Calculul volumului unui corp de revoluție folosind o integrală definită. Volumul corpului revoluției

I. Volume de corpuri de revoluţie. Studiați preliminar capitolul XII, p°p° 197, 198, după manualul lui G. M. Fikhtengol'ts* Analizați în detaliu exemplele date la p° 198.

508. Calculați volumul corpului format prin rotația elipsei În jurul axei x.

În acest fel,

530. Aflați aria suprafeței formate prin rotația în jurul axei Ox a arcului sinusoidei y \u003d sin x de la punctul X \u003d 0 până la punctul X \u003d It.

531. Calculați aria suprafeței unui con cu înălțimea h și raza r.

532. Calculaţi aria suprafeţei formate de

rotația astroidului x3 -) - y* - a3 în jurul axei x.

533. Calculați aria suprafeței formate prin inversarea buclei curbei 18 y-x(6-x)r în jurul axei x.

534. Aflați suprafața torului produsă de rotația cercului X2 - j - (y-3)2 = 4 în jurul axei x.

535. Calculați aria suprafeței formate prin rotația cercului X = a cost, y = asint în jurul axei Ox.

536. Calculați aria suprafeței formate prin rotația buclei curbei x = 9t2, y = St - 9t3 în jurul axei Ox.

537. Aflați aria suprafeței formate prin rotația arcului curbei x = e * sint, y = el cost în jurul axei Ox

de la t = 0 la t = -.

538. Arătaţi că suprafaţa produsă de rotaţia arcului cicloidei x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) în jurul axei Oy, este egală cu 16 u2 o2.

539. Aflați suprafața obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.

540. Aflați aria suprafeței formate prin rotația lemniscatei în jurul axei polare.

Sarcini suplimentare pentru Capitolul IV

Arii figurilor plane

541. Aflați întreaga zonă a unei regiuni delimitate de o curbă Și axa Oh.

542. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

543. Aflați partea din aria regiunii situată în primul cadran și delimitată de curbă

l axele de coordonate.

544. Găsiți aria zonei conținute în interior

bucle:

545. Aflați aria regiunii delimitată de o buclă a curbei:

546. Găsiți aria ariei conținute în interiorul buclei:

547. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

548. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

549. Aflați aria regiunii delimitată de axa Oxr

drept și curbat

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție
folosind o integrală definită?

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral, cu ajutorul unei integrale definite, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea unui arc, suprafața de brotație și multe altele. Așa că va fi distractiv, te rog să fii optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Mă întreb cine a prezentat ce ... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei x;
- în jurul axei y.

În acest articol, ambele cazuri vor fi discutate. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuri, și vă spun cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nici măcar un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu tema.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, în plan este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte , , fără a uita însă că ecuația definește axa . Cum să faci un desen mai rațional și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareși . Acesta este un memento chinezesc și nu mă opresc în acest moment.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru, iar această figură se rotește în jurul axei.Ca urmare a rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare în formă de ou, care este simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar este prea lene să specificați ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este destul de logic.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Desenați o figură plată în desen, delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (altul) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei încăperi de 18 metri pătrați, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că toate lucrurile se întâmplă în bandă, cu alte cuvinte, limitele de integrare gata făcute sunt de fapt date. Desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice, vă voi aminti materialul lecției despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este divizibil cu doi: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este de dorit să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un vizitator destul de frecvent în teste. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua modalitate - prin integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are și o semnificație practică! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor să citească, chiar și manechine complete. Mai mult, materialul asimilat al celui de-al doilea paragraf va fi de un ajutor neprețuit în calculul integralelor duble.

Dată o figură plată mărginită de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, asigură-te că îl citești mai întâi pe primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Este ușor de observat că funcția definește ramura superioară a parabolei, iar funcția definește ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală, care „se întinde pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost luat în considerare în lecție. Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

Ce este în neregulă cu soluția obișnuită în acest caz? În primul rând, există două integrale. În al doilea rând, rădăcinile sub integrale și rădăcinile în integrale nu sunt un dar, mai mult, se poate deruta în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt mortale, dar în practică totul este mult mai trist, doar am luat funcții „mai bune” pentru sarcină.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În plus, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii ar trebui găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Fiți atenți la modul în care am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul corpului de revoluție, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să trecem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât să ridice preliminar integrandul la puterea a 4-a.

Răspuns:

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plate delimitate de aceste linii prin integrarea peste variabila .
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cei care doresc pot găsi, de asemenea, zona figurii în modul „obișnuit”, completând astfel testul de la punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, atunci obțineți un corp de rotație complet diferit cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve).

Rezolvarea completă a celor două elemente propuse ale sarcinii la sfârșitul lecției.

A, și nu uitați să vă înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și în cadrul integrării!

Am vrut, era deja, să termin articolul, dar astăzi au adus un exemplu interesant doar pentru găsirea volumului unui corp de revoluție în jurul axei y. Proaspăt:

Calculați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii mărginite de curbele și .

Soluţie: Hai să facem un desen:

Pe parcurs, ne familiarizăm cu graficele altor funcții. Un grafic atât de interesant al unei funcții pare ....

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrată: , astfel volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este destul de logic.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (nu la fel) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei încăperi de 18 metri pătrați, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost într-adevăr cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, scrisă de el în 1950, se dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, raționând și te învață să cauți soluții originale non-standard la probleme. De curand am recitit cateva capitole cu mare interes, il recomand, este accesibil chiar si pentru umanitari. Nu, nu trebuie să zâmbești că am sugerat că o distracție personală, erudiția și o perspectivă largă în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Vă rugăm să rețineți că toate lucrurile se întâmplă în trupă, cu alte cuvinte, sunt date limite de integrare aproape gata făcute. De asemenea, încercați să desenați corect graficele funcțiilor trigonometrice, dacă argumentul este împărțit la două: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Încercați să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometriceși faceți desenul mai precis. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un vizitator destul de frecvent în teste. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua cale - integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are și o semnificație practică! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Exemplul 5

Dată o figură plată mărginită de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, mai întâi neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Este ușor de observat că funcția definește ramura superioară a parabolei, iar funcția definește ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală, care „se întinde pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost luat în considerare în lecție. Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

Ce este în neregulă cu soluția obișnuită în acest caz? În primul rând, există două integrale. În al doilea rând, rădăcinile sub integrale și rădăcinile în integrale nu sunt un dar, mai mult, se poate deruta în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt mortale, dar în practică totul este mult mai trist, doar am luat funcții „mai bune” pentru sarcină.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În plus, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii ar trebui găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: limitele de integrare de-a lungul axei trebuie stabilite strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Fiți atenți la modul în care am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul corpului de revoluție, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să trecem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât să ridice preliminar integrandul la puterea a 4-a.

Răspuns:

Totuși, un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plate delimitate de aceste linii prin integrarea peste variabila .
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Cu exceptia găsirea ariei unei figuri plate folosind o integrală definită (vezi 7.2.3.) cea mai importantă aplicație a temei este calculul volumului unui corp de revoluție. Materialul este simplu, dar cititorul trebuie să fie pregătit: este necesar să se poată rezolva integrale nedefinite complexitate medie și aplicați formula Newton-Leibniz în integrală definită, n De asemenea, sunt necesare abilități puternice de redactare. În general, există multe aplicații interesante în calculul integral; folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea unui arc, aria suprafeței ​​\u200b\u200bcorpul și multe altele. Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Acum această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei x ;

- în jurul axei y .

Să aruncăm o privire la ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

Calculul volumului unui corp format prin rotirea unei figuri plate în jurul unei axe BOU

Exemplul 1

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică în avion XOY este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte, fără a uita că ecuația definește axa. Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru, ea este cea care se rotește în jurul axei. Ca rezultat al rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare ușor în formă de ou, cu două vârfuri ascuțite pe axă. BOU, simetric față de axă BOU. De fapt, corpul are un nume matematic, uită-te în cartea de referință.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție? Dacă corpul se formează ca urmare a rotației în jurul unei axeBOU, este împărțit mental în straturi paralele de grosime mică dx care sunt perpendiculare pe axa BOU. Volumul întregului corp este în mod evident egal cu suma volumelor unor astfel de straturi elementare. Fiecare strat, ca o felie rotundă de lămâie, are un cilindru mic înalt dx si cu raza bazei f(X). Atunci volumul unui strat este produsul ariei de bază π f 2 la înălțimea cilindrului ( dx), sau π∙ f 2 (X)∙dx. Și aria întregului corp de revoluție este suma volumelor elementare sau integrala definită corespunzătoare. Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

.

Cum să setați limitele de integrare „a” și „fi” este ușor de ghicit din desenul finalizat. Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă. În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă BOU. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrat: f 2 (X), prin urmare, volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este destul de logic. Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

.

După cum am observat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că este cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul unei axe BOU figură delimitată de linii , , .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și .

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația X= 0 specifică axa OY:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei BOU rezultă un bagel unghiular plat (o șaibă cu două suprafețe conice).

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală. Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei BOU rezultând un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca V 1 .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotim această cifră în jurul axei BOU, atunci primești și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu V 2 .

Evident, diferența de volum V = V 1 - V 2 este volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Ca și în problema găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Puteți stăpâni o tehnică de graficare competentă și rapidă cu ajutorul materialelor metodologice și al transformărilor geometrice ale graficelor. Dar, de fapt, am vorbit în repetate rânduri despre importanța desenelor în lecție.

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral, cu ajutorul unei integrale definite, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea arcului, aria suprafeței rotație și multe altele. Așa că va fi distractiv, te rog să fii optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Mă întreb cine a prezentat ce ... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei absciselor;
- în jurul axei y.

În acest articol, ambele cazuri vor fi discutate. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuri, și vă spun cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nici măcar un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu tema.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, în plan este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte , , fără a uita însă că ecuația definește axa . Cum să faci un desen mai rațional și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareși Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. Acesta este un memento chinezesc și nu mă opresc în acest moment.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru, iar această figură se rotește în jurul axei.Ca urmare a rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare în formă de ou, care este simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar este prea lene să specificați ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este destul de logic.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Desenați o figură plată în desen, delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (altul) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei încăperi de 18 metri pătrați, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost într-adevăr cel mai bun. Aceeași carte a lui Perelman, publicată în 1950, se dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, raționând și te învață să cauți soluții originale non-standard la probleme. De curand am recitit cateva capitole cu mare interes, il recomand, este accesibil chiar si pentru umanitari. Nu, nu trebuie să zâmbești că am sugerat că o distracție personală, erudiția și o perspectivă largă în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că toate lucrurile se întâmplă în bandă, cu alte cuvinte, limitele de integrare gata făcute sunt de fapt date. Desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice, vă voi aminti materialul lecției despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este divizibil cu doi: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este de dorit să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un vizitator destul de frecvent în teste. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua cale - integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are și o semnificație practică! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor să citească, chiar și manechine complete. Mai mult, materialul asimilat al celui de-al doilea paragraf va fi de un ajutor neprețuit în calculul integralelor duble.

Exemplul 5

Dată o figură plată mărginită de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, mai întâi neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Este ușor de observat că funcția definește ramura superioară a parabolei, iar funcția definește ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală, care „se întinde pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost luat în considerare în lecție. Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

Ce este în neregulă cu soluția obișnuită în acest caz? În primul rând, există două integrale. În al doilea rând, rădăcinile sub integrale și rădăcinile în integrale nu sunt un dar, mai mult, se poate deruta în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt mortale, dar în practică totul este mult mai trist, doar am luat funcții „mai bune” pentru sarcină.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În plus, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii ar trebui găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Fiți atenți la modul în care am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul corpului de revoluție, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să trecem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât să ridice integrandul la puterea a 4-a.

Răspuns:

Totuși, un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plate delimitate de aceste linii prin integrarea peste variabila .
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cei care doresc pot găsi, de asemenea, zona figurii în modul „obișnuit”, completând astfel testul de la punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, atunci obțineți un corp de rotație complet diferit cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve).

Rezolvarea completă a celor două elemente propuse ale sarcinii la sfârșitul lecției.

A, și nu uitați să vă înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și în cadrul integrării!