Ce sunt vectorii proprii și valorile proprii. Valori proprii (numere) și vectori proprii Exemple de soluții

Cum se introduc formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complexă și consumatoare de timp și vă va permite să accelerați încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă, deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare de mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Se dovedește un set format din 20 de cuburi mai mici rămase. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem buretele Menger.

SISTEM DE ECUAȚII LINEARE OMogene

Un sistem de ecuații liniare omogene este un sistem de formă

Este clar că în acest caz , deoarece toate elementele uneia dintre coloanele acestor determinanți sunt egale cu zero.

Întrucât necunoscutele se găsesc prin formule , atunci în cazul în care Δ ≠ 0, sistemul are o soluție unică zero X = y = z= 0. Cu toate acestea, în multe probleme este de interes întrebarea dacă un sistem omogen are alte soluții decât zero.

Teorema. Pentru ca un sistem de ecuații liniare omogene să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca Δ ≠ 0.

Deci, dacă determinantul este Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică. Dacă Δ ≠ 0, atunci sistemul de ecuații liniare omogene are un număr infinit de soluții.

Exemple.

Vectori proprii și valori proprii ale matricei

Să fie dată o matrice pătrată , X este o coloană-matrice a cărei înălțime coincide cu ordinea matricei A. .

În multe probleme, trebuie să luăm în considerare ecuația pentru X

unde λ este un număr. Este clar că pentru orice λ această ecuație are o soluție zero.

Se numește numărul λ pentru care această ecuație are soluții diferite de zero valoare proprie matrici A, A X căci astfel de λ se numește propriul vector matrici A.

Să găsim vectorul propriu al matricei A. Pentru că E∙X=X, atunci ecuația matriceală poate fi rescrisă ca sau . În formă extinsă, această ecuație poate fi rescrisă ca un sistem de ecuații liniare. Într-adevăr .

Prin urmare

Deci, avem un sistem de ecuații liniare omogene pentru determinarea coordonatelor x 1, x2, x 3 vector X. Pentru ca sistemul să aibă soluții diferite de zero, este necesar și suficient ca determinantul sistemului să fie egal cu zero, adică.

Aceasta este o ecuație de gradul 3 în raport cu λ. Se numeste ecuație caracteristică matrici Ași servește la determinarea valorilor proprii λ.

Fiecare valoare proprie λ corespunde unui vector propriu X, ale căror coordonate sunt determinate din sistem la valoarea corespunzătoare a lui λ.

Exemple.

ALGEBRA VECTORALĂ. CONCEPTUL VECTORAL

Când se studiază diferite ramuri ale fizicii, există cantități care sunt complet determinate prin stabilirea valorilor lor numerice, de exemplu, lungimea, suprafața, masa, temperatura etc. Astfel de valori se numesc scalare. Totuși, pe lângă ele, există și mărimi, pentru determinarea cărora, pe lângă valoarea numerică, este necesar să se cunoască și direcția lor în spațiu, de exemplu, forța care acționează asupra corpului, viteza și accelerația. a corpului atunci când se mișcă în spațiu, puterea câmpului magnetic într-un anumit punct din spațiu și etc. Astfel de mărimi se numesc mărimi vectoriale.

Să introducem o definiție riguroasă.

Segment de direcție Să numim un segment, relativ la capete ale căruia se știe care dintre ele este primul și care este al doilea.

Vector se numește un segment direcționat, având o anumită lungime, adică. Acesta este un segment de o anumită lungime, în care unul dintre punctele care îl limitează este luat drept început, iar al doilea - ca sfârșit. În cazul în care un A este începutul vectorului, B este sfârșitul său, atunci vectorul este notat cu simbolul, în plus, vectorul este adesea notat cu o singură literă . În figură, vectorul este indicat printr-un segment, iar direcția acestuia printr-o săgeată.

modul sau lung vector se numește lungimea segmentului direcționat care îl definește. Notat cu || sau ||.

Așa-numitul vector zero, al cărui început și sfârșit coincid, va fi denumit și vectori. Este marcat. Vectorul zero nu are o direcție definită și modulul său este egal cu zero ||=0.

Vectori și sunt numite coliniare daca sunt situate pe aceeasi linie sau pe linii paralele. În acest caz, dacă vectorii și sunt direcționați în mod egal, vom scrie , invers.

Se numesc vectori situati pe drepte paralele cu acelasi plan coplanare.

Doi vectori și se numesc egal dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și au lungime egală. În acest caz, scrieți.

Din definiția egalității vectorilor rezultă că un vector poate fi mutat paralel cu el însuși plasându-și originea în orice punct din spațiu.

De exemplu.

OPERAȚII LINEARE PE VECTORI

1. Înmulțirea unui vector cu un număr.

   Produsul unui vector cu un număr λ este un vector nou astfel încât:

   Produsul unui vector și unui număr λ se notează cu .

   

   De exemplu, este un vector îndreptat în aceeași direcție cu vectorul și având o lungime jumătate față de vectorul .

   Operația introdusă are următoarele proprietăți:

2. Adăugarea vectorilor.

   Fie și doi vectori arbitrari. Luați un punct arbitrar Oși construiți un vector. După aceea, din punct de vedere A pune deoparte vectorul . Se numește vectorul care leagă începutul primului vector cu sfârșitul celui de-al doilea sumă dintre acești vectori și se notează .

   

   Definiția formulată a adunării vectoriale se numește regula paralelogramului, deoarece aceeași sumă de vectori poate fi obținută după cum urmează. Lăsați deoparte de punct O vectori și . Construiți un paralelogram pe acești vectori OABC. Deoarece vectorii , atunci vectorul , care este diagonala paralelogramului desenat din vârf O, va fi evident suma vectorilor .

   

   Este ușor să verificați următoarele proprietăți de adiție vectorială.

3. Diferența de vectori.

   Se numește un vector coliniar cu un vector dat, de lungime egală și direcționat opus opus vector pentru un vector și se notează cu . Vectorul opus poate fi considerat ca rezultat al înmulțirii vectorului cu numărul λ = –1: .

Un vector propriu al unei matrice pătrate este unul care, atunci când este înmulțit cu o matrice dată, are ca rezultat un vector coliniar. Cu cuvinte simple, atunci când o matrice este înmulțită cu un vector propriu, acesta din urmă rămâne același, dar înmulțit cu un anumit număr.

Definiție

Un vector propriu este un vector diferit de zero V, care, atunci când este înmulțit cu o matrice pătrată M, devine el însuși, mărit cu un număr λ. În notația algebrică, aceasta arată astfel:

M × V = λ × V,

unde λ este o valoare proprie a matricei M.

Să luăm în considerare un exemplu numeric. Pentru confortul scrisului, numerele din matrice vor fi separate prin punct și virgulă. Să presupunem că avem o matrice:

• M = 0; patru;
• 6; 10.

Să-l înmulțim cu un vector coloană:

• V = -2;

Când înmulțim o matrice cu un vector coloană, obținem și un vector coloană. În limbaj matematic strict, formula pentru înmulțirea unei matrice 2 × 2 cu un vector coloană ar arăta astfel:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 înseamnă elementul matricei M, aflat în primul rând și prima coloană, iar M22 este elementul situat în al doilea rând și a doua coloană. Pentru matricea noastră, aceste elemente sunt M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pentru un vector coloană, aceste valori sunt V11 = –2, V21 = 1. Conform acestei formule, obținem următoarele rezultatul produsului unei matrice pătrate de un vector:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Pentru comoditate, scriem vectorul coloană într-un rând. Deci, am înmulțit matricea pătrată cu vectorul (-2; 1), rezultând vectorul (4; -2). Evident, acesta este același vector înmulțit cu λ = -2. Lambda în acest caz denotă o valoare proprie a matricei.

Vectorul propriu al unei matrice este un vector coliniar, adică un obiect care nu își schimbă poziția în spațiu atunci când este înmulțit cu o matrice. Conceptul de coliniaritate în algebra vectorială este similar cu termenul de paralelism în geometrie. În interpretarea geometrică, vectorii coliniari sunt segmente paralele direcționate de lungimi diferite. Din vremea lui Euclid, știm că o singură linie are un număr infinit de drepte paralele cu ea, așa că este logic să presupunem că fiecare matrice are un număr infinit de vectori proprii.

Din exemplul anterior, se poate observa că atât (-8; 4), cât și (16; -8), și (32, -16) pot fi vectori proprii. Toți aceștia sunt vectori coliniari corespunzători valorii proprii λ = -2. Când înmulțim matricea originală cu acești vectori, vom obține totuși un vector, care diferă de original de 2 ori. De aceea, atunci când se rezolvă probleme pentru găsirea unui vector propriu, este necesar să se găsească numai obiecte vectoriale liniar independente. Cel mai adesea, pentru o matrice n × n, există al n-lea număr de vectori proprii. Calculatorul nostru este conceput pentru analiza matricelor pătrate de ordinul doi, astfel încât aproape întotdeauna se vor găsi doi vectori proprii, cu excepția cazului în care acestea coincid.

În exemplul de mai sus, am cunoscut în prealabil vectorul propriu al matricei originale și am determinat vizual numărul lambda. Cu toate acestea, în practică, totul se întâmplă invers: la început există valori proprii și abia apoi vectori proprii.

Algoritm de rezolvare

Să ne uităm din nou la matricea originală M și să încercăm să găsim ambii vectori proprii. Deci matricea arată astfel:

• M = 0; patru;
• 6; 10.

Pentru început, trebuie să determinăm valoarea proprie λ, pentru care trebuie să calculăm determinantul următoarei matrice:

• (0 − λ); patru;
• 6; (10 − λ).

Această matrice se obține prin scăderea necunoscutului λ din elementele de pe diagonala principală. Determinantul este determinat de formula standard:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Deoarece vectorul nostru nu trebuie să fie zero, luăm ecuația rezultată ca fiind dependentă liniar și echivalăm determinantul nostru detA cu zero.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Să deschidem parantezele și să obținem ecuația caracteristică a matricei:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Aceasta este o ecuație pătratică standard care trebuie rezolvată în termeni de discriminant.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Rădăcina discriminantului este sqrt(D) = 14, deci λ1 = -2, λ2 = 12. Acum, pentru fiecare valoare lambda, trebuie să găsim un vector propriu. Să exprimăm coeficienții sistemului pentru λ = -2.

• M − λ × E = 2; patru;
• 6; 12.

În această formulă, E este matricea identității. Pe baza matricei obținute, compunem un sistem de ecuații liniare:

2x + 4y = 6x + 12y

unde x și y sunt elemente ale vectorului propriu.

Să colectăm toate X-urile din stânga și toate Y-urile din dreapta. Evident - 4x = 8y. Împărțiți expresia la - 4 și obțineți x = -2y. Acum putem determina primul vector propriu al matricei luând orice valoare a necunoscutelor (amintiți-vă despre infinitatea de vectori proprii dependenți liniar). Să luăm y = 1, apoi x = -2. Prin urmare, primul vector propriu arată ca V1 = (–2; 1). Reveniți la începutul articolului. Acest obiect vector a fost cu care am înmulțit matricea pentru a demonstra conceptul de vector propriu.

Acum să găsim vectorul propriu pentru λ = 12.

• M - λ × E = -12; patru
• 6; -2.

Să compunem același sistem de ecuații liniare;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Acum să luăm x = 1, deci y = 3. Astfel, al doilea vector propriu arată ca V2 = (1; 3). Când înmulțiți matricea originală cu acest vector, rezultatul va fi întotdeauna același vector înmulțit cu 12. Acest lucru completează algoritmul de soluție. Acum știți cum să definiți manual un vector propriu al unei matrice.

• determinant;
• urmă, adică suma elementelor de pe diagonala principală;
• rang, adică numărul maxim de rânduri/coloane liniar independente.

Programul funcționează conform algoritmului de mai sus, minimizând procesul de soluție. Este important de subliniat că în program lambda este notat cu litera „c”. Să ne uităm la un exemplu numeric.

Exemplu de program

Să încercăm să definim vectori proprii pentru următoarea matrice:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Să introducem aceste valori în celulele calculatorului și să obținem răspunsul în următoarea formă:

• Rangul matricei: 2;
• Determinant de matrice: 18;
• Urmă matrice: 19;
• Calcul vectorului propriu: c 2 − 19,00c + 18,00 (ecuația caracteristică);
• Calcul vectorului propriu: 18 (prima valoare lambda);
• Calcul vectorului propriu: 1 (a doua valoare lambda);
• Sistemul de ecuații al vectorului 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistemul de ecuații vector 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vectorul propriu 1: (1; 1);
• Vectorul propriu 2: (-3,25; 1).

Astfel, am obținut doi vectori proprii liniar independenți.

Concluzie

Algebra liniară și geometria analitică sunt subiecte standard pentru orice boboc în inginerie. Un număr mare de vectori și matrice este terifiant și este ușor să greșiți în calcule atât de greoaie. Programul nostru va permite elevilor să-și verifice calculele sau să rezolve automat problema găsirii unui vector propriu. Există și alte calculatoare de algebră liniară în catalogul nostru, utilizați-le în studiu sau în muncă.

Definiție 9.3. Vector X numit propriul vector matrici DAR dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: DAR X= λ X, adică rezultatul aplicării la X transformare liniară dată de matrice DAR, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ numit propriul număr matrici DAR.

Înlocuirea în formule (9.3) x` j = λx j , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

. (9.5)

Acest sistem liniar omogen va avea o soluție netrivială numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obținem o ecuație pentru determinarea valorilor proprii λ numit ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A-λE | = 0, (9.6)

întrucât partea stângă a acesteia este determinantul matricei A-λE. Polinom în raport cu λ | A-λE| numit polinom caracteristic matrice a.

Proprietățile polinomului caracteristic:

1) Polinomul caracteristic al unei transformări liniare nu depinde de alegerea bazei. Dovada. (vezi (9.4)), dar Prin urmare, . Astfel, nu depinde de alegerea bazei. Prin urmare, și | A-λE| nu se modifică la trecerea la o nouă bază.

2) Dacă matricea DAR transformarea liniară este simetric(acestea. a ij = a ji), atunci toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) sunt numere reale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

1) Dacă alegem o bază din vectori proprii x 1, x 2, x 3 corespunzătoare valorilor proprii A1, A2, A3 matrici DAR, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

2) Dacă valorile proprii de transformare DAR sunt diferiți, atunci vectorii proprii corespunzători acestora sunt liniar independenți.

3) Dacă polinomul caracteristic al matricei DAR are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea DAR are o formă diagonală.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei Să facem ecuația caracteristică: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Aflați coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) este vectorul propriu corespunzător λ 1 = -2, atunci

este un sistem colaborativ, dar nedeterminat. Soluția sa poate fi scrisă ca X (1) ={A,0,-A), unde a este orice număr. În special, dacă aveți nevoie de faptul că | X (1) |=1, X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem pentru determinarea coordonatelor celui de-al doilea vector propriu - X (2) ={y1,y2,y3}:

, Unde X (2) ={b,-b,b) sau, cu condiția | X (2) |=1, X (2) =

Pentru λ 3 = 6 găsiți vectorul propriu X (3) ={z1, z2, z3}:

, X (3) ={c,2c,c) sau în versiunea normalizată

x (3) = Se vede că X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Astfel, vectorii proprii ai acestei matrice sunt ortogonali pe perechi.

Cursul 10

Formele pătratice și legătura lor cu matrici simetrice. Proprietăți ale vectorilor proprii și ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică.

Definiția 10.1.formă pătratică variabile reale x 1, x 2,…, x n se numeste un polinom de gradul doi fata de aceste variabile, care nu contine termen liber si termeni de gradul I.

Exemple de forme pătratice:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Amintiți-vă definiția unei matrice simetrice dată în ultima prelegere:

Definiția 10.2. Matricea pătrată se numește simetric, dacă , adică dacă elementele matricei simetrice față de diagonala principală sunt egale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii ai unei matrice simetrice:

1) Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.

Dovada (pentru n = 2).

Lasă matricea DAR se pare ca: . Să facem ecuația caracteristică:

(10.2) Aflați discriminantul:

Prin urmare, ecuația are doar rădăcini reale.

2) Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Dovada (pentru n= 2).

Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile.