Împărțiți crucea în cifre de 5 celule. Sarcini de tăiere.docx - sarcini de tăiere

1. Un pătrat conține 16 celule. Împărțiți pătratul în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să treacă de-a lungul laturilor celulelor. (Modalitățile de tăiere a unui pătrat în două părți vor fi considerate diferite dacă părțile pătratului obținute cu o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute cu altă metodă.) Câte soluții are problema?
2. Un dreptunghi de 3x4 conține 12 celule. Găsiți cinci moduri de a tăia un dreptunghi în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor (metodele de tăiere sunt considerate diferite dacă părțile obținute printr-o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute printr-o altă metodă).
3. Dreptunghiul 3X5 conține 15 celule, iar celula centrală a fost eliminată. Găsiți cinci moduri de a tăia figura rămasă în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul părților laterale ale celulelor.
4. Un pătrat de 6x6 este împărțit în 36 de pătrate identice. Găsiți cinci moduri de a tăia un pătrat în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor pătratelor. Notă: problema are peste 200 de soluții.
5. Împărțiți pătratul de 4x4 în patru părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor. Câte moduri diferite de tăiere puteți găsi?
6. Împărțiți figura (Fig. 5) în trei părți egale, astfel încât linia tăiată să se întindă de-a lungul laturilor pătratelor.

7. Împărțiți figura (Fig. 6) în patru părți egale, astfel încât linia tăiată să se întindă de-a lungul laturilor pătratelor.

8. Împărțiți figura (Fig. 7) în patru părți egale, astfel încât liniile tăiate să treacă de-a lungul laturilor pătratelor. Găsiți cât mai multe soluții.

9. Împărțiți pătratul de 5x5 cu pătratul central tăiat în patru părți egale.

10. Tăiați figurile prezentate în Fig. 8 în două părți egale de-a lungul liniilor grilei și fiecare parte ar trebui să aibă un cerc.

11. Figurile prezentate în Fig. 9 trebuie tăiate de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale, astfel încât să existe un cerc în fiecare parte. Cum să o facă?

12. Tăiați figura prezentată în Fig. 10 de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale și pliați-le într-un pătrat, astfel încât cercurile și stelele să fie simetrice în jurul tuturor axelor de simetrie ale pătratului.

13. Tăiați acest pătrat (Fig. 11) de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât toate părțile să aibă aceeași dimensiune și formă și să conțină fiecare un cerc și un asterisc.

14. Tăiați pătratul de hârtie în carouri de 6×6 prezentat în Figura 12 în patru părți egale, astfel încât fiecare dintre ele să conțină trei pătrate colorate.

10. O foaie pătrată de hârtie în carouri este împărțită în pătrate mai mici prin segmente care trec de-a lungul laturilor celulelor. Demonstrați că suma lungimilor acestor segmente este divizibilă cu 4. (Lungimea laturii celulei este 1).

Soluție: Fie Q o foaie pătrată de hârtie, L(Q) să fie suma lungimilor acelor laturi ale celulelor care se află în interiorul acesteia. Atunci L(Q) este divizibil cu 4, deoarece toate laturile considerate sunt împărțite în patru laturi, obținute una de cealaltă prin rotații de 90 0 și 180 0 față de centrul pătratului.

Dacă pătratul Q este împărțit în pătrate Q 1 , …, Q n , atunci suma lungimilor segmentelor de împărțire este egală cu

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Este clar că acest număr este divizibil cu 4, deoarece numerele L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) sunt divizibile cu 4.

4. Invariante

11. Dată o tablă de șah. Este permisă revopsirea într-o culoare diferită a tuturor celulelor oricărei orizontale sau verticale simultan. Poate rezulta o placă cu exact o celulă neagră?

Soluție: Revopsirea unei linii orizontale sau verticale care conține k celule negre și 8 k celule albe va avea ca rezultat 8 k celule negre și k albe. Prin urmare, numărul de celule negre se va schimba la (8-k)-k=8-2k, adică. pentru un număr par. Deoarece paritatea numărului de celule negre este păstrată, nu putem obține o celulă neagră din cele 32 de celule negre originale.

12. Dată o tablă de șah. Este permisă revopsirea într-o culoare diferită a tuturor celulelor situate în interiorul unui pătrat de 2 x 2. Poate rămâne pe tablă exact o celulă neagră?

Soluție: Recolorarea unui pătrat de 2 x 2 care conține k celule negre și 4 k celule albe va avea ca rezultat 4 k celule negre și k albe. Prin urmare, numărul de celule negre se va schimba în (4-k)-k=4-2k, adică. pentru un număr par. Deoarece paritatea numărului de celule negre este păstrată, nu putem obține o celulă neagră din cele 32 de celule negre originale.

13. Demonstrați că un poligon convex nu poate fi tăiat într-un număr finit de patrulatere neconvexe.

Rezolvare: Să presupunem că un poligon convex M este tăiat în patrulatere neconvexe M 1 ,…, M n . Fiecărui poligon N atribuim un număr f(N) egal cu diferența dintre suma unghiurilor sale interioare mai mică de 180 și suma unghiurilor care completează unghiurile sale la 360, mai mare de 180. Comparați numerele A=f(M) şi B=f(M1)+...+ f(Mn). Considerăm pentru aceasta toate punctele care sunt vârfurile patrulaterelor M 1 ..., M n . Ele pot fi împărțite în patru tipuri.

1. Vârfurile poligonului M. Aceste puncte contribuie în mod egal la A și B.

2. Puncte de pe laturile poligonului M sau M 1. Contribuția fiecărui astfel de punct la B pe

Cu 180 mai mult decât în ​​A.

3. Puncte interioare ale poligonului la care se întâlnesc colțurile patrulaterului,

mai puțin de 180. Contribuția fiecărui astfel de punct la B este cu 360 mai mare decât la A.

4. Puncte interioare ale poligonului M la care converg colțurile patrulaterelor, iar unul dintre ele este mai mare de 180. Astfel de puncte dau contribuții zero la A și B.

Ca rezultat, obținem A<В. С другой стороны, А>0 și B=0. Inegalitatea A > 0 este evidentă, iar pentru a demonstra egalitatea B=0 este suficient să verificăm că dacă N este un patrulater neconvex, atunci f(N)=0. Fie unghiurile N a>b>c>d. Orice patrulater neconvex are exact un unghi mai mare de 180, deci f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Se obține o contradicție, astfel încât un poligon convex nu poate fi tăiat într-un număr finit de patrulatere neconvexe.

14. Există un cip în centrul fiecărei celule a tablei de șah. Jetoanele au fost rearanjate astfel încât distanțele pe perechi dintre ele să nu scadă. Demonstrați că, în realitate, distanțele pe perechi nu s-au schimbat.

Soluție: Dacă cel puțin una dintre distanțele dintre cipuri ar crește, atunci ar crește și suma tuturor distanțelor perechi dintre cipuri, dar suma tuturor distanțelor perechi dintre cipuri nu se schimbă cu nicio permutare.

15. Câmpul pătrat este împărțit în 100 de secțiuni pătrate identice, dintre care 9 sunt acoperite de buruieni. Se știe că buruienile într-un an se extind la acele și numai acele parcele în care cel puțin două parcele adiacente (adică, având o latură comună) sunt deja acoperite cu buruieni. Demonstrați că câmpul nu va fi niciodată complet acoperit de buruieni.

Soluție: Este ușor de verificat dacă lungimea limitei întregii zone cu buruieni (sau mai multe zone) nu va crește. La momentul inițial, nu depășește 4*9=36, prin urmare, în momentul final, nu poate fi egal cu 40.

În consecință, câmpul nu va fi niciodată complet acoperit de buruieni.

16. Este dat un convex 2m-gon А 1 …А 2 m. Un punct P este luat în interiorul acestuia, care nu se află pe niciuna dintre diagonale. Demonstrați că punctul Р aparține unui număr par de triunghiuri cu vârfuri în punctele А 1 ,…, А 2 m .

Soluție: Diagonalele despart poligonul în mai multe părți. Vom suna vecine cei dintre ei care au o latură comună. Este clar că se poate ajunge din orice punct interior al poligonului în orice alt punct, trecând de fiecare dată doar din partea vecină la cea vecină. Partea planului care se află în afara poligonului poate fi, de asemenea, considerată una dintre aceste părți. Numărul de triunghiuri luate în considerare pentru punctele acestei părți este egal cu zero, deci este suficient să se demonstreze că la trecerea de la o parte vecină la o parte vecină se păstrează paritatea numărului de triunghiuri.

Lasă latura comună a două părți învecinate să se afle pe diagonala (sau laterala) PQ. Apoi tuturor triunghiurilor considerate, cu excepția triunghiurilor cu latura PQ, ambele părți fie aparțin, fie nu aparțin. Prin urmare, atunci când treceți de la o parte la alta, numărul de triunghiuri se modifică cu k 1 -k 2 , unde k 1 este numărul de vârfuri de poligoane situate pe o parte a lui PQ. Deoarece k 1 +k 2 =2m-2, atunci numărul k 1 -k 2 este par.

4. Colorare auxiliară în model de șah

17. Există un gândac în fiecare pătrat al tablei 5 x 5. La un moment dat, toți gândacii se târăsc pe celulele adiacente (orizontal sau vertical). Acest lucru lasă neapărat o celulă goală?

Soluție: Deoarece numărul total de celule de pe o tablă de șah 5 x 5 este impar, nu poate exista un număr egal de celule albe și negre. Să existe mai multe celule negre pentru certitudine. Apoi sunt mai puțini gândaci care stau pe celule albe decât celule negre. Prin urmare, cel puțin una dintre celulele negre rămâne goală, deoarece numai gândacii care stau pe celulele albe se târăsc pe celulele negre.

19. Demonstrați că o tablă de 10 x 10 pătrate nu poate fi tăiată în figuri în formă de T formate din patru pătrate.

Soluție: Să presupunem că tabla de 10 x 10 pătrate este împărțită în astfel de cifre. Fiecare figură conține fie 1, fie 3 celule negre, adică. întotdeauna un număr impar. Cifrele în sine ar trebui să fie 100/4 = 25 de bucăți. Prin urmare, ele conțin un număr impar de celule negre și există 100/2=50 de celule negre în total. S-a obţinut o contradicţie.

5. Probleme legate de colorare

20. Avionul este vopsit în două culori. Demonstrați că există două puncte de aceeași culoare, distanța dintre care este exact 1.

Soluție: Luați în considerare un triunghi regulat cu latura 1.

transcriere

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscova, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Probleme de tăiere. M.: MTsNMO, p.: ill. Seria: „Secretele predării matematicii”. Această carte este prima carte din seria Secretele predării matematicii, menită să prezinte și să rezume experiența acumulată în domeniul educației matematicii. Această colecție este una dintre părțile cursului „Dezvoltarea logicii în clasele 5-7”. La toate problemele prezentate în carte se dau soluții sau instrucțiuni. Cartea este recomandată pentru lucrări extracurriculare la matematică. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.

3 Introducere În prezent, viziunea tradițională asupra compoziției materiilor studiate de școlari este în curs de revizuire și perfecționare. În programa școlară sunt introduse diverse discipline noi. Unul dintre aceste subiecte este logica. Studiul logicii contribuie la înțelegerea frumuseții și eleganței raționamentului, a capacității de a raționa, la dezvoltarea creativă a individului, la educația estetică a unei persoane. Fiecare persoană cultivată ar trebui să fie familiarizată cu probleme logice, puzzle-uri, jocuri care sunt cunoscute de câteva secole sau chiar milenii în multe țări ale lumii. Dezvoltarea ingeniozității, a ingeniozității și a independenței de gândire este necesară oricărei persoane dacă dorește să reușească și să obțină armonie în viață. Experiența noastră arată că studiul sistematic al logicii formale sau al fragmentelor de logică matematică ar trebui amânat la clasele superioare ale gimnaziului. În același timp, este necesar să se dezvolte gândirea logică cât mai devreme. De altfel, la studierea disciplinelor școlare, raționamentul și demonstrația apar abia în clasa a VII-a (când începe cursul de geometrie sistematică). Pentru mulți studenți, tranziția bruscă (nu a existat nici un raționament a devenit o mulțime de raționament) este insuportabil de dificilă. În cursul dezvoltării logicii pentru clasele 5-7, este foarte posibil să-i învățați pe școlari să raționeze, să demonstreze și să găsească modele. De exemplu, atunci când rezolvăm puzzle-uri matematice, trebuie nu doar să ghicești (preluați) mai multe răspunsuri, ci și să demonstrăm că s-a obținut o listă completă de răspunsuri posibile. E destul de bine pentru un elev de clasa a 5-a. Dar în procesul de predare a logicii în clasele 5-7 ale gimnaziului, profesorii se confruntă cu anumite dificultăți: lipsa manualelor, a materialelor didactice, a manualelor și a materialelor vizuale. Toate acestea trebuie compilate, scrise și desenate chiar de profesor. Unul dintre scopurile acestei colecții este de a facilita pregătirea și conducerea cursurilor profesorului. Vom oferi câteva recomandări pentru desfășurarea lecțiilor înainte de a lucra cu colecția.

4 4 Introducere Este de dorit să începem predarea logicii elevilor din clasa a cincea, și poate chiar mai devreme. Logica ar trebui predată într-un stil relaxat, aproape improvizațional. Această aparentă ușurință necesită de fapt multă pregătire serioasă din partea profesorului. Este inacceptabil, de exemplu, să corectezi o problemă interesantă și distractivă dintr-un caiet scris de mână, așa cum fac uneori profesorii. Vă recomandăm să conduceți cursurile într-o formă nestandard. Este necesar să se folosească cât mai mult material vizual în lecții: diverse cartonașe, imagini, seturi de figuri, ilustrații pentru rezolvarea problemelor, diagrame. Nu ar trebui să vă ocupați de studenți mai tineri pe aceeași temă pentru o lungă perioadă de timp. Atunci când analizați un subiect, ar trebui să încercați să evidențiați principalele repere logice și să obțineți o înțelegere (și nu memorare) a acestor puncte. Este necesar să reveniți constant la materialul acoperit. Acest lucru se poate face la muncă independentă, competiții pe echipe (în timpul lecțiilor), teste la sfârșitul trimestrului, olimpiade orale și scrise, matboys (în afara orelor de școală). De asemenea, este necesar să folosiți sarcini distractive și comice în clasă, uneori este util să schimbați direcția activității. Această colecție este una dintre părțile cursului „Dezvoltarea logicii în clasele 5-7” „Probleme pentru tăiere”. Această parte a fost testată la lecțiile de logică din clasele 5-7 ale școlii liceale 74 din Omsk. Mulți oameni de știință au fost pasionați de problemele de tăiere din cele mai vechi timpuri. Soluțiile la multe probleme simple de tăiere au fost găsite de grecii antici și chinezi, dar primul tratat sistematic pe această temă a fost scris de Abul-Vef, celebrul astronom persan din secolul al X-lea, care a locuit la Bagdad. Geometrii s-au angajat serios în rezolvarea problemelor de tăiere a figurilor în cel mai mic număr de părți și apoi de a compune una sau alta figură nouă din ele abia la începutul secolului al XX-lea. Unul dintre fondatorii acestei ramuri fascinante a geometriei a fost faimosul compilator de puzzle Henry

5 Introducere 5 E. Dudeni. Un număr deosebit de mare de cifre preexistente care au înregistrat recorduri au fost doborâte de un expert de la Oficiul Australian de Brevete, Harry Lindgren. El este un taietor de figuri de frunte. Astăzi, iubitorii de puzzle-uri sunt pasionați de rezolvarea problemelor de tăiere, în primul rând pentru că nu există o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme și oricine își asumă soluția își poate demonstra pe deplin ingeniozitatea, intuiția și capacitatea de a gândi creativ. Deoarece aici nu sunt necesare cunoștințe profunde de geometrie, amatorii pot uneori chiar să depășească matematicienii profesioniști. În același timp, problemele de feliere nu sunt frivole sau inutile, nu sunt departe de probleme matematice serioase. Din problemele de tăiere s-a născut teorema Boyai-Gervin conform căreia oricare două poligoane de dimensiuni egale sunt compuse în mod egal (reversul este evident), iar apoi a treia problemă a lui Hilbert: este adevărată o afirmație similară pentru poliedre? Sarcinile de tăiere îi ajută pe școlari să formeze reprezentări geometrice cât mai devreme posibil pe o varietate de materiale. Când rezolvați astfel de probleme, există un sentiment de frumusețe, lege și ordine în natură. Colecția „Probleme pentru tăiere” este împărțită în două secțiuni. La rezolvarea problemelor din prima secțiune, elevii nu vor avea nevoie de cunoștințe de bază ale planimetriei, dar vor avea nevoie de ingeniozitate, imaginație geometrică și informații geometrice destul de simple, cunoscute de toată lumea. A doua secțiune este sarcini opționale. Acestea au inclus sarcini, a căror rezolvare va necesita cunoașterea informațiilor geometrice de bază despre figuri, proprietățile și caracteristicile acestora, cunoașterea unor teoreme. Fiecare secțiune este împărțită în paragrafe, în care am încercat să combinăm sarcinile pe o singură temă, iar acestea, la rândul lor, sunt împărțite în lecții care conțin fiecare sarcini omogene în ordinea dificultății crescânde. Prima secțiune conține opt paragrafe. 1. Sarcini pe hârtie în carouri. Această secțiune conține probleme în care tăierea figurilor (în principal pătrate și dreptunghiuri) merge de-a lungul laturilor celulelor. Paragraful conține 4 lecții, le recomandăm pentru învățare de către elevii clasei a V-a.

6 6 Introducere 2. Pentomino. Acest paragraf conține sarcini legate de figurile pentomino, așa că pentru aceste lecții este recomandabil să distribuiți copiilor seturi din aceste figuri. Aici sunt două lecții, le recomandăm pentru învățarea elevilor din clasele a 5-a-6-a. 3. Sarcini dificile de tăiere. Aici sunt colectate sarcini pentru tăierea formelor de o formă mai complexă, de exemplu, cu margini care sunt arce și sarcini mai complexe pentru tăiere. În acest paragraf sunt două lecții, recomandăm ca acestea să fie predate în clasa a VII-a. 4. Împărțirea avionului. Aici sunt adunate probleme în care trebuie să găsiți pereți despărțitori solidi de dreptunghiuri în plăci dreptunghiulare, probleme pentru alcătuirea parchetelor, probleme pentru cea mai densă ambalare a formelor într-un dreptunghi sau pătrat. Vă recomandăm să studiați acest paragraf în clasele 6-7. 5. Tangram. Aici sunt colectate sarcini legate de puzzle-ul antic chinezesc „Tangram”. Pentru această lecție, este de dorit să aveți acest puzzle, cel puțin din carton. Această secțiune este recomandată pentru a studia în clasa a V-a. 6. Probleme pentru tăierea în spațiu. Aici, elevii sunt introduși în dezvoltarea unui cub, a unei piramide triunghiulare, se trasează paralele și se arată diferențele dintre figurile de pe un plan și corpurile tridimensionale, ceea ce înseamnă diferențe în rezolvarea problemelor. Paragraful conține o lecție, pe care o recomandăm pentru studiul elevilor din clasa a VI-a. 7. Sarcini pentru colorare. Arată cum colorarea unei forme ajută la rezolvarea unei probleme. Nu este greu de dovedit că soluția problemei tăierii unei figuri în părți este posibilă, este suficient să oferiți o modalitate de tăiere. Dar a demonstra că tăierea este imposibilă este mai dificil. Colorarea figurii ne ajută să facem acest lucru. Există trei lecții în acest paragraf. Le recomandăm pentru studiul elevilor din clasa a VII-a. 8. Sarcini cu colorare în stare. Aici sunt colectate sarcini în care trebuie să colorați o figură într-un anumit mod, răspundeți la întrebarea: de câte culori sunt necesare pentru o astfel de colorare (cel mai mic sau cel mai mare număr), etc. Există șapte lecții în paragraf. Le recomandăm pentru studiul elevilor din clasa a VII-a. A doua secțiune include sarcini care pot fi rezolvate în clase suplimentare. Conține trei paragrafe.

7 Introducere 7 9. Transformarea figurilor. Conține sarcini în care o figură este tăiată în părți din care este compusă o altă figură. Există trei lecții în acest paragraf, prima se referă la „transformarea” diferitelor figuri (aici sunt adunate sarcini destul de ușoare), iar a doua lecție tratează geometria transformării unui pătrat. 10. Sarcini diferite pentru tăiere. Aceasta include diverse sarcini de tăiere care sunt rezolvate prin diferite metode. Există trei lecții în această secțiune. 11. Zona figurilor. Există două lecții în această secțiune. În prima lecție sunt luate în considerare probleme, în soluția cărora este necesar să se taie figurile în părți, iar apoi să se demonstreze că figurile sunt compuse în mod egal, în a doua lecție, probleme în soluția cărora este necesar să se folosească proprietăţile ariilor figurilor.

8 Secțiunea 1 1. Sarcini pe hârtie în carouri Lecția 1.1 Subiect: Sarcini pentru tăierea pe hârtie în carouri. Scop: Dezvoltarea abilităților combinatorii (de a lua în considerare diverse modalități de construire a unei linii tăiate de figuri, regulile care permit să nu se piardă soluții la construirea acestei linii), să dezvolte idei despre simetrie. Rezolvăm probleme la lecție, problema 1.5 pentru casă Pătratul conține 16 celule. Împărțiți pătratul în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să treacă de-a lungul laturilor celulelor. (Modalitățile de tăiere a unui pătrat în două părți vor fi considerate diferite dacă părțile pătratului obținute cu o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute cu altă metodă.) Câte soluții are problema? Instruire. Găsirea mai multor soluții la această problemă nu este atât de dificilă. Pe fig. 1, unele dintre ele sunt prezentate, iar soluțiile b) și c) sunt aceleași, deoarece cifrele obținute în ele pot fi combinate prin suprapunere (dacă rotiți pătratul c) cu 90 de grade). Orez. 1 Dar găsirea tuturor soluțiilor și a nu pierde nicio soluție este deja mai dificilă. Rețineți că linia întreruptă care împarte pătratul în două părți egale este simetrică față de centrul pătratului.Această observație ne permite să pășim

9 Lecție cu pas pentru a desena o polilinie de la două capete. De exemplu, dacă începutul poliliniei este în punctul A, atunci sfârșitul acesteia va fi în punctul B (Fig. 2). Asigurați-vă că pentru această problemă, începutul și sfârșitul poliliniei pot fi desenate în două moduri, prezentate în Fig. 2. Când construiți o linie întreruptă, pentru a nu pierde nicio soluție, puteți respecta această regulă. Dacă următoarea legătură a poliliniei poate fi desenată în două moduri, atunci mai întâi trebuie să pregătiți un al doilea desen similar și să efectuați acest pas pe un desen în primul mod și pe celălalt în al doilea mod (Fig. 3 arată două continuarea Fig. 2 (a)). În mod similar, trebuie să acționați atunci când nu există două, ci trei metode (Fig. 4 arată trei continuare din Fig. 2 (b)). Procedura specificată ajută la găsirea tuturor soluțiilor. Orez. 2 Fig. 3 Dreptunghiul de orez 3 4 conține 12 celule. Găsiți cinci moduri de a tăia un dreptunghi în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor (metodele de tăiere sunt considerate diferite dacă părțile obținute cu o metodă de tăiere nu sunt egale cu părțile obținute cu o altă metodă) Dreptunghi 3 5 conține 15 celule și o celulă centrală eliminată. Găsiți cinci moduri de a tăia figura rămasă

10 10 1. Sarcinile pe hârtie în carouri sunt împărțite în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor.Pătratul 6 6 este împărțit în 36 de pătrate identice. Găsiți cinci moduri de a tăia un pătrat în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor pătratelor. Problema 1.4 are peste 200 de soluții. Găsiți cel puțin 15 dintre ele. Lecția 1.2 Subiect: Probleme la tăierea pe hârtie în carouri. Scop: Continuarea dezvoltării ideilor despre simetrie, pregătirea pentru tema „Pentamino” (luând în considerare diverse figuri care pot fi construite din cinci celule). Probleme Un pătrat de 5 5 celule poate fi tăiat în două părți egale, astfel încât linia de tăiere să meargă de-a lungul laturilor celulelor? Justificați-vă răspunsul Împărțiți pătratul 4 4 ​​în patru părți egale, astfel încât linia de tăiere să se întindă de-a lungul laturilor celulelor. Câte moduri diferite de tăiere puteți găsi? 1.8. Împărțiți figura (Fig. 5) în trei părți egale, astfel încât linia tăiată să se întindă de-a lungul laturilor pătratelor. Orez. 5 Fig. Fig. 6 Împărțiți figura (Fig. 6) în patru părți egale, astfel încât linia tăiată să meargă de-a lungul laturilor pătratelor Împărțiți figura (Fig. 7) în patru părți egale, astfel încât liniile tăiate să treacă de-a lungul părților laterale ale pătratelor. pătrate. Găsiți cât mai multe soluții.

11 Lecția Împărțiți un pătrat de 5 5 celule cu o celulă centrală decupată în patru părți egale. Lecția 1.3 Subiect: Probleme de tăiere pe hârtie în carouri. Scop: Continuarea dezvoltării ideilor despre simetrie (axială, centrală). Sarcini Tăiați formele prezentate în fig. 8, în două părți egale de-a lungul liniilor grilei, iar în fiecare dintre părți ar trebui să existe un cerc. Orez. 8 Figura Cifrele prezentate în fig. 9, este necesar să tăiați de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale, astfel încât să existe un cerc în fiecare parte. Cum să o facă? Tăiați figura prezentată în fig. 10, de-a lungul liniilor grilei în patru părți egale și pliați-le într-un pătrat, astfel încât cercurile și stelele să fie dispuse simetric în jurul tuturor axelor de simetrie ale pătratului. Orez. zece

12 12 1. Sarcini pe hârtie în carouri Tăiați acest pătrat (Fig. 11) de-a lungul părților laterale ale celulelor, astfel încât toate părțile să aibă aceeași dimensiune și formă și fiecare să conțină un cerc și un asterisc. 12 în patru părți identice, astfel încât fiecare dintre ele să conțină trei celule umplute. Lecția 1.4 11 Fig. 12 Subiect: Probleme la tăierea pe hârtie în carouri. Scop: Învață să tai un dreptunghi în două părți egale, din care poți adăuga un pătrat, un alt dreptunghi. Învață să stabilești din ce dreptunghiuri, tăindu-le, poți face un pătrat. Sarcini Sarcini suplimentare 1.23, 1.24 (aceste sarcini pot fi luate în considerare la începutul lecției pentru încălzire) Tăiați dreptunghiul de 4 9 celule de-a lungul laturilor celulelor în două părți egale, astfel încât acestea să poată fi apoi pliate într-un pătrat. un dreptunghi 4 8 ​​celule să fie tăiat în două părți de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât acestea să poată forma un pătrat? Dintr-un dreptunghi de 107 celule, a fost tăiat un dreptunghi de 16 celule, așa cum se arată în Fig. 13. Tăiați figura rezultată în două părți, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat.Figurele umplute au fost tăiate dintr-un dreptunghi de 8 9 celule, așa cum se arată în fig. 14. Tăiați figura rezultată în două părți egale, astfel încât să puteți adăuga un dreptunghi de 6 10 din ele.

13 Lecția Fig. 13 Orez Un pătrat de 5 5 celule este desenat pe hârtie în carouri. Arătați cum să-l tăiați de-a lungul laturilor celulelor în 7 dreptunghiuri diferite Tăiați pătratul în 5 dreptunghiuri de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât toate cele zece numere care exprimă lungimile laturilor dreptunghiurilor să fie numere întregi diferite Împărțiți cifrele prezentate în fig. . 15, în două părți egale. (Puteți tăia nu numai de-a lungul liniilor celulare, ci și de-a lungul diagonalelor acestora.) Fig. cincisprezece

14 14 2. Pentomino Decupați figurile prezentate în fig. 16, în patru părți egale. 2. Pentomino Fig. 16 Lecția 2.1 Subiect: Pentomino. Scop: Dezvoltarea abilităților combinatorii ale elevilor. Sarcini Figuri de domino, tromino, tetramino (un joc cu astfel de figuri se numește Tetris), pentominoe sunt alcătuite din două, trei, patru, cinci pătrate astfel încât orice pătrat are o latură comună cu cel puțin un pătrat. Din două pătrate identice se poate realiza o singură figură de domino (vezi Fig. 17). Figurile trimino pot fi obținute dintr-o singură figură domino prin atașarea unui alt pătrat în diferite moduri. Veți obține două figurine de tromino (Fig. 18). Orez. 17 Orez Faceți tot felul de figuri tetramino (de la cuvântul grecesc „tetra” patru). Câți au primit? (Formele obținute prin rotație sau afișare simetrică de la oricare altele nu sunt considerate noi).

15 Lecția Faceți toate figurile posibile de pentomino (din grecescul „penta” cinci). Câți au primit? 2.3. Compuneți figurile prezentate în fig. 19, din figurine pentomino. Câte soluții are problema pentru fiecare figură? Figura Îndoiți un dreptunghi de 3 5 bucăți de pentomino. Câte soluții diferite vei primi? 2.5. Compuneți figurile prezentate în fig. 20, din figurine pentomino. Orez. douăzeci

16 16 2. Pentomino Lecția 2.2 Subiect: Pentomino. Scop: Dezvoltarea ideilor despre simetrie. Probleme În problema 2.2 am alcătuit toate piesele pentomino posibile. Priviți-le în fig. 21. Fig. 21 Figura 1 are următoarea proprietate. Dacă este tăiat din hârtie și îndoit de-a lungul unei linii drepte a (Fig. 22), atunci o parte a figurii va coincide cu cealaltă. Se spune că figura este simetrică față de axa dreaptă a de simetrie. Figura 12 are și o axă de simetrie, chiar și două dintre ele sunt drepte b și c, în timp ce figura 2 nu are axe de simetrie. Figura Câte axe de simetrie are fiecare figură pentomino? 2.7. Din toate cele 12 figurine pentomino, îndoiți un dreptunghi. Piesele nesimetrice pot fi răsturnate. Îndoiți un dreptunghi 6 10 de douăsprezece figuri pentomino și astfel încât fiecare element să atingă o latură a acestui dreptunghi.

Lecția 17 Tăiați dreptunghiul prezentat în fig. 23 (a), de-a lungul liniilor interne în două astfel de părți, din care este posibil să pliați o figură cu trei găuri pătrate de dimensiunea unei celule (Fig. 23 (b)). Fig. Din figurile pentomino, îndoiți un pătrat 8 8 cu un pătrat 2 2 decupat în mijloc Găsiți mai multe soluții Douăsprezece pentominouri sunt așezate într-un dreptunghi Restabiliți limitele figurilor (Fig. 24) dacă fiecare stea cade exact în un pentomino. Orez. 24 Figura Douăsprezece bucăți de pentomino sunt stivuite într-o cutie de 12 10 așa cum se arată în fig. 25. Încercați să plasați un alt set de pentominoe pe câmpul liber rămas.

18 18 3. Probleme de tăiere dificile 3. Probleme de tăiere dificile Lecția 3.1 Subiect: Probleme pentru tăierea formelor de formă mai complexă cu limite care sunt arce. Scop: Să înveți cum să decupezi forme de o formă mai complexă cu chenaruri care sunt arce și să faci un pătrat din părțile rezultate. Sarcini În fig. 26 arată 4 cifre. Cu o tăietură, împărțiți fiecare dintre ele în două părți și faceți din ele un pătrat. Hârtia în carouri vă va facilita rezolvarea problemei. Orez Tăiind pătratul 6 6 în părți, adăugați cifrele prezentate în fig. 27. Fig. 27

19 Lecția 28 prezintă o parte din zidul cetăţii. Una dintre pietre are o formă atât de bizară, încât dacă o scoți din perete și o pui altfel, peretele va deveni uniform. Desenați această piatră.La ce se va folosi mai multă vopsea: pictarea unui pătrat sau a acestui inel neobișnuit (Fig. 29)? Orez. 28 Orez Tăiați vaza prezentată în fig. 30, în trei părți, din care se poate plia un romb. Orez. 30 Fig. 31 Fig. 32 Lecția 3.2 Subiect: Probleme de tăiere mai complexe. Obiectiv: Să exerseze rezolvarea unor probleme de tăiere mai complexe. Rezolvăm probleme în lecție, problema 3.12 pentru acasă Tăiați figura (Fig. 31) cu două tăieturi drepte în astfel de părți din care puteți adăuga un pătrat 32 figura în patru părți egale, din care ar fi posibil să se adauge un pătrat Tăiați litera E, prezentată în fig. 33, în cinci părți și pliați-le într-un pătrat. Nu întoarceți piesele cu susul în jos

20 20 4. Împărțirea planului este permisă. Este posibil să te descurci cu patru părți, dacă permiți piesele să fie întoarse cu susul în jos? 3.9. Crucea, formată din cinci pătrate, trebuie tăiată în astfel de părți, din care ar fi posibil să se facă o cruce de dimensiuni egale (adică egală ca suprafață) pătrat.Se dau două table de șah: una obișnuită, în 64 de celule și altul în 36 de celule. Se cere tăierea fiecăreia dintre ele în două părți astfel încât din toate cele patru părți obținute să se facă o nouă tablă de șah de celule.Ebanistul are o bucată de tablă de șah de 7 7 celule din mahon prețios. El vrea fără să irosească material și să treacă Fig. 33 de tăieturi numai de-a lungul marginilor celulelor, tăiați placa în 6 părți, astfel încât să facă trei pătrate noi, toate de dimensiuni diferite. Cum să o facă? Este posibil să se rezolve problema 3.11 dacă numărul de piese trebuie să fie 5 și lungimea totală a tăierilor este de 17? 4. Împărțirea unui plan Lecția 4.1 Tema: Partiții solide ale dreptunghiurilor. Scop: Să înveți cum să construiești partiții solide de dreptunghiuri cu plăci dreptunghiulare. Răspundeți la întrebarea în ce condiții dreptunghiul admite o astfel de împărțire a planului. Sarcinile (a) sunt rezolvate în lecție. Sarcinile 4.5 (b), 4.6, 4.7 pot fi lăsate acasă. Să presupunem că avem o cantitate nelimitată de 2 1 plăci dreptunghiulare și dorim să le folosim pentru a așeza o podea dreptunghiulară, iar două plăci nu ar trebui să se suprapună Așezați plăci 2 1 pe podea într-o cameră 5 6. Este clar că dacă podeaua într-o cameră dreptunghiulară p q este gresie 2 1, atunci p q este pară (deoarece aria este divizibilă cu 2). Și invers: dacă p q este uniform, atunci podeaua poate fi așezată cu gresie 2 1.

21 Lecția Într-adevăr, în acest caz, unul dintre numerele p sau q trebuie să fie par. Dacă, de exemplu, p = 2r, atunci podeaua poate fi așezată așa cum se arată în Fig. 34. Dar în astfel de parchete există linii de rupere care traversează întreaga „camera” de la perete la perete, dar nu traversează plăcile. Dar, în practică, se folosesc parchete fără astfel de linii - parchete solide. Fig Aranjați gresie 2 1 parchet solid al camerei Încercați să găsiți o gresie continuă 2 1 a) dreptunghi 4 6; b) pătrate Lay gresie 2 1 parchet masiv a) încăperi 5 8; b) încăperi 6 8. În mod firesc, se pune întrebarea pentru care p şi q dreptunghiul p q admite o despărţire continuă în plăci 2 1? Cunoaștem deja condițiile necesare: 1) p q este divizibil cu 2, 2) (p, q) (6, 6) și (p, q) (4, 6). Mai poate fi verificată o condiție: 3) p 5, q 5. Se dovedește că și aceste trei condiții se dovedesc a fi suficiente. Placi de alte dimensiuni Așezați plăci 3 2 fără goluri a) dreptunghi 11 18; b) dreptunghi Întindeți fără goluri, dacă este posibil, un pătrat cu plăci.Este posibil, luând un pătrat de hârtie în carouri de 5 5 celule, să decupați 1 celulă din el, astfel încât restul să poată fi tăiat în plăci de 1 3 celule? Lecția 4.2 Subiect: Parchete.

22 22 4. Împărțirea planului Scop: Să înveți cum să acoperim avionul cu diverse figuri (mai mult, parchetele pot fi cu linii de rupere sau pline), sau să dovedești că acest lucru este imposibil. Probleme Una dintre cele mai importante întrebări în teoria împărțirii unui plan este: „Ce formă ar trebui să aibă o țiglă, astfel încât copiile sale să poată acoperi planul fără goluri și acoperiri duble?” Imediat îmi vin în minte destul de multe forme evidente. Se poate dovedi că există doar trei poligoane regulate care pot acoperi planul. Acesta este un triunghi echilateral, pătrat și hexagon (vezi Fig. 35). Există un număr infinit de poligoane neregulate care pot acoperi planul. Fig Împărțiți un triunghi obtuz arbitrar în patru triunghiuri egale și similare. În problema 4.8 împărțim triunghiul în patru triunghiuri egale și similare. Fiecare dintre cele patru triunghiuri rezultate poate fi împărțit la rândul său în patru triunghiuri egale și similare etc. Dacă ne mișcăm în direcția opusă, adică adăugăm patru triunghiuri obtuze egale, astfel încât să obținem un triunghi asemănător lor, dar de patru ori mai mare. , etc., atunci astfel de triunghiuri pot placa planul. Planul poate fi acoperit cu alte figuri, de exemplu, trapeze, paralelograme Acoperiți planul cu aceleași figuri prezentate în fig. 36.

23 Lecția Plasează planul cu aceleași „consolare” prezentate în fig. 37. Fig. 36 Orez Există patru pătrate cu latura de 1, opt cu latura de 2, douăsprezece cu latura de 3. Puteți face un pătrat mare din ele? Este posibil să pliați un pătrat de orice dimensiune din plăcile de lemn indicate în fig. 38 de tipuri, folosind plăci de ambele tipuri? Lecția 4.3 Subiect: Probleme ale celei mai dense ambalaje. Orez. 38 Scop: Formarea conceptului de soluție optimă. Sarcini Care este cel mai mare număr de benzi de dimensiunea 1 5 celule care pot fi tăiate dintr-un pătrat de hârtie în carouri 8 8 celule? Stăpânul are o foaie de tablă pătrată. dm. Maestrul vrea să decupeze cât mai multe semifabricate dreptunghiulare de 3 5 metri pătrați din el. dm. Ajutați-l.Este posibil să tăiați dreptunghiul celulei în dreptunghiuri de dimensiunea 5 7 fără reziduuri? Dacă se poate, cum? Dacă nu, de ce nu? Pe o foaie de hârtie în carouri, marcați tăieturile cu dimensiunea celulelor, cu ajutorul cărora puteți obține cât mai multe figuri întregi cât se arată în Fig. 39. Figurile prezentate în fig. 39 (b, d), poate fi răsturnat.

24 24 5. Tangram Rice Tangram Lecția 5.1 Subiect: Tangram. Scop: Introducerea elevilor în puzzle-ul chinezesc „Tangram”. Practicați cercetarea geometrică, designul. Dezvoltați abilitățile combinatorii. Probleme Apropo de problemele de tăiere, nu putem să nu menționăm puzzle-ul antic chinezesc „Tangram”, care a apărut în China acum 4 mii de ani. În China, se numește „chi tao tu”, adică un puzzle mental din șapte piese. Instrucțiuni. Pentru a desfășura această lecție, este de dorit să aveți fișe: un puzzle (pe care elevii înșiși îl pot realiza), desene cu figuri care trebuie să fie pliate. Figura Realizați singur un puzzle: transferați un pătrat împărțit în șapte părți (Fig. 40) pe hârtie groasă și tăiați-l Folosind toate cele șapte părți ale puzzle-ului, realizați figurile prezentate în fig. 41.

25 Lecția Fig. 41 Fig. 42 Ghid. Copiilor li se pot oferi desene cu figurile a), b) la dimensiunea maximă. Și astfel elevul poate rezolva problema punând părți ale puzzle-urilor pe desenul figurii și selectând astfel părțile potrivite, ceea ce simplifică sarcina. Și desene de figuri

26 26 6. Probleme la tăierea în spaţiu c), d) pot fi date la o scară mai mică; în consecință, aceste sarcini vor fi mai greu de rezolvat. Pe fig. Sunt oferite încă 42 de figuri pentru autocompilare. Încercați să creați propria dvs. figură folosind toate cele șapte părți ale tangramului În tangram, printre cele șapte părți ale sale, există deja triunghiuri de diferite dimensiuni. Dar din părțile sale puteți adăuga în continuare diferite triunghiuri. Îndoiți un triunghi folosind patru părți dintr-un tangram: a) un triunghi mare, două triunghiuri mici și un pătrat; b) un triunghi mare, două triunghiuri mici și un paralelogram; c) un triunghi mare, un triunghi mijlociu și două triunghiuri mici Puteți face un triunghi folosind doar două părți dintr-un tangram? Trei părți? Cinci părți? Șase părți? Toate cele șapte părți ale tangramului? 5.6. Este evident că un pătrat este făcut din toate cele șapte părți ale tangramului. Este posibil sau imposibil să faci un pătrat din două părți? Din trei? Din patru? 5.7. Ce părți diferite ale unui tangram pot fi folosite pentru a face un dreptunghi? Ce alte poligoane convexe pot fi făcute? 6. Probleme pentru tăierea în spațiu Lecția 6.1 Tema: Probleme pentru tăierea în spațiu. Scop: Dezvoltarea imaginației spațiale. Învățați să construiți o matură a unei piramide triunghiulare, a unui cub, determinați care maturi sunt incorecte. Exersați rezolvarea problemelor pentru tăierea corpurilor în spațiu (soluția unor astfel de probleme diferă de rezolvarea problemelor pentru tăierea formelor pe un plan). Sarcini Pinocchio avea hârtie, pe o parte lipită cu polietilenă. El a realizat piesa prezentată în Fig. 43 pentru a lipi pungi de lapte (piramide triunghiulare) din ea. Și vulpea Alice poate face un alt gol. Ce?

27 Lecția Rice Cat Basilio a primit și această hârtie, dar vrea să lipească cuburi (pungi de chefir). El a realizat semifabricatele prezentate în Fig. 44. Și vulpea Alice spune că unele pot fi aruncate imediat, pentru că nu sunt bune. Are dreptate? Piramida lui Keops are un pătrat la bază, iar fețele sale laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Pinocchio s-a urcat și a măsurat unghiul marginii din vârf (AMD, în Fig. 45). A ieșit 100. Și vulpea Alice spune că s-a supraîncălzit la soare, pentru că asta nu poate fi. Are dreptate? 6.4. Care este numărul minim de tăieturi plate necesare pentru a împărți un cub în 64 de cuburi mici? Dupa fiecare taiere se permite deplasarea partilor cubului dupa bunul plac.Cubul de lemn a fost vopsit la exterior cu vopsea alba, apoi fiecare din marginile acestuia Fig. 45 a fost împărțit în 5 părți egale, după care a fost tăiat astfel încât s-au obținut cuburi mici, în care muchia este de 5 ori mai mică decât cea a cubului original. Câte cuburi mici sunt? Câte cuburi au trei laturi pictate? Două margini? O margine? Câte cuburi nevopsite au mai rămas? 6.6. Pepenele verde a fost tăiat în 4 bucăți și mâncat. Au rezultat 5 cruste. Ar putea fi asta?

28 28 7. Sarcini pentru colorare 6.7. Care este numărul maxim de bucăți în care poate fi tăiată o clătită cu trei tăieturi drepte? Câte bucăți se pot obține cu trei bucăți de pâine? 7. Sarcini pentru colorat Lecția 7.1 Subiect: Colorarea ajută la rezolvarea problemelor. Scop: Să înveți cum să dovedești că unele probleme de tăiere nu au soluții, folosind o colorare bine aleasă (de exemplu, colorarea într-un model de șah), îmbunătățind astfel cultura logică a elevilor. Probleme Nu este greu de dovedit că soluția problemei tăierii unei figuri în părți este posibilă: este suficient să oferiți o metodă de tăiere. Găsirea tuturor soluțiilor, adică a tuturor modalităților de tăiere, este deja mai dificilă. Și să dovedești că tăierea este imposibilă este, de asemenea, destul de dificil. În unele cazuri, colorarea figurii ne ajută să facem acest lucru.Am luat un pătrat de hârtie în carouri de 8 8, am tăiat două celule din el (stânga jos și dreapta sus). Este posibil să acoperiți complet figura rezultată cu dreptunghiuri „domino” 1 2? 7.2. Pe tabla de șah există o figură „cămilă”, care mișcă trei celule pe verticală și una pe orizontală, sau trei pe orizontală și una pe verticală, cu fiecare mișcare. Poate o „cămilă” după ce a făcut mai multe mișcări să intre într-o celulă adiacentă laturii sale originale? 7.3. Există câte un gândac în fiecare celulă a pătratului 5 5. La comandă, fiecare gândac s-a târât pe una dintre celulele adiacente din lateral. Se poate dovedi că exact un gândac va sta din nou în fiecare celulă? Ce se întâmplă dacă pătratul original ar avea dimensiuni 6 6? 7.4. Este posibil să tăiați un pătrat de hârtie în carouri 4x4 într-un singur piedestal, un pătrat, o coloană și un zig-zag (Fig. 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscova, 2002 UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Probleme de tăiere. M.: MTsNMO, 2002. 120 p.: ill. Seria: „Secretele predării matematicii”. Acest

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Iascenko CE SĂ FIE DE GEOMETRIA VIZUALĂ ÎN 5 6 CLASE Rezultatele GIA și UTILIZARE în matematică arată că principala problemă a geometriei

Probleme pe rețele V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l sunt numere întregi, atunci și numai atunci generează aceeași rețea,

IV Yakovlev Materiale de matematică MathUs.ru Decupări Figurile geometrice sunt numite egale dacă pot fi suprapuse una peste alta, astfel încât să coincidă complet. 1. Tăiați fiecare formă în

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova Manual de GEOMETRIE pentru pregătirea pentru GIA Sarcini pentru alegerea enunțurilor corecte 2015 1 INTRODUCERE Acest manual este conceput pentru a pregăti rezolvarea problemelor geometrice ale GIA la matematică.

Testul 448 Unghiuri verticale 1. Dacă unghiurile nu sunt verticale, atunci ele nu sunt egale. 2. Unghiurile egale sunt unghiuri verticale numai dacă sunt simetrice central. 3. Dacă unghiurile sunt egale şi unirea lor are

I. V. Yakovlev Materiale în matematică MathUs.ru Exemple și construcții 1. (All-Russian, 2018, ШЭ, 5.2) Fata a înlocuit fiecare literă din numele ei cu numărul ei din alfabetul rus. Rezultatul este numărul 2011533.

PRELEȚIA 24 GRAFURI PLANE 1. Formula lui Euler pentru graficele plane Definiția 44: Un grafic plan este o imagine a unui grafic pe un plan fără auto-intersecții. Notă Graficul nu este același cu plat

Învățământ secundar (complet) general MI Bashmakov Matematică Clasa a 11-a Culegere de probleme Ediția a III-a UDC 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov MI B336 Matematică. Clasa a 11a. Colectare de sarcini: secundare (complete)

V.A. Smirnov 1. Recunoașterea figurilor 1. Ce poliedru se numește cub? 2. Câte vârfuri, muchii, fețe are un cub? 3. Desenați un cub pe hârtie în carouri. 4. Ce poliedru se numește paralelipiped?

V.A. Smirnov, I.V. Yashchenko FIGURI ÎN SPATIUL Manual pentru pregătirea pentru examenul unificat de stat 2013 INTRODUCERE Acest manual este conceput pentru a pregăti rezolvarea problemelor geometrice ale examenului unificat de stat la matematică. Scopurile sale sunt:

1 învăț să folosească limbajul geometric și simbolismul geometric pentru a descrie obiectele lumii; efectuează raționamente și justificare simplă în procesul de rezolvare a problemelor prevăzute

MATEMATICA Clasele 5.1-5.3 (profil tehnologic) Bancă de sarcini modulul „Geometrie” „Triunghiuri și patrulatere. Linii drepte și cercuri. Simetrie. Poliedre” Informații teoretice de bază necesare

Sarcini pentru cel de-al treilea turneu deschis al tinerilor matematicieni din orașul Minsk 2016 (liga juniori, clasele 5-7) 10-12 martie 2016 Cereri preliminare care indică instituția de învățământ, șef, numărul său de telefon

Instituția de învățământ preșcolară bugetară municipală „Grădinița 30” a Cartierului Central Barnaul

1 Regula extremă Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Să începem cu următoarele trei probleme: Problema1. Pe o foaie infinită de hârtie în carouri, în fiecare celulă este scris un număr natural. Este cunoscut

Cunoașterea este cea mai excelentă posesie. Toată lumea se străduiește pentru asta, nu vine de la sine. Abu-r-Raykhan al-buruni „Conceptul ariei unui poligon” Geometrie Gradul 8 1 CARACTERISTICA POLINOMILOR Polilinie închisă,

Notă explicativă 1. Caracteristicile generale ale cursului Acest program este întocmit în conformitate cu cerințele Standardului educațional de stat federal pentru educația generală de bază și este destinat

Clasa de master „Geometrie și stereometrie la examenul de stat unificat la matematică, partea 1. octombrie 2017. Pentru a rezolva probleme, aveți nevoie de cunoștințe despre formele geometrice și proprietățile acestora, calculul ariilor figurilor plate, volumelor

Instituția de învățământ bugetar municipal „Școala Gimnazială 2” Anexa 3.20. Program de lucru pentru cursul „Geometrie vizuală” clasele 5-6 Dezvoltatori: Ovchinnikova N.V.,

Subiectul 1. Paritatea 1. Pe masă sunt 13 roți dințate, legate într-un lanț închis. Se pot întoarce toate treptele în același timp? 2. Poate o linie dreaptă care nu conține vârfuri să formeze o polilinie închisă cu 13

Analiza sarcinilor din partea a treia a sarcinilor 1 2 Școala electronică Znanik Analiza sarcinilor din partea a treia a sarcinilor Clasa 4 6 7 8 9 10 A B A C D Sarcina 6 Există puncte de control în interiorul tunelului la fiecare 10 m.

A IX-a schimbare în întregime rusă „Tânăr matematician”. VDC "Vultur". VI Turneu de jocuri matematice. Joc matematic „Duel”. Liga de juniori. Soluții. 08 septembrie 2013 1. Același număr de elevi învață în două grupe

Probleme interesante cu cuburi Problema 1. Numărul 8 vârfuri ale cubului cu numere ordinale (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) astfel încât suma numerelor de pe fiecare dintre cele șase fețe ale sale să fie aceeași ( Fig. 1a).

Bancă de sarcini la matematică Clasa a VI-a „Poligoane și poliedre” 1. Un poliedru este o suprafață închisă compusă din: paralelograme de poligoane și triunghiuri de poligoane de poligoane

COMITETUL DE STAT AL FEDERAȚIA RUSĂ PENTRU ÎNVĂȚĂMÂNTUL SUPERIOR UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK Școala prin corespondență DEPARTAMENTUL MATEMATIC DESIGN PARALEL Clasa 0, sarcina 3. Novosibirsk

Programul de lucru al disciplinei „Lumea semnelor și numerelor” Clasa a 5-a 1. Rezultatele planificate ale dezvoltării disciplinei „Lumea semnelor și numerelor” stăpânirea limbajului geometric, folosindu-l pentru a descrie

Lecție extracurriculară de geometrie vizuală în clasa a VII-a. Tema: „Geometria foarfecelor. Probleme pentru tăierea și plierea formelor"

LOR. SMIRNOV, V.A. SMIRNOV GEOMETRIE PE HÂRTIE VERFATĂ Manual pentru instituțiile de învățământ Moscova 2009 PREFAȚĂ Manualul propus conține cincizeci și șase de probleme pentru construcția și

CAIET DE LUCRU 2 TRANSFORMĂRI 1 Conceptul de transformare Exemplul 1. Transformarea cercurilor concentrice unele în altele. Cercul c 1 este convertit în cercul său concentric c 2 după cum se arată

Fizică și matematică de toamnă intensivă „100 de ore” POLYOMINE Jocuri și puzzle-uri cu figuri în carouri Khozin Mikhail Anatolyevich Dzerzhinsk, 29 octombrie 2 noiembrie 2016 CE ESTE POLYMONO? Toată lumea știe domino

7 forme sunt desenate punct cu punct, așa cum se arată în imaginile de mai jos. C A G B F Arată cum să folosești aceste elemente pentru a realiza figurile din figurile de mai jos D E A) (puncte 0 puncte) B) (puncte 0 puncte) C) (3 puncte)

USE 2010. Matematică. Problema B9. Caiet de lucru Smirnov V.A. (sub redacția lui A. L. Semenov și I. V. Yashchenko) M .: Editura MTsNMO; 2010, 48 pagini Caiet de lucru matematică al USE 2010. Seria Matematică

1) IDm2014_006 răspunsurile rundei competiționale 2) Liderul echipei Poyarkova Olga Sergeevna 3) Executor tehnic (coordonator) nr 4) URL-ul paginii web cu răspunsurile rundei competiționale (dacă există) nu 5) Tabel

10.1 (profil tehnologic), 10.2 (nivel de profil) Anul universitar 2018-2019 Bancă de exemple de sarcini pentru pregătirea pentru testarea la matematică, secțiunea „Geometrie” (manual Atanasyan L.S., nivel de profil)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Poliedre regulate, semiregulate și în formă de stea Editura MTsNMO din Moscova 010

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERĂȚIA RUSĂ UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK CENTRUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT ȘI ȘTIINȚIFICI DE SPECIALIZARE Matematică Clasa 0 PROIECTARE PARALEL Novosibirsk I. Design

Anul școlar 2016 2017 Clasa a V-a 51 Aranjați parantezele și semnele de acțiune în intrarea 2 2 2 2 2 astfel încât să rezulte 24 52 Anya minte marțea, miercurea și joia și spune adevărul în toate celelalte zile ale săptămânii

Tema 16. Poliedre 1. Prisma și elementele sale: O prismă este un poliedru, dintre care două fețe sunt poligoane egale situate în plane paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme.

De la geometrie la geometrie. PDA, Geometrie, a treia lecție (Maksimov D.V.) 28 iunie 2017 Geometrie vizuală Un cub 3x3x3 este format din 13 cuburi albe și 14 cuburi întunecate. In ce poza este? Prezentat mai jos

Clasa a VII-a 7.1. Se poate dovedi că 1000 de participanți la olimpiade vor rezolva corect această problemă, iar printre ei vor fi cu 43 de băieți mai mulți decât fete? 7.2. Lada și Lera au ghicit după numărul natural. În cazul în care un

Comitetul Administrației Districtului Zmeinogorsk al Teritoriului Altai pentru Educație și Tineret Instituție de învățământ bugetar municipal „Școala secundară Zmeinogorsk cu nivel avansat

Examen de admitere la Școala de Matematică Seara de la Facultatea de Informatică a Universității de Stat din Moscova numită după M. V. Lomonosov (29 septembrie 2018) Clasele 8-9 1. Echipele „Matematicieni”, „Fizicieni” și „Programatori” au jucat fotbal

Instituția de învățământ bugetar municipal a orașului Abakan „Școala Gimnazială 11” PROGRAMUL activităților extrașcolare ale cercului „Tânăr matematician” pentru clasele 1-4 Program extracurricular

Tema I. Problema de paritate 1. Tabelul pătrat 25 25 este colorat în 25 de culori, astfel încât fiecare rând și fiecare coloană să conțină toate culorile. Demonstrați că dacă aranjarea culorilor este simetrică față de

1. Seturi. Operații pe mulțimi 1. Este adevărat că pentru orice mulțime A, B este valabilă egalitatea A \ (A \ B) A B? 2. Este adevărat că pentru orice mulțimi A, B egalitatea (A \ B) (B \ A)

Codul secțiunii Cerințe (deprinderi) testate prin lucrările finale Banc deschis de teme la disciplina „Matematică” pentru elevii clasei a IV-a Sarcini 4. RELAȚII SPATIALE. GEOMETRIC

Imaginea poliedrelor O figură similară cu proiecția ei pe un anumit plan este luată ca imagine a unei figuri. Este selectată o imagine care oferă o idee corectă a formei figurii, este

Sarcini pentru clasa a 5-a Site-ul web de matematică elementară al lui Dmitri Gushchin www.mathnet.spb.ru într-o casetă 5. Cine câștigă dacă joacă cel mai bine? 2. Se trasează linii în pătratul 5 5 împărțindu-l în

Departamentul de Educație al Administrației Districtului Krasnogvardeisky Instituția de învățământ municipală „Școala secundară Kalinovskaya” aprob: Directorul MBOU „Școala secundară Kalinovskaya” Belousova

A douăsprezecea Olimpiada Rusă de Geometrie. I. F. Sharygina A paisprezecea Olimpiada orală de geometrie Moscova, 17 aprilie 2016 Rezolvarea problemelor 8 9 clasa 1. (A. Blinkov) Într-un hexagon sunt egali

Sarcini G -11.5.16. Latura S = P principal. * Formula H pentru aflarea suprafeței laterale a prismei Г -11.5.17. Latura S = 1 P principal. * formula h pentru găsirea suprafeței laturii 2 a piramidei 6. Probleme diverse Г-10.6.1.

VIII turneu echipă-personal „Matematical all-around” 27 noiembrie 2015, Moscova Geometrie (soluții) Liga de juniori 1. Se dau un cerc și coarda acestuia. Tangentele sunt trase la capetele coardei la cerc

1. O figură a fost desenată pe hârtie în carouri. Împărțiți-l în 4 egale
piese de-a lungul liniilor de hârtie în carouri. Găsiți toate cifrele posibile pentru care
puteți tăia această cifră în funcție de starea problemei.
Soluţie.
2. Din pătratul 5 5 decupați celula centrală. Tăiați rezultatul
figura în două părți egale în două moduri.
Soluţie.

3. Împărțiți dreptunghiul 3×4 în două părți egale. Găsiți cum puteți
mai multe moduri. Puteți tăia numai de-a lungul laturii unui pătrat de 1 × 1 și metode
sunt considerate diferite dacă cifrele rezultate nu sunt egale pentru fiecare
cale.
Soluţie.
4. Tăiați figura prezentată în figură în 2 părți egale.
Soluţie.
5. Tăiați figura prezentată în figură în 2 părți egale.

Soluţie.
6. Tăiați figura prezentată în figură în două părți egale de-a lungul
linii de grilă, iar în fiecare dintre părți ar trebui să existe un cerc.
Soluţie.
7. Tăiați figura prezentată în figură în patru părți egale

Soluţie.

8. Tăiați figura prezentată în figură în patru părți egale
de-a lungul liniilor grilei, iar în fiecare dintre părți ar trebui să existe un cerc.
Soluţie.
9. Tăiați acest pătrat de-a lungul laturilor celulelor, astfel încât toate părțile
să fie de aceeași dimensiune și formă și să conțină fiecare unul
cană și cruce.
Soluţie.

10. Tăiați figura prezentată în figură de-a lungul liniilor grilei în
patru părți egale și pliați-le într-un pătrat astfel încât cercurile și crucile
situat simetric fata de toate axele de simetrie ale patratului.
Soluţie.
11. Tăiați pătratul 6  6 celule prezentat în figură în patru
părți identice astfel încât fiecare dintre ele să conțină trei celule umplute.

Soluţie.
12. Este posibil să tăiați un pătrat în patru părți, astfel încât fiecare parte
a fost în contact cu celelalte trei (părțile sunt în contact dacă au un comun
zona de frontieră)?
Soluţie.
13. Este posibil să tăiați un dreptunghi de 9 4 celule în două părți egale de-a lungul

atunci cum se face?
Soluție. Aria unui astfel de pătrat este de 36 de celule, adică latura sa este de 6
celule. Metoda de tăiere este prezentată în figură.

14. Este posibil să tăiați un dreptunghi de 5 10 celule în două părți egale de-a lungul
laturile celulelor astfel încât acestea să poată forma un pătrat? Daca da,
atunci cum se face?
Soluție Aria unui astfel de pătrat este de 50 de celule, adică latura sa este
mai mult de 7, dar mai puțin de 8 celule întregi. Deci, pentru a tăia un astfel de dreptunghi
în modul cerut pe părțile laterale ale celulelor este imposibil.
15. Erau 9 coli de hârtie. Unele dintre ele au fost tăiate în trei părți. Total
devenit 15 foi. Câte coli de hârtie au fost tăiate?
Rezolvare.Tăiați 3 foi: 3 ∙ 3 + 6 = 15.