Exemplul discutat mai sus ne permite să concluzionam că valorile utilizate pentru analiză depind de cauze aleatorii, prin urmare astfel de variabile sunt numite Aleatoriu. În cele mai multe cazuri, ele apar ca urmare a observațiilor sau experimentelor, care sunt rezumate în tabele, în primul rând în care sunt înregistrate diferitele valori observate ale variabilei aleatoare X, iar în al doilea - cele corespunzătoare. frecvente. Prin urmare, acest tabel este numit distribuția empirică a unei variabile aleatoare X sau serie variațională. Pentru seria variațională, am găsit valoarea medie, varianța și abaterea standard.

continuu, dacă valorile sale completează complet un interval numeric.

Se numește variabila aleatoare discret, dacă toate valorile sale pot fi enumerate (în special, dacă ia un număr finit de valori).

De notat doi proprietăți caracteristice tabele de distribuție ale unei variabile aleatoare discrete:

Toate numerele din al doilea rând al tabelului sunt pozitive;

Suma lor este egală cu unu.

În conformitate cu studiile efectuate, se poate presupune că odată cu creșterea numărului de observații, distribuția empirică se apropie de distribuția teoretică dată în formă tabelară.

O caracteristică importantă a unei variabile aleatoare discrete este așteptarea sa matematică.

așteptări matematice variabila aleatoare discretă X, luând valori, , …, . cu probabilități , , …, se numește număr:

Aşteptarea matematică se mai numeşte şi medie.

Alte caracteristici importante ale unei variabile aleatoare includ varianța (8) și abaterea standard (9).

unde: așteptarea matematică a valorii X.

. (9)

Prezentarea grafică a informațiilor este mult mai clară decât cea tabelară, astfel încât capacitatea foilor de calcul MS Excel de a prezenta datele plasate în ele sub formă de diferite diagrame, grafice și histograme este folosită foarte des. Deci, pe lângă tabel, distribuția unei variabile aleatoare este de asemenea descrisă folosind poligon de distribuție. Pentru a face acest lucru, punctele cu coordonatele , , ... sunt construite pe planul de coordonate și conectate prin segmente drepte.

Pentru a obține un dreptunghi de distribuție folosind MS Excel, trebuie să:

1. Selectați fila „Insert” ® „Area Chart” din bara de instrumente.

2. Activați zona pentru diagramă care a apărut pe foaia MS Excel cu butonul din dreapta al mouse-ului și utilizați comanda „Selectare date” din meniul contextual.

Orez. 6. Selectarea unei surse de date

Mai întâi, să definim intervalul de date pentru diagramă. Pentru a face acest lucru, în zona corespunzătoare a casetei de dialog „Selectare sursă de date”, introduceți intervalul C6:I6 (conține valorile frecvenței numite Row1, Fig. 7).

Orez. 7. Adăugați rândul 1

Pentru a schimba numele unei serii, selectați butonul pentru a schimba zona „Elemente legendă (serie)” (vezi Fig. 7) și denumește-o .

Pentru a adăuga o etichetă pentru axa X, utilizați butonul „Editați” din zona „Etichete axei orizontale (categorii)”
(Fig. 8) și indicați valorile seriei (interval $C$6:$I$6).

Orez. 8. Vederea finală a casetei de dialog „Selectare sursa de date”

Selectarea unui buton din caseta de dialog Selectare sursă de date
(Fig. 8) vă va permite să obțineți poligonul necesar al distribuției unei variabile aleatoare (Fig. 9).

Orez. 9. Distribuția poligonală a unei variabile aleatoare

Să facem câteva modificări în designul informațiilor grafice primite:

Adăugați o etichetă pe axa x;

Editați eticheta axei Y;

- Să adăugăm un titlu pentru diagrama „Poligon de distribuție”.

Pentru a face acest lucru, selectați fila „Lucrează cu diagrame” din zona barei de instrumente, fila „Aspect” și în bara de instrumente care apare, butoanele corespunzătoare: „Nume diagramă”, „Numele axe” (Fig. 10).

Orez. 10. Forma finală a poligonului distribuției unei variabile aleatoare

Variabilă aleatorie Se numește o cantitate care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare care nu este cunoscută dinainte. Variabile aleatorii sunt discontinuu (discret)și continuu tip. Valorile posibile ale cantităților discontinue pot fi enumerate în prealabil. Valorile posibile ale cantităților continue nu pot fi enumerate în prealabil și umple continuu un anumit gol.

Un exemplu de variabile aleatoare discrete:

1) Numărul de apariție a stemei în trei aruncări de monede. (valorile posibile sunt 0;1;2;3)

2) Frecvența apariției stemei în același experiment. (valori posibile)

3) Numărul de elemente defectate dintr-un dispozitiv format din cinci elemente. (Valorile posibile sunt 0;1;2;3;4;5)

Exemple de variabile aleatoare continue:

1) Abscisa (ordonata) punctului de impact la tragere.

2) Distanța de la punctul de impact până la centrul țintei.

3) Timpul de funcționare fără defecțiune a dispozitivului (tuburi radio).

Variabilele aleatoare sunt notate cu litere mari, iar valorile lor posibile cu litere mici corespunzătoare. De exemplu, X este numărul de lovituri cu trei lovituri; valori posibile: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Luați în considerare o variabilă aleatoare discontinuă X cu valori posibile X 1 , X 2 , … , X n . Fiecare dintre aceste valori este posibilă, dar nu sigură, iar valoarea lui X poate lua fiecare dintre ele cu o anumită probabilitate. Ca rezultat al experimentului, cantitatea X va lua una dintre aceste valori, adică va avea loc unul din grupul complet de evenimente incompatibile.

Să notăm probabilitățile acestor evenimente cu literele p cu indicii corespunzători:

Întrucât evenimentele incompatibile formează un grup complet, atunci

adică suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare este egală cu 1. Această probabilitate totală este cumva distribuită între valorile individuale. O variabilă aleatoare va fi complet descrisă din punct de vedere probabilistic dacă precizăm această distribuție, adică indicăm exact ce probabilitate are fiecare dintre evenimente. (Acest lucru va stabili așa-numita lege a distribuției variabilelor aleatoare.)

Legea distribuției unei variabile aleatoare Se numește orice relație care stabilește o legătură între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitatea corespunzătoare. (Despre o variabilă aleatoare, vom spune că este supusă unei anumite legi de distribuție)

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare este un tabel care listează valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Tabelul 1.

variabile aleatoare. Poligon de distribuție

Variabile aleatoare: discrete și continue.

Când se efectuează un experiment stocastic, se formează un spațiu de evenimente elementare - rezultatele posibile ale acestui experiment. Se consideră că pe acest spaţiu al evenimentelor elementare valoare aleatorie X, dacă se dă o lege (regulă) conform căreia i se atribuie un număr fiecărui eveniment elementar. Astfel, variabila aleatoare X poate fi considerată ca o funcție definită pe spațiul evenimentelor elementare.

■ Aleatoriu- o valoare care, la fiecare test, ia una sau alta valoare numerica (nu se stie dinainte care), in functie de cauze aleatorii care nu pot fi luate in considerare in prealabil. Variabilele aleatoare sunt notate cu litere mari ale alfabetului latin, iar valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt notate cu litere mici. Deci, atunci când un zar este aruncat, are loc un eveniment asociat cu numărul x, unde x este numărul de puncte aruncate. Numărul de puncte este o valoare aleatorie, iar numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 sunt valorile posibile ale acestei valori. Distanța pe care o va zbura un proiectil atunci când este tras dintr-un pistol este, de asemenea, o variabilă aleatorie (depinde de instalarea vizorului, puterea și direcția vântului, temperatură și alți factori) și valorile posibile din această cantitate aparțin unui anumit interval (a; b).

■ Variabilă aleatoare discretă- o variabilă aleatorie care ia valori posibile separate, izolate, cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

■ Variabilă aleatoare continuă este o variabilă aleatoare care poate lua toate valorile dintr-un interval finit sau infinit. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

De exemplu, numărul de puncte scăzut la aruncarea unui zar, scorul pentru o lucrare de control sunt variabile aleatoare discrete; distanța pe care o zboară un proiectil când trage dintr-un pistol, eroarea de măsurare a indicatorului timpului de asimilare a materialului educațional, înălțimea și greutatea unei persoane sunt variabile aleatoare continue.

Legea distribuției unei variabile aleatoare– corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora, i.e. fiecare valoare posibilă x i este asociată cu probabilitatea p i cu care variabila aleatoare poate lua această valoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare poate fi dată tabular (sub formă de tabel), analitic (sub formă de formulă) și grafic.

Fie ca o variabilă aleatoare discretă X să ia valorile x 1 , x 2 , …, x n cu probabilități p 1 , p 2 , …, respectiv p n, adică. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . Cu o atribuire tabelară a legii de distribuție a acestei valori, primul rând al tabelului conține valorile posibile x 1, x 2, ..., x n, iar al doilea - probabilitățile acestora

X	x 1	x2	…	x n
p	p1	p2	…	p n

Ca rezultat al testului, variabila aleatoare discretă X ia una și numai una dintre valorile posibile, astfel încât evenimentele X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n formează un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi și , prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente este egală cu unu , i.e. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete. Distribuția poligonului (poligonului).

După cum știți, o variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

O variabilă aleatoare discretă este o variabilă aleatoare care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1. Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) folosind funcția de distribuție F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3. Legea distribuției poate fi specificată grafic - printr-un poligon de distribuție (poligon) (vezi sarcina 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Principalele caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare discrete:

Aşteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i .
Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
Dispersia unei variabile aleatoare discrete D(X)= M 2 sau D(X) = M(X 2)− 2 . Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
Abaterea standard (abaterea standard) σ(X)=√D(X).

· Pentru claritatea reprezentării seriei de variații, reprezentările sale grafice sunt de mare importanță. Grafic, o serie variațională poate fi afișată ca un poligon, o histogramă și un cumulat.

· Un poligon de distribuție (literal, un poligon de distribuție) se numește linie întreruptă, care este construită într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Valoarea caracteristicii este trasată pe abscisă, frecvențele corespunzătoare (sau frecvențele relative) - de-a lungul ordonatei. Punctele (sau ) sunt conectate prin segmente de linie și se obține un poligon de distribuție. Cel mai adesea, poligoane sunt folosite pentru a afișa serii de variații discrete, dar pot fi folosite și pentru serii de intervale. În acest caz, punctele corespunzătoare punctelor medii ale acestor intervale sunt trasate pe axa absciselor.

X i	x1	x2	…	X n
Pi	P1	P2	…	P n

O astfel de masă se numește aproape de distribuție variabile aleatoare.

Pentru a oferi seriei de distribuție o formă mai vizuală, ei recurg la reprezentarea sa grafică: valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei absciselor, iar probabilitățile acestor valori sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. (Pentru claritate, punctele obținute sunt conectate prin segmente de linie.)

Figura 1 - poligon de distribuție

O astfel de cifră se numește poligon de distribuție. Poligonul de distribuție, ca și seria de distribuție, caracterizează complet variabila aleatoare; este o formă a legii distribuţiei.

Exemplu:

se efectuează un experiment în care poate apărea sau nu evenimentul A. Probabilitatea evenimentului A = 0.3. Se consideră o variabilă aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului A în acest experiment. Este necesar să construiți o serie și un poligon al distribuției lui X.

Masa 2.

X i
Pi	0,7	0,3

Figura 2 - Funcția de distribuție

funcția de distribuție este o caracteristică universală a unei variabile aleatoare. Există pentru toate variabilele aleatoare: atât discontinue, cât și nediscontinue. Funcția de distribuție caracterizează complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic, adică este una dintre formele legii distribuției.

Pentru a cuantifica această distribuție de probabilitate, este convenabil să folosiți nu probabilitatea evenimentului X=x, ci probabilitatea evenimentului X.

Funcția de distribuție F(x) este uneori numită și funcție de distribuție integrală sau legea de distribuție integrală.

Proprietăți ale funcției de distribuție a unei variabile aleatoare

1. Funcția de distribuție F(x) este o funcție nedescrescătoare a argumentului său, adică pentru ;

2. La minus infinit:

3. Pe plus infinit:

Figura 3 - graficul funcției de distribuție

Graficul funcției de distribuțieîn cazul general, este un grafic al unei funcții nedescrescătoare, ale cărei valori încep de la 0 și ajung la 1.

Cunoscând seria de distribuție a unei variabile aleatoare, este posibil să se construiască funcția de distribuție a unei variabile aleatoare.

Exemplu:

pentru condițiile exemplului anterior, construiți o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare.

Să construim funcția de distribuție X:

Figura 4 - funcția de distribuție X

funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare discrete discontinue există întotdeauna o funcție pas discontinuă ale cărei salturi au loc în puncte corespunzătoare valorilor posibile ale variabilei aleatoare și sunt egale cu probabilitățile acestor valori. Suma tuturor salturilor din funcția de distribuție este 1.

Pe măsură ce numărul de valori posibile ale variabilei aleatoare crește și intervalele dintre ele scad, numărul de sărituri devine mai mare, iar salturile în sine devin mai mici:

Figura 5

Curba pasului devine mai netedă:

Figura 6

O variabilă aleatoare se apropie treptat de o valoare continuă, iar funcția sa de distribuție se apropie de o funcție continuă. Există și variabile aleatoare ale căror valori posibile umplu continuu un anumit gol, dar pentru care funcția de distribuție nu este continuă peste tot. Și în unele momente se rupe. Astfel de variabile aleatoare se numesc mixte.

Figura 7

Sarcina 14. La loteria cu numerar, se joacă 1 câștig de 1.000.000 de ruble, 10 câștiguri a câte 100.000 de ruble fiecare. și 100 de câștiguri de 1000 de ruble. cu un număr total de bilete 10000. Aflați legea repartizării câștigurilor aleatorii X pentru proprietarul unui bilet de loterie.

Soluţie. Valori posibile pentru X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Probabilitățile lor sunt, respectiv, egale: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Prin urmare, legea distribuției plății X poate fi dat de următorul tabel:

Sarcina 15. Variabilă aleatorie discretă X dat de legea distributiei:

Construiți un poligon de distribuție.

Soluţie. Construim un sistem de coordonate dreptunghiular, iar de-a lungul axei absciselor vom trasa valorile posibile x i, iar de-a lungul axei y - probabilitățile corespunzătoare p i. Să construim puncte M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) și M 4 (8; 0,3). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

§2. Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare

O variabilă aleatoare este complet caracterizată de legea sa de distribuție. O descriere medie a unei variabile aleatoare poate fi obținută folosind caracteristicile sale numerice

2.1. Valorea estimata. Dispersia.

Fie ca o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități, respectiv.

Definiție. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile corespunzătoare:

Proprietățile așteptărilor matematice.

Dispersia unei variabile aleatoare în jurul valorii medii este caracterizată de varianță și abatere standard.

Dispersia unei variabile aleatoare este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică:

Pentru calcule se folosește următoarea formulă

Proprietăți de dispersie.

2. , unde sunt variabile aleatoare reciproc independente.

3. Abaterea standard.

Sarcina 16. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z = X+ 2Y, dacă se cunosc așteptările matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Soluţie. Folosim proprietățile așteptărilor matematice. Apoi obținem:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Sarcina 17. Varianta unei variabile aleatoare X egal cu 3. Aflați varianța variabilelor aleatoare: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Soluţie. Să aplicăm proprietățile 3, 4 și 2 ale dispersiei. Avem:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Sarcina 18. Având în vedere o variabilă aleatoare independentă Y este numărul de puncte obținute prin aruncarea unui zar. Găsiți legea distribuției, așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare Y.

Soluţie. Tabel de distribuție ale variabilelor aleatoare Y se pare ca:

Apoi M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2. 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.