Ecuații diferențiale de ordin superior cu coeficienți constanți. Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordin superior

Adesea doar o mențiune ecuatii diferentiale ii face pe elevi incomozi. De ce se întâmplă asta? Cel mai adesea, pentru că atunci când se studiază elementele de bază ale materialului, apare o lacună în cunoștințe, din cauza căreia studiul suplimentar al difursului devine pur și simplu tortură. Nimic nu este clar ce să faci, cum să decizi de unde să începi?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că difurs nu este atât de dificil pe cât pare.

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale

De la școală, știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsim necunoscutul x. De fapt ecuatii diferentiale doar puțin diferit de ele - în loc de o variabilă X trebuie să găsească o funcție y(x) , care va transforma ecuația într-o identitate.

D ecuatii diferentiale sunt de mare importanță practică. Aceasta nu este matematică abstractă care nu are nimic de-a face cu lumea din jurul nostru. Cu ajutorul ecuațiilor diferențiale sunt descrise multe procese naturale reale. De exemplu, vibrațiile corzilor, mișcarea unui oscilator armonic, prin intermediul ecuațiilor diferențiale în probleme de mecanică, găsesc viteza și accelerația unui corp. De asemenea DU sunt utilizate pe scară largă în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (DU) este o ecuație care conține derivatele funcției y(x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diverse combinații.

Există multe tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, liniare și neliniare, omogene și neomogene, ecuații diferențiale de ordinul întâi și superior, ecuații diferențiale parțiale și așa mai departe.

Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care o transformă într-o identitate. Există soluții generale și speciale de control de la distanță.

Soluția generală a ecuației diferențiale este setul general de soluții care transformă ecuația într-o identitate. O soluție particulară a unei ecuații diferențiale este o soluție care satisface condiții suplimentare specificate inițial.

Ordinea unei ecuații diferențiale este determinată de ordinul cel mai înalt al derivatelor incluse în ea.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Luați în considerare cea mai simplă ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi. Arată ca:

Această ecuație poate fi rezolvată prin simpla integrare a părții sale drepte.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații de variabile separabile

În general, acest tip de ecuație arată astfel:

Iată un exemplu:

Rezolvând o astfel de ecuație, trebuie să separați variabilele, aducând-o la forma:

După aceea, rămâne să integrăm ambele părți și să obținem o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Astfel de ecuații iau forma:

Aici p(x) și q(x) sunt câteva funcții ale variabilei independente, iar y=y(x) este funcția dorită. Iată un exemplu de astfel de ecuație:

Rezolvând o astfel de ecuație, de cele mai multe ori se utilizează metoda de variație a unei constante arbitrare sau reprezintă funcția dorită ca produs al altor două funcții y(x)=u(x)v(x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesară o anumită pregătire și va fi destul de dificil să le luați „la capriciu”.

Un exemplu de rezolvare a unui DE cu variabile separabile

Așa că am luat în considerare cele mai simple tipuri de telecomandă. Acum să aruncăm o privire la unul dintre ele. Fie o ecuație cu variabile separabile.

Mai întâi, rescriem derivata într-o formă mai familiară:

Apoi vom separa variabilele, adică într-o parte a ecuației vom colecta toate „jocurile”, iar în cealaltă - „xurile”:

Acum rămâne să integrăm ambele părți:

Integram si obtinem solutia generala a acestei ecuatii:

Desigur, rezolvarea ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să fii capabil să înțelegi din ce tip aparține o ecuație și, de asemenea, să înveți să vezi ce transformări trebuie să faci cu ea pentru a o aduce într-o formă sau alta, ca să nu mai vorbim doar de capacitatea de diferențiere și integrare. Și este nevoie de practică (ca orice lucru) pentru a reuși să rezolvi DE. Și dacă în acest moment nu aveți timp să vă dați seama cum se rezolvă ecuațiile diferențiale sau problema Cauchy s-a ridicat ca un os în gât sau nu știți, contactați autorii noștri. În scurt timp, vă vom oferi o soluție gata făcută și detaliată, ale cărei detalii le puteți înțelege în orice moment convenabil pentru dvs. Între timp, vă sugerăm să vizionați un videoclip cu tema „Cum se rezolvă ecuații diferențiale”:

Teoria calculului ecuații diferențiale neomogene(DU) nu vom da în această publicație, din lecțiile anterioare puteți găsi suficiente informații pentru a găsi răspunsul la întrebare "Cum se rezolvă o ecuație diferențială neomogenă?" Gradul de DE neomogen nu joacă un rol important aici, nu există atât de multe modalități care să permită calcularea soluției unui astfel de DE. Pentru a vă facilita citirea răspunsurilor din exemple, accentul principal este pus doar pe tehnica de calcul și indicii care vor facilita derivarea funcției finale.

Exemplul 1 Rezolvați ecuația diferențială
Soluție: dat ecuație diferențială omogenă de ordinul trei,în plus, conține doar derivatele a doua și a treia și nu are o funcție și derivata sa prima. În astfel de cazuri utilizați metoda reducerii ecuație diferențială. Pentru aceasta se introduce un parametru - notăm derivata a doua prin parametrul p

atunci derivata a treia a functiei este

DE omogen original va fi simplificat la forma

O scriem în diferențe, atunci reduce la o ecuație de variabilă separatăși găsiți soluția prin integrare

Rețineți că parametrul este derivata a doua a funcției

prin urmare, pentru a găsi formula funcției în sine, integrăm de două ori dependența diferențială găsită

În funcție, vechile C 1 , C 2 , C 3 sunt egale cu valori arbitrare.
Așa arată circuitul găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene prin introducerea unui parametru. Următoarele probleme sunt mai dificile și din ele veți învăța cum să rezolvați ecuații diferențiale neomogene de ordinul trei. Există o diferență între DE omogen și neomogen în ceea ce privește calculele, veți vedea asta acum.

Exemplul 2 Găsi
Soluție: Avem a treia comandă. Prin urmare, soluția sa ar trebui căutată sub forma sumei a două - soluții ale soluțiilor omogene și particulare ale ecuației neomogene

Să decidem mai întâi

După cum puteți vedea, conține doar derivatele a doua și a treia ale funcției și nu conține funcția în sine. Acest fel dif. ecuațiile se rezolvă prin metoda introducerii unui parametru, care în la rândul său reduce și simplifică găsirea soluției ecuației. În practică, arată astfel: fie derivata a doua să fie egală cu o anumită funcție, atunci derivata a treia va avea în mod formal notația

DE omogen considerat de ordinul 3 este transformat în ecuația de ordinul întâi

de unde împărțind variabilele găsim integrala
x*dp-p*dx=0;

Recomandăm ca cei care au ajuns în astfel de probleme să fie numerotați, deoarece soluția unei ecuații diferențiale de ordinul 3 are 3 constante, a patra - 4 și mai departe prin analogie. Acum revenim la parametrul introdus: deoarece derivata a doua are forma, integrând-o odată ce avem o dependență pentru derivata funcției

iar prin integrare repetată găsim vedere generală a unei funcții omogene

Rezolvarea parțială a ecuației scrieți ca o variabilă înmulțită cu logaritmul. Aceasta rezultă din faptul că partea dreaptă (neomogenă) a DE este egală cu -1/x și pentru a obține o notație echivalentă

soluţia trebuie căutată în formă

Aflați coeficientul A , pentru aceasta calculăm derivatele de ordinul întâi și al doilea

Înlocuim expresiile găsite în ecuația diferențială originală și echivalăm coeficienții la aceleași puteri ale lui x:

Oțelul este egal cu -1/2 și are forma

Soluție generală a ecuației diferențiale scrieți ca sumă a celor găsite

unde C 1 , C 2 , C 3 sunt constante arbitrare care pot fi rafinate din problema Cauchy.

Exemplul 3 Găsiți integrala DE de ordinul trei
Rezolvare: Căutăm o integrală generală a unui DE neomogen de ordinul al treilea sub forma sumei soluției unei ecuații omogene și parțiale neomogene. În primul rând, pentru orice tip de ecuații, începem analiza ecuația diferențială omogenă

Conține doar derivatele a doua și a treia ale funcției necunoscute până acum. Introducem o modificare de variabile (parametru): notăm derivata a doua

Atunci a treia derivată este

Aceleași transformări au fost efectuate în sarcina anterioară. Asta permite reduceți o ecuație diferențială de ordinul trei la o ecuație de ordinul întâi de forma

Prin integrare găsim

Amintiți-vă că, în funcție de schimbarea variabilelor, aceasta este doar derivata a doua

iar pentru a găsi o soluție la o ecuație diferențială omogenă de ordinul al treilea, aceasta trebuie integrată de două ori

Pe baza tipului de partea dreaptă (partea neomogenă =x+1), se caută o soluție parțială a ecuației sub forma

Cum să știi sub ce formă să cauți o soluție parțială Ar fi trebuit să fii învățat în partea teoretică a cursului de ecuații diferențiale. Dacă nu, atunci putem doar sugera ce fel de funcție este aleasă o astfel de expresie, astfel încât, atunci când se înlocuiește în ecuație, termenul care conține cea mai mare derivată sau mai tânără să fie de același ordin (similar) cu partea neomogenă a ecuației

Cred că acum îți este mai clar de unde vine forma unei anumite soluții. Aflați coeficienții A, B, pentru aceasta calculăm derivatele a doua și a treia ale funcției

și înlocuiți în ecuația diferențială. După gruparea termenilor similari, obținem ecuația liniară

din care, pentru puteri egale ale variabilei alcătuiește un sistem de ecuații

și găsiți oțeluri necunoscute. După înlocuirea lor, se exprimă prin dependență

Soluție generală a ecuației diferențiale este egală cu suma omogene și parțiale și are forma

unde C 1 , C 2 , C 3 sunt constante arbitrare.

Exemplul 4. R ea ecuație diferențială
Rezolvare: Avem soluția căreia o vom găsi prin suma . Cunoașteți schema de calcul, așa că să trecem la considerare ecuație diferențială omogenă

Conform metodei standard introduceți parametrul
Ecuația diferențială inițială va lua forma , din care, împărțind variabilele, găsim

Rețineți că parametrul este egal cu derivata a doua
Integrând DE, obținem derivata întâi a funcției

Reintegrare găsim integrala generală a ecuației diferențiale omogene

Căutăm o soluție parțială a ecuației în forma, deoarece partea dreaptă este egală cu
Să găsim coeficientul A - pentru aceasta înlocuim y* în ecuația diferențială și echivalăm coeficientul la aceleași puteri ale variabilei

După înlocuirea și gruparea termenilor, obținem dependența

din care otel este egal cu A=8/3.
Astfel, putem scrie soluție parțială a DE

Soluție generală a ecuației diferențiale egală cu suma găsită

unde C 1 , C 2 , C 3 sunt constante arbitrare. Dacă este dată starea Cauchy, atunci acestea pot fi extinse foarte ușor.

Consider că materialul vă va fi de folos atunci când vă pregătiți pentru exerciții practice, module sau teste. Problema Cauchy nu a fost analizată aici, dar din lecțiile anterioare știi în general să o faci.

Ecuații diferențiale de ordin superior

Terminologia de bază a ecuațiilor diferențiale de ordin superior (DE VP).

O ecuație de forma , unde n >1 (2)

se numește ecuație diferențială de ordin superior, adică n-a ordine.

Domeniul de definire a telecomenzii, n ordinea este zona.

Acest curs se va ocupa de următoarele tipuri de control al spațiului aerian:

Problema Cauchy pentru VP:

Lasă DU dat,
iar condițiile inițiale n/a: numere .

Este necesar să se găsească o funcție continuă și diferențiabilă de n ori
:

1)
este soluția DE dat pe , i.e.
;

2) satisface conditiile initiale date: .

Pentru un DE de ordinul doi, interpretarea geometrică a soluției problemei este următoarea: se caută o curbă integrală care trece prin punct (X 0 , y 0 ) și tangentă la o dreaptă cu pantă k = y 0 ́ .

Teorema existenței și unicității(soluții ale problemei Cauchy pentru DE (2)):

Daca 1)
continuă (în total (n+1) argumente) în zonă
; 2)
continuu (prin setul de argumente
) în , atunci ! rezolvarea problemei Cauchy pentru DE care satisface conditiile initiale date n/s: .

Regiunea se numește regiunea unicității DE.

Soluția generală a DP VP (2) – n - parametrice functie,
, Unde
– constante arbitrare, care îndeplinesc următoarele cerințe:

1)

– soluția DE (2) pe ;

2) n/a din regiunea unicității !
:
satisface conditiile initiale date.

cometariu.

Raport de vizualizare
, care determină implicit soluția generală a lui DE (2) pe se numește integrală comună DU.

Soluție privată DE (2) se obține din soluția sa generală pentru o anumită valoare .

Integrarea DP VP.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior, de regulă, nu sunt rezolvate prin metode analitice exacte.

Să evidențiem un anumit tip de DEWP care admite reduceri de ordine și reduce la cuadratură. Să rezumam aceste tipuri de ecuații și modalități de a le reduce ordinea într-un tabel.

DP VP, permițând reduceri ale comenzii

		Metoda de downgrade
	DU este incomplet, îi lipsește . De exemplu,	etc. După n integrare repetată, obținem soluția generală a ecuației diferențiale.
	Ecuația este incompletă; în mod clar nu conține funcția dorită si ea prime derivate. De exemplu,	Substituţie scade ordinea ecuației cu k unitati.
	ecuație incompletă; în mod clar nu conține un argument funcția dorită. De exemplu,	Substituţie ordinea ecuației se reduce cu unu.
	Ecuația este în derivate exacte, poate fi completă și incompletă. O astfel de ecuație poate fi transformată în forma (*) ́= (*)́, unde părțile din dreapta și din stânga ecuației sunt derivate exacte ale unor funcții.	Integrarea părților drepte și stângi ale ecuației în raport cu argumentul scade ordinea ecuației cu unu.
		Substituţie scade ordinul ecuației cu unu.

Definiția unei funcții omogene:

Funcţie
se numește omogen în variabile
, dacă


în orice punct din domeniul de aplicare al funcției
;

este ordinea omogenității.

De exemplu, este o funcție omogenă de ordinul 2 în raport cu
, adică .

Exemplul 1:

Găsiți o soluție generală a DE
.

DE de ordinul 3, incomplet, nu conține în mod explicit
. Integrați ecuația de trei ori succesiv.

,

este soluția generală a DE.

Exemplul 2:

Rezolvați problema Cauchy pentru DE
la

.

DE de ordinul doi, incomplet, nu conține în mod explicit .

Substituţie
și derivatul său
scade ordinul DE cu unu.

. A primit DE de prim ordin - ecuația Bernoulli. Pentru a rezolva această ecuație, aplicăm substituția Bernoulli:

,

și conectați-l în ecuație.

În această etapă, rezolvăm problema Cauchy pentru ecuație
:
.

este o ecuație de ordinul întâi cu variabile separabile.

Inlocuim conditiile initiale in ultima egalitate:

Răspuns:
este soluţia problemei Cauchy care satisface condiţiile iniţiale.

Exemplul 3:

Rezolvați DU.

– DE de ordinul 2, incomplet, nu conține în mod explicit variabila și, prin urmare, permite scăderea ordinului cu una folosind substituția sau
.

Obținem ecuația
(lăsa
).

– DE de ordinul I cu variabile separatoare. Să le împărtășim.

este integrala generală a DE.

Exemplul 4:

Rezolvați DU.

Ecuația
este o ecuație derivată exactă. Într-adevăr,
.

Să integrăm părțile din stânga și din dreapta cu privire la , i.e.
sau . A primit DE de ordinul 1 cu variabile separabile, i.e.
este integrala generală a DE.

Exemplul5:

Rezolvați problema Cauchy pt
la .

DE de ordinul al IV-lea, incomplet, nu conține în mod explicit
. Observând că această ecuație este în derivate exacte, obținem
sau
,
. Inlocuim conditiile initiale in aceasta ecuatie:
. Să luăm telecomanda
Ordinul 3 al primului tip (vezi tabel). Să o integrăm de trei ori, iar după fiecare integrare vom înlocui condițiile inițiale în ecuație:

Răspuns:
- rezolvarea problemei Cauchy a DE original.

Exemplul 6:

Rezolvați ecuația.

– DE de ordinul 2, complet, conține uniformitate în raport cu
. Substituţie
va scădea ordinea ecuației. Pentru a face acest lucru, reducem ecuația la forma
, împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la . Și diferențiem funcția p:

.

Substitui
și
în DU:
. Aceasta este o ecuație de variabilă separabilă de ordinul 1.

Dat fiind
, obținem DE sau
este soluția generală a DE inițial.

Teoria ecuațiilor diferențiale liniare de ordin superior.

Terminologie de bază.

– NLDU ordine, unde sunt funcții continue pe un anumit interval.

Se numește intervalul de continuitate DE (3).

Să introducem un operator diferenţial (condiţional) de ordinul al-lea

Când acționează asupra funcției , obținem

Adică, partea stângă a unui DE liniar de ordinul --lea.

Ca rezultat, LDE poate fi scris

Proprietățile operatorului liniar
:

1) - proprietatea aditivității

2)
– număr – proprietate de omogenitate

Proprietățile sunt ușor de verificat, deoarece derivatele acestor funcții au proprietăți similare (suma finală a derivatelor este egală cu suma unui număr finit de derivate; factorul constant poate fi scos din semnul derivatei).

Acea.
este un operator liniar.

Luați în considerare problema existenței și unicității unei soluții la problema Cauchy pentru LDE
.

Să rezolvăm LDE cu privire la
: ,
, este intervalul de continuitate.

Funcția este continuă în domeniul , derivate
continuu in regiune

Prin urmare, domeniul unicității , în care problema Cauchy LDE (3) are o soluție unică și depinde doar de alegerea punctului
, toate celelalte valori ale argumentelor
funcții
poate fi luată în mod arbitrar.

Teoria generală a OLDU.

este intervalul de continuitate.

Principalele proprietăți ale soluțiilor OLDDE:

1. Proprietatea aditivității

(
– soluție OLDDE (4) pe )
(
este soluția lui OLDDE (4) pe ).

Dovada:

este solutia lui OLDDE (4) pe

este solutia lui OLDDE (4) pe

Apoi

2. Proprietatea omogenității

( este soluția lui OLDDE (4) pe ) (
(- câmp numeric))

este solutia lui OLDDE (4) pe .

Se dovedește la fel.

Proprietățile de aditivitate și omogenitate sunt numite proprietăți liniare ale OLDE (4).

Consecinţă:

(
– soluția lui OLDDE (4) pe )(

este soluția lui OLDDE (4) pe ).

3. ( este o soluție cu valori complexe a OLDDE (4) pe )(
sunt soluții cu valoare reală ale OLDDE (4) pe ).

Dovada:

Dacă este soluția lui OLDDE (4) pe , atunci când se substituie în ecuație, o transformă într-o identitate, i.e.
.

Datorită liniarității operatorului , partea stângă a ultimei egalități poate fi scrisă după cum urmează:
.

Aceasta înseamnă că , adică sunt soluții cu valoare reală ale OLDDE (4) pe .

Următoarele proprietăți ale soluțiilor OLDDE sunt legate de noțiunea „ dependență liniară”.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem finit de funcții

Un sistem de funcții se numește dependent liniar de dacă există nebanală set de numere
astfel încât combinația liniară
funcții
cu aceste numere este identic egal cu zero pe , i.e.
.n , ceea ce este greșit. Se demonstrează teorema.diferenţial ecuațiisuperiorComenzi(4 ore...

Ecuații diferențiale de ordinul doi și de ordinul superior.
DE liniar de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Exemple de soluții.

Ne întoarcem la considerarea ecuațiilor diferențiale de ordinul doi și a ecuațiilor diferențiale de ordin superior. Dacă aveți o idee vagă despre ce este o ecuație diferențială (sau nu înțelegeți deloc ce este), atunci vă recomand să începeți cu lecția Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Multe principii de soluție și concepte de bază ale difuzoarelor de ordinul întâi sunt extinse automat la ecuații diferențiale de ordin superior, prin urmare este foarte important să înțelegem mai întâi ecuațiile de ordinul întâi.

Mulți cititori pot avea o prejudecată că DE din ordinea a 2-a, a 3-a și a altora este ceva foarte dificil și inaccesibil pentru stăpânire. Nu este adevarat . A învăța să rezolvi difuze de ordin superior este cu greu mai dificilă decât DE „obișnuite” de ordinul I.. Și în unele locuri este și mai ușor, deoarece materialul din programa școlară este utilizat activ în decizii.

Cel mai popular ecuații diferențiale de ordinul doi. Într-o ecuație diferențială de ordinul doi neapărat include derivata a doua și nu este inclus

Trebuie remarcat faptul că unii dintre bebeluși (și chiar toți deodată) pot lipsi din ecuație, important este ca tatăl să fie acasă. Cea mai primitivă ecuație diferențială de ordinul doi arată astfel:

Ecuațiile diferențiale de ordinul trei în sarcinile practice sunt mult mai puțin frecvente, conform observațiilor mele subiective din Duma de Stat, ar câștiga aproximativ 3-4% din voturi.

Într-o ecuație diferențială de ordinul trei neapărat include derivata a treia și nu este inclus derivate de ordin superior:

Cea mai simplă ecuație diferențială de ordinul trei arată astfel: - tata e acasă, toți copiii sunt la plimbare.

În mod similar, pot fi definite ecuații diferențiale de ordinul 4, 5 și superior. În problemele practice, astfel de DE alunecă extrem de rar, totuși, voi încerca să dau exemple relevante.

Ecuațiile diferențiale de ordin superior care sunt propuse în problemele practice pot fi împărțite în două grupe principale.

1) Primul grup - așa-numitul ecuații de ordin inferior. Zboară înăuntru!

2) Al doilea grup - ecuații liniare de ordin superior cu coeficienți constanți. Pe care vom începe să luăm în considerare chiar acum.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi
cu coeficienți constanți

În teorie și practică, se disting două tipuri de astfel de ecuații - ecuație omogenăși ecuație neomogenă.

DE omogen de ordinul doi cu coeficienți constanți are următoarea formă:
, unde și sunt constante (numere), iar în partea dreaptă - strict zero.

După cum puteți vedea, nu există dificultăți speciale cu ecuațiile omogene, principalul lucru este că rezolvați corect ecuația pătratică.

Uneori există ecuații omogene non-standard, de exemplu, o ecuație în formă , unde la derivata a doua există o constantă , diferită de unitate (și, desigur, diferită de zero). Algoritmul de soluție nu se schimbă deloc, trebuie să compunem cu calm ecuația caracteristică și să-i găsim rădăcinile. Dacă ecuaţia caracteristică va avea două rădăcini reale diferite, de exemplu: , atunci soluția generală poate fi scrisă în modul obișnuit: .

În unele cazuri, din cauza unei greșeli de tipar în stare, pot apărea rădăcini „rele”, ceva de genul . Ce să faci, răspunsul va trebui scris astfel:

Cu rădăcini complexe conjugate „rele” ca nici o problema, solutie generala:

Acesta este, o soluţie generală există în orice caz. Pentru că orice ecuație pătratică are două rădăcini.

În ultimul paragraf, așa cum am promis, vom lua în considerare pe scurt:

Ecuații liniare omogene de ordin superior

Totul este foarte, foarte asemănător.

Ecuația liniară omogenă de ordinul trei are următoarea formă:
, unde sunt constante.
Pentru această ecuație, trebuie să compuneți și o ecuație caracteristică și să găsiți rădăcinile acesteia. Ecuația caracteristică, după cum mulți au ghicit, arată astfel:
, si el oricum Are exact trei rădăcină.

Să fie, de exemplu, toate rădăcinile reale și distincte: , atunci soluția generală poate fi scrisă după cum urmează:

Dacă o rădăcină este reală, iar celelalte două sunt complexe conjugate, atunci scriem soluția generală după cum urmează:

Un caz special este atunci când toate cele trei rădăcini sunt multipli (la fel). Să considerăm cel mai simplu DE omogen de ordinul 3 cu un tată singuratic: . Ecuația caracteristică are trei rădăcini zero coincidente. Scriem soluția generală după cum urmează:

Dacă ecuaţia caracteristică are, de exemplu, trei rădăcini multiple, atunci soluția generală, respectiv, este:

Exemplul 9

Rezolvați o ecuație diferențială omogenă de ordinul al treilea

Soluţie: Compunem și rezolvăm ecuația caracteristică:

, - se obtin o radacina reala si doua radacini complexe conjugate.

Răspuns: decizie comună

În mod similar, putem considera o ecuație liniară omogenă de ordinul al patrulea cu coeficienți constanți: , unde sunt constante.