Irina 25 Fracții proprii și improprii. Fracții proprii și improprii

Ele sunt împărțite în bine și greșit.

Fracții proprii

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită al cărei numărător este mai mic decât numitorul.

Pentru a afla dacă o fracție este corectă, trebuie să-i comparați termenii între ei. Termenii fracției sunt comparați conform regulii de comparare a numerelor naturale.

Exemplu. Luați în considerare o fracție:

7

8

Exemplu:

8	= 1	1
7		7

Reguli de traducere și exemple suplimentare pot fi găsite în subiectul Conversia unei fracții improprie într-un număr mixt. De asemenea, puteți utiliza calculatorul online pentru a converti o fracție necorespunzătoare într-un număr mixt.

Compararea fracțiilor proprii și improprii

Orice fracție ordinară improprie este mai mare decât una proprie, deoarece o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu, iar una improprie este mai mare sau egală cu unu.

Exemplu:

3	>	99
2		100

Reguli de comparație și exemple suplimentare pot fi găsite în subiectul Compararea fracțiilor ordinare. De asemenea, pentru a compara fracții sau pentru a verifica comparația pe care o puteți folosi

Fracțiile obișnuite sunt împărțite în fracții \textit (proprie) și \textit (improprie). Această împărțire se bazează pe compararea numărătorului și numitorului.

Fracții proprii

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$ al cărei numărător este mai mic decât numitorul, adică. $m

Exemplul 1

De exemplu, fracțiile $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sunt regulate , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mic decât numitorul, ceea ce corespunde definiției unei fracții proprii.

Există o definiție a unei fracții adecvate, care se bazează pe compararea unei fracții cu o unitate.

corect dacă este mai mică de unu:

Exemplul 2

De exemplu, fracția comună $\frac(6)(13)$ este proprie deoarece condiție $\frac(6)(13)

Fracții improprii

Fracție improprie este o fracție obișnuită $\frac(m)(n)$ al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul, adică. $m\ge n$.

Exemplul 3

De exemplu, fracțiile $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sunt improprii , deci cum în fiecare dintre ele numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, ceea ce corespunde definiției unei fracții improprie.

Să dăm definiția unei fracții improprie, care se bazează pe compararea acesteia cu unitatea.

Fracția ordinară $\frac(m)(n)$ este gresit dacă este egală sau mai mare decât unu:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Exemplul 4

De exemplu, fracția comună $\frac(21)(4)$ este improprie deoarece condiția $\frac(21)(4) >1$ este îndeplinită;

fracția obișnuită $\frac(8)(8)$ este improprie deoarece condiția $\frac(8)(8)=1$ este îndeplinită.

Să luăm în considerare mai detaliat conceptul de fracție improprie.

Să luăm ca exemplu $\frac(7)(7)$. Valoarea acestei fracții este luată ca șapte părți ale unui obiect, care este împărțit în șapte părți egale. Astfel, din cele șapte acțiuni disponibile, puteți alcătui întregul subiect. Acestea. fracția improprie $\frac(7)(7)$ descrie întregul obiect și $\frac(7)(7)=1$. Deci, fracțiile improprii, în care numărătorul este egal cu numitorul, descriu un obiect întreg, iar o astfel de fracție poate fi înlocuită cu un număr natural $1$.

$\frac(5)(2)$ -- este destul de evident că aceste cinci secunde părți pot face $2$ articole întregi (un articol întreg va face $2$ părți, iar pentru a face două articole întregi aveți nevoie de $2+2=4$ cotă) și rămâne o a doua cotă. Adică, fracția improprie $\frac(5)(2)$ descrie $2$ a unui articol și $\frac(1)(2)$ a acelui articol.

$\frac(21)(7)$ -- douăzeci și unu-șapte pot face $3$ articole întregi ($3$ articole cu $7$ acțiuni fiecare). Acestea. fracția $\frac(21)(7)$ descrie $3$ numere întregi.

Din exemplele luate în considerare se poate trage următoarea concluzie: o fracție improprie poate fi înlocuită cu un număr natural dacă numărătorul este complet divizibil cu numitor (de exemplu, $\frac(7)(7)=1$ și $\ frac(21)(7)=3$) , sau suma unui număr natural și a unei fracții proprii dacă numărătorul nu este nici măcar divizibil cu numitor (de exemplu, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Prin urmare, astfel de fracții sunt numite gresit.

Definiția 1

Procesul de reprezentare a unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (de exemplu, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se numește extragerea părții întregi dintr-o fracție improprie.

Când lucrați cu fracții improprii, există o legătură strânsă între acestea și numerele mixte.

O fracție improprie este adesea scrisă ca un număr mixt, un număr care constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională.

Pentru a scrie o fracție improprie ca număr mixt, trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul cu rest. Coeficientul va fi partea întreagă a numărului mixt, restul va fi numărătorul părții fracționale, iar divizorul va fi numitorul părții fracționale.

Exemplul 5

Scrieți fracția improprie $\frac(37)(12)$ ca număr mixt.

Soluţie.

Împărțiți numărătorul la numitorul cu rest:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (restul\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Răspuns.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Pentru a scrie un număr mixt ca fracție improprie, trebuie să înmulțiți numitorul cu partea întreagă a numărului, să adăugați numărătorul părții fracționale la produsul care a rezultat și să scrieți suma rezultată în numărătorul fracției. Numitorul fracției improprie va fi egal cu numitorul părții fracționale a numărului mixt.

Exemplul 6

Scrieți numărul mixt $5\frac(3)(7)$ ca o fracție improprie.

Soluţie.

Răspuns.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Adăugarea unui număr mixt și a unei fracții adecvate

Adăugarea unui număr mixt$a\frac(b)(c)$ și fracția adecvată$\frac(d)(e)$ se efectuează prin adăugarea părții fracționale a numărului mixt dat la fracția dată:

Exemplul 7

Adăugați fracția adecvată $\frac(4)(15)$ și numărul mixt $3\frac(2)(5)$.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a adăuga un număr mixt și o fracție adecvată:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ stânga(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( cincisprezece)\]

Prin criteriul împărțirii la numărul \textit(5 ) se poate determina că fracția $\frac(10)(15)$ este reductibilă. Efectuați reducerea și găsiți rezultatul adunării:

Deci, rezultatul adunării fracției proprii $\frac(4)(15)$ și a numărului mixt $3\frac(2)(5)$ este $3\frac(2)(3)$.

Răspuns:$3\frac(2)(3)$

Adunarea unui număr mixt și a unei fracții improprie

Adunarea unei fracții improprie și a unui număr mixt reduceți la adăugarea a două numere mixte, pentru care este suficient să selectați întreaga parte dintr-o fracție improprie.

Exemplul 8

Calculați suma numărului mixt $6\frac(2)(15)$ și a fracției improprie $\frac(13)(5)$.

Soluţie.

În primul rând, extragem partea întreagă din fracția improprie $\frac(13)(5)$:

Răspuns:$8\frac(11)(15)$.

Au tăiat tortul în 8 părți egale (Fig. 122, a) și au pus 3 părți pe o farfurie.

Pe ea era o pirogă (Fig. 122, b). Dacă puneți toate cele 8 părți, atunci va fi o plăcintă pe farfurie, adică toată plăcinta (Fig. 122, c).

Orez. 122

Deci = 1.

Să luăm o altă plăcintă similară și să o tăiem și în 8 părți egale (Fig. 123, a). Dacă puneți, de exemplu, 11 părți pe o farfurie, atunci va fi o plăcintă (Fig. 123, b).

Orez. 123

Într-o fracție, numărătorul este mai mic decât numitorul. Astfel de fracții sunt numite propriu-zise. Într-o fracție, numărătorul este egal cu numitorul, iar într-o fracție, numărătorul este mai mare decât numitorul. Astfel de fracții se numesc improprii.

Orez. 124

De exemplu,< 1, = 1, > 1.

Întrebări pentru autoexaminare

• Ce este o fracție adecvată?
• Ce este o fracție improprie?
• Poate o fracție proprie să fie mai mare decât 1?
• O fracție improprie este întotdeauna mai mare decât 1?
• Care fracție este mai mare dacă una dintre ele este corectă și cealaltă este incorectă?

Faceți exercițiile

974. Lungimea segmentului AB este de 8 cm. Desenați un segment a cărui lungime este:

975. Marcați punctele de pe fascicul cu coordonatele:

Pentru un singur segment, luați lungimea a 12 celule ale blocnotesului.

976. Scrie:

• a) toate fracțiile proprii cu numitorul 6;
• b) toate fracțiile improprii cu numărătorul 5.

977. Pentru ce valori ale lui a este o fracție:

978. O mașină poate săpa un șanț de 1 m lungime în 6 minute.Ce lungime a unui șanț poate săpa o mașină în 1 minut; 5 minute; 7 min; 11 min?

979. Un kilogram de vopsea poate acoperi 5 m2 de suprafata. Câtă vopsea este necesară pentru a vopsi 3 m 2; 6 m 2; 13 m2 de suprafata?

980. Echipa de constructii a construit ferma in 48 de zile. Planul prevedea de data aceasta. Câte zile au fost alocate pentru construirea fermei conform planului?

981. Turnerul a transformat 135 de piese la strung in 3 ore, completand norma zilnica. Cate piese a avut de macinat intr-o zi lucratoare (8 ore) conform normei? Câte piese va prelucra într-o zi de lucru dacă lucrează cu aceeași productivitate?

982. Turnerul a turnat 135 de piese la strung, completand norma zilnica. Care este diurna lui?

983. Concertul tinerilor muzicieni, în loc de cele 3 ore planificate, a continuat de această dată, publicul a cerut să repete unele dintre spectacolele preferate. Cât a durat concertul? Câte minute au fost bisurile?

984. Calculați oral:

985. Câte minute într-o oră? Ce fracție de oră este 1 minut? 7 min; 15 minute?

986. De câte ori un cenț este mai mult decât un kilogram? Ce parte dintr-un center este un kilogram? Câți cenți sunt mai mult de un kilogram?

987. Câte minute

988. Adunați numerele 40 și numerele 60. Scădeți numerele 81 din numărul 72.

989. Jumătate din număr este 18. Găsiți acest număr. O treime din număr este 27. Găsiți acest număr. Trei sferturi din număr este 60. Găsiți acest număr.

990. Ce parte a patrulaterului ABCD (Fig. 125) este umbrită? Ce parte a rămas nevopsită?

Orez. 125

991. Exprimați în grame:

• a) 3 kg 400 g;
• b) 2 kg 30 g;
• c) 15 kg.

992. Sortați fracțiile în ordine crescătoare:

Aranjați aceste fracții în ordine descrescătoare.

993. Numiți patru fracții care sunt mai mici decât

994. Numiți 5 fracții care sunt mai mari decât .

995. Desenați un pătrat cu latura de 4 cm Arată pe desen: un pătrat, un pătrat. Găsiți ariile acestor părți ale pătratului și explicați rezultatul.

996. În prima zi, brigada a colectat 5 tone 400 kg de cartofi, iar în a doua zi - 1 tonă 200 kg mai puțin decât în ​​prima. În a treia zi, brigada a strâns de 2 ori mai mulți cartofi decât în ​​a doua. Câți cartofi au fost recoltați de brigadă în aceste trei zile?

997. Scrieți o problemă conform ecuației:

• a) (y + 6) - 2 = 15;
• b) 2(a - 5) = 24;
• c) 3(25 + b) + 15 = 135.

998. În prima mașină erau un popor, iar în a doua - b oameni. La oprire, c oameni au coborât din prima mașină, iar d oameni au coborât din a doua mașină. Care este sensul următoarelor expresii:

• a + b;
• a - c;
• c + d;
• b-d;
• (a + b) - (c + d);
• (a - c) + (b - d)?

Explică de ce

(a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d)

pentru a > c, b > d.

Verificați această egalitate cu a = 45, b = 39, c = 14, d = 12.

Folosind egalitatea rezultată, calculați valoarea expresiei:

• a) (548 + 897) - (148 + 227);
• b) (391 + 199) - (181 + 79).

999. Gândiți-vă la cinci fracții al căror numărător este cu 3 mai mic decât numitorul. Notează cinci fracții al căror numărător este de 3 ori numitorul.

1000. Pentru ce valori ale lui x va fi improprie fracția?

1001. Fermierul plănuia să strângă 12 tone de legume de pe câmp, dar a adunat această sumă. Câte tone de legume a adunat fermierul?

1002. Turistul a mers 18 km în prima zi, care este poteca pe care trebuie să o parcurgă în a doua zi. Câți kilometri trebuie să meargă un turist în aceste două zile?

1003. Un tren de marfă a plecat din Sankt Petersburg spre Moscova cu o viteză de 48 km/h, iar o oră mai târziu, un tren rapid a plecat din Moscova spre Sankt Petersburg cu o viteză de 82 km/h. Găsiți distanța dintre trenuri:

• a) la 1 oră de la ieșirea din trenul rapid;
• b) la 3 ore de la plecarea trenului de marfă;
• c) la 5 ore de la ieșirea din trenul rapid.

Distanța de la Moscova la Sankt Petersburg este de 650 km.

1004. Aflați valoarea expresiei:

• a) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• b) (2 254 175 + 94 447): 414 - 1329;
• c) (123 - 93): (12 - 9);
• d) (62 + Z2)2.