Formule de integrare pe părți cu exemple. Integrale complexe

Se numește o funcție F(x) diferențiabilă într-un interval dat X antiderivat pentru funcție f(x), sau o integrală a lui f(x) dacă pentru orice x ∈X egalitatea este valabilă:

F „(x) = f(x). (8.1)

Găsirea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ea integrare. Integrala nedefinită a funcției f(x) pe un interval dat X este mulțimea tuturor antiderivatelor pentru funcția f(x); denumire -

Dacă F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x), atunci ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

unde C este o constantă arbitrară.

Tabelul integralelor

Direct din definiție obținem principalele proprietăți ale integralei nedefinite și lista integralelor de tabel:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista integralelor de tabel

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=arcsin x + C

10.=-ctg x + C

Substituție variabilă

Pentru a integra multe funcții, se folosește metoda de modificare a unei variabile sau substituții, permițând aducerea integralelor într-o formă tabelară.

Dacă funcția f(z) este continuă pe [α,β], funcția z =g(x) are o derivată continuă și α ≤ g(x) ≤ β, atunci

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

în plus, după integrarea din partea dreaptă, ar trebui să se facă o substituție z=g(x).

Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrala originală sub forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

De exemplu:

Metoda de integrare pe părți

Fie u = f(x) și v = g(x) funcții având continuu . Apoi, conform lucrărilor,

d(uv))= udv + vdu sau udv = d(uv) - vdu.

Pentru expresia d(uv), antiderivata va fi evident uv, deci formula are loc:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrare pe părți. Aduce integrarea expresiei udv=uv"dx la integrarea expresiei vdu=vu"dx.

Fie, de exemplu, este necesar să găsim ∫xcosx dx. Fie u = x, dv = cosxdx, deci du=dx, v=sinx. Apoi

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regula integrării pe părți are un domeniu de aplicare mai limitat decât schimbarea variabilei. Dar există clase întregi de integrale, de exemplu,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele, care se calculează exact folosind integrarea pe părți.

Integrala definita

Conceptul de integrală definită este introdus după cum urmează. Fie definită o funcție f(x) pe un interval. Să împărțim segmentul [a,b] în n părți prin puncte a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Se numește suma formei f(ξ i)Δ x i suma integrală, iar limita sa la λ = maxΔx i → 0, dacă există și este finită, se numește integrala definita funcţiile f(x) ale A inainte de b si se noteaza:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funcția f(x) în acest caz este numită integrabil pe un segment, se numesc numerele a și b limita inferioară și superioară a integralei.

Următoarele proprietăți sunt valabile pentru o integrală definită:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ultima proprietate este numită teorema valorii medii.

Fie f(x) continuă pe . Atunci pe acest segment există o integrală nedefinită

∫f(x)dx = F(x) + C

si are loc formula Newton-Leibniz, care leagă integrala definită cu cea nedefinită:

F(b) - F(a). (8,6)

Interpretare geometrică: integrala definită este aria unui trapez curbiliniu delimitată de sus de curba y=f(x), liniile drepte x = a și x = b și segmentul de axă Bou.

Integrale improprii

Se numesc integralele cu limite infinite și integralele funcțiilor discontinue (nemărginite). improprii. Integrale improprii de primul fel - acestea sunt integrale pe un interval infinit, definite după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, atunci se numește integrala improprie convergentă a lui f(x) pe intervalul [а,+ ∞), și se numește funcția f(x). integrabil pe un interval infinit[a,+ ∞). În caz contrar, se spune că integrala este nu există sau diverge.

Integralele improprie pe intervalele (-∞,b] și (-∞, + ∞) sunt definite în mod similar:

Să definim conceptul de integrală a unei funcții nemărginite. Dacă f(x) este continuă pentru toate valorile X segmentul , cu excepția punctului c, la care f(x) are o discontinuitate infinită, atunci integrala improprie a celui de-al doilea fel de f(x) variind de la a la b numit suma:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calculare a integralelor

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx/(x+2).

Soluţie. Notăm t = x+2, apoi dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Exemplul 3.31. Găsiți ∫ tgxdx.

Soluţie.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Fie t=cosx, atunci ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx/sinx

Soluţie.

Exemplu3.33. Găsi .

Soluţie. = .

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Soluţie. Ne integrăm pe părți. Notați u=arctgx, dv=dx. Atunci du = dx/(x 2 +1), v=x, de unde ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; deoarece
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Soluţie. Aplicând formula de integrare pe părți, obținem:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atunci ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x sinxdx.

Soluţie. Notăm u = e x , dv = sinxdx, apoi du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integrala ∫e x cosxdx este integrabilă și prin părți: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Avem:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Se obține relația ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, de unde 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Exemplu 3.37. Calculați J = ∫cos(lnx)dx/x.

Soluţie. Deoarece dx/x = dlnx, atunci J= ∫cos(lnx)d(lnx). Înlocuind lnx prin t, ajungem la integrala tabelului J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J = .

Soluţie.Ținând cont de faptul că = d(lnx), facem substituția lnx = t. Atunci J = .

Exemplu 3.39 . Calculați integrala J = .

Soluţie. Avem: . Prin urmare =
=
=. introdus ca sqrt(tan(x/2)).

Și dacă faceți clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus în fereastra de rezultate, veți obține o soluție detaliată.

Calculatorul rezolvă integrale cu o descriere a acțiunilor DETALIATĂ în rusă și gratuit!

Rezolvarea integralelor nedefinite

Acesta este un serviciu online un pas:

Rezolvarea integralelor definite

Acesta este un serviciu online un pas:

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
• Introduceți o limită inferioară pentru integrală
• Introduceți o limită superioară pentru integrală

Rezolvarea integralelor duble

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)

Rezolvarea integralelor improprii

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
• Introduceți regiunea superioară de integrare (sau + infinit)
• Introduceți regiunea inferioară de integrare (sau - infinit)

A sari: Serviciul online „Integrală necorespunzătoare” →

Rezolvarea integralelor triple

• Introduceți expresia integrand (funcția integrală)
• Introduceți limitele inferioare și superioare pentru prima zonă de integrare
• Introduceți limita inferioară și superioară pentru a doua zonă de integrare
• Introduceți limita inferioară și superioară pentru a treia zonă de integrare

A sari: Serviciul online „Triple integrală” →

Acest serviciu vă permite să verificați calculele pentru corectitudine

Posibilitati

• Suport pentru toate funcțiile matematice posibile: sinus, cosinus, exponent, tangentă, cotangentă, rădăcini pătrate și cubice, grade, exponențial și altele.
• Există exemple de intrare, atât pentru integrale nedefinite, cât și pentru cele improprie și definite.
• Corectează erorile din expresiile pe care le introduceți și vă oferă propriile opțiuni pentru introducere.
• Soluție numerică pentru integrale definite și improprie (inclusiv integrale duble și triple).
• Suport pentru numere complexe, precum și diverși parametri (puteți specifica în integrand nu numai variabila de integrare, ci și alte variabile de parametri)

Integrare pe părți- o metodă folosită pentru rezolvarea integralelor definite și nedefinite, când unul dintre integranți este ușor integrabil, iar celălalt este diferențiabil. O metodă destul de comună pentru găsirea integralelor, atât nedefinite, cât și definite. Semnul principal atunci când trebuie să îl utilizați este o funcție constând dintr-un produs a două funcții care nu pot fi integrate direct.

Formulă

Pentru a utiliza cu succes această metodă, este necesar să dezasamblați și să învățați formulele.

Formula de integrare prin părți în integrala nedefinită este:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Formula pentru integrarea prin părți într-o integrală definită este:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Exemple de soluții

Să luăm în practică exemple de soluții de integrare pe părți, care sunt adesea oferite de profesori în cadrul testelor. Rețineți că sub pictograma integrală este produsul a două funcții. Acesta este un semn că această metodă este potrivită pentru soluție.

Exemplul 1

Găsiți integrala $ \int xe^xdx $

Soluţie

Vedem că integrandul constă din două funcții, dintre care una, la diferențiere, se transformă instantaneu în unitate, iar cealaltă este ușor de integrat. Pentru a rezolva integrala, folosim metoda integrării pe părți. Fie $ u = x \rightarrow du=dx $ și $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Înlocuim valorile găsite în prima formulă de integrare și obținem: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vă vom oferi o soluție detaliată. Veți putea să vă familiarizați cu progresul calculului și să adunați informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți un credit de la profesor în timp util!

Răspuns

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Exemplul 4

Calculați integrala $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Soluţie

Prin analogie cu exemplele rezolvate anterior, ne vom da seama ce funcție să integrăm fără probleme, pe care să diferențiem. Vă rugăm să rețineți că dacă diferențiați $ (x + 5) $, atunci această expresie va fi convertită automat în unitate, care va fi „la îndemână” pentru noi. Să facem asta ca poet: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Acum toate funcțiile necunoscute au fost găsite și pot fi introduse în a doua formulă de integrare prin părți pentru integrala definită. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Răspuns

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

integrala definita dintr-o funcție continuă f(X) pe intervalul finit [ A, b] (unde ) este incrementul unora dintre antiderivatele sale pe acest segment. (În general, înțelegerea va fi considerabil mai ușoară dacă repetați subiectul integralei nedefinite) În acest caz, notația

După cum se poate vedea în graficele de mai jos (incrementul funcției antiderivate este indicat prin ), Integrala definită poate fi pozitivă sau negativă.(Se calculează ca diferența dintre valoarea antiderivatei în limita superioară și valoarea acestuia în limita inferioară, adică ca F(b) - F(A)).

Numerele AȘi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare de integrare și intervalul [ A, b] este segmentul de integrare.

Astfel, dacă F(X) este o funcție antiderivată pentru f(X), apoi, conform definiției,

(38)

Egalitatea (38) se numește formula Newton-Leibniz . Diferență F(b) – F(A) se scrie pe scurt astfel:

Prin urmare, formula Newton-Leibniz va fi scrisă după cum urmează:

(39)

Să demonstrăm că integrala definită nu depinde de ce antiderivată a integrandului este luată atunci când o calculăm. Lăsa F(X) și F( X) sunt antiderivate arbitrare ale integrandului. Deoarece acestea sunt antiderivate cu aceeași funcție, ele diferă printr-un termen constant: Ф( X) = F(X) + C. De aceea

Astfel, se stabilește că pe segmentul [ A, b] creșteri ale tuturor antiderivatelor funcției f(X) se potrivesc.

Astfel, pentru a calcula integrala definită, este necesar să se găsească orice antiderivată a integrandului, i.e. Mai întâi trebuie să găsiți integrala nedefinită. Constant CU excluse din calculele ulterioare. Apoi se aplică formula Newton-Leibniz: valoarea limitei superioare este substituită în funcția antiderivată b , în continuare - valoarea limitei inferioare A si calculeaza diferenta F(b) - F(a) . Numărul rezultat va fi o integrală definită..

La A = b acceptate prin definitie

Exemplul 1

Soluţie. Să găsim mai întâi integrala nedefinită:

Aplicarea formulei Newton-Leibniz la antiderivat

(la CU= 0), obținem

Cu toate acestea, atunci când calculați o integrală definită, este mai bine să nu găsiți antiderivată separat, ci să scrieți imediat integrala în forma (39).

Exemplul 2 Calculați o integrală definită

Soluţie. Folosind formula

Proprietățile Integralei Definite

Teorema 2.Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare, adică

(40)

Lăsa F(X) este antiderivat pentru f(X). Pentru f(t) antiderivatul are aceeași funcție F(t), în care variabila independentă se notează diferit. Prin urmare,

Pe baza formulei (39), ultima egalitate înseamnă egalitatea integralelor

Teorema 3.Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite, adică

(41)

Teorema 4.Integrala definită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții, adică

(42)

Teorema 5.Dacă segmentul de integrare este împărțit în părți, atunci integrala definită pe întregul segment este egală cu suma integralelor definite din părțile sale., adică Dacă

(43)

Teorema 6.La rearanjarea limitelor de integrare, valoarea absolută a integralei definite nu se modifică, ci se schimbă doar semnul acesteia., adică

(44)

Teorema 7(teorema valorii medii). Integrala definită este egală cu produsul dintre lungimea segmentului de integrare și valoarea integrandului la un moment dat în interiorul acestuia., adică

(45)

Teorema 8.Dacă limita superioară de integrare este mai mare decât cea inferioară și integrandul este nenegativ (pozitiv), atunci integrala definită este și nenegativă (pozitivă), adică. Dacă

Teorema 9.Dacă limita superioară a integrării este mai mare decât limita inferioară și funcțiile și sunt continue, atunci inegalitatea

pot fi integrate termen cu termen, adică

(46)

Proprietățile integralei definite ne permit să simplificăm calculul direct al integralelor.

Exemplul 5 Calculați o integrală definită

Folosind teoremele 4 și 3, iar când găsim antiderivate - integrale tabulare (7) și (6), obținem

Integrală definită cu limită superioară variabilă

Lăsa f(X) este continuă pe segmentul [ A, b] funcția și F(X) este prototipul său. Luați în considerare integrala definită

(47)

si prin t variabila de integrare se notează pentru a nu o confunda cu limita superioară. Când se schimbă X se modifică și integrala definită (47), adică este o funcţie a limitei superioare de integrare X, pe care o notăm prin F(X), adică

(48)

Să demonstrăm că funcția F(X) este antiderivat pentru f(X) = f(t). Într-adevăr, diferențierea F(X), primim

deoarece F(X) este antiderivat pentru f(X), A F(A) este o valoare constantă.

Funcţie F(X) este unul din setul infinit de antiderivate pentru f(X), și anume cel care X = A merge la zero. Această afirmație se obține dacă în egalitatea (48) punem X = Ași folosiți teorema 1 din secțiunea anterioară.

Calculul integralelor definite prin metoda integrarii pe parti si metoda schimbarii variabilei

unde, prin definiție, F(X) este antiderivat pentru f(X). Dacă în integrand facem schimbarea de variabilă

apoi, în conformitate cu formula (16), putem scrie

În această expresie

functie antiderivata pentru

Într-adevăr, derivatul său, conform regula de diferențiere a unei funcții complexe, este egal cu

Fie α și β valorile variabilei t, pentru care funcția

ia respectiv valorile AȘi b, adică

Dar, conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(b) – F(A) Există

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru elită. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar știu puțin sau nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite? Dacă singura utilizare a integralei pe care o știi este să obții ceva util din locuri greu accesibile cu un cârlig în formă de pictogramă integrală, atunci bine ai venit! Învață cum să rezolvi integralele și de ce nu te poți descurca fără ea.

Studiem conceptul de „integral”

Integrarea era cunoscută în Egiptul antic. Desigur, nu într-o formă modernă, dar totuși. De atunci, matematicienii au scris foarte multe cărți pe această temă. Deosebit de distins newton Și Leibniz dar esența lucrurilor nu s-a schimbat. Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de cunoștințe de bază despre elementele de bază ale analizei matematice. Informațiile despre , care sunt și necesare pentru înțelegerea integralelor, sunt deja pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Integrala nedefinită a funcției f(x) se numeste o astfel de functie F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, despre cum să citești în articolul nostru.

Un antiderivat există pentru toate funcțiile continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a unei integrale se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivatele funcțiilor elementare, este convenabil să le rezumați într-un tabel și să utilizați valori gata făcute:

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei unui corp neomogen, a traseului parcurs în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că integrala este suma unui număr infinit de termeni infinit de mici.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții. Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de un grafic al unei funcții?

Cu ajutorul unei integrale! Să despărțim trapezul curbiliniu, mărginit de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinitezimale. Astfel, figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este integrala definită, care se scrie după cum urmează:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

Bari Alibasov și grupul „Integral”

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechin

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă integrala nedefinită? Aici vom lua în considerare proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Adevărat și pentru diferență:

Proprietățile Integralei Definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt inversate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că integrala definită este limita sumei. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta, există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos luăm în considerare câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite. Vă oferim să înțelegeți în mod independent complexitățile soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Apelați la un serviciu pentru studenți profesioniști și orice integrală triplă sau curbilinie pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.