Ce este o ecuație exponențială și cum se rezolvă. Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale

În etapa de pregătire pentru proba finală, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „Ecuații exponențiale”. Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească cu atenție teoria, să memoreze formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de sarcini, absolvenții vor putea conta pe scoruri mari la promovarea examenului la matematică.

Pregătește-te pentru examenul împreună cu Shkolkovo!

La repetarea materialelor parcurse, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare pentru rezolvarea ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, vei putea identifica lacunele în cunoștințe și vei fi atent tocmai acelor sarcini care provoacă cele mai mari dificultăți.

Profesorii de la „Shkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului în cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Principalele definiții și formule sunt prezentate în secțiunea „Referință teoretică”.

Pentru o mai bună asimilare a materialului, vă recomandăm să exersați temele. Examinați cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați cu sarcinile din secțiunea „Cataloguri”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți trece direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care ți-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. Așa că le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul.

Pentru a trece cu succes examenul, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

Ecuațiile se numesc exponențiale dacă necunoscuta este conținută în exponent. Cea mai simplă ecuație exponențială are forma: a x \u003d a b, unde a> 0 și 1, x este o necunoscută.

Principalele proprietăți ale gradelor, cu ajutorul cărora se transformă ecuațiile exponențiale: a>0, b>0.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc și următoarele proprietăți ale funcției exponențiale: y = a x , a > 0, a1:

Pentru a reprezenta un număr ca putere, se utilizează identitatea logaritmică de bază: b = , a > 0, a1, b > 0.

Sarcini și teste pe tema „Ecuații exponențiale”

• ecuații exponențiale

  Lecții: 4 Teme: 21 Teste: 1

• ecuații exponențiale - Subiecte importante pentru repetarea examenului la matematică

  Sarcini: 14

• Sisteme de ecuații exponențiale și logaritmice - Funcții exponențiale și logaritmice Gradul 11

  Lecții: 1 Teme: 15 Teste: 1

• §2.1. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

  Lecții: 1 Teme: 27

• §7 Ecuații și inegalități exponențiale și logaritmice - Secțiunea 5. Funcții exponențiale și logaritmice Gradul 10

  Lecții: 1 Teme: 17

Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoașteți proprietățile de bază ale puterilor, proprietățile unei funcții exponențiale și identitatea logaritmică de bază.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc două metode principale:

1. trecerea de la ecuația a f(x) = a g(x) la ecuația f(x) = g(x);
2. introducerea de noi linii.

Exemple.

1. Ecuații care se reduc la cel mai simplu. Ele se rezolvă prin aducerea ambelor părți ale ecuației la o putere cu aceeași bază.

3x \u003d 9x - 2.

Soluţie:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Răspuns: 4.

2. Ecuații rezolvate prin bracketing factorul comun.

Soluţie:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Răspuns: 3.

3. Ecuații rezolvate prin modificarea variabilei.

Soluţie:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Notăm 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ecuația nu are soluții, deoarece 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Răspuns: log 2 3.

4. Ecuații care conțin puteri cu două baze diferite (nereductibile una la alta).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Răspuns: 2.

5. Ecuații care sunt omogene față de a x și b x .

Forma generală: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Soluţie:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Notați (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Răspuns: log 3/2 2; - jurnal 3/2 2.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.

Iată-te exemple de ecuații exponențiale:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. LA indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu x. Dacă, dintr-o dată, un x apare în ecuație în altă parte decât indicatorul, de exemplu:

aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.

De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom analiza.

Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale.

Să începem cu ceva foarte elementar. De exemplu:

Chiar și fără nicio teorie, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nu există alte role de valoare x. Și acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:

Ce am făcut? Noi, de fapt, tocmai am aruncat aceleași funduri (triple). Complet aruncat afară. Și, ceea ce îți place, lovește-te!

Într-adevăr, dacă în ecuația exponențială din stânga și din dreapta sunt aceeași numere în orice grad, aceste numere pot fi eliminate și pot fi egale cu exponenți. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. E bine, nu?)

Cu toate acestea, să ne amintim în mod ironic: poti scoate bazele doar atunci cand numerele de baza din stanga si dreapta sunt izolate splendid! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:

2 x +2 x + 1 = 2 3 sau

Nu poți elimina dublurile!

Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.

„Iată acele vremuri!” - tu spui. "Cine va da un asemenea primitiv la control si examene!?"

Forțat să fie de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să mergi când rezolvi exemple confuze. Este necesar să-l aduci în minte, când același număr de bază este în stânga - în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este clasicul matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit ne minte. După regulile matematicii, desigur.

Luați în considerare exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le aduce la cel mai simplu. Să-i numim ecuații exponențiale simple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt actiuni cu puteri. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Deci, le căutăm în exemplu într-o formă explicită sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ne dăm un exemplu:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prima privire la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a fi descurajat. Este timpul să ne amintim asta

Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:

8 x+1 = (2 3) x+1

Dacă ne amintim formula din acțiuni cu puteri:

(a n) m = a nm ,

in general functioneaza excelent:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemplul original arată astfel:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii!), obținem:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:

Rezolvăm acest monstru și obținem

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt, deuce criptat. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este un truc foarte popular în ecuațiile exponențiale! Da, chiar și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe o bucată de hârtie, și atât. De exemplu, toată lumea poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 se va dovedi dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des este necesar să nu ridicați la o putere, ci invers ... ce număr în ce măsură se ascunde în spatele numărului 243, sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu te va ajuta aici.

Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, da... Să exersăm?

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numere:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în mizerie, desigur!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mai multe răspunsuri decât întrebări! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6 , 4 3 , 8 2 sunt toate 64.

Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre cunoașterea numerelor.) Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale, aplicăm întregul stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv din clasele mijlocii inferioare. Nu ai mers direct la liceu, nu?

De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze foarte des ajută (bună ziua a 7-a!). Să vedem un exemplu:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Și din nou, prima privire - pe teren! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Și vrem ca ei să fie la fel. Ei bine, în acest caz, dorința este destul de fezabilă!) Pentru că:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Conform acelorași reguli pentru acțiunile cu grade:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

E grozav, poți scrie:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Trei nu pot fi aruncați afară... O fundătură?

Deloc. Amintind cea mai universală și puternică regulă de decizie toate sarcini de matematica:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

Uite, totul este format).

Ce este în această ecuație exponențială poate sa do? Da, partea stângă cere direct paranteze! Factorul comun de 3 2x sugerează clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul este din ce în ce mai bun!

Reamintim că pentru a elimina bazele avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:

Op-pa! Totul a fost bine!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, totuși, să se obțină taxiul pe aceleași motive, dar lichidarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în ecuații exponențiale de alt tip. Să luăm acest tip.

Modificarea variabilei în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Să rezolvăm ecuația:

4 x - 3 2 x +2 = 0

În primul rând - ca de obicei. Să trecem la bază. Către zece.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtinem ecuatia:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Și aici vom spânzura. Trucurile anterioare nu vor funcționa, indiferent cum le-ai întoarce. Va trebui să luăm din arsenalul unui alt mod puternic și versatil. Se numeste substituție variabilă.

Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru, 2 x), scriem alta, mai simplă (de exemplu, t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!

Asa ca lasa

Apoi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim in ecuatia noastra toate puterile cu x cu t:

Ei bine, se ivește?) Nu ați uitat încă ecuațiile patratice? Rezolvăm prin discriminant, obținem:

Aici, principalul lucru este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă ... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Ne întoarcem la X, adică. făcând un înlocuitor. Mai întâi pentru t 1:

Acesta este,

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:

Hm... Stânga 2 x, Dreapta 1... Un cârlig? Da, deloc! Este suficient să ne amintim (din acțiuni cu grade, da...) că o unitate este orice număr la zero. Orice. Orice ai nevoie, îl vom pune. Avem nevoie de doi. Mijloace:

Acum asta e tot. Am 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, se obține uneori o expresie incomodă. Tip:

De la șapte, un deuce printr-un grad simplu nu funcționează. Nu sunt rude... Cum pot fi aici? Cineva poate fi confuz ... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul "Ce este un logaritm?" , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” de la examen. Este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” - ușor.

Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să-l evidențiem pe cel principal.

Sfaturi practice:

1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Să vedem dacă nu se pot face aceeași. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ actiuni cu puteri. Nu uitați că și numerele fără x pot fi transformate în grade!

2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când sunt stânga și dreapta aceeași numere în orice grad. Folosim actiuni cu puteriși factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în numere - numărăm.

3. Dacă al doilea sfat nu a funcționat, încercăm să aplicăm substituția variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care este ușor de rezolvat. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la un pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști gradele unor numere „din vedere”.

Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să rezolvi puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.

Rezolvați ecuații exponențiale:

Mai dificil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3-x + 2 x = 9

S-a întâmplat?

Ei bine, atunci cel mai complicat exemplu (se rezolvă, totuși, în minte...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de trage de dificultate crescută. Voi sugera că în acest exemplu, ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor sarcinilor matematice salvează.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemplu este mai simplu, pentru relaxare):

9 2 x - 4 3 x = 0

Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. Și ce să le considerăm, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, este nevoie de ingeniozitate... Și da, clasa a șaptea te va ajuta (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):

unu; 2; 3; patru; nu există soluții; 2; -2; -5; patru; 0.

Este totul reușit? Excelent.

Există o problemă? Nici o problemă! În Secțiunea Specială 555, toate aceste ecuații exponențiale sunt rezolvate cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu numai cu acestea.)

O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție, am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.