și m.t. pentru funcțiile definite pe spații funcționale, adică pentru funcționale, în calcul variațional. Există, de asemenea, diverse metode de găsire numerică aproximativă a lui M. și m. t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, a 3-a ed., Part 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vedeți ce înseamnă „PUNCTUL MAXIM ȘI MINIM” în alte dicționare:

Principiul de maxim Pontryagin discret pentru procesele de control timp-discret. Pentru un astfel de proces, M. p. poate să nu fie satisfăcut, deși pentru analogul său continuu, care se obține prin înlocuirea operatorului diferențelor finite cu unul diferențial ... ... Enciclopedie matematică

O teoremă care exprimă una dintre principalele proprietăți ale modulului de analitică. funcții. Fie f(z) o funcție analitică obișnuită sau holomorfă a variabilelor p-complexe într-un domeniu D al unui spațiu al numerelor complexe, altul decât o constantă, M. m. s. în ... ... Enciclopedie matematică

Cele mai mari și, în consecință, cele mai mici valori ale unei funcții care ia valori reale. Se numește punctul din domeniul de definire al funcției în cauză, în care ia un maxim sau un minim. respectiv punctul maxim sau punctul minim ...... Enciclopedie matematică

Consultați Maxim și minim al unei funcții, Maxim și minim al unui punct... Enciclopedie matematică

Valoarea unei funcții continue care este maximă sau minimă (consultați Puncte maxime și minime). Termenul LE... Enciclopedie matematică

Indicator- (Indicator) Un indicator este un sistem informatic, o substanță, un dispozitiv, un dispozitiv care afișează modificări ale oricărui parametru.Indicatorii graficelor pieței valutare Forex, ce sunt și de unde pot fi descărcați? Descrierea indicatorilor MACD, ... ... Enciclopedia investitorului

Acest termen are alte semnificații, vezi Extrem (sensuri). Extremum (latina extremum extreme) în matematică este valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul este ...... Wikipedia

Calculul diferențial este o ramură a analizei matematice care studiază conceptele de derivată și diferențială și modul în care acestea pot fi aplicate la studiul funcțiilor. Cuprins 1 Calcul diferenţial al funcţiilor unei variabile... Wikipedia

Lemniscata și trucurile sale Lemniscata lui Bernoulli este o curbă algebrică plană. Definit ca locul punctelor, produs... Wikipedia

Divergenţă- (Divergenta) Divergenta ca indicator Strategia de tranzactionare cu divergenta MACD Cuprins Cuprins Sectiunea 1. on. Secțiunea 2. Divergență cum. Divergența este un termen folosit în economie pentru a se referi la mișcarea de-a lungul ...... Enciclopedia investitorului

Modificarea unei funcții la un anumit punct și este definită ca limita de creștere a funcției la creșterea argumentului, care tinde spre zero. Pentru a-l găsi, utilizați tabelul derivatelor. De exemplu, derivata funcției y = x3 va fi egală cu y’ = x2.

Echivalează această derivată cu zero (în acest caz x2=0).

Găsiți valoarea variabilei date. Acestea vor fi valorile pentru care această derivată va fi egală cu 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți numere arbitrare în expresie în loc de x, la care întreaga expresie va deveni zero. De exemplu:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Aplicați valorile obținute pe linia de coordonate și calculați semnul derivatei pentru fiecare dintre cele obținute. Punctele sunt marcate pe linia de coordonate, care sunt luate ca origine. Pentru a calcula valoarea în intervale, înlocuiți valorile arbitrare care corespund criteriilor. De exemplu, pentru funcția anterioară până la intervalul -1, puteți alege valoarea -2. Pentru -1 la 1, puteți alege 0, iar pentru valorile mai mari decât 1, alegeți 2. Înlocuiți aceste numere în derivată și aflați semnul derivatei. În acest caz, derivata cu x = -2 va fi egală cu -0,24, adică. negativ și va exista un semn minus pe acest interval. Dacă x=0, atunci valoarea va fi egală cu 2, iar pe acest interval se pune un semn. Dacă x=1, atunci și derivata va fi egală cu -0,24 și se pune un minus.

Dacă, la trecerea printr-un punct de pe linia de coordonate, derivata își schimbă semnul de la minus la plus, atunci acesta este un punct minim, iar dacă de la plus la minus, atunci acesta este un punct maxim.

Videoclipuri similare

Sfat util

Pentru a găsi derivatul, există servicii online care calculează valorile necesare și afișează rezultatul. Pe astfel de site-uri, puteți găsi un derivat de până la 5 comenzi.

Surse:

• Unul dintre serviciile pentru calcularea instrumentelor derivate
• punctul maxim al funcției

Punctele maxime ale funcției împreună cu punctele minime se numesc puncte extreme. În aceste puncte, funcția își schimbă comportamentul. Extremele sunt determinate pe intervale numerice limitate și sunt întotdeauna locale.

Instruire

Procesul de găsire a extremelor locale se numește funcție și se realizează prin analiza primei și a doua derivate ale funcției. Înainte de a începe explorarea, asigurați-vă că intervalul specificat de valori ale argumentului aparține valorilor permise. De exemplu, pentru funcția F=1/x, valoarea argumentului x=0 este invalidă. Sau pentru funcția Y=tg(x), argumentul nu poate avea valoarea x=90°.

Asigurați-vă că funcția Y este diferențiabilă pe întregul interval dat. Aflați derivata întâi Y". Este evident că înainte de a ajunge la punctul maxim local, funcția crește, iar la trecerea prin maxim, funcția devine descrescătoare. Derivata întâi în sensul ei fizic caracterizează viteza de schimbare a funcției. În timp ce funcția crește, rata acestui proces este o valoare pozitivă.La trecerea prin maximul local, funcția începe să scadă, iar rata procesului de schimbare a funcției devine negativă.Tranziția ratei de schimbare a funcției prin zero are loc în punctul maximului local.

Se spune că funcția are un punct intern
zone D maxim local(minim) dacă există o astfel de vecinătate a punctului
, pentru fiecare punct
care satisface inegalitatea

Dacă funcţia are la punct
maxim local sau minim local, atunci spunem că are în acest moment extremul local(sau doar extreme).

Teorema (o condiţie necesară pentru existenţa unui extremum). Dacă funcţia diferenţiabilă atinge un extrem în punct
, apoi fiecare derivată parțială de ordinul întâi a funcției dispare în acest moment.

Sunt numite punctele în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi dispar punctele staţionare ale funcţiei
. Coordonatele acestor puncte pot fi găsite prin rezolvarea sistemului din ecuații

.

Condiția necesară pentru existența unui extremum în cazul unei funcții diferențiabile poate fi formulată pe scurt după cum urmează:

Există cazuri când în anumite momente unele derivate parțiale au valori infinite sau nu există (în timp ce restul sunt egale cu zero). Se numesc astfel de puncte punctele critice ale funcției. Aceste puncte ar trebui considerate și „suspecte” pentru un extremum, precum și pentru cele staționare.

În cazul unei funcții a două variabile, condiția necesară pentru un extremum, și anume egalitatea la zero a derivatelor parțiale (diferențiale) la punctul extremum, are o interpretare geometrică: plan tangent la suprafata
la punctul extremum trebuie să fie paralel cu planul
.

20. Condiții suficiente pentru existența unui extremum

Îndeplinirea condiției necesare pentru existența unui extremum la un moment dat nu garantează deloc existența unui extremum acolo. Ca exemplu, putem lua funcția diferențiabilă peste tot
. Atât derivatele sale parțiale, cât și funcția în sine dispar la punct
. Cu toate acestea, în orice vecinătate a acestui punct, există ambele pozitive (mari
) și negativ (mai mic
) valorile acestei funcții. Prin urmare, în acest moment, prin definiție, nu există un extremum. Prin urmare, este necesar să se cunoască suficiente condiții în care un punct suspectat de un extremum este un punct extremum al funcției studiate.

Luați în considerare cazul unei funcții a două variabile. Să presupunem că funcția
este definită, continuă și are derivate parțiale continue până la și inclusiv de ordinul doi într-o vecinătate a unui punct
, care este punctul staționar al funcției
, adică îndeplinește condițiile

,
.

Să introducem notația:

Teorema (condiţii suficiente pentru existenţa unui extremum). Lasă funcția
satisface conditiile de mai sus si anume: diferentiabil in vreo vecinatate a punctului stationar
și este de două ori diferențiabilă în punctul însuși
. Atunci dacă

Dacă
apoi functia
la punct
ajunge

maxim local la
și

minim local la
.

În general, pentru o funcție
condiție suficientă pentru existența la un punct
localminim(maxim) este pozitiv(negativ) certitudinea celei de-a doua diferenţiale.

Cu alte cuvinte, următoarea afirmație este adevărată.

Teorema . Dacă la punct
pentru functie

pentru orice nu este egal cu zero în același timp
, atunci în acest moment funcția are minim(similar maxim, dacă
).

Exemplul 18.Găsiți punctele extreme locale ale unei funcții

Soluţie. Găsiți derivatele parțiale ale funcției și egalați-le cu zero:

Rezolvând acest sistem, găsim două puncte extreme posibile:

Să găsim derivate parțiale de ordinul doi pentru această funcție:

La primul punct staționar , așadar, și
Prin urmare, sunt necesare cercetări suplimentare pentru acest punct. Valoarea funcției
în acest moment este zero:
Mai departe,

la

A

la

Prin urmare, în orice vecinătate a punctului
funcţie
ia valori la fel de mari
, și mai mici
, și, prin urmare, la punct
funcţie
, prin definiție, nu are extremum local.

La al doilea punct staționar



deci, deci, din moment ce
apoi la punct
funcția are un maxim local.