Studiul subiectului exact: numerele naturale sunt ce numere, exemple și proprietăți. Numerele nenaturale

În matematică, există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... Viata de zi cu zi folosim cel mai adesea numere naturale, deoarece le întâlnim la numărare și la căutare, indicând numărul de obiecte.

In contact cu

Ce numere se numesc naturale

Din zece cifre, puteți nota absolut orice sumă existentă de clase și ranguri. Valorile naturale sunt acelea care sunt folosite:

• La numărarea oricăror elemente (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
• Când se indică numărul de articole (unu, doi, trei ...)

N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există cel mai mare N, deoarece setul de valori întregi nu este limitat.

Atenţie! Numerele naturale se obțin prin numărarea obiectelor sau prin desemnarea cantității acestora.

Absolut orice număr poate fi descompus și reprezentat ca termeni de biți, de exemplu: 8.346.809=8 milioane+346 mii+809 unități.

Set N

Mulțimea N este în mulțime reale, întregi și pozitive. În diagrama de mulțimi, ele ar fi unul în celălalt, deoarece setul de naturi face parte din ele.

Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera N. Această mulțime are un început, dar fără sfârșit.

Există, de asemenea, o mulțime extinsă N, unde este inclus zero.

cel mai mic număr natural

În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N socotită ca unitate, deoarece absența obiectelor este considerată goală.

Dar în școlile străine de matematică, de exemplu, în franceză, este considerat natural. Prezența zeroului în serie facilitează demonstrarea unele teoreme.

Un set de valori N care include zero se numește extins și este notat cu simbolul N0 (indice zero).

Serii de numere naturale

Un rând N este o succesiune de toate N seturi de cifre. Această secvență nu are sfârșit.

Particularitatea seriei naturale este că următorul număr va diferi cu unul de cel precedent, adică va crește. Dar semnificațiile nu poate fi negativ.

Atenţie! Pentru confortul numărării, există clase și categorii:

• Unități (1, 2, 3),
• Zeci (10, 20, 30),
• Sute (100, 200, 300),
• Mii (1000, 2000, 3000),
• Zeci de mii (30.000),
• Sute de mii (800.000),
• Milioane (4000000) etc.

Toate N

Toți N sunt în mulțimea valorilor reale, întregi, nenegative. Sunt ai lor parte integrantă.

Aceste valori merg la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintilioane etc.

De exemplu:

• Cinci mere, trei pisoi,
• Zece ruble, treizeci de creioane,
• O sută de kilograme, trei sute de cărți,
• Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.

Secvența în N

În diferite școli de matematică, se pot găsi două intervale cărora le aparține șirul N:

de la zero la plus infinit, inclusiv capete, și de la unu la plus infinit, inclusiv capete, adică toate răspunsuri întregi pozitive.

N seturi de cifre pot fi fie pare, fie impare. Luați în considerare conceptul de ciudățenie.

Impare (orice impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu două au un rest. De exemplu, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Ce înseamnă chiar și N?

Orice sume pare ale claselor se termină în numere: 0, 2, 4, 6, 8. Când împărțiți N par la 2, nu va mai rămâne niciun rest, adică rezultatul este un răspuns întreg. De exemplu, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Important! O serie numerică de N nu poate consta doar din valori pare sau impare, deoarece acestea trebuie să se alterneze: un număr par este întotdeauna urmat de un număr impar, apoi din nou un număr par și așa mai departe.

N proprietăți

Ca toate celelalte mulțimi, N are propriile sale proprietăți speciale. Luați în considerare proprietățile seriei N (neextinsă).

• Valoarea care este cea mai mică și care nu urmează nici unei alte este una.
• N sunt o succesiune, adică o valoare naturală urmează altul(cu excepția unuia - este primul).
• Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adunare, înmulțire), atunci răspunsul iese întotdeauna natural sens.
• În calcule, puteți utiliza permutarea și combinația.
• Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. De asemenea, în seria N, va funcționa următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria de numere va exista întotdeauna un C, pentru care egalitatea este adevărată: A + C \u003d B.
• Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu, A și B, atunci una dintre expresii va fi adevărată pentru ele: A \u003d B, A este mai mare decât B, A este mai mică decât B.
• Dacă A este mai mic decât B și B este mai mic decât C, atunci rezultă că că A este mai mic decât C.
• Dacă A este mai mic decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugăm aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mic decât B + C. De asemenea, este adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mic decât AB.
• Dacă B este mai mare decât A, dar mai mic decât C, atunci B-A este mai mic decât C-A.

Atenţie! Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile și în direcția opusă.

Cum se numesc componentele unei înmulțiri?

În multe sarcini simple și chiar complexe, găsirea răspunsului depinde de capacitatea elevilor

numere întregi foarte familiar și firesc pentru noi. Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece cunoașterea cu ei începe din primii ani ai vieții noastre la un nivel intuitiv.

Informațiile din acest articol creează o înțelegere de bază a numerelor naturale, dezvăluie scopul acestora, insuflă abilitățile de a scrie și citi numerele naturale. Pentru o mai bună asimilare a materialului sunt date exemplele și ilustrațiile necesare.

Navigare în pagină.

Numerele naturale sunt o reprezentare generală.

Următoarea opinie nu este lipsită de o logică solidă: apariția problemei numărării obiectelor (primul, al doilea, al treilea obiect etc.) și problema indicarii numărului de obiecte (unul, două, trei obiecte etc.) conduse. la crearea unui instrument pentru soluția sa, acest instrument a fost numere întregi.

Această propunere arată scopul principal al numerelor naturale- să poarte informații despre numărul oricăror articole sau numărul de serie al unui articol dat din setul considerat de articole.

Pentru ca o persoană să folosească numerele naturale, acestea trebuie să fie accesibile într-un fel, atât pentru percepție, cât și pentru reproducere. Dacă sunați fiecare număr natural, atunci acesta va deveni perceptibil după ureche, iar dacă înfățișați un număr natural, atunci acesta poate fi văzut. Acestea sunt cele mai naturale moduri de a transmite și de a percepe numerele naturale.

Deci, să începem să dobândim abilitățile de a descrie (scris) și de a exprima (citi) numerele naturale, în timp ce le învățăm sensul.

Notație zecimală pentru un număr natural.

În primul rând, ar trebui să decidem pe ce vom construi atunci când scriem numere naturale.

Să memorăm imaginile următoarelor personaje (le arătăm separate prin virgule): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Imaginile prezentate sunt o înregistrare a așa-numitului numere. Să fim de acord imediat să nu răsturnăm, să înclinăm sau să distorsionăm în alt mod numerele când scriem.

Acum suntem de acord că numai cifrele indicate pot fi prezente în notația oricărui număr natural și nu pot fi prezente alte simboluri. De asemenea, suntem de acord că cifrele din notația unui număr natural au aceeași înălțime, sunt dispuse într-o linie una după alta (aproape fără liniuțe), iar în stânga există o cifră care este diferită de cifra 0 .

Iată câteva exemple de notare corectă a numerelor naturale: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (notă: liniuțele dintre numere nu sunt întotdeauna aceleași, mai multe despre acest lucru vor fi discutate la revizuire). Din exemplele de mai sus, se poate observa că un număr natural nu conține neapărat toate cifrele 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; unele sau toate cifrele implicate în scrierea unui număr natural pot fi repetate.

Intrări 014 , 0005 , 0 , 0209 nu sunt înregistrări ale numerelor naturale, deoarece există o cifră în stânga 0 .

Se numește înregistrarea unui număr natural, efectuată luând în considerare toate cerințele descrise în acest alineat notarea zecimală a unui număr natural.

În plus, nu vom face distincția între numerele naturale și notația lor. Să lămurim acest lucru: mai departe în text, expresii precum „dat un număr natural 582 ", ceea ce va însemna că este dat un număr natural, a cărui notare are forma 582 .

Numere naturale în sensul numărului de obiecte.

Este timpul să ne ocupăm de semnificația cantitativă pe care o poartă numărul natural înregistrat. Semnificația numerelor naturale în ceea ce privește numerotarea obiectelor este luată în considerare în articolul compararea numerelor naturale.

Să începem cu numerele naturale, ale căror intrări coincid cu intrările cifrelor, adică cu numerele 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 și 9 .

Imaginează-ți că am deschis ochii și am văzut un obiect, de exemplu, ca acesta. În acest caz, putem scrie ceea ce vedem 1 subiect. Numărul natural 1 se citește ca „ unu„(declinarea numeralului „unu”, precum și a altor numere, vom da în paragraful), pentru numărul 1 a adoptat un alt nume - " unitate».

Cu toate acestea, termenul „unitate” are mai multe valori, în plus față de numărul natural 1 , sunt numite ceva care este considerat ca un întreg. De exemplu, orice articol din setul lor poate fi numit unitate. De exemplu, orice măr din multe mere este unul, orice stol de păsări din multe stoluri de păsări este, de asemenea, unul și așa mai departe.

Acum deschidem ochii și vedem: Adică vedem un obiect și un alt obiect. În acest caz, putem scrie ceea ce vedem 2 subiect. Numar natural 2 , se citește ca „ Două».

La fel, - 3 subiect (a se citi " Trei" subiect), - 4 (« patru"") al subiectului, - 5 (« cinci»), - 6 (« şase»), - 7 (« Șapte»), - 8 (« opt»), - 9 (« nouă”) articole.

Deci, din poziția considerată, numerele naturale 1 , 2 , 3 , …, 9 indica Cantitate articole.

Un număr a cărui notație se potrivește cu notația unei cifre 0 , numită " zero". Numărul zero NU este un număr natural, cu toate acestea, este de obicei considerat împreună cu numerele naturale. Amintiți-vă: zero înseamnă absența a ceva. De exemplu, zero articole nu este un singur articol.

În următoarele paragrafe ale articolului, vom continua să dezvăluim semnificația numerelor naturale în ceea ce privește indicarea cantității.

numere naturale cu o singură cifră.

Evident, înregistrarea fiecăruia dintre numerele naturale 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 constă dintr-un semn - o cifră.

Definiție.

Numere naturale cu o singură cifră sunt numere naturale, a căror înregistrare constă dintr-un semn - o cifră.

Să enumerăm toate numerele naturale dintr-o singură cifră: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Există nouă numere naturale cu o singură cifră.

Numere naturale din două și trei cifre.

În primul rând, dăm o definiție a numerelor naturale din două cifre.

Definiție.

Numere naturale din două cifre- acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este de două caractere - două cifre (diferite sau la fel).

De exemplu, un număr natural 45 - două cifre, numere 10 , 77 , 82 de asemenea de două cifre 5 490 , 832 , 90 037 - nu cu două cifre.

Să ne dăm seama ce semnificație au numerele de două cifre, în timp ce vom începe de la semnificația cantitativă a numerelor naturale cu o singură cifră deja cunoscută nouă.

Mai întâi, să introducem conceptul zece.

Să ne imaginăm o astfel de situație – am deschis ochii și am văzut un set format din nouă obiecte și încă un obiect. În acest caz, se vorbește despre 1 zece (o duzină) articole. Dacă se consideră împreună unul zece și încă unul zece, atunci se vorbește despre 2 zeci (două zeci). Dacă adăugăm încă zece la două zeci, vom avea trei zeci. Continuând acest proces, vom obține patru zeci, cinci zeci, șase zeci, șapte zeci, opt zeci și, în final, nouă zeci.

Acum putem trece la esența numerelor naturale din două cifre.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un număr din două cifre ca două numere cu o singură cifră - unul este în stânga în notația unui număr de două cifre, celălalt este în dreapta. Numărul din stânga indică numărul de zeci, iar numărul din dreapta indică numărul de unități. Mai mult, dacă există o cifră în dreapta în înregistrarea unui număr de două cifre 0 , atunci aceasta înseamnă absența unităților. Acesta este punctul central al numerelor naturale de două cifre în ceea ce privește indicarea sumei.

De exemplu, un număr natural de două cifre 72 corespunde 7 zeci și 2 unități (adică 72 mere este un set de șapte duzini de mere și încă două mere), și numărul 30 răspunsuri 3 zeci și 0 nu există unități, adică unități care nu sunt unite în zeci.

Să răspundem la întrebarea: „Câte numere naturale de două cifre există”? Raspunde-le 90 .

Ne întoarcem la definiția numerelor naturale din trei cifre.

Definiție.

Numerele naturale a căror notație constă în 3 semne - 3 se numesc cifre (diferite sau repetate). trei cifre.

Exemple de numere naturale din trei cifre sunt 372 , 990 , 717 , 222 . numere întregi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nu sunt trei cifre.

Pentru a înțelege sensul inerent numerelor naturale de trei cifre, avem nevoie de concept sute.

Un set de zece zeci este 1 o sută (o sută). O sută sută este 2 sute. Două sute și încă o sută sunt trei sute. Și așa mai departe, avem patru sute, cinci sute, șase sute, șapte sute, opt sute și, în sfârșit, nouă sute.

Acum să ne uităm la un număr natural de trei cifre ca trei numere naturale de o singură cifră, mergând unul după altul de la dreapta la stânga în notația unui număr natural de trei cifre. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr indică numărul de zeci, următorul număr numărul de sute. Numerele 0 în evidența unui număr de trei cifre înseamnă absența zecilor și (sau) a celor.

Astfel, un număr natural de trei cifre 812 corespunde 8 sute 1 top zece și 2 unități; număr 305 - trei sute 0 zeci, adică zeci necombinate în sute, nu) și 5 unități; număr 470 - patru sute șapte zeci (nu există unități care să nu fie combinate în zeci); număr 500 - cinci sute (zecile nu sunt combinate în sute, iar unitățile nu sunt combinate în zeci, nu).

În mod similar, se poate defini patru cifre, cinci cifre, șase cifre și așa mai departe. numere naturale.

Numerele naturale multivalorice.

Deci, ne întoarcem la definiția numerelor naturale cu mai multe valori.

Definiție.

Numerele naturale multivalorice- acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este formată din două sau trei sau patru etc. semne. Cu alte cuvinte, numerele naturale cu mai multe cifre sunt de două cifre, trei cifre, patru cifre etc. numere.

Să spunem imediat că setul format din zece sute este o mie, o mie de mii este un milion, o mie de milioane este un miliard, o mie de miliarde este un trilion. O mie de trilioane, o mie de mii de trilioane și așa mai departe pot primi, de asemenea, propriile nume, dar nu este nevoie în mod special de acest lucru.

Deci, care este sensul din spatele numerelor naturale cu valori multiple?

Să privim un număr natural cu mai multe cifre ca numere naturale dintr-o singură cifră care urmează unul după altul de la dreapta la stânga. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr este numărul de zeci, următorul este numărul de sute, următorul este numărul de mii, următorul este numărul de zeci de mii, următorul este numărul de sute de mii, următorul este numărul de milioane, următorul este numărul de zeci de milioane, următorul este de sute de milioane, următorul - numărul de miliarde, apoi - numărul de zeci de miliarde, apoi - sute de miliarde , apoi - trilioane, apoi - zeci de trilioane, apoi - sute de trilioane și așa mai departe.

De exemplu, un număr natural format din mai multe cifre 7 580 521 corespunde 1 unitate, 2 zeci, 5 sute 0 mii 8 zeci de mii 5 sute de mii şi 7 milioane.

Astfel, am învățat să grupăm unitățile în zeci, zeci în sute, sute în mii, mii în zeci de mii și așa mai departe și am aflat că numerele din înregistrarea unui număr natural cu mai multe cifre indică numărul corespunzător al grupurile de mai sus.

Citirea numerelor naturale, clase.

Am menționat deja cum se citesc numerele naturale de o cifră. Să învățăm pe de rost conținutul următoarelor tabele.

Și cum se citesc celelalte numere din două cifre?

Să explicăm cu un exemplu. Citirea unui număr natural 74 . După cum am aflat mai sus, acest număr corespunde 7 zeci și 4 unități, adică 70 și 4 . Ne întoarcem la tabelele tocmai scrise și la numărul 74 citim ca: „Șaptezeci și patru” (nu pronunțăm unirea „și”). Dacă vrei să citești un număr 74 în propoziţia: „Nu 74 mere” (cazul genitiv), atunci va suna astfel: „Nu există șaptezeci și patru de mere”. Alt exemplu. Număr 88 - aceasta este 80 și 8 , de aceea, citim: „Optzeci şi opt”. Și iată un exemplu de propoziție: „Se gândește la optzeci și opt de ruble”.

Să trecem la citirea numerelor naturale din trei cifre.

Pentru a face acest lucru, va trebui să mai învățăm câteva cuvinte noi.

Rămâne să arătăm cum sunt citite numerele naturale de trei cifre rămase. În acest caz, vom folosi abilitățile deja dobândite în citirea numerelor cu o singură cifră și cu două cifre.

Să luăm un exemplu. Să citim numărul 107 . Acest număr corespunde 1 suta si 7 unități, adică 100 și 7 . Întorcându-ne la mese, citim: „O sută șapte”. Acum să spunem numărul 217 . Acest număr este 200 și 17 , prin urmare, citim: „Două sute șaptesprezece”. De asemenea, 888 - aceasta este 800 (opt sute) și 88 (optzeci și opt), citim: „Opt sute optzeci și opt”.

Trecem la citirea numerelor din mai multe cifre.

Pentru citire, înregistrarea unui număr natural cu mai multe cifre este împărțită, pornind de la dreapta, în grupuri de trei cifre, în timp ce în cel mai din stânga astfel de grup pot exista fie 1 , sau 2 , sau 3 numere. Aceste grupuri sunt numite clase. Se numește clasa din dreapta clasa de unitati. Următoarea clasă (de la dreapta la stânga) este numită clasa de mii, următoarea clasă este clasa milioanelor, Următorul - clasa de miliarde, apoi merge clasa trilionului. Puteți da numele următoarelor clase, dar numere naturale, a căror înregistrare este formată din 16 , 17 , 18 etc. semnele nu sunt de obicei citite, deoarece sunt foarte greu de perceput după ureche.

Uitați-vă la exemple de împărțire a numerelor cu mai multe cifre în clase (pentru claritate, clasele sunt separate unele de altele printr-o mică liniuță): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Să punem numerele naturale înregistrate într-un tabel, conform căruia este ușor să înveți cum să le citești.

Pentru a citi un număr natural, apelăm de la stânga la dreapta numerele care îl compun pe clasă și adăugăm numele clasei. În același timp, nu pronunțăm numele clasei de unități și, de asemenea, sărim peste acele clase care formează trei cifre 0 . Dacă înregistrarea clasei are o cifră în stânga 0 sau două cifre 0 , apoi ignorați aceste numere 0 și citiți numărul obținut prin aruncarea acestor cifre 0 . De exemplu, 002 citește ca „doi” și 025 - ca „douăzeci și cinci”.

Să citim numărul 489 002 conform regulilor date.

Citim de la stânga la dreapta,

• citeste numarul 489 , reprezentând clasa miilor, este „patru sute optzeci și nouă”;
• adăugați numele clasei, obținem „patru sute optzeci și nouă de mii”;
• mai departe în clasa de unități pe care o vedem 002 , zerourile sunt în stânga, deci le ignorăm 002 citit ca „doi”;
• nu este necesar să se adauge numele clasei de unități;
• ca urmare avem 489 002 - patru sute optzeci si noua de mii doua.

Să începem să citim numărul 10 000 501 .

• În stânga, în clasa milioanelor, vedem numărul 10 , citim „zece”;
• adăugați numele clasei, avem „zece milioane”;
• apoi vedem înregistrarea 000 în clasa miilor, deoarece toate cele trei cifre sunt cifre 0 , apoi sărim peste această clasă și trecem la următoarea;
• clasa de unități reprezintă numărul 501 , pe care o citim „cinci sute unu”;
• prin urmare, 10 000 501 zece milioane cinci sute unu.

Să o facem fără explicații detaliate: 1 789 090 221 214 - „un trilion șapte sute optzeci și nouă de miliarde nouăzeci de milioane două sute douăzeci și unu mie două sute paisprezece”.

Deci, baza abilității de a citi numere naturale cu mai multe cifre este capacitatea de a împărți numerele cu mai multe cifre în clase, cunoașterea numelor claselor și capacitatea de a citi numere din trei cifre.

Cifrele unui număr natural, valoarea cifrei.

În scrierea unui număr natural, valoarea fiecărei cifre depinde de poziția sa. De exemplu, un număr natural 539 corespunde 5 sute 3 zeci și 9 unități, de unde și figura 5 în înregistrarea numărului 539 definește numărul de sute, o cifră 3 este numărul zecilor și cifra 9 - Număr de unități. Se spune că numărul 9 stă înăuntru Unități digitale si numarul 9 este valoarea cifrei unitare, număr 3 stă înăuntru locul zecilor si numarul 3 este valoarea locului de zeci, și numărul 5 - în sute de loc si numarul 5 este valoarea locului de sute.

În acest fel, deversare- aceasta este, pe de o parte, poziția cifrei în notația unui număr natural și, pe de altă parte, valoarea acestei cifre, determinată de poziția sa.

Gradurilor li s-au dat nume. Dacă te uiți la numerele din înregistrarea unui număr natural de la dreapta la stânga, atunci le vor corespunde următoarele cifre: unități, zeci, sute, mii, zeci de mii, sute de mii, milioane, zeci de milioane și curând.

Numele categoriilor este convenabil de reținut atunci când sunt prezentate sub forma unui tabel. Să scriem un tabel care să conțină numele a 15 cifre.

Rețineți că numărul de cifre ale unui număr natural dat este egal cu numărul de caractere implicate în scrierea acestui număr. Astfel, tabelul înregistrat conține numele cifrelor tuturor numerelor naturale, a căror înregistrare conține până la 15 caractere. Următoarele cifre au, de asemenea, nume proprii, dar sunt foarte rar folosite, așa că nu are sens să le menționăm.

Folosind tabelul de cifre, este convenabil să determinați cifrele unui număr natural dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți acest număr natural în acest tabel, astfel încât să existe o cifră în fiecare cifră, iar cifra din dreapta să fie în cifra unităților.

Să luăm un exemplu. Să scriem un număr natural 67 922 003 942 în tabel, iar cifrele și valorile acestor cifre vor deveni clar vizibile.

În înregistrarea acestui număr, cifra 2 stă în locul unităților, cifră 4 - la locul zecilor, cifra 9 - în locul sutelor etc. Atenție la numere 0 , care sunt în cifre de zeci de mii și sute de mii. Numerele 0 în aceste cifre înseamnă absența unităților acestor cifre.

De asemenea, ar trebui să menționăm așa-numita categorie cea mai mică (mai mică) și cea mai mare (mai mare) a unui număr natural multivaloric. Grad inferior (junior). orice număr natural cu valori multiple este cifra unităților. Cea mai mare (cea mai mare) cifră a unui număr natural este cifra corespunzătoare cifrei din dreapta din înregistrarea acestui număr. De exemplu, cifra cea mai puțin semnificativă a numărului natural 23004 este cifra unităților, iar cea mai mare cifră este cifra zecilor de mii. Dacă în notația unui număr natural ne deplasăm cu cifre de la stânga la dreapta, atunci fiecare cifră următoare mai jos (mai tânăr) cel precedent. De exemplu, cifra miilor este mai mică decât cifra zecilor de mii, în special cifra miilor este mai mică decât cifra sutelor de mii, milioane, zeci de milioane etc. Dacă, în notația unui număr natural, ne deplasăm în cifre de la dreapta la stânga, atunci fiecare cifră următoare mai mare (mai vechi) cel precedent. De exemplu, cifra sutelor este mai veche decât cifra zecilor și, cu atât mai mult, este mai veche decât cifra unilor.

În unele cazuri (de exemplu, când se efectuează adunarea sau scăderea), nu se utilizează numărul natural în sine, ci suma termenilor de biți ai acestui număr natural.

Pe scurt despre sistemul numeric zecimal.

Așadar, ne-am familiarizat cu numerele naturale, cu sensul inerent acestora și cu modul de a scrie numerele naturale folosind zece cifre.

În general, se numește metoda de scriere a numerelor folosind semne sistem de numere. Valoarea unei cifre dintr-o intrare numerică poate depinde sau nu de poziția sa. Sunt numite sisteme numerice în care valoarea unei cifre dintr-o intrare numerică depinde de poziția acesteia pozițional.

Astfel, numerele naturale pe care le-am luat în considerare și metoda de scriere a acestora indică faptul că folosim un sistem de numere pozițional. Trebuie remarcat faptul că un loc special în acest sistem de numere îl are numărul 10 . Într-adevăr, scorul se păstrează în zeci: zece unități sunt combinate într-un zece, zece zeci sunt combinate într-o sută, zece sute într-o mie și așa mai departe. Număr 10 numit bază sistem de numere dat, iar sistemul de numere însuși este numit zecimal.

Pe lângă sistemul de numere zecimal, există și altele, de exemplu, în informatică, se folosește sistemul de numere binar pozițional, iar sistemul sexagesimal îl întâlnim atunci când vine vorba de măsurarea timpului.

Bibliografie.

• Matematica. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.

numere întregi- numere care sunt folosite pentru a număra obiecte . Orice număr natural poate fi scris folosind zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O astfel de înregistrare a numerelor se numește zecimal.

Se numește șirul tuturor numerelor naturale natural unul lângă altul .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Cel mai mic un număr natural este unu (1). În seria naturală, fiecare număr următor este cu 1 mai mult decât cel anterior. serie naturală fără sfârşit nu există un număr cel mai mare.

Semnificația unei cifre depinde de locul ei în notația numărului. De exemplu, numărul 4 înseamnă: 4 unități, dacă se află pe ultimul loc în înregistrarea numărului (în loc de unități); 4 zece, dacă ea este pe ultimul loc (la locul zecilor); 4 sute, dacă este pe locul trei de la final (în sute de loc).

Cifra 0 înseamnă lipsa unitatilor din aceasta categorieîn notația zecimală a unui număr. De asemenea, servește pentru a desemna numărul " zero". Acest număr înseamnă „niciunul”. Scorul 0: 3 dintr-un meci de fotbal indică faptul că prima echipă nu a marcat niciun gol împotriva adversarului.

Zero nu include la numere naturale. Și într-adevăr, numărarea articolelor nu începe niciodată de la zero.

Dacă un număr natural are o singură cifră – o cifră, apoi se numește lipsit de ambiguitate. Acestea. lipsit de ambiguitatenumar natural- un număr natural a cărui înregistrare constă dintr-un singur semn – o cifră. De exemplu, numerele 1, 6, 8 sunt cu o singură cifră.

Două cifrenumar natural- un număr natural, a cărui înregistrare este formată din două caractere - două cifre.

De exemplu, numerele 12, 47, 24, 99 sunt cifre duble.

De asemenea, în funcție de numărul de caractere dintr-un anumit număr, alte numere sunt date nume:

numerele 326, 532, 893 - trei cifre;

numerele 1126, 4268, 9999 - patru cifre etc.

Două cifre, trei cifre, patru cifre, cinci cifre etc. se numesc numere numere din mai multe cifre .

Pentru a citi numerele cu mai multe cifre, acestea sunt împărțite, începând de la dreapta, în grupuri de câte trei cifre fiecare (grupul din stânga poate fi format din una sau două cifre). Aceste grupuri sunt numite clase.

Milion este o mie de mii (1000 de mii), se scrie 1 milion sau 1.000.000.

Miliard este de 1000 de milioane. Se înregistrează cu 1 miliard sau 1.000.000.000.

Primele trei cifre din dreapta alcătuiesc clasa de unități, următoarele trei - clasa de mii, apoi sunt clasele de milioane, miliarde etc. (Fig. 1).

Orez. 1. Clasa de milioane, clasa de mii și clasa de unități (de la stânga la dreapta)

Numărul 15389000286 este scris în grila de biți (Fig. 2).

Orez. 2. Grilă de cifre: numărul 15 miliarde 389 milioane 286

Acest număr are 286 de unități în clasa o singură, zero în clasa de mii, 389 de unități în clasa de milioane și 15 de unități în clasa de miliarde.

Definiție

Numerele naturale sunt numite numere destinate numărării obiectelor. Pentru înregistrarea numerelor naturale se folosesc 10 cifre arabe (0–9), care formează baza sistemului de numere zecimal acceptat în general pentru calculele matematice.

Succesiunea numerelor naturale

Numerele naturale formează o serie care începe la 1 și acoperă mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive. O astfel de succesiune este formată din numerele 1,2,3, ... . Aceasta înseamnă că în seria naturală:

1. Există un număr cel mai mic și nu cel mai mare.
2. Fiecare număr următor este mai mare decât cel anterior cu 1 (excepția este unitatea în sine).
3. Pe măsură ce numerele merg la infinit, ele cresc la infinit.

Uneori, într-o serie de numere naturale este introdus și 0. Acest lucru este permis și apoi vorbesc despre extins serie naturală.

Clase de numere naturale

Fiecare cifră a unui număr natural exprimă o anumită cifră. Ultimul este întotdeauna numărul de unități din număr, cel dinaintea lui este numărul de zeci, al treilea de la sfârșit este numărul de sute, al patrulea este numărul de mii și așa mai departe.

• în numărul 276: 2 sute, 7 zeci, 6 unități
• în numărul 1098: 1 mie, 9 zeci, 8 unități; locul sutelor este absent aici, deoarece este exprimat ca zero.

Pentru numere mari și foarte mari, puteți vedea o tendință constantă (dacă examinați numărul de la dreapta la stânga, adică de la ultima cifră la prima):

• ultimele trei cifre ale numărului sunt unități, zeci și sute;
• cele trei anterioare sunt unități, zeci și sute de mii;
• cele trei din fața lor (adică a 7-a, a 8-a și a 9-a cifră ale numărului, numărând de la sfârșit) sunt unități, zeci și sute de milioane etc.

Adică, de fiecare dată când avem de-a face cu trei cifre, adică unități, zeci și sute de nume mai mare. Astfel de grupuri formează clase. Și dacă ai de-a face mai des sau mai puțin des cu primele trei clase din viața de zi cu zi, atunci ar trebui enumerate și altele, pentru că nu toată lumea își amintește numele pe de rost.

• Clasa a 4-a, urmând clasa milioanelor și reprezentând numere de 10-12 cifre, se numește miliard (sau miliard);
• clasa a V-a - trilion;
• clasa a VI-a - cvadrilion;
• clasa a VII-a - chintilion;
• clasa a VIII-a - sextilion;
• Clasa a IX-a - septillion.

Adunarea numerelor naturale

Adunarea numerelor naturale este o operație aritmetică care vă permite să obțineți un număr care conține atâtea unități câte există în numerele adunate.

Semnul adunării este semnul „+”. Numerele adăugate se numesc termeni, rezultatul se numește sumă.

Numerele mici sunt adăugate (însumate) oral, în scris astfel de acțiuni sunt scrise într-o linie.

Numerele cu mai multe cifre, care sunt greu de adăugat în minte, sunt de obicei adăugate într-o coloană. Pentru aceasta, numerele sunt scrise una sub alta, aliniate cu ultima cifră, adică ele scriu cifra unităților sub cifra unităților, cifra sutelor sub cifra sutelor și așa mai departe. Apoi, trebuie să adăugați cifrele în perechi. Dacă adăugarea cifrelor are loc cu o tranziție printr-un zece, atunci acest zece este fixat ca unitate deasupra cifrei din stânga (adică după ea) și se adună împreună cu cifrele acestei cifre.

Dacă nu 2, ci mai multe numere sunt adăugate la coloană, atunci atunci când însumăm cifrele categoriei, nu 1 duzină, ci mai multe, pot fi redundante. În acest caz, numărul acestor zeci este transferat la următoarea cifră.

Scăderea numerelor naturale

Scăderea este o operație aritmetică, inversul adunării, care se rezumă la faptul că, având în vedere cantitatea și unul dintre termeni, trebuie să găsiți altul - un termen necunoscut. Numărul din care se scade se numește minuend; numărul care se scade este subtrahendul. Rezultatul scăderii se numește diferență. Semnul care denotă operația de scădere este „-”.

În trecerea la adunare, subtrahendul și diferența se transformă în termeni, iar redusul în sumă. Adunarea verifică de obicei corectitudinea scăderii efectuate și invers.

Aici 74 este minuend, 18 este subtraend, 56 este diferența.

O condiție prealabilă pentru scăderea numerelor naturale este următoarea: minuend trebuie să fie neapărat mai mare decât subtraend. Numai în acest caz diferența rezultată va fi și un număr natural. Dacă acțiunea de scădere este efectuată pentru o serie naturală extinsă, atunci este permis ca minuendul să fie egal cu subtraendul. Și rezultatul scăderii în acest caz va fi 0.

Notă: dacă scăderea este egală cu zero, atunci operația de scădere nu modifică valoarea minuendului.

Scăderea numerelor cu mai multe cifre se face de obicei într-o coloană. Notați numerele în același mod ca pentru adunare. Scăderea se efectuează pentru cifrele corespunzătoare. Dacă se dovedește că minuendul este mai mic decât subtraend, atunci se ia unul din cifra anterioară (situată în stânga), care, după transfer, se transformă în mod natural în 10. Acest zece se însumează cu cifra redusă. cifra dată și apoi scăzută. În plus, la scăderea cifrei următoare, este necesar să se țină cont de faptul că reducerea a devenit cu 1 mai puțin.

Produsul numerelor naturale

Produsul (sau înmulțirea) numerelor naturale este o operație aritmetică, care este găsirea sumei unui număr arbitrar de termeni identici. Pentru a înregistra operația de înmulțire, utilizați semnul „·” (uneori „×” sau „*”). De exemplu: 3 5=15.

Acțiunea înmulțirii este indispensabilă atunci când este necesară adăugarea unui număr mare de termeni. De exemplu, dacă trebuie să aduni numărul 4 de 7 ori, atunci înmulțirea lui 4 cu 7 este mai ușoară decât să faci această adunare: 4+4+4+4+4+4+4.

Numerele care se înmulțesc se numesc factori, rezultatul înmulțirii este produsul. În consecință, termenul „muncă” poate, în funcție de context, să exprime atât procesul de înmulțire, cât și rezultatul acestuia.

Numerele cu mai multe cifre sunt înmulțite într-o coloană. Pentru acest număr se scrie în același mod ca și pentru adunare și scădere. Este recomandat să scrieți mai întâi (mai sus) care dintre cele 2 numere, care este mai lungă. În acest caz, procesul de înmulțire va fi mai simplu și, prin urmare, mai rațional.

La înmulțirea într-o coloană, cifrele fiecăreia dintre cifrele celui de-al doilea număr sunt înmulțite succesiv cu cifrele primului număr, începând de la sfârșitul acestuia. După ce au găsit prima astfel de lucrare, ei notează numărul de unități și țin cont de numărul de zeci. La înmulțirea cifrei celui de-al 2-lea număr cu următoarea cifră a primului număr, numărul de care se ține cont este adăugat la produs. Și din nou notează numărul de unități ale rezultatului obținut și își amintesc numărul de zeci. La înmulțirea cu ultima cifră a primului număr, numărul obținut în acest fel se notează în întregime.

Rezultatele înmulțirii cifrelor celei de-a 2-a cifre a celui de-al doilea număr sunt scrise în al doilea rând, deplasându-l cu 1 celulă la dreapta. Si asa mai departe. Ca urmare, se va obține o „scara”. Toate rândurile de numere rezultate trebuie adăugate (conform regulii de adunare într-o coloană). Celulele goale ar trebui considerate pline cu zerouri. Suma rezultată este produsul final.

Notă

1. Produsul oricărui număr natural cu 1 (sau 1 cu un număr) este egal cu numărul însuși. De exemplu: 376 1=376; 1 86=86.
2. Când unul dintre factori sau ambii factori sunt egali cu 0, atunci produsul este egal cu 0. De exemplu: 32·0=0; 0845=845; 0 0=0.

Împărțirea numerelor naturale

Împărțirea se numește operație aritmetică, cu ajutorul căreia, după un produs cunoscut și unul dintre factori, se poate găsi un alt factor - necunoscut. Împărțirea este inversul înmulțirii și este folosită pentru a verifica dacă o înmulțire a fost efectuată corect (și invers).

Numărul care este împărțit se numește divizibil; numărul cu care se împarte este divizorul; rezultatul unei împărțiri se numește coeficient. Semnul de împărțire este „:” (uneori, mai rar - „÷”).

Aici 48 este dividendul, 6 este divizorul și 8 este coeficientul.

Nu toate numerele naturale pot fi împărțite între ele. În acest caz, împărțirea se efectuează cu un rest. Constă în faptul că pentru divizor un astfel de factor este selectat astfel încât produsul său de către divizor să fie un număr cât mai apropiat ca valoare de dividend, dar mai mic decât acesta. Divizorul se înmulțește cu acest factor și se scade din dividend. Diferența va fi restul diviziei. Produsul unui divizor cu un factor se numește coeficient incomplet. Atenție: restul trebuie să fie mai mic decât multiplicatorul selectat! Dacă restul este mai mare, atunci aceasta înseamnă că multiplicatorul este ales incorect și ar trebui mărit.

Selectăm un factor pentru 7. În acest caz, acest număr este 5. Găsim un coeficient incomplet: 7 5 \u003d 35. Calculați restul: 38-35=3. Din 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Numerele cu mai multe cifre sunt împărțite într-o coloană. Pentru a face acest lucru, dividendul și divizorul sunt scrise una lângă alta, separând divizorul cu o linie verticală și orizontală. În dividend, sunt selectate prima cifră sau primele câteva cifre (pe dreapta), care ar trebui să fie un număr care este minim suficient pentru a fi împărțit cu un divizor (adică acest număr trebuie să fie mai mare decât divizorul). Pentru acest număr, este selectat un coeficient incomplet, așa cum este descris în regula împărțirii cu un rest. Numărul multiplicatorului folosit pentru a găsi câtul parțial este scris sub divizor. Coeficientul incomplet este scris sub numărul care a fost împărțit, aliniat la dreapta. Găsiți diferența lor. Următoarea cifră a dividendului este demolată scriind-o lângă această diferență. Pentru numărul rezultat, se găsește din nou un coeficient incomplet notând cifra factorului selectat, lângă cel anterior sub divizor. Si asa mai departe. Astfel de acțiuni sunt efectuate până la epuizarea numerelor dividendului. După aceea, împărțirea este considerată completă. Dacă dividendul și divizorul sunt împărțite în întregime (fără rest), atunci ultima diferență va da zero. În caz contrar, numărul rămas va fi returnat.

Exponentiație

Exponentiarea este o operatie matematica care consta in inmultirea unui numar arbitrar de numere identice. De exemplu: 2 2 2 2.

Astfel de expresii sunt scrise ca: un x,

Unde A este un număr înmulțit cu el însuși X este numărul acestor factori.

Numere naturale prime și compuse

Orice număr natural, cu excepția lui 1, poate fi împărțit cu cel puțin 2 numere - unul și el însuși. Pe baza acestui criteriu, numerele naturale se împart în prime și compuse.

Numerele prime sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu el însuși. Numerele care sunt divizibile cu mai mult de aceste 2 numere se numesc numere compuse. O unitate divizibilă numai prin ea însăși nu este nici primă, nici compusă.

Numerele sunt prime: 2,3,5,7,11,13,17,19 etc. Exemple de numere compuse: 4 (divizibil cu 1,2,4), 6 (divizibil cu 1,2,3,6), 20 (divizibil cu 1,2,4,5,10,20).

Orice număr compus poate fi descompus în factori primi. În acest caz, factorii primi sunt înțeleși ca fiind divizorii săi, care sunt numere prime.

Un exemplu de factorizare în factori primi:

Divizori ai numerelor naturale

Un divizor este un număr cu care un anumit număr poate fi împărțit fără rest.

În conformitate cu această definiție, numerele naturale simple au 2 divizori, numerele compuse au mai mult de 2 divizori.

Multe numere au divizori comuni. Divizorul comun este numărul cu care numerele date sunt divizibile fără rest.

• Numerele 12 și 15 au un divizor comun 3
• Numerele 20 și 30 au divizori comuni 2,5,10

De o importanță deosebită este cel mai mare divizor comun (MCD). Acest număr, în special, este util pentru a putea găsi pentru fracții reducătoare. Pentru a-l găsi, este necesar să descompuneți numerele date în factori primi și să îl prezentați ca produs al factorilor lor primi comuni, luați în puterile lor cele mai mici.

Este necesar să găsiți GCD-ul numerelor 36 și 48.

Divizibilitatea numerelor naturale

Este departe de a fi întotdeauna posibil să se determine „cu ochi” dacă un număr este divizibil cu altul fără un rest. În astfel de cazuri, este util testul de divizibilitate corespunzător, adică regula prin care în câteva secunde puteți determina dacă este posibil să împărțiți numere fără rest. Semnul „” este folosit pentru a indica divizibilitatea.

Cel mai mic multiplu comun

Această valoare (notată LCM) este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre cele date. LCM poate fi găsit pentru o mulțime arbitrară de numere naturale.

LCM, ca și GCD, are o semnificație aplicată semnificativă. Deci, LCM este cel care trebuie găsit prin reducerea fracțiilor obișnuite la un numitor comun.

LCM este determinată prin factorizarea numerelor date în factori primi. Pentru formarea lui se ia un produs, format din fiecare dintre factorii primi care apar (cel puțin pentru 1 număr) reprezentați la gradul maxim.

Este necesar să găsiți LCM al numerelor 14 și 24.

In medie

Media aritmetică a unui număr arbitrar (dar finit) de numere naturale este suma tuturor acestor numere împărțită la numărul de termeni:

Media aritmetică este o valoare medie pentru un set de numere.

Sunt date numerele 2,84,53,176,17,28. Este necesar să se găsească media lor aritmetică.