Punctul de maxim și minim al funcției. Ce sunt extremele unei funcții: punctele critice de maxim și minim

În multe probleme, este necesar să se calculeze valoarea maximă sau minimă a unei funcții pătratice. Maximul sau minimul poate fi găsit dacă funcția originală este scrisă în formă standard: sau prin coordonatele vârfului parabolei: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Mai mult, maximul sau minimul oricărei funcții pătratice poate fi calculat folosind operații matematice.

Pași

Funcția pătratică este scrisă în formă standard

Scrieți funcția în formă standard. O funcție pătratică este o funcție a cărei ecuație include o variabilă x 2 (\displaystyle x^(2)). Ecuația poate include sau nu o variabilă x (\displaystyle x). Dacă o ecuație include o variabilă cu un exponent mai mare de 2, ea nu descrie o funcție pătratică. Dacă este necesar, aduceți termeni similari și rearanjați-i pentru a scrie funcția în formă standard.

• De exemplu, dată o funcție f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Adăugați termeni cu o variabilă x 2 (\displaystyle x^(2))și membri cu o variabilă x (\displaystyle x) pentru a scrie ecuația în formă standard:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile unei parabole sunt îndreptate în sus sau în jos. Dacă coeficientul a (\displaystyle a) cu o variabilă x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Aici a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Aici, deci parabola este îndreptată în jos.
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Aici a = 1 (\displaystyle a=1) deci parabola este îndreptată în sus.
   • Dacă parabola este îndreptată în sus, trebuie să-i căutați minimul. Dacă parabola este îndreptată în jos, căutați maximul său.

2. Calculați -b/2a. Sens − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) este coordonata x (\displaystyle x) vârful parabolei. Dacă funcția pătratică este scrisă în forma standard a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), utilizați coeficienții pentru x (\displaystyle x)și x 2 (\displaystyle x^(2)) in felul urmator:

   • În coeficienții de funcție a = 1 (\displaystyle a=1)și b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Ca un al doilea exemplu, luați în considerare funcția . Aici a = − 3 (\displaystyle a=-3)și b = 6 (\displaystyle b=6). Prin urmare, calculați coordonatele x a vârfului parabolei după cum urmează:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Găsiți valoarea corespunzătoare a lui f(x).Înlocuiți valoarea găsită a lui "x" în funcția originală pentru a găsi valoarea corespunzătoare a lui f(x). Așa găsiți minimul sau maximul funcției.

   • În primul exemplu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) ai calculat că coordonata x a vârfului parabolei este x = − 5 (\displaystyle x=-5). În funcția originală, în loc de x (\displaystyle x) substitui − 5 (\displaystyle -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • În al doilea exemplu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) ați descoperit că coordonata x a vârfului parabolei este x = 1 (\displaystyle x=1). În funcția originală, în loc de x (\displaystyle x) substitui 1 (\displaystyle 1) pentru a-i găsi valoarea maximă:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Scrieți răspunsul. Recitiți starea problemei. Dacă trebuie să găsiți coordonatele vârfului parabolei, notați ambele valori în răspunsul dvs x (\displaystyle x)și y (\displaystyle y)(sau f (x) (\displaystyle f(x))). Dacă trebuie să calculați maximul sau minimul unei funcții, notați doar valoarea din răspunsul dvs y (\displaystyle y)(sau f (x) (\displaystyle f(x))). Privește din nou semnul coeficientului a (\displaystyle a) pentru a verifica dacă ai calculat maxim sau minim.

   • În primul exemplu f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) sens a (\displaystyle a) este pozitiv, deci ai calculat minimul. Vârful parabolei se află în punctul cu coordonatele (− 5 , - 26) (\displaystyle (-5,-26)), iar valoarea minimă a funcției este − 26 (\displaystyle -26).
   • În al doilea exemplu f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) sens a (\displaystyle a) negativ, așa că ați găsit maximul. Vârful parabolei se află în punctul cu coordonatele (1 , - 1) (\displaystyle (1,-1)), iar valoarea maximă a funcției este egală cu − 1 (\displaystyle -1).

5. Determinați direcția parabolei. Pentru a face acest lucru, uitați-vă la semnul coeficientului a (\displaystyle a). Dacă coeficientul a (\displaystyle a) pozitiv, parabola este îndreptată în sus. Dacă coeficientul a (\displaystyle a) negativ, parabola este îndreptată în jos. De exemplu:

   • . Aici a = 2 (\displaystyle a=2), adică coeficientul este pozitiv, deci parabola este îndreptată în sus.
   • . Aici a = − 3 (\displaystyle a=-3), adică coeficientul este negativ, deci parabola este îndreptată în jos.
   • Dacă parabola este îndreptată în sus, trebuie să calculați valoarea minimă a funcției. Dacă parabola este îndreptată în jos, este necesar să se găsească valoarea maximă a funcției.

6. Găsiți valoarea minimă sau maximă a funcției. Dacă funcția este scrisă în termeni de coordonatele vârfului parabolei, minimul sau maximul este egal cu valoarea coeficientului k (\displaystyle k). În exemplele de mai sus:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aici k = - 4 (\displaystyle k=-4). Aceasta este valoarea minimă a funcției deoarece parabola este îndreptată în sus.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aici k = 2 (\displaystyle k=2). Aceasta este valoarea maximă a funcției deoarece parabola este îndreptată în jos.

7. Aflați coordonatele vârfului parabolei. Dacă în problemă se cere găsirea vârfului parabolei, coordonatele acesteia sunt (h, k) (\displaystyle (h,k)). Rețineți că atunci când o funcție pătratică este scrisă în termeni de coordonatele vârfului parabolei, operația de scădere trebuie inclusă între paranteze. (x - h) (\displaystyle (x-h)), deci valoarea h (\displaystyle h) luate cu semnul opus.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Aici, operația de adăugare (x+1) este cuprinsă între paranteze, care poate fi rescrisă după cum urmează: (x-(-1)). În acest fel, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Prin urmare, coordonatele vârfului parabolei acestei funcții sunt (− 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Aici în paranteze este expresia (x-2). Prin urmare, h = 2 (\displaystyle h=2). Coordonatele vârfurilor sunt (2,2).

Cum se calculează minimul sau maximul folosind operații matematice

1. Să luăm mai întâi în considerare forma standard a ecuației. Scrieți funcția pătratică în formă standard: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Dacă este necesar, aduceți termeni similari și rearanjați-i pentru a obține ecuația standard.

   • De exemplu: .

2. Găsiți prima derivată. Prima derivată a unei funcții pătratice, care este scrisă în formă standard, este egală cu f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Prima derivată a acestei funcții se calculează după cum urmează:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Setați derivata la zero. Reamintim că derivata unei funcții este egală cu panta funcției la un anumit punct. La minim sau maxim, panta este zero. Prin urmare, pentru a găsi valoarea minimă sau maximă a unei funcții, derivata trebuie egalată cu zero. În exemplul nostru.

77419.Găsiți punctul maxim al funcției y \u003d x 3 -48x + 17

Să găsim zerourile derivatei:

Să luăm rădăcinile:

Să determinăm semnele derivatei funcției prin înlocuirea valorilor din intervale în derivata rezultată și să descriem comportamentul funcției în figură:

Am constatat că în punctul –4, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ. Astfel, punctul x=-4 este punctul maxim dorit.

Răspuns: -4

77423. Găsiți punctul maxim al funcției y \u003d x 3 -3x 2 +2

Aflați derivata funcției date:

Echivalează derivata cu zero și rezolvă ecuația:

În punctul x=0, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim.

77427. Găsiți punctul maxim al funcției y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3

Aflați derivata funcției date:

Când egalăm derivata cu zero și rezolvăm ecuația:

Să determinăm semnele derivatei funcției și să desenăm în figură intervalele de creștere și scădere ale funcției prin înlocuirea valorilor din fiecare interval în expresia derivată:

În punctul x=-1, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

Raspunsul 1

77431. Aflați punctul maxim al funcției y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

3x 2 - 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

În punctul x = 1, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

77435. Găsiți punctul maxim al funcției y \u003d 7 + 12x - x 3

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

12 - 3x 2 = 0

Rezolvând ecuația pătratică obținem:

* Acestea sunt punctele maxime (minime) posibile ale funcției.

Să construim o axă numerică, să marchem zerourile derivatei. Determinăm semnele derivatei prin substituirea unei valori arbitrare din fiecare interval în expresia derivatei funcției și descriem schematic creșterea și scăderea intervalelor:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

În punctul x = 2, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

*Pentru aceeași funcție, punctul minim este punctul x = - 2.

77439. Găsiți punctul maxim al funcției y \u003d 9x 2 -x 3

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

18x -3x 2 = 0

3x(6 - x) = 0

Rezolvând ecuația obținem:

* Acestea sunt punctele maxime (minime) posibile ale funcției.

Să construim o axă numerică, să marchem zerourile derivatei. Determinăm semnele derivatei prin substituirea unei valori arbitrare din fiecare interval în expresia derivatei funcției și descriem schematic creșterea și scăderea intervalelor:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

În punctul x=6, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

*Pentru aceeași funcție, punctul minim este x = 0.

Cu acest serviciu, puteți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu designul soluției în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile . De asemenea, puteți găsi intervalele de creștere și scădere ale funcției.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

y=

pe segmentul [ ;]

Include Teoria

Reguli de introducere a funcției:

O condiție necesară pentru un extremum al unei funcții a unei variabile

Ecuația f "0 (x *) \u003d 0 este o condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Selectează punctele staționare x c ​​la care funcția nu creste si nu scade .

O condiție suficientă pentru un extremum al unei funcții a unei variabile

Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D . Dacă în punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minimului local (global) al funcției.

Dacă în punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Acel punct x * este un maxim local (global).

Exemplul #1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment .
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f'(x)=0). Acest punct aparține segmentului . (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 pentru x=2; f max =9 la x=1

Exemplul #2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y''=2sin(x), calculăm , deci x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , deci x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul #3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0 , atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
Trebuie remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți, derivata își schimbă semnul. În aceste puncte, trebuie să aplicați alte metode pentru a studia funcțiile până la extrem.

Creșterea, descreșterea și extremele unei funcții

Găsirea intervalelor de creștere, scădere și extreme ale unei funcții este atât o sarcină independentă, cât și o parte importantă a altor sarcini, în special, studiu complet al funcției. Informațiile inițiale despre creșterea, scăderea și extremele funcției sunt date în capitol teoretic despre derivată, pe care îl recomand cu căldură pentru studiu preliminar (sau repetare)- de asemenea, pentru că următorul material se bazează pe foarte esența derivatului fiind o continuare armonioasă a acestui articol. Deși, dacă timpul se scurge, atunci este posibilă și o elaborare pur formală a exemplelor lecției de astăzi.

Și astăzi există un spirit de unanimitate rară în aer și pot simți direct că toți cei prezenți ard de dorință învață să explorezi o funcție folosind o derivată. Prin urmare, terminologia veșnică rezonabilă bună apare imediat pe ecranele monitoarelor dumneavoastră.

Pentru ce? Unul dintre cele mai practice motive este: pentru a clarifica ceea ce ți se cere în general într-o anumită sarcină!

Monotonitatea funcției. Puncte extreme și funcții extreme

Să luăm în considerare o funcție. Simplist, presupunem că continuu pe întreaga linie numerică:

Pentru orice eventualitate, vom scăpa imediat de eventualele iluzii, mai ales pentru acei cititori care s-au familiarizat recent cu intervale de constanță de semn ale funcției. Acum noi NU SUNT INTERESAT, cum este situat graficul funcției în raport cu axa (deasupra, dedesubt, unde traversează axa). Pentru persuasivitate, ștergeți mental axele și lăsați un grafic. Pentru că interesul este în el.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte din acest interval legate de relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul său merge „de jos în sus”. Funcția demo crește în intervalul .

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale intervalului dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul acesteia merge „de sus în jos”. Funcția noastră scade pe intervale .

Dacă o funcție crește sau descrește într-un interval, atunci se numește strict monoton pe acest interval. Ce este monotonitatea? Luați-o la propriu - monotonie.

De asemenea, este posibil să se definească nescădere funcția (condiție relaxată în prima definiție) și necrescătoare funcția (condiție atenuată în a 2-a definiție). O funcție care nu descrește sau nu crește pe un interval se numește funcție monotonă pe un interval dat (monotonitatea strictă este un caz special de monotonitate „doar”).

Teoria are în vedere și alte abordări pentru determinarea creșterii/scăderii unei funcții, inclusiv pe semiintervale, segmente, dar pentru a nu vărsa ulei-ulei-ulei pe cap, suntem de acord să operam cu intervale deschise cu definiții categorice - acest lucru este mai clar și suficient pentru a rezolva multe probleme practice.

În acest fel, în articolele mele, formularea „monotonitatea unei funcții” se va ascunde aproape întotdeauna intervale monotonie strictă(creșterea strictă sau scăderea strictă a funcției).

Cartierul Point. Cuvinte după care elevii se împrăștie oriunde pot, și se ascund îngroziți în colțuri. …Deși după postare Limitele Cauchy probabil că nu se mai ascund, ci doar tremură puțin =) Nu vă faceți griji, acum nu vor exista dovezi ale teoremelor de analiză matematică - aveam nevoie de vecinătate pentru a formula definiții mai riguros puncte extremum. Ne amintim:

Punct de vecinătate numiți intervalul care conține punctul dat, în timp ce, pentru comoditate, intervalul este adesea presupus a fi simetric. De exemplu, un punct și vecinătatea sa standard:

Practic definițiile:

Punctul se numește punct maxim strict, dacă există cartierul ei, pentru toți valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea este îndeplinită. În exemplul nostru particular, acesta este un punct.

Punctul se numește punct minim strict, dacă există cartierul ei, pentru toți valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea este îndeplinită. În desen - punctul „a”.

Notă : cerința ca vecinătatea să fie simetrică nu este deloc necesară. În plus, este important însuşi faptul existenţei cartier (deși minuscul, chiar microscopic) care îndeplinește condițiile specificate

Se numesc puncte puncte de extremum strict sau pur și simplu puncte extremum funcții. Adică este un termen generalizat pentru puncte maxime și puncte minime.

Cum să înțelegeți cuvântul „extremum”? Da, la fel de direct ca monotonia. Puncte extreme ale roller coaster.

Ca și în cazul monotonității, în teorie există și chiar mai frecvente postulate non-strict (sub care, desigur, se încadrează cazurile stricte considerate!):

Punctul se numește punct maxim, dacă existăîmprejurimile sale, astfel încât pentru toți
Punctul se numește punct minim, dacă existăîmprejurimile sale, astfel încât pentru toți valorile acestui cartier, inegalitatea este valabilă.

Rețineți că, conform ultimelor două definiții, orice punct al unei funcții constante (sau o „zonă plată” a unei anumite funcții) este considerat atât un punct maxim, cât și un punct minim! Funcția , apropo, este atât necreștere, cât și nedescrescătoare, adică monotonă. Cu toate acestea, lăsăm aceste argumente în seama teoreticienilor, deoarece în practică aproape întotdeauna contemplăm tradiționalele „dealuri” și „hollows” (vezi desenul) cu un unic „rege al dealului” sau „prințesă de mlaștină”. Ca varietate, apare punct, direcționat în sus sau în jos, de exemplu, minimul funcției în punctul .

Ah, și vorbind despre regalitate:
- se numeste sensul maxim funcții;
- se numeste sensul minim funcții.

Denumirea comună - extreme funcții.

Vă rog să aveți grijă la cuvintele voastre!

puncte extremum sunt valori „x”.
Extreme- valorile „joc”.

! Notă : uneori termenii enumerați se referă la punctele „x-y” care se află direct pe GRAFUL funcției.

Câte extreme poate avea o funcție?

Niciunul, 1, 2, 3, … etc. catre infinit. De exemplu, sinusul are un număr infinit de minime și maxime.

IMPORTANT! Termenul „funcție maximă” nu identice termenul „valoarea maximă a unei funcții”. Este ușor de observat că valoarea este maximă doar în cartierul local, iar în stânga sus sunt „tovarăși mai brusc”. La fel, „funcția minimă” nu este același lucru cu „valoarea funcției minime”, iar în desen putem observa că valoarea este minimă doar într-o anumită zonă. În acest sens, sunt numite și puncte extreme punctele extreme locale, iar extrema extreme locale. Se plimbă și rătăcesc și global fraţi. Deci, orice parabolă are la vârf minim global sau maxim global. În plus, nu voi face distincția între tipurile de extreme, iar explicația este exprimată mai mult în scopuri educaționale generale - adjectivele suplimentare „local” / „global” nu trebuie luate prin surprindere.

Să rezumam scurta noastră digresiune în teorie cu o lovitură de control: ce implică sarcina „găsește intervale de monotonitate și puncte extreme ale unei funcții”?

Formularea solicită găsirea:

- intervale de creștere/scădere a funcției (nedescrescătoare, necrescătoare apar mult mai rar);

– puncte maxime și/sau puncte minime (dacă există). Ei bine, este mai bine să găsiți ei înșiși minimele / maximele din eșec ;-)

Cum să definești toate acestea? Cu ajutorul unei funcții derivate!

Cum să găsiți intervalele de creștere, scădere,
puncte extreme și extreme ale funcției?

Multe reguli, de fapt, sunt deja cunoscute și înțelese din lectie despre sensul derivatului.

Derivată tangentă poartă vestea bună că funcția crește pe tot parcursul domenii.

Cu cotangentă și derivatul său situatia este exact inversa.

Arcsinusul crește pe interval - derivata este pozitivă aici: .
Pentru , funcția este definită, dar nu este diferențiabilă. Totuși, în punctul critic există o derivată din dreapta și o tangentă din dreapta, iar pe cealaltă margine, omologii lor din stânga.

Cred că nu vă va fi dificil să efectuați un raționament similar pentru arccosinus și derivata sa.

Toate aceste cazuri, dintre care multe sunt derivate tabulare, vă reamintesc, urmăriți direct de la definiții ale derivatului.

De ce să explorezi o funcție cu o derivată?

Pentru a vă face o idee mai bună despre cum arată graficul acestei funcții: unde merge „de jos în sus”, unde merge „de sus în jos”, unde ajunge la cotele minime ale înalților (dacă este deloc). Nu toate funcțiile sunt atât de simple - în majoritatea cazurilor, în general, nu avem cea mai mică idee despre graficul unei anumite funcții.

Este timpul să trecem la exemple mai semnificative și să luăm în considerare algoritm pentru găsirea intervalelor de monotonitate și a extremelor unei funcții:

Exemplul 1

Găsiți intervalele crescătoare/descrescătoare și extremele unei funcții

Soluţie:

1) Primul pas este să găsești domeniul de aplicare al funcției, și, de asemenea, luați notă de punctele de întrerupere (dacă există). În acest caz, funcția este continuă pe întreaga linie reală, iar această acțiune este oarecum formală. Dar, în unele cazuri, aici izbucnesc pasiuni serioase, așa că să tratăm paragraful fără neglijare.

2) Al doilea punct al algoritmului este datorat

condiție necesară pentru un extremum:

Dacă există un extremum la punct, atunci fie valoarea nu există.

Confuz de final? Extremul funcției „modulo x” .

condiția este necesară, dar insuficient, iar inversul nu este întotdeauna adevărat. Deci, încă nu rezultă din egalitate ca funcția să atingă un maxim sau un minim în punctul . Un exemplu clasic a fost deja luminat mai sus - aceasta este o parabolă cubică și punctul său critic.

Dar oricum ar fi, condiția necesară pentru un extremum dictează necesitatea de a găsi puncte suspecte. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata și rezolvați ecuația:

La începutul primului articol despre graficele de funcțiiȚi-am spus cum să construiești rapid o parabolă folosind un exemplu : „... luăm derivata întâi și o echivalăm cu zero: ... Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei...”. Acum, cred că toată lumea înțelege de ce vârful parabolei este exact în acest punct =) În general, ar trebui să începem cu un exemplu similar aici, dar este prea simplu (chiar și pentru un ceainic). În plus, există un analog la sfârșitul lecției despre funcţie derivată. Deci, să ridicăm nivelul:

Exemplul 2

Găsiți intervalele de monotonitate și extremele unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și o mostră aproximativă de finisare a problemei la sfârșitul lecției.

Momentul mult așteptat al întâlnirii cu funcțiile raționale fracționale a venit:

Exemplul 3

Explorați o funcție folosind derivata întâi

Fiți atenți la cât de variat poate fi reformulată una și aceeași sarcină.

Soluţie:

1) Funcția suferă întreruperi infinite în puncte.

2) Detectăm punctele critice. Să găsim prima derivată și să o echivalăm cu zero:

Să rezolvăm ecuația. O fracție este zero când numărătorul ei este zero:

Astfel, obținem trei puncte critice:

3) Pune deoparte TOATE punctele detectate pe linia numerică și metoda intervalului definiți semnele DERIVATULUI:

Vă reamintesc că trebuie să luați un punct din interval, să calculați valoarea derivatei din acesta și determinați-i semnul. Este mai profitabil să nu numărăm, ci să „estimați” verbal. Luați, de exemplu, un punct aparținând intervalului și efectuați înlocuirea: .

Două „plusuri” și unul „minus” dau un „minus”, prin urmare, ceea ce înseamnă că derivata este negativă pe întreg intervalul.

Acțiunea, după cum înțelegeți, trebuie efectuată pentru fiecare dintre cele șase intervale. Apropo, rețineți că factorul numărător și numitorul sunt strict pozitive pentru orice punct din orice interval, ceea ce simplifică foarte mult sarcina.

Deci, derivata ne-a spus că FUNCȚIA ÎNSĂȘI crește cu si scade cu . Este convenabil să fixați intervalele de același tip cu pictograma uniune.

În momentul în care funcția atinge maximul:
În momentul în care funcția atinge minimul:

Gândiți-vă de ce nu puteți recalcula a doua valoare ;-)

Când trece printr-un punct, derivata nu își schimbă semnul, așa că funcția nu are NU EXTREM acolo - atât a scăzut, cât și a rămas în scădere.

! Să repetăm ​​un punct important: punctele nu sunt considerate critice - au o funcție nedeterminat. În consecință, aici extremums nu pot fi în principiu(chiar dacă derivata își schimbă semnul).

Răspuns: functia creste cu și scade pe În momentul în care se atinge maximul funcției: , iar la punctul - minimul: .

Cunoașterea intervalelor de monotonitate și a extremelor, cuplate cu stabilite asimptote oferă deja o idee foarte bună despre aspectul graficului funcției. O persoană obișnuită este capabilă să determine verbal că un grafic al funcției are două asimptote verticale și o asimptotă oblică. Iată eroul nostru:

Încercați din nou să corelați rezultatele studiului cu graficul acestei funcții.
Nu există extremum în punctul critic, dar există inflexia curbei(ceea ce, de regulă, se întâmplă în cazuri similare).

Exemplul 4

Găsiți extremele unei funcții

Exemplul 5

Găsiți intervalele de monotonitate, maximele și minimele unei funcții

... doar un fel de vacanță X-în-un-cub se dovedește astăzi ....
Soooo, cine s-a oferit să bea pentru asta, acolo în galerie? =)

Fiecare sarcină are propriile sale nuanțe de fond și subtilități tehnice, care sunt comentate la sfârșitul lecției.