Variabila aleatoare este dată de distribuție. Variabile aleatoare discrete
Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, variabilele aleatoare continue nu pot fi specificate sub forma unui tabel al legii sale de distribuție, deoarece este imposibil să enumerați și să scrieți toate valorile sale într-o anumită secvență. O modalitate posibilă de a defini o variabilă aleatoare continuă este utilizarea unei funcții de distribuție.
DEFINIȚIE. Funcția de distribuție este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare care este reprezentată pe axa reală de un punct la stânga punctului x, adică.
Uneori, în locul termenului „Funcție de distribuție”, se folosește termenul „Funcție integrală”.
Proprietățile funcției de distribuție:
1. Valoarea funcției de distribuție aparține segmentului: 0F(x)1
2. F(x) este o funcție nedescrescătoare, adică. F(x 2)F(x 1) dacă x 2 >x 1
Corolarul 1. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă în intervalul (a,b) este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval:
P(aX
Exemplul 9. O variabilă aleatoare X este dată de o funcție de distribuție:
Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare aparținând intervalului (0; 2): P(0 Rezolvare: Deoarece pe intervalul (0;2) prin condiție, F(x)=x/4+1/4, atunci F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Deci P(0 Corolarul 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare definită este egală cu zero. Corolarul 3. Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare aparțin intervalului (a;b), atunci: 1) F(x)=0 pentru xa; 2) F(x)=1 pentru xb. Graficul functiei de distributie este situat in banda delimitata de drepte y=0, y=1 (prima proprietate). Pe măsură ce x crește în intervalul (a;b), care conține toate valorile posibile ale variabilei aleatoare, graficul „se ridică”. Pentru xa, ordonatele graficului sunt egale cu zero; la xb, ordonatele graficului sunt egale cu unu: Exemplul 10. O variabilă aleatoare discretă X este dată de un tabel de distribuție: Găsiți funcția de distribuție și construiți graficul acesteia. DEFINIȚIE: Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este funcția f (x) - prima derivată a funcției de distribuție F (x): f (x) \u003d F "(x) Din această definiție rezultă că funcția de distribuție este antiderivată a densității de distribuție. Teorema. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare aparținând intervalului (a; b) este egală cu o anumită integrală a densității distribuției, luată în intervalul de la a la b: Proprietățile densității probabilității: 1. Densitatea de probabilitate este o funcție nenegativă: f(x)0. Exemplul 11. Având în vedere densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X Soluție: Probabilitatea dorită: Să extindem definiția caracteristicilor numerice ale mărimilor discrete la mărimi continue. Fie o variabilă aleatoare continuă X dată de densitatea distribuției f(x). DEFINIȚIE. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită: M(x)=xf(x)dx (9) Dacă valorile posibile aparțin întregii axe x, atunci: M(x)=xf(x)dx (10) Modul M 0 (X) al unei variabile aleatoare continue X este valoarea ei posibilă, care corespunde maximului local al densității distribuției. Mediana M e (X) a unei variabile aleatoare continue X este valoarea sa posibilă, care este determinată de egalitatea: P(X e (X))=P(X>M e (X)) DEFINIȚIE. Dispersia unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii sale. Dacă valorile posibile ale lui X aparțin segmentului, atunci: D(x)=2 f(x)dx (11) Dacă valorile posibile aparțin întregii axe x, atunci. Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu. Variabilă aleatorie discretă- aceasta este o astfel de variabilă aleatoare, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii. Exemplul 1
. Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete: a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$. c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori). d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori). O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$. $\begin(matrice)(|c|c|) Exemplul 2
. Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$: $\begin(matrice)(|c|c|) cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum( p_i)=1$. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$. Proprietăți de așteptare$M\stânga(X\dreapta)$: Exemplul 3
. Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$. $$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$ Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$. Exemplul 4
. Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$. Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$. Exemplul 5
. Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$. Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu pentru examen la teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-un grup toată lumea s-a dovedit a fi studenți buni, iar în celălalt grup - doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia. Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este: $$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2).\ $$ În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$. Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$: Exemplul 6
. Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$. $$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$ Exemplul 7
. Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$. Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$. Exemplul 8
. Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$. Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$. Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție. functie de distributie variabila aleatoare $X$ este o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă $x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$ Proprietățile funcției de distribuție: Exemplul 9
. Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$. $\begin(matrice)(|c|c|) Dacă $x\le 1$, atunci evident $F\left(x\right)=0$ (inclusiv $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$). Dacă 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$. Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$. Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$. Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$. Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$. Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$. Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix) O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată folosind funcția de distribuție F(X)
. Acest mod de setare nu este singurul. O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată și folosind o altă funcție numită densitate de distribuție sau densitate de probabilitate (uneori numită funcție diferențială). Definiția 4.1:
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X apelați funcția f
(X)
- derivata întâi a funcţiei de distribuţie F(X)
: f
(
X
)
=
F
"(
X
)
.
Din această definiție rezultă că funcția de distribuție este antiderivată a densității de distribuție. Rețineți că pentru a descrie distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete, densitatea distribuției nu este aplicabilă. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare continuă într-un interval dat
Cunoscând densitatea distribuției, putem calcula probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare care aparține unui interval dat. Teorema:
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia valori aparținând intervalului (A,
b), este egală cu o anumită integrală a densității de distribuție, luată în intervalul de laAinainte deb :
Dovada: Folosim raportul P(A
≤
Xb)
=
F(b)
–
F(A).
Conform formulei Newton-Leibniz, În acest fel, pentru că P(A
≤
X b)=
P(A
X b)
, apoi ajungem în sfârșit
Din punct de vedere geometric, rezultatul poate fi interpretat după cum urmează: probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare aparținând intervalului (A,
b), este egală cu aria trapezului curbiliniu delimitată de axăBou, curba de distribuțief(X) și directX =
AșiX =
b.
Cometariu:În special, dacă f(X)
este o funcție pară și capetele intervalului sunt simetrice față de origine, atunci Exemplu. Având în vedere densitatea de probabilitate a unei variabile aleatorii X Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valori aparținând intervalului (0,5; 1). Soluţie: Probabilitatea dorită Găsirea funcției de distribuție dintr-o densitate de distribuție cunoscută
Cunoscând densitatea distribuției f(X)
, putem găsi funcția de distribuție F(X)
conform formulei Într-adevăr, F(X)
=
P(X
X) = P(-∞
X X)
.
Prin urmare, În acest fel, cunoscând densitatea distribuției, puteți găsi funcția de distribuție. Desigur, din funcția de distribuție cunoscută, se poate găsi densitatea de distribuție, și anume: f(X)
=
F"(X).
Exemplu. Găsiți funcția de distribuție pentru o densitate de distribuție dată: Soluţie: Să folosim formula
În cazul în care un X
≤
A, apoi f(X)
= 0
, Prin urmare, F(X)
= 0
. În cazul în care un a , atunci f(x) = 1/(b-a),
Prin urmare, În cazul în care un X
>
b, apoi Deci, funcția de distribuție dorită Cometariu: Am obținut funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform (vezi distribuția uniformă). Proprietăți de densitate de distribuție
Proprietatea 1: Densitatea distribuției este o funcție nenegativă: f
(
X
)
≥ 0
. Proprietatea 2: Integrala improprie a densității distribuției în intervalul de la -∞ la ∞ este egală cu unu: Cometariu: Graficul densității de distribuție se numește curba de distributie. Cometariu: Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue se mai numește și legea distribuției. Exemplu. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are următoarea formă: Găsiți parametrul constant A. Soluţie: Densitatea distribuției trebuie să îndeplinească condiția , deci cerem ca egalitatea De aici
Calculăm integrala improprie: Astfel, parametrul necesar Sensul probabil al densității de distribuție
Lăsa F(X)
este funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X. Prin definiția densității de distribuție, f(X)
=
F"(X)
, sau Diferență F(X+∆х) -F(X)
determină probabilitatea ca X va lua valoarea aparținând intervalului (X,
X+∆х). Astfel, limita raportului probabilității ca o variabilă aleatoare continuă să ia o valoare aparținând intervalului (X,
X+∆х), la lungimea acestui interval (la ∆х→0) este egală cu valoarea densității de distribuție în punct X. Deci funcția f(X)
determină densitatea distribuției de probabilitate pentru fiecare punct X. Din calculul diferenţial se ştie că incrementul unei funcţii este aproximativ egal cu diferenţialul funcţiei, adică. pentru că F"(X)
=
f(X)
și dx = ∆
X, apoi F(X+∆
X)
-
F(X)
≈
f(X)∆
X. Sensul probabilistic al acestei egalități este următorul: probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare aparținând intervalului (X,
X+∆
X) , este aproximativ egal cu produsul dintre densitatea de probabilitate în punctul x și lungimea intervalului ∆х. Geometric, acest rezultat poate fi interpretat ca:
probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare aparținând intervalului (X,
X+∆
X), aproximativ egală cu aria unui dreptunghi cu baza ∆х și înălțimef(X).
Definiția 5.1:
Valoare aleatoare X, care ia două valori 1
și 0
cu probabilități („succes”) pși („eșec”) q, se numește Bernoulli: Lasă-l să fie produs n
încercări independente, în fiecare dintre ele un eveniment A poate sau nu să apară. Probabilitatea ca un eveniment să apară în toate încercările este constantă și egală cu p(de unde probabilitatea neapariției q = 1 -
p). Luați în considerare o variabilă aleatorie X– numărul de apariții ale evenimentului Aîn aceste teste. Valoare aleatoare X ia valori 0,1,2,…
n cu probabilități calculate prin formula Bernoulli:
, Unde k = 0,1,2,…
n. Definiția 5.2:
Binom se numește distribuție de probabilitate determinată de formula Bernoulli. Exemplu. Trei focuri sunt trase în țintă, iar probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,8. Considerăm o variabilă aleatoare X- numărul de lovituri pe țintă. Găsiți seria de distribuție. Soluţie: Valoare aleatoare X ia valori 0,1,2,3
cu probabilități calculate prin formula Bernoulli, unde n = 3,
p
= 0,8
(probabilitate de lovire), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(probabilitatea de a lipsi). Astfel, seria de distribuție are următoarea formă: Utilizați formula Bernoulli pentru valori mari n destul de dificil, prin urmare, pentru a calcula probabilitățile corespunzătoare, se folosește teorema locală Laplace, care permite să găsim aproximativ probabilitatea ca un eveniment să se producă exact. k odata nîncercări dacă numărul de încercări este suficient de mare. Teorema Laplace locală: Dacă probabilitate p producerea unui eveniment A
Nota 1: Tabelele care conțin valorile funcției
Exemplu: Găsiți probabilitatea ca evenimentul A
vine exact 80
odata 400
încercări dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu 0,2.
Soluţie: După condiție n = 400,
k = 80,
p
= 0,2
, q = 0,8
. Să calculăm valoarea determinată de datele problemei X:
Dacă doriți să calculați probabilitatea ca un eveniment A va apărea în n teste cel putin k 1
o dată și nu mai mult k 2
de ori, atunci trebuie să utilizați teorema integrală Laplace: Teorema integrală a Laplace: Dacă probabilitate p producerea unui eveniment Aîn fiecare test este constant și diferit de zero și unu, apoi probabilitatea
că evenimentul A
va apărea în n teste de la k 1
inainte de k 2
ori, aproximativ egală cu integrala definită Cu alte cuvinte, probabilitatea ca un eveniment A
va apărea în n teste de la k 1
inainte de k 2
ori, aproximativ egal cu Unde
Observație 2: Funcţie
Exemplu: Găsiți probabilitatea ca printre
400
piesele selectate aleatoriu vor fi nebifate de la 70 la 100 de piese, daca probabilitatea ca piesa sa nu treaca de controlul de calitate este egala cu 0,2.
Soluţie: După condiție n = 400,
p = 0,2
, q
= 0,8,
k 1
=
70,
k 2
=
100
. Să calculăm limitele inferioare și superioare de integrare: Astfel, avem: Conform tabelului din Anexa 2, constatăm că
Observație 3:Într-o serie de încercări independente (când n este mare, p este mic), formula Poisson este utilizată de exact k ori pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să apară (vezi distribuția Poisson). Definiția 5.3:
Se numește o variabilă aleatoare discretă pește, dacă legea sa de distribuție are următoarea formă: Exemple de variabile aleatoare Poisson: Numărul de apeluri către un post automat într-un interval de timp T.
Numărul de particule de descompunere ale unei substanțe radioactive într-o perioadă de timp T.
Numărul de televizoare care intră în atelier într-o perioadă de timp T in marele oras .
Numărul de mașini care vor ajunge la linia de oprire a unei intersecții dintr-un oraș mare .
Nota 1: Tabelele speciale pentru calcularea acestor probabilități sunt date în Anexa 3. Observație 2:Într-o serie de studii independente (când n Grozav, p mic) pentru a calcula probabilitatea ca un eveniment să se producă exact k odată ce se utilizează formula Poisson:
Observație 3: Dacă există o variabilă aleatoare care este distribuită conform legii Poisson, atunci există în mod necesar o variabilă aleatoare care este distribuită conform legii exponențiale și invers (vezi distribuția exponențială). Exemplu. Fabrica a trimis la bază 5000
produse de bună calitate. Probabilitatea ca produsul să fie deteriorat în timpul transportului este egală cu 0,0002
. Găsiți probabilitatea ca exact trei obiecte inutilizabile să ajungă la bază. Soluţie: După condiție n = 5000,
p
= 0,0002,
k = 3.
Sa gasim λ: λ =
np= 5000 0,0002 = 1. Conform formulei Poisson, probabilitatea dorită este egală cu: Să se facă încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui eveniment DAR este egal cu p(0p q
= 1 -
p. Încercările se termină imediat ce apare evenimentul DAR. Astfel, dacă un eveniment DAR aparut in k--lea test, apoi în precedentul k
– 1
Nu a apărut la teste. Notează prin X variabilă aleatoare discretă - numărul de încercări care trebuie efectuate înainte de prima apariție a evenimentului DAR. Evident, valorile posibile X sunt numere naturale x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ... Lasă-l pe primul k-1
eveniment de testare DAR nu a venit, dar k a aparut testul. Probabilitatea acestui „eveniment complex”, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente,
P
(X =
k) =
q
k -1
p.
Definiția 5.4:
O variabilă aleatoare discretă are distribuție geometrică dacă legea sa de distribuție are următoarea formă: P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
p
,
Unde
Nota 1: Presupunând k = 1,2,…
, obținem o progresie geometrică cu primul termen pși numitorul q (0q. Din acest motiv, distribuția se numește geometrică.
Observație 2: Rând
Exemplu. Pistolul trage în țintă până la prima lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta p
= 0,6
. Găsiți probabilitatea ca lovitura să aibă loc la a treia lovitură. Soluţie: După condiție p = 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
k = 3.
Probabilitatea dorită este egală cu: P
(X = 3) = 0,4
2
0,6 = 0,096. Luați în considerare următoarea problemă. Lasă petrecerea afară N produse disponibile M standard (MN).
alese aleatoriu din partid n produse (fiecare produs poate fi îndepărtat cu aceeași probabilitate), iar produsul selectat nu este returnat la lot înainte de selectarea următorului (prin urmare, formula Bernoulli nu este aplicabilă aici). Notează prin X variabilă aleatoare - număr m produse standard printre n selectat. Apoi valorile posibile X va fi 0, 1, 2,…, min; Să le etichetăm și... pe valorile variabilei independente (Fonds), utilizați butonul ( capitol ... ... metodologic instrucțiuni pe efectuarea lucrărilor practice 5.1 metodic recomandări pe implementarea proiectelor de formare 5.2 metodic recomandări pe... sensibilitate), unidimensional si multidimensional... Aleatoriu componentă în mărimea... Cu secțiune"Performanţă... ... secțiuniîn manuale. Rezolvarea problemelor pe fiecare subiect. elaborare metodic instrucțiuni la munca de laborator pe ... Aleatoriuşi eroare de măsurare instrumentală 1.8 Subiectele lucrărilor de control şi metodologic instrucțiuni pe... Particule în unidimensional gaura potentiala. ... ... metodic instrucțiuni la LUCRĂRI DE LABORATOR pe ... magnitudinea, și cea mai mare sumă cantități... matrice Aleatoriu numere... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) unidimensional matrice b) matrice bidimensională Fig. 2– Fișierele... sunt descrise în secțiune implementare dupa... 9. Variabilă aleatoare continuă, caracteristicile sale numerice O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată folosind două funcții. Funcția de distribuție a probabilității integrale a unei variabile aleatoare X se numește funcția definită de egalitate Funcția integrală oferă o modalitate generală de a specifica atât variabile aleatoare discrete, cât și continue. În cazul unei variabile aleatoare continue . Toate evenimentele: au aceeași probabilitate, egală cu incrementul funcției integrale pe acest interval, adică De exemplu, pentru o variabilă aleatoare discretă dată în exemplul 26, avem: Astfel, graficul funcției integrale a funcției luate în considerare este unirea a două raze și a trei segmente paralele cu axa Ox. Exemplul 27. O variabilă aleatoare continuă X este dată de funcția de distribuție a probabilității integrale Construiți un grafic al funcției integrale și găsiți probabilitatea ca, în urma testului, variabila aleatoare X să ia o valoare în intervalul (0,5; 1,5). Soluţie. Pe interval Probabilitatea ca variabila aleatoare X ca rezultat al testului să ia o valoare în intervalul (0,5; 1,5) se află prin formula . În acest fel, . Proprietățile funcției de distribuție a probabilității integrale: Legea de distribuție a unei variabile aleatoare continue este specificată convenabil folosind o altă funcție, și anume, funcții de densitate de probabilitate Probabilitatea ca valoarea luată de variabila aleatoare X să se încadreze în interval Se numește graficul funcției curba de distributie. Geometric, probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă în interval este egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător, delimitată de curba de distribuție, axa Ox și linii drepte Proprietățile funcției de densitate de probabilitate: 9.1. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue Valorea estimata(valoarea medie) a unei variabile aleatoare continue X este definită de egalitate M(X) este notat cu A. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue au proprietăți similare cu cele ale unei variabile discrete: dispersie variabila aleatoare discretă X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică, i.e. . Pentru o variabilă aleatoare continuă, varianța este dată de Dispersia are următoarele proprietăți: Ultima proprietate este foarte convenabil de aplicat pentru găsirea varianței unei variabile aleatoare continue. Conceptul de abatere standard este introdus în mod similar. RMS continuu variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței, adică. Exemplul 28. O variabilă aleatoare continuă X este dată de o funcție de densitate de probabilitate unu). Pentru a găsi parametrul A utilizați formula 2). Pentru a afla așteptarea matematică, folosim formula: , de unde rezultă că Vom găsi dispersia folosind formula: Să găsim abaterea standard prin formula: , de unde obținem asta 3). Funcția integrală este exprimată în funcție de densitatea probabilității după cum urmează: Graficele acestor funcții sunt prezentate în fig. 4. iar fig. 5. Fig.4 Fig.5. 9.2. Distribuția uniformă de probabilitate a unei variabile aleatoare continue Distribuția probabilității unei variabile aleatoare continue X uniform pe interval dacă densitatea sa de probabilitate este constantă pe acest interval și este egală cu zero în afara acestui interval, i.e. . Este ușor de demonstrat că în acest caz Dacă intervalul Exemplul 29. Un eveniment constând într-un semnal instantaneu trebuie să aibă loc între orele 13:00 și 17:00. Timpul de așteptare a semnalului este o variabilă aleatorie X. Aflați probabilitatea ca semnalul să fie fixat între orele două și trei după-amiaza. Soluţie. Variabila aleatoare X are o distribuție uniformă, iar prin formulă aflăm că probabilitatea ca semnalul să fie între orele 2 și 3 după-amiaza este egală cu În literatură educațională și de altă natură, este adesea notat în literatură prin 9.3. Distribuția normală de probabilitate a unei variabile aleatoare continue Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește normală dacă legea sa de distribuție a probabilității este determinată de densitatea probabilității Teorema. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă distribuită normal să se încadreze într-un interval dat O consecință a acestei teoreme este regula trei sigma, adică. este aproape sigur că o variabilă aleatoare continuă, distribuită normal, X își ia valorile în interval Exemplul 30. Durata de viață a televizorului este o variabilă aleatorie X, supusă legii normale de distribuție, cu o perioadă de garanție de 15 ani și o abatere standard de 3 ani. Găsiți probabilitatea ca televizorul să reziste între 10 și 20 de ani. Soluţie. După condiția problemei, așteptarea matematică A= 15, abatere standard . Sa gasim
. Astfel, probabilitatea ca un televizor să funcționeze de la 10 la 20 de ani este mai mare de 0,9. 9.4 Inegalitatea lui Cebyshev Apare lema lui Cebyshev. Dacă o variabilă aleatoare X ia numai valori nenegative și are o așteptare matematică, atunci pentru orice pozitiv în Ținând cont de faptul că , ca sumă a probabilităților de evenimente opuse, obținem asta teorema lui Cebyshev. Dacă variabila aleatoare X are o varianță finită De unde rezultă că Exemplul 31. S-a realizat un lot de piese. Lungimea medie a pieselor este de 100 cm, iar abaterea standard este de 0,4 cm. Estimați de mai jos probabilitatea ca lungimea unei piese luate la întâmplare să fie de cel puțin 99 cm. și nu mai mult de 101 cm. Soluţie. dispersie. Așteptarea matematică este 100. Prin urmare, pentru a estima probabilitatea evenimentului considerat de jos 10. Elemente de statistică matematică Populația statistică denumește un set de obiecte sau fenomene omogene. Număr P elementele acestei multimi se numeste volumul multimii. Valori observate Raportul dintre frecvență și dimensiunea populației statistice se numește frecventa relativa semn: Raportul dintre variantele seriei variaționale și frecvențele acestora se numește distribuţia statistică a eşantionului. O reprezentare grafică a unei distribuții statistice poate fi poligon frecvente. Exemplul 32. Prin intervievarea a 25 de studenți din anul I s-au obținut următoarele date privind vârsta lor: Soluţie. Folosind datele obținute în timpul anchetei, vom compune distribuția statistică a eșantionului Intervalul eșantionului de variație este 23 - 17 = 6. Pentru a construi un poligon de frecvență, construiți puncte cu coordonate Seria de distribuție a frecvențelor relative are forma: 10.1 Caracteristicile numerice ale seriei de variații Fie eșantionul dat de seria de distribuție a frecvenței a caracteristicii X: Suma tuturor frecvențelor este P. Media aritmetică a probei sunați cantitatea dispersie sau o măsură a dispersiei valorilor atributului X în raport cu media sa aritmetică este valoarea Raportul dintre abaterea standard și media aritmetică a eșantionului, exprimat ca procent, se numește coeficient de variație: Funcția empirică de distribuție a frecvenței relative apelați o funcție care determină pentru fiecare valoare frecvența relativă a unui eveniment Exemplul 33.În condițiile exemplului 32, găsiți caracteristici numerice Soluţie. Aflați media aritmetică a eșantionului folosind formula , apoi . Varianta atributului X se gaseste prin formula: , i.e. . Abaterea standard a probei este 10.2. Estimarea probabilității prin frecvență relativă. Interval de încredere Să se țină Pîncercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a evenimentului A este constantă și egală cu R. În acest caz, probabilitatea ca frecvența relativă să difere de probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare test în valoare absolută cu cel mult , este aproximativ egală cu de două ori valoarea funcției integrale Laplace: estimarea intervalului numiți o astfel de evaluare, care este determinată de două numere care sunt capetele intervalului care acoperă parametrul estimat al populației statistice. Interval de încredere Exemplul 34. Etajul fabricii produce becuri electrice. La verificarea a 625 de lămpi, 40 erau defecte. Aflați, cu o probabilitate de încredere de 0,95, limitele în care este încheiat procentul de becuri defecte produse de magazinul din fabrică. Soluţie. Conform sarcinii. Folosim formula 10.3. Estimarea parametrilor în statistică Fie ca atributul cantitativ X al întregii populații de studiu (populația generală) să aibă o distribuție normală. Dacă abaterea standard este cunoscută, atunci intervalul de încredere care acoperă așteptările matematice A Dacă abaterea standard este necunoscută, atunci conform datelor eșantionului, este posibil să se construiască o variabilă aleatoare care are o distribuție Student cu P– 1 grad de libertate, care este determinat de un singur parametru Pși nu depinde de necunoscut Ași . Distribuția elevilor chiar și pentru mostre mici Intervalul de încredere care acoperă abaterea standard a acestei caracteristici cu o probabilitate de încredere , se găsește prin formulele: și , unde 10.4. Metode statistice pentru studierea dependențelor dintre variabile aleatoare Dependența de corelație a lui Y față de X este dependența funcțională a mediei condiționate Dependența de corelație poate fi liniară și curbilinie. În cazul unei dependențe de corelație liniară, ecuația de regresie în linie dreaptă are forma: Pentru mostre mici, datele nu sunt grupate, parametrii Eșantion de coeficient de corelație liniară Ecuația probă a regresiei drepte Y pe X are forma: Cu un număr mare de observații ale semnelor X și Y, se întocmește un tabel de corelare cu două intrări, cu aceeași valoare X observat Exemplul 35. Este dat un tabel de observații ale semnelor X și Y. Găsiți ecuația eșantion a regresiei drepte Y pe X. Soluţie. Relația dintre trăsăturile studiate poate fi exprimată prin ecuația unei drepte de regresie Y pe X: . Pentru a calcula coeficienții ecuației, vom compila un tabel de calcul: numărul de observație
Capitolul 6. Variabile aleatoare continue. § 1. Funcţia de densitate şi distribuţie a unei variabile aleatoare continue. Setul de valori ale unei variabile aleatoare continue este de nenumărat și reprezintă de obicei un interval finit sau infinit. Se numește o variabilă aleatoare x(w) dată într-un spațiu de probabilitate (W, S, P). continuu(absolut continuă) W dacă există o funcție nenegativă astfel încât, pentru orice x, funcția de distribuție Fx(x) poate fi reprezentată ca integrală Funcția se numește funcție densitatea distribuției de probabilitate. Proprietățile funcției de densitate de distribuție rezultă din definiție: 1..gif" width="97" height="51"> 3. În punctele de continuitate, densitatea de distribuție este egală cu derivata funcției de distribuție: . 4. Densitatea distribuției determină legea distribuției unei variabile aleatoare, deoarece determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul: 5. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o anumită valoare este zero: . Prin urmare, următoarele egalități sunt adevărate: Se numește graficul funcției de densitate de distribuție curba de distributie, iar aria delimitată de curba de distribuție și de axa x este egală cu unu. Apoi, geometric, valoarea funcției de distribuție Fx(x) în punctul x0 este aria mărginită de curba de distribuție și de axa x și situată la stânga punctului x0. Sarcina 1. Funcția de densitate a unei variabile aleatoare continue are forma: Determinați constanta C, construiți funcția de distribuție Fx(x) și calculați probabilitatea . Soluţie. Constanta C se găsește din condiția Avem: Pentru a construi funcția de distribuție Fx(x), rețineți că intervalul împarte intervalul argumentului x (axa numerelor) în trei părți: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49"> întrucât densitatea x pe semiaxă este zero. În al doilea caz În sfârșit, în ultimul caz, când x>2, Deoarece densitatea dispare pe semiaxă. Deci, se obține funcția de distribuție Probabilitate calculați cu formula . În acest fel,
§ 2. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare continue Valorea estimata pentru variabile aleatoare distribuite continuu este determinată de formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, dacă integrala din dreapta converge absolut. Dispersia x poate fi calculat folosind formula Toate proprietățile așteptării și varianței prezentate în capitolul 5 pentru variabile aleatoare discrete sunt valabile și pentru variabile aleatoare continue. Sarcina 2.
Pentru o variabilă aleatoare x din problema 1, calculați așteptarea și varianța matematică .
Soluţie. Si asta inseamnă https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src="> Pentru un grafic al densității de distribuție uniformă, vezi fig. . Fig.6.2. Funcția de distribuție și densitatea distribuției. lege uniformă Funcția de distribuție Fx(x) a unei variabile aleatoare distribuite uniform este Fx(x)= Aşteptări matematice şi dispersie; . Distribuția exponențială (exponențială). O variabilă aleatoare continuă x care ia valori nenegative are o distribuție exponențială cu parametrul l>0 dacă densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare este egală cu px(x)= Orez. 6.3. Funcția de distribuție și densitatea de distribuție a legii exponențiale. Funcția de distribuție a distribuției exponențiale are forma Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> și , dacă densitatea sa de distribuție este egală cu Mulțimea tuturor variabilelor aleatoare distribuite conform legii normale cu parametri și parametrii se notează cu . Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite normal este Orez. 6.4. Funcția de distribuție și densitatea de distribuție a legii normale Parametrii de distribuție normali sunt așteptările matematice https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24"> În cazul particular când https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribuția normală se numește standard, iar clasa unor astfel de distribuții este desemnată https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">, în timp ce funcţia de distribuţie O astfel de integrală nu poate fi calculată analitic (nu este luată în „quadraturi”) și, prin urmare, sunt compilate tabele pentru funcție. Funcția este legată de funcția Laplace introdusă în capitolul 4 următoarea relație Prin urmare, probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să cadă într-un interval poate fi calculată prin formula O variabilă aleatoare nenegativă x se numește log-distribuită normal dacă logaritmul ei h=lnx respectă legea normală. Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare log-normal distribuite sunt Mx= și Dx=. Sarcina 3. Să fie dată o valoare aleatorie https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">. Soluţie. Aici și https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45"> Distribuția Laplace este setat de funcția fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> iar kurtoza este gx=3. Fig.6.5. Funcția de densitate de distribuție Laplace. Variabila aleatoare x este distribuită peste Legea Weibull, dacă are o funcție de densitate de distribuție egală cu https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> Distribuția Weibull respectă perioadele de funcționare fără defecțiuni a multor dispozitive tehnice. În sarcinile acestui profil, o caracteristică importantă este rata de eșec (rata mortalității) l(t) a elementelor studiate de vârstă t, determinată de relația l(t)=. Dacă a=1, atunci distribuția Weibull se transformă într-o distribuție exponențială, iar dacă a=2 - în așa-numita distribuție Rayleigh. Așteptările matematice ale distribuției Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, unde Г(а) este Euler functie.. În diverse probleme de statistică aplicată, sunt adesea întâlnite așa-numitele distribuții „trunchiate”. De exemplu, organele fiscale sunt interesate de repartizarea veniturilor acelor persoane al căror venit anual depășește un anumit prag c0 stabilit de legile fiscale. Aceste distribuții se dovedesc a fi aproximativ aceleași cu distribuția Pareto. Distribuția Pareto dat de funcţii Fx(x)=P(x Aici https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">. Sarcina 4. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe intervalul . Aflați densitatea unei variabile aleatoare. Soluţie. Din starea problemei rezultă că În continuare, funcția este o funcție monotonă și diferențiabilă pe interval și are funcție inversă § 5. O pereche de variabile aleatoare continue Să fie date două variabile aleatoare continue x și h. Atunci perechea (x, h) determină un punct „aleatoriu” pe plan. Se numește o pereche (x, h). vector aleatoriu sau variabilă aleatoare bidimensională. funcția de distribuție comună variabile aleatoare x și h și funcția se numește F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densitatea articulațiilor distribuţia de probabilitate a variabilelor aleatoare x şi h este o funcţie astfel încât Sensul acestei definiții a densității distribuției comune este următorul. Probabilitatea ca un „punct aleatoriu” (x, h) să cadă într-o zonă pe un plan este calculată ca volumul unei figuri tridimensionale - un cilindru „curbat” delimitat de suprafața https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src="> Cel mai simplu exemplu de distribuție comună a două variabile aleatoare este bidimensional distribuție uniformă pe platouA.
Să fie dată o mulțime mărginită M cu aria, care este definită ca distribuția perechii (x, h) dată de următoarea densitate a îmbinării: Sarcina 5. Fie un vector aleator bidimensional (x, h) distribuit uniform în interiorul triunghiului . Calculați probabilitatea inegalității x>h. Soluţie. Aria triunghiului indicat este egală cu (vezi Fig. Nr.?). În virtutea definiției unei distribuții uniforme bidimensionale, densitatea comună a variabilelor aleatoare x, h este egală cu Evenimentul se potrivește cu setul Pe semiplanul B, densitatea îmbinării este egală cu zero în afara setului https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. , semiplanul B este împărțit în două seturi și https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> și , iar a doua integrală este zero, deoarece densitatea îmbinării este zero acolo. De aceea Dacă este dată densitatea distribuției comune pentru perechea (x, h), atunci densitățile și componentele x și h se numesc densități privateși se calculează cu formulele: https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src="> Pentru variabile aleatoare distribuite continuu cu densități px(x), ph(y), independența înseamnă că Sarcina 6.În condițiile problemei anterioare, determinați dacă componentele vectorului aleator x și h sunt independente? Soluţie. Să calculăm densitățile parțiale și . Avem: https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src="> Evident, în cazul nostru https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> este densitatea articulației dintre x și h, iar j(x, y) este o funcție a două argumente, atunci https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src="> Sarcina 7.În condițiile problemei anterioare, calculați . Soluţie. Conform formulei de mai sus, avem: Reprezentând triunghiul ca https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59"> § 5. Densitatea sumei a două variabile aleatoare continue Fie x și h variabile aleatoare independente cu densități https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Densitatea variabilei aleatoare x + h se calculează din formula circumvoluții https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calculați densitatea sumei. Soluţie. Deoarece x și h sunt distribuite conform legii exponențiale cu parametrul , densitățile lor sunt egale cu Prin urmare, https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51"> Dacă x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">este negativ și, prin urmare, . Prin urmare, dacă https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> Astfel, am primit răspunsul: https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> este distribuit în mod normal cu parametrii 0 și 1. Variabilele aleatoare x1 și x2 sunt independente și au valori normale distribuții cu parametrii a1 și respectiv a2 Demonstrați că x1 + x2 are o distribuție normală Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt distribuite și independente și au aceeași funcție de densitate de distribuție Găsiți funcția de distribuție și densitatea de distribuție a mărimilor: a) h1 = min (x1 , x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn ) Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt independente și uniform distribuite pe intervalul [а, b]. Găsiți funcțiile de distribuție și funcțiile de densitate de distribuție ale mărimilor x(1) = min(x1,x2, ... xn) și x(2)= max(x1, x2, ...xn). Demonstrați că M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">. Variabila aleatoare se distribuie conform legii Cauchy.Aflaţi: a) coeficientul a; b) funcţia de distribuţie; c) probabilitatea de a atinge intervalul (-1, 1). Arătați că așteptarea lui x nu există. Variabila aleatoare se supune legii Laplace cu parametrul l (l>0): Aflați coeficientul a; construiți grafice ale densității distribuției și ale funcției de distribuție; găsiți Mx și Dx; găsiți probabilitățile evenimentelor (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид: Scrieți o formulă pentru densitatea distribuției, găsiți Mx și Dx. Sarcini de calcul. Un punct aleator A are o distribuție uniformă într-un cerc cu raza R. Aflați așteptările matematice și varianța distanței r a unui punct față de centrul cercului. Să se arate că mărimea r2 este distribuită uniform pe intervalul . Aflați constanta c, densitatea distribuției h = și probabilitatea P (0,25 Timpul de funcționare al computerului este distribuit conform unei legi exponențiale cu parametrul l = 0,05 (eșecuri pe oră), adică are o funcție de densitate p(x) = Rezolvarea unei anumite probleme necesită funcționarea fără probleme a mașinii timp de 15 minute. Dacă apare o defecțiune în timpul soluționării problemei, atunci eroarea este detectată numai la sfârșitul soluției, iar problema este rezolvată din nou. Aflați: a) probabilitatea ca în timpul rezolvării problemei să nu se producă nicio defecțiune; b) timpul mediu pentru care se va rezolva problema. O tijă cu lungimea de 24 cm este ruptă în două părți; vom presupune că punctul de rupere este distribuit uniform pe toată lungimea tijei. Care este lungimea medie a majorității tijei? O bucată cu lungimea de 12 cm este tăiată aleatoriu în două părți. Punctul de tăiere este distribuit uniform pe toată lungimea segmentului. Care este lungimea medie a unei mici părți a segmentului? Variabila aleatoare este distribuită uniform pe intervalul . Aflați densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = . Să se arate că dacă x are o funcție de distribuție continuă F(x) = P(x Aflați funcția de densitate și funcția de distribuție a sumei a două mărimi independente x și h cu legi uniforme de distribuție pe intervalele și, respectiv. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare sunt independente și au o distribuție exponențială cu densitate
Sunt valabile următoarele relații limită:
Poza 1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Soluție: Funcția de distribuție poate fi scrisă analitic după cum urmează:
Figura-2
(8)
2. Integrala definită de la -∞ la +∞ a densității distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu 1: f(x)dx=1.
3. Integrala definită de la -∞ la x a densității distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu funcția de distribuție a acestei variabile: f(x)dx=F(x)
Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare aparținând intervalului (0,5; 1).
sau
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(matrice)$2. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete.
3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.
4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ la \ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru \ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$4. Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Să găsim integrala nedefinită:
.
.5. Distribuții tipice ale variabilelor aleatoare discrete
5.1. distribuția Bernoulli
,
Unde k=0,1.
5.2. Distribuție binomială
că evenimentul A
va apărea în n teste exact k ori, aproximativ egale (cu cât mai precis, cu atât mai mult n) valoarea funcției
,
Unde
,
.
,
sunt prezentate în Anexa 1 și
.
Funcţie
este densitatea distribuției normale standard (vezi distribuția normală).
.
Conform tabelului din Anexa 1, constatăm
.
Atunci probabilitatea dorită va fi:
,
Unde
și
.
,
și
.
numită funcție Laplace (vezi distribuția normală). Tabelele care conțin valorile funcției
,
sunt prezentate în Anexa 2 și
.
;
.
și
.
Atunci probabilitatea necesară este:5.3. Distribuția Poisson
,
Unde
și
(valoare constantă).
,
Unde
,
adică numărul mediu de apariţii ale evenimentelor rămâne constant.
,
unde variabilă aleatoare X- numarul de produse defecte.5.4. Distribuția geometrică
.
converge iar suma sa este egală cu unu. Într-adevăr, suma seriei este
.5.5. Distribuție hipergeometrică
Complex educațional și metodologic pentru disciplina „Atelier psihologic general”
Complex de instruire și metodologieComplex educațional și metodologic în disciplina fizică (nume)
Complex de instruire și metodologieOrientări pentru lucrul de laborator în disciplina informatică
Instrucțiuni
.
.
graficul este linia dreaptă y \u003d 0. Pe intervalul de la 0 la 2 - parabola dată de ecuație 
. Pe interval 
graficul este linia dreaptă y = 1.
.
, este determinată de egalitate 
.
.
.
.
.
în intervalul (10;12), în afara acestui interval valoarea funcției este 0. Aflați 1) valoarea parametrului A, 2) așteptarea matematică M(X), varianța 
, abatere standard, 3) funcție integrală 
și construiți grafice ale funcțiilor integrale și diferențiale.
. Primim . În acest fel, 
.
.
, adică .
.
. Prin urmare, 
la 
, = 0 pentru 
și = 1 la 
.
.
este cuprinsă în interval, atunci 
.
.
.
. Pentru astfel de cantitati A- valorea estimata, 
- deviație standard.
este determinat de formula 
, Unde 
este funcția Laplace.
. Această regulă este derivată din formulă 
, care este un caz particular al teoremei formulate.
.
.
și așteptarea matematică M(X), apoi pentru orice pozitiv 
inegalitatea
.
.
aplicăm inegalitatea Cebyshev, în care 
, apoi 
.
se numește caracteristica X Opțiuni. Dacă opțiunile sunt în ordine crescătoare, atunci serie de variații discrete. In cazul gruparii se obtine optiunea pe intervale serie de variații de interval. Sub frecventa t valorile caracteristicilor înțeleg numărul de membri ai populației cu o anumită variantă.
.
. Compilați o distribuție statistică a elevilor în funcție de vârstă, găsiți intervalul de variație, construiți un poligon de frecvență și compilați o serie de distribuții de frecvențe relative.
și conectați-le în serie.
.
. Abaterea standard se numește rădăcina pătrată a dispersiei, adică. .
.
, adică 
, Unde 
- număr de opțiuni, mai mic X, A P- marime de mostra.
.
. Coeficientul de variație este 
.
.
se numește interval, care cu o probabilitate de încredere dată 
acoperă parametrul estimat al populaţiei statistice. Având în vedere formula în care înlocuim cantitatea necunoscută R la valoarea sa aproximativă 
obținute din datele eșantionului, obținem: 
. Această formulă este utilizată pentru a estima probabilitatea prin frecvență relativă. Numerele 
și 
numită cea inferioară și respectiv cea superioară limitele de încredere, - eroare marginală pentru un anumit nivel de încredere 
.
. Conform tabelului 2 al anexei, găsim valoarea argumentului, pi în care valoarea funcției Laplace integrale este 0,475. Înțelegem asta 
. În acest fel, . Prin urmare, se poate spune cu o probabilitate de 0,95 că ponderea defectelor produse de atelier este mare și anume variază de la 6,2% la 6,6%.
, Unde P este dimensiunea eșantionului, 
- medie aritmetică eșantionului, t este argumentul funcţiei Laplace integrale, pentru care 
. În același timp, numărul 
se numește acuratețea estimării.
oferă estimări destul de satisfăcătoare. Apoi intervalul de încredere care acoperă așteptările matematice A a acestei caracteristici cu o probabilitate de încredere dată, se găsește din condiție 
, unde S este rădăcina pătrată medie corectată, 
- Coeficientul studentului, se află conform datelor 
din tabelul 3 din anexa.
se află în tabelul de valori q
conform .
din X. Ecuația 
reprezintă ecuația de regresie a lui Y pe X și 
- ecuația de regresie X pe Y.
, unde pantă A dreapta de regresie Y pe X se numește coeficientul de regresie al probei Y pe X și se notează 
.
sunt găsite prin metoda celor mai mici pătrate din sistemul de ecuații normale:
, Unde P este numărul de observații ale valorilor perechilor de mărimi interdependente.
arată strânsoarea relației dintre Y și X. Coeficientul de corelație se găsește prin formula 
, în plus 
, și anume:
.
ori, aceeași valoare la observat 
ori, aceeași pereche 
observat 
o singura data.
de unde C=3/8.
, și de asemenea, ca și în cazul discret, după formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
.
.
,
. În cazul valorilor arbitrare ale parametrilor https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funcția de distribuție a variabilelor aleatoare este legată de funcția Laplace folosind relația:
.
.
, a cărui derivată este egală Prin urmare,
.
pe un avion, adică pe un semiplan. Apoi probabilitatea
.
.
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma: 
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea 
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma: 
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea 
Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma: 
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x), varianța și probabilitatea Variabila aleatoare are funcție de distribuție 
Calculați densitatea unei variabile aleatoare, așteptarea matematică, varianța și probabilitatea Verificați dacă funcția = 
poate fi o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi: Mx și Dx. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Scrieți densitatea distribuției. Găsiți funcția de distribuție. Găsiți probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare pe segment și pe segment. Densitatea distribuției x este
.
.
. Aflați densitatea de distribuție a sumei lor. Aflați distribuția sumei variabilelor aleatoare independente x și h, unde x are o distribuție uniformă pe interval, iar h are o distribuție exponențială cu parametrul l. Găsiți R 
, dacă x are: a) distribuţie normală cu parametrii a şi s2 ; b) distribuţie exponenţială cu parametrul l; c) distribuţie uniformă pe intervalul [-1;1]. Distribuția comună a lui x, h este pătrat uniform
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Găsiți probabilitatea 
. Sunt x și h independente? O pereche de variabile aleatoare x și h este distribuită uniform în interiorul triunghiului K=. Calculați densitatea x și h. Sunt aceste variabile aleatoare independente? Găsiți probabilitatea. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și [-1,1]. Găsiți probabilitatea. O variabilă aleatoare bidimensională (x, h) este distribuită uniform într-un pătrat cu vârfuri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Aflați valoarea funcției de distribuție comună în punctul (1, -1). Vectorul aleator (x, h) este distribuit uniform în interiorul unui cerc cu raza 3 centrat la origine. Scrieți o expresie pentru densitatea distribuției comune. Determinați dacă aceste variabile aleatoare sunt dependente. Calculați probabilitatea. O pereche de variabile aleatoare x și h este distribuită uniform în interiorul unui trapez cu vârfuri în punctele (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). Găsiți densitatea distribuției comune pentru această pereche de variabile aleatoare și densitatea componentelor. Sunt x și h dependente? O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform în interiorul semicercului. Găsiți densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Densitatea comună a două variabile aleatoare x și h este 
.
Aflați densitățile x, h. Explorați problema dependenței lui x și h. O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform pe mulțime. Găsiți densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Găsiți M(xh). Variabilele aleatoare x și h sunt independente și sunt distribuite conform legii exponențiale cu parametrul Find
