În proporția corectă a produsului. Proporții (Wolfson G.I.)

(din lat. gorrortio- "comensurabilitate").

Dacă raportul A: b este egal cu raportul Cu:d, apoi identitatea A:b= cu:d numit proporţie.

Dacă , atunci egalitatea va fi păstrată în următoarele cazuri:

(creștere proporțională),

(proporția de reducere).

(întocmirea unei proporții prin adunare),

(întocmirea unei proporții prin scădere).

Rețineți că proporția este o altă modalitate de a rezolva problemele procentuale.

De exemplu:

Staniul este fabricat dintr-un mineral numit casiterit. Câte tone de staniu se vor obține din 25 de tone de casiterit dacă conține 78% staniu?

Soluţie. Lasă-le să primească x tone de tablă. Luând masa mineralului ca 100%, scriem:

Decizând 25,78 = 100x aflăm că x = 19,5t.

Conceptul de proporție este strâns legat de proporționalitate. Proporționalitate este raportul constant dintre două cantități una față de cealaltă. De exemplu, cu cât apăsăm mai mult pedala de accelerație într-o mașină, cu atât va merge mai repede.

Proporționalitatea poate fi directă și inversă.

Proporționalitate directă - creșterea unei valori atrage după sine creșterea alteia.

Proporționalitatea inversă există atunci când creșterea unei valori de mai multe ori o reduce pe cealaltă cu aceeași valoare. Continuând precedentul exemplu- proporționalitate inversă între apăsarea pedalei de frână și viteza mașinii - cu cât apăsăm mai mult pe frână, cu atât viteza este mai mică.

Cuvântul „proporție” provine dintr-o rădăcină latină și înseamnă „proporție”. Oamenii îl folosesc adesea în viața de zi cu zi. Ei vorbesc, de exemplu, despre proporțiile corpului uman sau despre proporțiile în gătit. Astăzi vom afla ce pun matematicienii în acest cuvânt.

Să ne uităm la două relații. Ne amintim că un raport este un cât de două numere.

Rețineți că atât în ​​primul cât și în al doilea caz valoarea coeficientului este egală cu trei. Avem două relații egale. Să scriem ecuația.

Cincisprezece este la cinci, precum douăzeci și patru este la opt. Această egalitate se numește proporție. Uneori, această egalitate este scrisă ca o egalitate a fracțiilor obișnuite.

Să formulăm definiția: egalitatea a două rapoarte se numește proporție.

Folosind litere, proporția poate fi scrisă:

Atitudine A la b este egal cu raportul c la d. Uneori proporția este citită diferit: „ A deci se aplica la b, Cum c se refera la d». Numerele care participă la proporție sunt numite membri ai proporției. Se presupune că toți termenii sunt diferit de zero.

Numerele Ași d numite membrii extremi ai proporției și numerele bși c- membrii mijlocii. Într-adevăr, în prima versiune a notării numărului bși c sunt la mijloc și numerele Ași d pe margine.

În proporţia discutată anterior găsiți produsul termenilor săi medii și extremi.

Rețineți că cele două produse rezultate sunt egale.

Să formulăm principala proprietate a proporției într-o formă generală.

În proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor din mijloc.

Este adevărat și invers.

Dacă produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii ai proporției, atunci proporțiaAdevărat.

Aflați termenul necunoscut al proporției, adică rezolvați proporția.

Numerele 0,5 și 13 sunt membrii extremi; numere A iar 2 sunt termenii de mijloc. Să folosim proprietatea de bază a proporției.

Să rezolvăm proporția.

Folosind proprietatea de bază a proporției, obținem:

Pentru a scăpa de zecimala din numitor, înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu 10. Reduceți fracția rezultată cu 4 și apoi din nou cu 4.

Verificați dacă aceste proporții sunt corecte:

În această sarcină, trebuie să verificați dacă egalitatea dintre relații este cu adevărat adevărată.

Să găsim produsul dintre medii și produsul termenilor extremi pentru fiecare proporție. Dacă produsele rezultate sunt egale, atunci proporția este corectă. În caz contrar, proporția este greșită.

proportie corecta, deoarece

proporţie greşită, pentru că .

Dacă termenii de mijloc sau extremi sunt interschimbați în proporția corectă, atunci noile proporții rezultate sunt de asemenea corecte..

Acest lucru se întâmplă deoarece cu o astfel de permutare, produsul termenilor extremi și medii nu se schimbă.

Să luăm un exemplu. Din această proporție, obțineți două noi prin rearanjarea termenilor extremi și medii. Mai întâi, rearanjam termenii de mijloc (Fig. 1).

Orez. 1. Permutarea termenilor de mijloc

Într-adevăr, produsul dintre medii și extreme nu s-a schimbat, ceea ce înseamnă că proporția rezultată este corectă. Să rearanjam termenii extremi (Fig. 2).

Orez. 2. Permutarea termenilor extremi

Și în acest caz, produsul dintre medii și extreme nu s-a schimbat. Avem proporția potrivită.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - M.: Iluminismul, 1989.
4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. - M .: Educație, Biblioteca Profesorului de Matematică, 1989.

1. Matematica ().
2. Portalul de internet Math-portal.ru ().

Teme pentru acasă

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemozina, 2012: Nr. 762 (a, d, e), Nr. 765, Nr. 777.
2. Alte sarcini: nr. 767, nr. 775.

3.6:1.2 și 6.3:2.1 sunt egali deoarece coeficientii sunt 3. Deci putem scrie 3.6:1.2 = 6.3:2.1 sau
Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.

Folosind litere, proporția se scrie după cum urmează: a: b \u003d c: d sau

Aceste intrări sună după cum urmează: „Raportul dintre a și b este egal cu raportul dintre c și d >> sau „a este la b precum c este la d >> .
În proporție, sau a:b=c:d,

Numerele a și d sunt numite membri extremi, iar numerele b și c sunt membrii mijlocii. În cele ce urmează, vom presupune că toți termenii proporției sunt nenuli: .
Într-o proporție, găsim produsul extremei sale și produsul termenilor săi medii.

Se obține 3,6 2,1 = 7,56; 1,2 6,3 = 7,56. Deci 3,6 2,1 = 1,2 6,3.

În proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor din mijloc. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii ai proporției, atunci proporția este adevărată.

Această proprietate se numește proprietatea de bază a proporției.

Proporția 20:16 \u003d 5:4 este corectă, deoarece 20 4 \u003d 16 5 \u003d 80. Să schimbăm termenii de mijloc în această proporție.

Obținem o nouă proporție: 20:5 = 16:4. Este, de asemenea, adevărat, deoarece cu o astfel de permutare, produsul extremei și produsul termenilor medii nu s-au schimbat. Aceste lucrări nu se vor schimba dacă termenii extremi sunt interschimbați în proporția 20:5 = 16:4.

Dacă termenii de mijloc sau termenii extremi sunt interschimbați în proporția corectă, atunci noile proporții rezultate sunt de asemenea corecte.

748. Rearanjand termenii medii sau extremi ai proporției, faceți trei noi proporții adevărate din proporție:

749. Folosind ecuația corectă 4 9 \u003d 0,2 180, faceți patru proporții corecte.

P 750. Calculați oral:

751. Ce semn de acțiune ar trebui înlocuit în loc de * pentru a obține egalitatea corectă:

752. Aflați raportul cantităților:

a) 1,5 m și 30 cm;
b) 1 kg și 250 g;
c) 1 oră și 15 minute;
d) 50 cm 2 și 1 dm 2.

753. numerele sunt egale cu acest număr. Ce este număr ?

754. Ce număr trebuie adăugat la numărătorul și numitorul unei fracții pentru a obține o fracție?

M 755. Care dintre figuri (Fig. 33) sunt scanări:

a) o prismă patruunghiulară; b) prismă triunghiulară; c) o piramidă triunghiulară?

756. 50 de focuri au fost trase dintr-un pistol, în timp ce 5 gloanțe au zburat pe lângă țintă. Defini .

757. Unghiul A este de 30° și unghiul B este de 50°. Ce parte a unghiului A este din unghiul B? De câte ori este unghiul B mai mare decât unghiul A?

758. Brigăzii a primit sarcina de a strânge 280 de cenți de struguri. Ea a adunat 350 c. Cu ce ​​procente brigada a depășit sarcina? Cu ce ​​procente echipa a finalizat sarcina?

759. În parc au fost plantați arțari și stejari, iar la fiecare 4 arțari există câte un stejar. Ce procent din toți copacii plantați sunt arțari? Câți copaci au fost plantați în parc dacă s-au plantat 480 de arțari?

D 760. Este adevărată proporția:

a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; b) 0,0112:0,28=0,204:0,51?

761. Rezolvați ecuația:

762. Din 225 kg minereu s-au obținut 34,2 kg cupru. Care este procentul de cupru din minereu?

763. La 2 ore de la ieșirea din stația A, locomotiva și-a mărit viteza cu 12 km/h și la 5 ore de la începerea deplasării a ajuns la destinația B. Care era viteza locomotivei la începutul călătoriei dacă distanța față de A la B este 261 km?

764. Dacă adăugați 0,8 la un număr necunoscut, obțineți 1,2. Găsiți un număr necunoscut.

765. Faceți următoarele:

N.Ya.Vilenkin, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematica pentru clasa a VI-a, Manual pentru liceu

Calendar-planificare tematică la matematică, video la matematică pe net, Matematica la scoala Descarca

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, traininguri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment din manualul elementelor de inovare la lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrate