Simetria ca criteriu al frumuseții exterioare. Asimetria facială: cauze ale tulburărilor patologice și metode de corectare a acestora

)
Data: 2017-10-17 Vizualizări: 18 963 Nota: 5.0

Scopul instruirii: corectează asimetria feței în 3 puncte (sprincene, ochi, buze).

Fața umană nu este simetrică, la fel ca corpul și nu este nimic surprinzător în asta.

Cu toate acestea, există cazuri când asimetria feței este pronunțată și îți dă disconfort psihologic. Voi face imediat o rezervare că nu toate tipurile de asimetrie pot fi corectate cu ajutorul exercițiilor.

Asimetria nu poate fi corectată prin exerciții dacă:

• este cauzată de deformări osoase;
• deformări patologice;
• nevrita foarte „veche” a nervului facial;
• în unele cazuri, consecințele injecțiilor cu Botox, așa-numitul efect secundar.

Cauzele asimetriei

De asemenea, asimetria feței depinde în mare măsură de starea corpului tău. Despre relația dintre față și corp.

Pe scurt, cu scolioza, lordoza, distorsiunile pelvine si alte modificari ale sistemului musculo-scheletic are loc asimetria si corectarea ei ar trebui sa inceapa de la calcai!

Dar ASIMETRIA poate fi rezultatul expresiilor faciale excesive, al exceselor faciale și al obiceiurilor comportamentale. Toate acestea sunt dezvăluite prin privirea atentă la fața ta în videoclip, de exemplu.

Zâmbind, vorbind, mestecând doar pe o parte sau ridicând constant una dintre sprâncene. Îți amintești de existența memoriei musculare? Și își amintește despre tine și trage sprânceana activă în sus tot timpul, iar un ochi face mai puțin vizual.

Cum se măsoară asimetria?

Cum se verifică simetria feței? Am nevoie de o fotografie! Îndepărtează-ți părul de față, cere-ți să faci o poză. O fotografie este ca un pașaport: nu zâmbim, nu încercăm să arătăm cool în imagine.

Luăm o riglă și trasăm o linie orizontală peste ochi (în pupile), peste sprâncene, peste buze. Începe cu ochii. La urma urmei, nivelul nostru intern (nivelul) tinde spre orizont chiar în zona ochilor, astfel încât să puteți merge lin și să nu cădeți.

Și acum ne uităm la cele 3 linii rezultate. Poate că o sprânceană va fi mai sus, iar cealaltă mai jos, colțurile buzelor s-ar putea să nu fie pe aceeași linie.

Amintiți-vă că există valori acceptabile de asimetrie și acest lucru este absolut natural și nu necesită ajustare.

Acolo unde există abateri de la orizont, trebuie să lucrați cu mușchii, iar pentru unii va fi suficient să corectați stereotipurile comportamentale și totul va cădea la loc pe față.

Exerciții pentru față cu asimetrie

Să trecem la exerciții.Apropo, acestea pot fi combinate cu oricare dintre complexele:,. Doar adăugați-le în programul dvs. de antrenament. De exemplu, efectuați, apoi faceți exerciții pentru a corecta asimetria aceleiași zone.

În exemplu, iau în considerare opțiunea de a corecta asimetria unilaterală a feței, când partea feței situată mai jos față de jumătatea ei funcționează mai rău, o simți mai puțin! De exemplu, sprânceana stângă, ochiul stâng, colțul stâng al buzei sunt mai jos decât pe partea dreaptă a feței - această asimetrie se numește ONE-SIDE.

Asimetria facială poate fi diagonală, complexă. În astfel de cazuri, este mai bine să selectați exercițiile individual.

30 de repetări recomandate, pe ultimul cont întârziere statică 5 secunde. Antrenamentul se bazează pe implementarea „BASE” - exerciții de bază cu adăugarea de exerciții speciale pentru a corecta asimetria unei anumite zone.

Frunte. Corecția sprâncenelor

Exercițiul numărul 1: Ridicarea sprâncenelor în sus

Acesta este exercițiul de bază. Când o faci, acordă atenție sprâncenelor? Care se ridică mai rău? Care te simti mai putin?

Pune-ți degetele peste sprâncene. Împingeți-vă sprâncenele în sus cu efort, rezistați cu degetele. Asigurați-vă că în timpul exercițiului nu există riduri orizontale pe frunte, încercați să vă relaxați și să coborâți umerii, fixați strâns pielea deasupra sprâncenelor. După terminarea exercițiului, atingeți-vă fruntea cu degetele.

Să trecem la un set de exerciții pentru corectarea diferitelor poziții ale înălțimii sprâncenelor:

Exercițiul numărul 2: ridicarea alternativă a sprâncenelor

Pe frunte, deasupra sprancenelor, aseaza degetele si falangele tin usor pielea pentru a nu se aduna in pliuri. Acum ridică sprâncenele alternativ: apoi stânga, apoi dreapta.

Simțiți care dintre sprâncene se ridică mai rău, sau atunci când ridicați una dintre sprâncene, apar tensiune și disconfort. Sprânceana care se ridică mai rău trebuie scoasă în 2 puncte: 1-ridicat, 2-întins. După terminarea exercițiului, atingeți-vă fruntea cu degetele.

Exercițiul numărul 3: ridicarea unei sprâncene

Odată ce ați găsit o sprânceană care funcționează mai rău și este situată mai jos, trebuie „antrenată” separat.

Fixăm sprânceana, care se află deasupra, cu o mână, iar cealaltă ridicăm în sus, ținând pielea peste sprânceană cu falangele degetelor pentru a nu se aduna în pliuri. După terminarea exercițiului, atingeți-vă fruntea cu degetele.

Ochi

Video general:

Exercițiul numărul 1: pentru întărirea pleoapei superioare

Acesta este exercițiul de bază. În timpul execuției, urmăriți senzațiile sub degetele arătător, sub unul dintre degete există o pulsație, tremurul mușchiului va fi mai puțin pronunțat. Când închideți acest ochi, încercați să apăsați puțin mai tare pleoapa inferioară cu pleoapa superioară. IMPORTANT! Nu apăsați puternic cu degetele și nu întindeți pielea în direcții diferite!

Ținem colțurile ochilor cu degetele și cu puțin efort închidem ochii, apăsând pleoapa superioară pe cea inferioară. Încearcă să ții sprâncenele la locul lor și să nu te strecori în jos în spatele pleoapei superioare, relaxează-ți fruntea. Apoi deschidem ochii. După ce ați făcut exercițiul, clipiți din ochi.

Exercițiul numărul 2: munca alternativă a ochilor

Să închidem ochii unul câte unul. Punem degetele arătător și mijlociu în colțurile ochilor, nu apăsăm și nu tragem de piele. Închidem ochii pe rând: stânga, dreapta, stânga.... Când închizi un ochi, celălalt trebuie ținut deschis. Asigurați-vă că relaxați fruntea, astfel încât sprânceana să nu cadă împreună cu pleoapa superioară. După ce ați făcut exercițiul, clipiți din ochi.

Colțurile buzelor

Video general:

Exercițiul numărul 1: ajută la ridicarea colțurilor căzute ale buzelor

Acesta este exercițiul de bază. Degetele fixează zona nazolabială (de la colțul gurii până la nară). Ridicăm colțurile buzelor în sus, parcă zâmbind, cu degetele rezistăm, mișcarea colțurilor buzelor urcă sub ochi, în timp ce centrul buzelor este relaxat. Încercați să nu vă „călărești” degetele pe față; când ridici, colțul buzei se sprijină pe degete.

Exercițiul numărul 2 ridicând alternativ colțurile buzelor

Degetele fixează zona nazolabială (de la colțul gurii până la nară). Ridicam colturile buzelor in sus LA RAND, parca zambind cu un colt al buzei, rezistam cu degetele, miscarea colturilor buzelor urca sub ochi, in timp ce centrul buzelor este relaxat. Încercați să nu vă „călărești” degetele pe față; când ridici, colțul buzei se sprijină pe degete.

Exercițiul numărul 3 ridicând un colț al buzei

Cu degetele fixăm zona nazolabială (de la colțul gurii până la nară) din partea colțului buzei, care se află dedesubt. Pur și simplu fixăm colțul opus al gurii cu mâna, astfel încât să nu se implice în lucru. Ridicam coltul buzelor in sus, parca zambind cu un colt al buzei, rezistam cu degetele, miscarea coltului buzei urca sub ochi, in timp ce centrul buzelor este relaxat. Încercați să nu vă „călărești” degetele pe față; când ridici, colțul buzei se sprijină pe degete.

P.S. Dezvolt programe individuale de instruire pentru construirea Facebook, susțin cursuri prin Skype. Dacă sunteți interesat -

Stabilirea asimetriei faciale a devenit un fel de senzație, deoarece asimetria este rareori evidentă. S-a dovedit că oamenii diferă în gradul de asimetrie la fel de mult ca și în trăsăturile feței. Acest lucru a fost confirmat nu numai de măsurători, ci și de o comparație a portretelor formate din fotografii ale jumătăților din dreapta și din stânga (una dintre ele trebuie răsturnată la imprimare) cu un portret obișnuit al unei persoane făcut exact în față. Obții fețe complet diferite.

Nu există o simetrie perfectă în lume. Este o greșeală să consideri simetria facială o condiție indispensabilă pentru frumusețea ei. Amestecul de trăsături ereditare nu poate decât să se reflecte în chipul copilului. Pentru a evalua frumusețea unei fețe, este importantă o combinație de trăsături și o ușoară asimetrie, care, de altfel, este inerentă fețelor tuturor oamenilor și nu afectează deloc meritele portretului. Chiar și în sculpturile lui Venus de Milo și Apollo Belvedere, fețele lor nu au o simetrie completă. Pe bună dreptate, putem spune că nu există o singură persoană cu o simetrie strictă indiscutabilă a jumătăților drepte și stângi. Acesta este, probabil, motivul pentru care Claudius Galen a scris că „frumusețea reală este exprimată în perfecțiunea scopului și că primul scop al tuturor părților este oportunitatea structurii”. Fără îndoială, P.F. Lesgaft a avut dreptate când a scris că „odată cu dezvoltarea armonioasă a tuturor mușchilor și grupelor musculare, fața își va pierde expresia definită. Individualitatea trăsăturilor faciale este dobândită prin utilizarea frecventă a mușchilor corespunzători.

Michelle Monaghan

Deci, ar trebui recunoscută ca fapt asimetria feței, adică inegalitatea jumătăților sale drepte și stângi: una dintre ele, de regulă, este mai lată, cealaltă este mai îngustă, una este mai înaltă, cealaltă este mai joasă. . Motivul asimetriei este în majoritatea cazurilor denivelarea elementelor structurale ale oaselor craniului. Pe fața unei persoane, creșterea asimetriei se datorează specificității expresiilor faciale (asimetrie fiziologică).

Naomi Watts

Există lucrări științifice în care oamenii de știință identifică următoarele modele de asimetrie facială. Dacă o jumătate a feței este mai înaltă, atunci este și mai îngustă. In acest caz, spranceana este situata mai sus decat pe jumatatea opusa, mai lata a fetei, fisura palpebrala este mai mare. Ochiul în ansamblu pare a fi întors în sus. Jumătatea stângă a feței este de obicei mai înaltă decât cea dreaptă. Mulți autori încă mai cred că jumătatea dreaptă a feței este mai mare decât cea stângă, iese mai ascuțit și exprimă masculinitatea. Jumătatea stângă este în general mai moale, reflectând trăsăturile feminității.

Kate Bosworth

Asimetria facială a fost mult timp observată ca o reflectare a asimetriei generale a corpului. S-au încercat restabilirea feței din portret din jumătatea exactă a fotografiei și a imaginii în oglindă. Jumătățile din dreapta și din stânga au dat imagini diferite. Nu se potriveau cu originalul. Asimetria mimică, deși suprapusă pe disproporțiile jumătăților drepte și stângi ale craniului facial, are, de asemenea, propriile sale caracteristici. S-a stabilit ca reglarea nervoasa a muschilor mimici drepti este mai bogata, miscarile capului si ochilor spre dreapta sunt reproduse mai usor. Chiar și mijirea ochiului drept este mai obișnuită.

Candidat la stiinte medicale, chirurg plastician ""

În secolul al XV-lea, Leonardo da Vinci a creat desene care descriu proporțiile „divine” ale feței și corpului uman, care sunt încă standardul (Fig. 1). Cu toate acestea, aceste proporții nu țin cont de faptul că obiectele absolut simetrice nu există în natura vie: în oricare dintre ele există întotdeauna o unitate de simetrie și asimetrie.

Orez. unu.

De-a lungul istoriei, oamenii au încercat să „măsoare” frumusețea, să o descrie folosind formule matematice sau proporții geometrice, făcând astfel posibilă recrearea ei. Deci, în Grecia antică, ordinea și armonia observate în natură erau personificate în imaginile strălucitoare ale zeilor și zeițelor, imortalizate în statui frumoase.

Potrivit sculptorilor greci, simetria caracterizează armonia, proporționalitatea, armonia corpurilor naturale și a corpului uman. Prin urmare, conceptele de simetrie și frumusețe sunt identice. Este suficient să amintim construcția strict simetrică a monumentelor arhitecturale, repetarea în mod regulat a modelelor de ornamente tradiționale, armonia uimitoare a vaselor grecești (Fig. 2).

Faptul asimetriei feței și corpului unei persoane era cunoscut artiștilor și sculptorilor lumii antice și a fost folosit de aceștia pentru a da expresivitate și spiritualitate lucrărilor create.

Un exemplu izbitor de asimetrie este chipul lui Venus de Milo (Fig. 3). Susținătorii simetriei au criticat asimetria formelor acestui standard universal recunoscut de frumusețe feminină, crezând că fața lui Venus ar fi mai frumoasă dacă ar fi simetrică. Cu toate acestea, uitându-ne la fotografiile compozite, vedem că nu este cazul.

Însuși conceptul de „simetrie” este direct legat de armonie. Provine din cuvântul grecesc antic συμμετρία (proporționalitate) și înseamnă ceva armonios și proporțional într-un obiect. Conceptul de simetrie „oglindă” este aplicabil unei persoane. Această simetrie este sursa principală a admirației noastre estetice pentru corpul uman bine proporționat.

O astfel de simetrie nu este doar frumoasă, ci și funcțională. Deci, membrele simetrice facilitează deplasarea în spațiu, locația ochilor - pentru a crea imaginea vizuală corectă, un sept nazal plat asigură o respirație adecvată. Cu toate acestea, simetria organismelor vii nu se manifestă cu acuratețe matematică din cauza dezvoltării și funcționării inegale.

Simetrie facială și standarde de frumusețe

De-a lungul timpului, standardele de frumusețe s-au schimbat, dar principiile și parametrii care determină proporțiile și proporțiile feței și, în consecință, atractivitatea acesteia, s-au păstrat încă din cele mai vechi timpuri. Pentru ca chipul să fie armonios, diferitele sale părți trebuie legate într-o anumită proporție, cu ajutorul căreia se realizează un echilibru de ansamblu. Nicio parte a feței nu există sau nu funcționează izolat de celelalte. Orice modificare a unei anumite părți a feței va avea un efect adevărat sau aparent asupra percepției altor părți și a feței în ansamblu.

Este firesc ca toate proporțiile feței umane au doar o valoare aproximativă pentru estetica sa din mai multe motive:

• În primul rând, proporțiile feței variază în funcție de vârsta, sexul, dezvoltarea fizică a unei persoane și sunt în mare măsură determinate de caracteristicile structurale individuale.
• În al doilea rând, evaluarea proporționalității devine mai complicată în funcție de poziția capului.
• A treia dificultate constă în asimetria feței umane, care se manifestă adesea prin forma nasului, poziția fisurilor palpebrale și a sprâncenelor și poziția colțurilor gurii. Cele doua laturi ale fetei nu dau aceeasi imagine in oglinda, chiar daca fata este perceputa de noi ca fiind perfect corecta.

Astfel, faptul asimetriei faciale, exprimat prin jumătățile drepte și stângi inegale, dintre care una, de regulă, este mai lată și mai înaltă, cealaltă este mai îngustă și mai joasă, este general recunoscut astăzi.

Din fotografiile prezentate în Fig. 4, se poate observa că fețele absolut simetrice sunt clar diferite de imaginea originală a unei fețe cu asimetrie naturală. În opinia noastră, „sintetic” fețele simetrice nu sunt atât de atractive, ca și în fotografiile originale, deși am selectat pentru realizarea portretelor compozite chipurile actorilor a căror înfățișare este cel mai apreciată. Mai mult, aceste fețe au o simetrie mai pronunțată decât se observă la majoritatea oamenilor, dar o ușoară asimetrie nu face decât să le sublinieze atractivitatea.

Frumusețe în asimetrie?

Deci, asimetria inerentă tuturor dintre noi este cu adevărat frumoasă sau nu? Este destul de evident că nu considerăm atractive încălcări semnificative ale simetriei în structura feței. Cu toate acestea, micile abateri de la simetrie nu introduc dizarmonie, ci doar favorizează individualitatea.

Majoritatea pacienților care apelează la un chirurg plastician nu observă asimetria proporțiilor feței și corpului lor. Prin urmare, una dintre sarcinile importante ale chirurgului în timpul consultației este de a atrage atenția pacientului asupra caracteristicilor proporțiilor sale, de a descrie în detaliu schimbările viitoare ca urmare a operației. Corectarea asimetriei faciale este mult facilitată de utilizarea metodelor minim invazive, cum ar fi și.

Deci, asimetria pronunțată este de obicei considerată inestetică și, în astfel de cazuri, dorința de a obține un aspect mai simetric este destul de naturală și poate servi ca indicație pentru chirurgia plastică. Cu toate acestea, o ușoară asimetrie a feței o face doar atractivă și individuală și, prin urmare, nu ar trebui să depuneți eforturi pentru o simetrie absolută.

Simetria și proporționalitatea sunt componente importante ale frumuseții externe a unei persoane și, în unele cazuri, indicatori ai sănătății. Dar nu toată lumea știe să evalueze proporțiile și simetria feței și corpului lor. Este exact ceea ce se va discuta.

Poate un nas lung să nu strice deloc aspectul unei persoane? Categoric da. Dacă nasul este proporțional cu fața lui.

Pentru a evalua proporțiile feței, trebuie să mergeți la oglindă și să măsurați trei distanțe:
de la marginea creșterii părului de pe frunte până la puntea nasului
de la puntea nasului până la buza superioară
de la buza superioară până la bărbie.

Dacă sunt egali, ești un fericit posesor al unei fețe proporționale.

Dacă nu, atunci există o disproporție, care nu este deloc un motiv de descurajare. În primul rând, aceasta poate fi o anumită atractivitate și originalitate a feței, iar în al doilea rând, proporțiile pot fi modificate.

O creștere sau scădere a primei distanțe se poate realiza cu ajutorul coafurilor, precum și a da o anumită formă sprâncenelor. A doua distanță este aproape întotdeauna corectată prin modificarea lungimii nasului. Un ruj selectat corespunzător sau o măsură mai durabilă - mărirea buzelor - poate afecta vizual a treia distanță.

Simetria facială este, de asemenea, ușor de evaluat. Este necesar să se acorde atenție locației și formei structurilor anatomice pereche: sprâncene, ochi, urechi, pliuri nazolabiale.

Dacă sunt situate la același nivel și au aceeași formă, atunci fața este simetrică. Simetria facială este foarte importantă nu numai din punct de vedere estetic. Încălcarea bruscă a acestuia este un semn de diagnostic important într-o serie de boli neurologice grave.

Cel mai ușor este să judeci proporțiile corpului după volumele sale: volumul pieptului, taliei și șoldurilor.

La un bărbat îndoit proporțional predomină volumul pieptului. Din punct de vedere geometric, idealul unei figuri masculine este un triunghi isoscel răsturnat cu susul în jos.

Într-o figură feminină proporțională, volumele pieptului și șoldurilor sunt aproximativ egale între ele. Și talia ar trebui să fie cu 1/3 mai mică decât aceste două volume. Este suficient să ne amintim de cunoscutul standard: 90 cm -60 cm -90 cm. Cu toate acestea, raportul 120cm-80cm-120cm nu este mai puțin proporțional. Expresia geometrică a idealului este forma unei clepsidre.

Vizual proporțiile dorite sunt realizate prin îmbrăcăminte, lenjerie de corp corset, anumite exerciții fizice. Cu toate acestea, există zone cu probleme care sunt destul de greu de corectat, de exemplu, notorii „pantaloni” - partea superioară a suprafețelor laterale ale coapselor. Aici poate ajuta liposucția.

Simetria corpului este evaluată și prin formațiuni pereche. Claviculele, mameloanele, omoplații, spinele iliace anterioare superioare, pliurile fesiere trebuie să fie la același nivel.

Merită să știți că o încălcare vizibilă a simetriei corpului este întotdeauna un motiv pentru o examinare amănunțită a sistemului musculo-scheletic.

În general, atunci când îți evaluezi aspectul în funcție de orice parametru, fie că este vorba de proporționalitate, simetrie sau altceva, nu trebuie să fii prea pretențios.

Anumite trăsături, imperfecțiuni, disproporții - aceasta este ceea ce ne deosebește unul de celălalt și, prin urmare, ne face unici.

Încă nu vom înțelege dacă există într-adevăr o persoană absolut simetrică. Toată lumea, desigur, va avea o aluniță, o șuviță de păr sau un alt detaliu care rupe simetria externă. Ochiul stâng nu este niciodată exact la fel cu cel drept, iar colțurile gurii sunt la înălțimi diferite, cel puțin la majoritatea oamenilor. Totuși, acestea sunt doar neconcordanțe minore. Nimeni nu se va îndoi că în exterior o persoană este construită simetric: mâna stângă corespunde întotdeauna cu mâna dreaptă și ambele mâini sunt exact aceleași! Stop. Merită să ne oprim aici. Dacă mâinile noastre ar fi într-adevăr exact aceleași, le-am putea schimba oricând. Ar fi posibil, să zicem, prin transplant, să transplantăm mâna stângă în mâna dreaptă sau, mai simplu, mănușa stângă s-ar potrivi atunci cu mâna dreaptă, dar de fapt nu este cazul.

Ei bine, desigur, toată lumea știe că asemănarea dintre mâinile noastre, urechile, ochii și alte părți ale corpului este aceeași ca între un obiect și reflectarea lui într-o oglindă. Cartea din fața dumneavoastră este dedicată problemelor de simetrie și reflectare în oglindă.

Mulți artiști au acordat o atenție deosebită simetriei și proporțiilor corpului uman, cel puțin până când au fost ghidați de dorința de a urmări natura cât mai îndeaproape în lucrările lor. Cunoscute sunt canoanele de prodorce întocmite de Albrecht Dürer și Leonardo da Vinci. Conform acestor canoane, corpul uman nu este doar simetric, ci și proporțional. Leonardo a descoperit că corpul se potrivește într-un cerc și un pătrat. Dürer căuta o singură măsură care să fie într-un anumit raport cu lungimea trunchiului sau a piciorului (a considerat lungimea brațului până la cot ca o astfel de măsură).

În școlile moderne de pictură, dimensiunea verticală a capului este cel mai adesea luată ca o singură măsură. Cu o anumită presupunere, putem presupune că lungimea corpului depășește de opt ori dimensiunea capului. La prima vedere, acest lucru pare ciudat. Dar nu trebuie să uităm că majoritatea oamenilor înalți se disting printr-un craniu alungit și, dimpotrivă, este rar să găsești un om gras și scund, cu capul alungit.

Dimensiunea capului este proporțională nu numai cu lungimea corpului, ci și cu dimensiunile altor părți ale corpului. Toți oamenii sunt construiți pe acest principiu, motiv pentru care suntem în general asemănători unii cu alții. (Vom reveni la asemănarea sau asemănarea în câteva pagini.) Cu toate acestea, proporțiile noastre sunt de acord doar aproximativ și, prin urmare, oamenii sunt doar similari, dar nu la fel. Oricum, toți suntem simetrici! În plus, unii artiști în lucrările lor subliniază în mod special această simetrie.

SIMETRIA PERFECTĂ E PLACITITĂ

Și în haine, o persoană, de regulă, încearcă să mențină impresia de simetrie: mâneca dreaptă corespunde stângii, piciorul drept corespunde stângi.

Nasturii de pe geacă și de pe cămașă stau exact în mijloc, iar dacă se retrag de ea, atunci la distanțe simetrice. Doar rar o femeie are curajul să poarte o rochie cu adevărat asimetrică (vom vedea mai târziu cât de multă abatere de la simetrie este acceptabilă).

Dar pe fondul acestei simetrii generale în detalii mici, permitem în mod deliberat asimetria, de exemplu, pieptănarea părului într-o parte laterală - pe stânga sau dreapta. Sau, să zicem, plasarea unui buzunar asimetric pe piept pe costum, adesea subliniat cu o batistă. Sau punerea unui inel pe degetul inelar de la o singură mână. Comenzile și insignele se poartă doar pe o parte a pieptului (mai des în stânga).

Simetria perfectă completă ar părea insuportabil de plictisitor. Micile abateri de la acesta dau trăsături caracteristice, individuale. Celebrul autoportret al lui Albrecht Dürer pare la prima vedere a fi absolut simetric. Dar, privind mai atent, vei observa un mic detaliu asimetric care confera imaginii vioitate si vitalitate: o suvita de par langa despartire.

Și, în același timp, uneori o persoană încearcă să sublinieze, să întărească diferența dintre stânga și dreapta. În Evul Mediu, bărbații la un moment dat etalau pantaloni cu picioare de diferite culori (de exemplu, unul roșu și celălalt negru sau alb). Și în aceste zile, blugii cu pete strălucitoare sau pete de culoare au fost populari. Dar o astfel de modă este întotdeauna de scurtă durată. Doar abaterile modeste de la simetrie raman mult timp.

CE ESTE O SIMILITATE?

Adesea spunem că vreo doi oameni sunt asemănători unul cu celălalt. Copiii arată de obicei ca părinții lor (cel puțin conform bunicilor). La fel, dar nu la fel!

Să încercăm să ne dăm seama ce se înțelege prin asemănare sau asemănare în matematică. În cifre similare, segmentele corespunzătoare sunt proporționale între ele. În cazul nostru, putem formula această situație astfel: nasurile similare au aceeași formă, dar pot diferi ca mărime. În acest caz, fiecare secțiune individuală a nasului (de exemplu, puntea nasului) ar trebui să fie proporțională cu toate celelalte.

Această lege a asemănării este uneori plină de o captură. De exemplu, într-o sarcină ca aceasta:

Înălțimea turnului A este de 10 m. La o anumită distanță X de acesta se află un turn B de șase metri. Dacă tragem linii drepte de la picior și din vârful turnului A prin vârful turnului B, atunci acestea se vor întâlni. , respectiv, cu piciorul și vârful turnului C, care are o înălțime de 15 m. Care este distanța de la turnul A la turnul B?

S-ar părea că pentru soluție este suficient să ridicați o busolă și o riglă. Dar apoi se dovedește că va exista un număr infinit de răspunsuri. Cu alte cuvinte, nu poate exista un răspuns clar la întrebarea despre valoarea lui X.

În această carte, veți întâlni adesea probleme care necesită reflecție. Aceasta are un anumit sens pedagogic. Asemenea probleme, chiar dacă nu au nicio soluție, precum cea propusă mai sus, privesc o problemă care se află la limita cunoștințelor noastre. În cea mai mare parte, acestea sunt chiar limitele înaintea cărora cedează faimosul „bun simț” și numai gândirea logică strict matematică, cuplată cu cunoștințele științelor naturii, poate duce la decizia corectă.

Să ne întoarcem din nou la om: la compararea ființelor vii, asemănarea se simte clar dacă proporțiile acestora coincid. Prin urmare, copiii și adulții pot fi asemănători. Deși masa și dimensiunea oricărei părți ale corpului, fie că este vorba despre nas sau gura, sunt diferite, dar proporțiile indivizilor similari sunt aceleași.

Un exemplu izbitor de similitudine este estimarea vizuală a distanței cu ajutorul degetului mare. În acest fel, militarii și marinarii estimează distanța dintre două puncte de pe sol sau de pe mare, comparându-le cu lățimea unui deget sau a unui pumn. În cel mai simplu caz, închid un ochi și privesc cu ochiul deschis degetul unei mâini întinse, folosindu-l ca vedere.

Când vedeți cu degetul mare al unei mâini întinse (o dată cu ochiul stâng și o dată cu cel drept), degetul „sare” cu aproximativ 6 °

Dacă deschideți ochiul închis anterior (și îl închideți pe al doilea), degetul se va deplasa în lateral cu o distanță vizibilă. În grade, această distanță este de 6°. Și în plus, amploarea acestui „salt” (în marja de eroare) este aceeași pentru toți oamenii! Așadar, compania din flancul drept, un tip de doi metri înălțime, iar cel mai mic - unul din flancul stâng, de doar șaizeci de metri înălțime, comparând aceste „sărituri” ale degetului, vor primi aceeași valoare.

Motivul acestui fenomen constă în cele din urmă în asemănarea oamenilor și, desigur, în legile opticii, cărora viziunea noastră le respectă.

„Regula pumnului” este, de asemenea, cunoscută - în sensul cel mai direct al cuvântului - pentru o estimare aproximativă a mărimii unghiului. Dacă privim cu un ochi pumnul mâinii întinse (de data aceasta cu același ochi), atunci lățimea pumnului va fi de 10 °, iar distanța dintre cele două oase ale falangelor de 3 °. Pumnul și degetul mare care ies în lateral vor fi de 15 °. Combinând aceste măsurători, puteți măsura aproximativ toate unghiurile de pe sol.

Și în sfârșit, încă o măsură unghiulară a corpului nostru, care poate fi utilă pentru teme. Unghiul dintre degetul mare și degetul mic al palmei răspândite este de 90°. Pare puțin probabil, dar puteți verifica imediat totul pentru dvs. punând degetele întinse ale palmei pe colțul cărții noastre. Puneți degetul mic strict paralel cu o margine și mișcați mâna în jos de-a lungul ei până când degetul mare se află și el pe marginea de jos. Convins?

Desigur, aici eroarea se dovedește uneori a fi relativ mare, deoarece, în funcție de vârsta și dezvoltarea mâinii, degetul mare poate fi lăsat deoparte la distanțe diferite. Dar pentru primul test, care vă permite să decideți dacă unghiul măsurat se abate semnificativ de la o linie dreaptă, această metodă este destul de potrivită.

LINELAND ŞI PLATLAND

Imaginatorii au observat de mult că legile congruenței, atât de stricte pentru două dimensiuni, necesită adesea utilizarea unei a treia dimensiuni atunci când sunt aplicate în practică.

Când o masă este pregătită pentru o recepție grandioasă, șervețelele sunt de obicei pliate într-un triunghi. Dar merită să colectați aceste triunghiuri într-o grămadă, unul deasupra celuilalt, deoarece se dovedește că aceste triunghiuri sunt de două tipuri: unele se „se potrivesc” imediat unele cu altele, în timp ce altele trebuie întoarse „în partea dreaptă”. . O problemă similară apare la ștanțarea pieselor mici, atunci când cineva încearcă să stiveze produsele finite.

Este obișnuit ca poeții și scriitorii să fantezeze în jurul unor situații mai mult sau mai puțin probabile. Deci, există lucrări în care viața este înfățișată într-un spațiu bidimensional (unde nu puteți întoarce „șervețelul” în niciun fel).

Unii autori merg chiar mai departe și încearcă să-și imagineze viața într-un spațiu unidimensional, în Land of the Line - Lineland. Lineland este locuit doar de bețișoare subțiri de lemn, care în cel mai simplu caz nu diferă unele de altele. Totuși, merită să le dai capete (meciurile vin imediat în minte!), Și au imediat două posibilități.

Sau toate meciurile sunt întoarse capetele într-o direcție - atunci combinația lor nu provoacă dificultăți. Sau unele dintre chibrituri stau cu capul la stânga, iar unele dintre ele stau cu capul la dreapta. Matematicianul linelandian nu are un mod practic de a traduce potrivirile „stânga” în „dreapta”. Dar un matematician din Land of the Plane - Flatland, care mai are o dimensiune, va găsi imediat o soluție simplă: va întoarce meciul în avion.

Cu toate acestea, potrivit unor scriitori, nici viața în Flatland nu este atât de ușoară. Imaginați-vă că locuitorii acestei țări sunt dreptunghiuri mici cu un ochi (și au un singur ochi) într-unul dintre colțuri. Desigur, nu poate vedea decât un astfel de dreptunghi într-un avion și nu reușește niciodată să privească acest plan de sus. Așa că niciun Flatlander nu își va putea imagina vreodată cum arată cu adevărat: pentru aceasta, este deja necesară o vedere din spațiul tridimensional. Casele flatlanders ar fi fost cam la fel ca în desenele copiilor. Cu diferența că ușile ar fi laterale și s-ar deschide doar în același plan. Dar balamalele ușii ar trebui făcute în afara avionului, deasupra sau dedesubtul acestuia. În plus, ar fi nevoie de un sistem complex de recuzită pentru a preveni prăbușirea peretelui casei atunci când locuitorii ei vor dori să deschidă ușa. Iar doi Flatlanderi s-ar putea privi unul la altul numai dacă unul dintre ei ar reuși să stea pe cap.

Situația ar fi și mai complicată dacă Flatland ar fi locuit de două popoare. Să spunem Flatlanderii stângaci și dreptaci. Este nevoie de multă imaginație pentru a picta toate consecințele posibile ale unei astfel de situații, mai ales având în vedere că suntem obișnuiți să gândim în trei dimensiuni!

Deoarece atât Lineland, cât și Flatland au fost prezentate scriitorilor într-o lumină plină de umor, nu este surprinzător că literatura pe acest subiect a apărut în Anglia.

În 1880 Educatorul englez Edwin Ebony Abbott a scris o carte despre Flatland și locuitorii săi ( Abbott E. E. Flatland. În: Abbott E. E. Flatland. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, căzut în Lineland într-un vis, încearcă în zadar să convingă locuitorii de acolo de existența avionului.

În cursul acțiunii, unul dintre Flatlanders reușește să cunoască spațiul tridimensional, pentru care este recunoscut drept „cel mai nebun dintre nebuni”.

Peste douăzeci de ani mai târziu, în 1907, C. G. Hinton a publicat Incidentul din Flatland. În ea, două popoare din Flatland sunt în război. Deoarece toți Flatlanderii se confruntă cu aceeași direcție, unul dintre Popor este întotdeauna pierdut fără speranță: el nu se poate întoarce și lovește înapoi în direcția corectă - un inamic urât stă constant pe gâtul lui. Dar până la urmă binele câștigă. Un cap inteligent observă că Flatland este situat pe o minge și, prin urmare, este posibil, alergând în jurul ei, să treci în spatele liniilor inamice.

Autorul romanului își construiește povestea pe presupunerea tacită că Flatlanderii se pot deplasa numai pe anumite direcții generale, excluzând ocolurile laterale, și le este imposibil să răstoarne inamicul deasupra capetelor lor.

După cum puteți vedea, cele mai sofisticate teorii au fost prezentate despre viața în spațiul bidimensional, dar nu și-au găsit niciodată aplicație. Trebuie să ne gândim că atât aceste cărți, cât și autorii lor ar fi fost uitați de mult dacă Lineland și Flatland nu ar fi atât de necesare pentru a explica teoria reflexiei în oglindă și dacă compilatorii problemelor rapide de inteligență nu ar fi trebuit să se întoarcă iar și iar la Flatland pentru a extrage. idei din bidimensionalitatea sa (apropo, nu cu mult timp în urmă a fost creat un desen animat în Ungaria despre călătoria școlarului Adoljar la Flatland).

Printre altele, Flatlanderii transportă mărfuri prin rularea platformelor în cercuri. Ori de câte ori o încărcătură trece pe lângă cerc, ofițerul local de transport rostogolește cercul înainte și îl plasează în fața platformei.

Sunt multe probleme interesante aici. Dar ne interesează doar un singur lucru: dacă axul roții se mișcă cu o viteză de 10 m pe minut, cu ce viteză se mișcă sarcina?

Știm despre mașina noastră pământească că nicio roată (mai precis, nicio axă a roții) nu se poate mișca mai repede decât întreaga mașină. Dar într-o mașină de plată, roata nu este legată rigid de sarcină. Gândindu-mă la asta, nu este greu să ne dăm seama că sarcina de aici este implicată în două mișcări.

În primul rând, se mișcă împreună cu axa de rotație a roții (aceasta este la fel ca și cu o mașină). Și, în plus, încărcătura se rostogolește încă de-a lungul circumferinței roții și, în același timp, la o viteză egală cu viteza de rotație a axei. Prin urmare, în general, sarcina se rostogolește cu o viteză de două ori mai mare decât roata. Desigur, sarcina trebuie să se miște mai repede, fie și doar pentru că roțile sunt mereu lăsate în urmă și trebuie deplasate constant înainte.

Unii cititori se vor gândi: „Problema este cu adevărat interesantă, dar și ce?”

Totuși, principiul transportului pe uscat își găsește locul în tehnologia noastră. Deci, designerul, proiectând o ușă într-o cameră mică (de exemplu, lângă un mic lift), este forțat să abandoneze balamalele. Împarte ușa în două jumătăți (dacă, desigur, se gândește la un astfel de truc!), Care merg paralele una cu cealaltă. O jumătate a ușii este fixată fix de axa rolei, iar a doua se deplasează de-a lungul circumferinței acestei role. În timp ce o jumătate se mișcă pe jumătate din lățimea ușii, cealaltă are timp să alerge pe toată lățimea ușii (cu o viteză de două ori mai mare).

Să nu privim cu dispreț la Flatland și fanteziile scriitorului. Să presupunem că Flatlanderii trăiesc pe suprafața globului. Această suprafață este atât de mare încât locuitorii ar putea să nu-i observe curbura. Desigur, ei cred că trăiesc într-un plan, deoarece nu își pot imagina o sferă: la urma urmei, a treia dimensiune le este, în principiu, nefamiliară. Prin urmare, profesorii Flatland dezvoltă matematica Flatland, care este predată în școli. Copiii de acolo memorează, de exemplu, o astfel de definiție: două drepte paralele se intersectează la o distanță finită. Sau: suma unghiurilor unui triunghi este mai mare de 180°. Noi, oamenii din spațiul tridimensional, știm că o suprafață sferică este un spațiu bidimensional non-euclidian care nu se încadrează în geometria euclidiană obișnuită.

Privind globul, vedem că două meridiane, paralele la ecuator, se intersectează la pol. Privind globul, se poate și convinge că două meridiane formează un unghi de 90 ° cu ecuatorul. În punctul de intersecție la pol, apare un alt unghi. Și suma tuturor celor trei unghiuri este oricum mai mare de 180°. Dar săracii Flatlanders, desigur, nici nu-și pot imagina toate acestea. Sunt siguri că trăiesc într-un avion.

Un matematician sceptic, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), s-a întrebat serios dacă noi, oamenii, ne aflăm în aceeași poziție cu Flatlanderii. Poate, gândi Gauss, trăim și noi într-o lume non-euclidiană, dar pur și simplu nu observăm asta. Dacă ar fi așa, spațiul ar fi curbat (ceea ce cu siguranță nu ne-am putea imagina), iar un triunghi suficient de mare ar avea o sumă de unghiuri altele decât 180°. Gauss a măsurat triunghiul dintre Brocken, Inselberg și High Hagen, dar nu a găsit nicio abatere semnificativă de la 180°. Aceasta, desigur, nu ar putea servi drept dovadă incontestabilă, deoarece triunghiul ar putea fi încă prea mic.

Cu toate acestea, nu se poate compara pur și simplu spațiul non-euclidian în cauză cu spațiul din teoria relativității. Noi Flatlanderii și Gauss vorbim despre o problemă pur geometrică, spațială și despre dacă anumite axiome sunt adevărate (de exemplu, despre intersecția a două drepte paralele la infinit). Adepții teoriei relativității introduc timpul ca a patra coordonată spațială.

DESPRE CONGRUENTĂ

Două figuri plane sunt congruente dacă toate unghiurile și segmentele lor de linie dintre punctele corespunzătoare sunt egale.

La școală, studiem teoreme privind congruența triunghiurilor. S-a stabilit, de exemplu, că ariile triunghiurilor sunt egale dacă au o latură și două unghiuri adiacente coincid. Aceasta înseamnă că, deși puteți folosi o latură și două colțuri adiacente acesteia pentru a construi triunghiuri, triunghiurile trebuie să se potrivească cu toate părțile lor.

În vorbirea colocvială (pe care o folosim în această carte), putem spune că planurile congruente se suprapun exact unele pe altele sau, dimpotrivă, dacă o figură plană se suprapune exact pe alta, atunci ele sunt congruente. Același lucru este valabil și pentru corpurile tridimensionale: dacă pot fi combinate, atunci sunt congruente.

Priviți triunghiurile prezentate în imagine. Toate sunt congruente. Evident, ambele triunghiuri așezate în stânga vor fi aliniate dacă sunt pur și simplu mutate. Și iată triunghiul așezat în dreapta, deși este congruent cu cele două din stânga, dar nu-l putem combina cu ele doar deplasându-ne în plan. Indiferent cum îl rotim în plan, nu se va potrivi niciodată cu niciunul dintre triunghiurile din stânga. Pentru a realiza acest lucru, trebuie să ridicați triunghiul deasupra planului, să îl rotiți în spațiu și să-l puneți înapoi în plan. Dar dacă comparăm aranjarea reciprocă a triunghiurilor combinate prin deplasare și inversare, vom vedea că în ambele cazuri diferitele lor laturi coincid. Când este forfecată, suprafața inferioară a unui triunghi de hârtie se suprapune cu suprafața superioară a celui de-al doilea triunghi. Orientarea spațială a suprafeței foii de hârtie nu s-a schimbat. În acest caz, se vorbește de congruență identică. Dacă, atunci când sunt rotite în spațiu, ambele suprafețe superioare ale hârtiei sunt combinate, figurile plate se numesc congruente în oglindă.

Figurile plane se numesc congruente, pe care le percepem ca fiind egale și care pot fi combinate între ele prin deplasarea într-un plan sau rotirea în spațiu.

CONGRUENTA TRIANGURILOR

Congruență - proprietatea figurilor plane geometrice de a coincide între ele ca mărime și formă.

Formele care pot fi combinate între ele prin rotație și (sau) deplasare sunt identic congruente.

Congruente cu oglindă sunt figuri, pentru combinarea cărora este necesară o operație suplimentară de reflectare a oglinzii.

Există patru semne de congruență a triunghiurilor. Triunghiurile sunt congruente dacă:

1) trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altuia (S, S, S);

2) două laturi și unghiul interior al unui triunghi închis între ele sunt egale cu două laturi și unghiul interior al altui triunghi închis între ele (S, W, S);

3) două laturi și unghiul interior opus celui mai mare dintre ele dintr-un triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul opus celui mai mare dintre ele în celălalt triunghi (S, S, W);

4) latura și ambele unghiuri interioare adiacente ei ale unui triunghi sunt egale cu latura și ambele unghiuri interioare adiacente acesteia ale altui triunghi (W, S, W).

SIMILITUDINE

Coincidența figurilor plane în formă, dar nu și în dimensiune, se numește asemănare.

Fiecare unghi al uneia dintre figuri corespunde unui unghi egal al unei figuri similare.

În cifre similare, segmentele corespunzătoare sunt proporționale.

Prin deplasare, rotire și (sau) oglindire, două figuri similare pot fi aduse în poziția de homotezie. În această poziție, laturile corespunzătoare ale ambelor figuri sunt paralele între ele.

SIMETRIA AXIALĂ

Fie ca un plan să fie împărțit de o dreaptă s în două semiplane. Dacă acum rotim un semiplan în jurul liniei 5 cu 180°, atunci toate punctele acestui semiplan vor coincide cu punctele celuilalt semiplan.

Linia s se numește axa de simetrie.

Deoarece punctele de pe semiplanul inversat sunt într-o poziție în oglindă în raport cu poziția lor inițială, această răsturnare se mai numește și imagine în oglindă. Dacă liniile care indică anumite direcții de rotație sunt aplicate unui semiplan, atunci după reflectarea în oglindă, această direcție se va schimba în invers. Prin urmare, o singură operație de oglindire produce figuri congruente cu oglindă. Două astfel de operații conduc la cifre identice congruente. Ele corespund unei deplasări sau unei rotații.

SIMETRIA RADIALĂ

Figurile simetrice radial pot fi aliniate între ele prin rotirea în jurul punctului S. Acest punct se numește centru de simetrie.

La rotire, punctele corespunzătoare ale figurilor sunt combinate. Sensul de rotație nu se schimbă. Figura reflectată în acest fel este identic congruentă.

Operațiunile ulterioare de rotație nu vor afecta în niciun fel identitatea figurilor. Cu un unghi de rotație de 180°, se vorbește de simetrie centrală.

TUCURUL ZAURILOR

Profesorii spun că jocul cu blocuri dezvoltă imaginația spațială. Și acum părinții își cumpără cutiile pentru urmași cu cuburi strălucitoare lipite cu fragmente de imagini din basme populare. Punând aceste cuburi în modul corect, veți vedea Scufița Roșie cu un lup gri sau Albă ca Zăpada cu șapte pitici.

De fapt, acest tip de cuburi și puzzle-uri dezvoltă imaginația spațială nu numai la copii, ci la toată lumea - de la mic la mare. Uneori trebuie să împăturim un cub din diferite forme de bușteni.

La o inspecție mai atentă a acestor elemente individuale, se dovedește că cel puțin două dintre ele au aceeași formă și dimensiune, dar se raportează între ele ca o mănușă stânga și dreaptă. Creatorii de puzzle-uri de acest fel speră evident că jucătorii nu vor prinde imediat această distincție. Dacă ne amintim de câte ori am confundat mănușile drepte și stângi, va trebui să recunoaștem că astfel de speranțe nu sunt neîntemeiate.

Este aproape imposibil să combinați aceste elemente. De remarcat că, folosind aici (sau undeva mai jos) expresia „practic posibil”, ne referim la implementarea în practică a unei astfel de sarcini.

Dar există și metode matematice sau fizice care fac posibilă combinarea elementelor cel puțin teoretic sau în funcție de semne externe - acesta va face obiectul unor analize ulterioare. Și din moment ce combinația unui element cu altul a fost discutată aici, o circumstanță importantă trebuie remarcată în mod special. În Flatland, ar fi posibil să combinați figuri plate, scoțându-le din avion și rotindu-le în spațiu. În Lineland, în același mod, ar fi nevoie doar de o dimensiune în plus: o rotație în plan, iar segmentele devin compatibile.

Dar construcțiile spațiale le putem roti doar în spațiu! Și din moment ce a patra dimensiune, în ciuda tuturor raționamentului lui Gauss, ne este închisă, este chiar greu de imaginat cât de practic (!) „cărămizile” noastre pot fi desfășurate în altă parte decât spațiul tridimensional, astfel încât să fie aliniate cu fiecare. alte!

În viața de zi cu zi, de foarte multe ori trebuie să rezolvăm astfel de puzzle-uri (subliniez: să rezolvăm practic, și nu să ne jucăm!), De exemplu, atunci când împachetăm diverse obiecte. Sau, de exemplu, imaginați-vă radiatoare de încălzire centrală. Pentru unii dintre ei, supapa pentru reglare este în stânga, pentru altele - în dreapta. Cum se conectează mai multe calorifere într-o baterie?

Frigiderele, sobele și alte articole de uz casnic sunt de obicei realizate cu mânere din dreapta și din stânga, chei, robinete. Posibilitatea fantastică de a transforma astfel de obiecte în a patra dimensiune ar fi pe placul tuturor celor care se ocupă de transportul și instalarea lor.

Uită-te la dicționar!

La începutul cărții, am numit omul o ființă simetrică. În viitor, termenul de „simetrie” nu a mai fost folosit. Cu toate acestea, probabil ați observat deja că în toate cazurile în care segmentele de linie, figurile plate sau corpurile spațiale erau similare, dar fără acțiuni suplimentare era imposibil, „practic” imposibil să le combinam, ne-am întâlnit cu fenomenul de simetrie. Aceste elemente se potriveau între ele, ca un tablou și imaginea lui în oglindă. Ca mâna stângă și dreaptă. Dacă ne luăm osteneala să ne uităm în Dicționarul de cuvinte străine, vom descoperi că simetria înseamnă „proporționalitate, corespondență deplină în aranjarea părților întregului față de linia mediană, centru... o astfel de aranjare a punctelor în raport cu un punct (centrul de simetrie), o linie dreaptă (axa de simetrie) sau un plan (planul de simetrie), în care fiecare două puncte corespunzătoare situate pe aceeași linie dreaptă care trece prin centrul de simetrie, pe aceeași perpendiculară pe axa sau planul de simetrie, sunt la aceeași distanță de ele..."( Dicţionar de cuvinte străine: Ed. 7, revizuit. -M.; Limba rusă 1980, p. 465)

Și asta nu este tot, așa cum se întâmplă adesea cu cuvintele străine, există multe semnificații pentru cuvântul „simetrie”. Acesta este avantajul unor astfel de expresii, că pot fi folosite atunci când nu doresc să dea o definiție clară, sau pur și simplu nu cunosc o diferență clară între două obiecte.

Folosim termenul „proporțional” în raport cu o persoană, o imagine sau orice obiect, atunci când neconcordanțe minore nu ne permit să folosim cuvântul „simetric”.

Deoarece scotocim prin cărți de referință, să ne uităm la Dicționarul Enciclopedic ( Dicţionar enciclopedic sovietic - M.: Enciclopedia sovietică, 1980, p. 1219-1220). Găsim aici șase articole care încep cu cuvântul „simetrie”. În plus, acest cuvânt se găsește în multe alte articole.

În matematică, cuvântul „simetrie” are cel puțin șapte sensuri (printre acestea sunt polinoame simetrice, matrici simetrice). Există relații simetrice în logică. Simetria joacă un rol important în cristalografie (veți citi ceva despre asta mai târziu în această carte). Conceptul de simetrie în biologie este interpretat interesant. Descrie șase tipuri diferite de simetrie. Învățăm, de exemplu, că ctenoforii sunt asimetrici, în timp ce florile de snapdragon sunt bilateral simetrice. Vom constata că simetria există în muzică și coregrafie (în dans). Depinde aici de alternanța ciclurilor. Se dovedește că multe cântece și dansuri populare sunt construite simetric.

Deci, trebuie să cădem de acord despre ce fel de simetrie vom vorbi. Indiferent de natura obiectelor luate în considerare, principalul interes pentru noi va fi simetria oglinzii - simetria stânga și dreapta. Vom vedea că această aparentă limitare ne va duce departe în lumea științei și tehnologiei și ne va permite să testăm abilitățile creierului nostru din când în când (din moment ce acesta este programat pentru simetrie).

JOC DE PUNCTE ȘI LINII

Încă nu am părăsit Lineland și Flatland. Și există un motiv special pentru asta. Chiar dacă nu există locuitori acolo, atunci liniile drepte și avioanele în sine sunt destul de reale!

Să ne gândim la situația cu simetrie pe o linie dreaptă. Cu ajutorul a două potriviri, ne putem imagina foarte simplu două cazuri posibile. (Am luat în considerare deja câteva aspecte ale acestei situații mai devreme.) Chibriturile pot sta cu capul într-o singură direcție. Apoi se potrivesc cu ușurință. Sau capete (sau sfaturi) unul altuia. În acest caz, există un punct pe linie în care oglinda poate fi plasată în așa fel încât chibritul pare să coincidă cu reflectarea sa. Cu alte cuvinte, există un centru de simetrie pe linie. Va trebui să ne imaginăm că oglinda se potrivește într-un punct și reflectă o jumătate de segment de linie. În raționamentul matematic, acest lucru este foarte posibil.

Figurile plane sunt „reflectate” în axele de simetrie

Când construim pe un plan, oglinda noastră poate rămâne un punct sau poate fi o linie dreaptă. Probabil că este mai corect să o spui în ordine inversă: o linie dreaptă sau un punct va servi drept oglindă. La urma urmei, dacă undeva există o linie dreaptă, atunci este posibil un punct centru de simetrie pe ea.

Reflexiile în oglindă ale jumătăților de planuri arată la fel ca și planurile reale: prin rotirea planului în jurul unei linii drepte - o oglindă - poate fi combinată cu o reflexie, de unde a apărut expresia „axa de simetrie”.

Un cerc are un număr infinit de axe de simetrie. „Frunza de trifoi” - doar una

Deci, acum știm care sunt centrul de simetrie și axa de simetrie și, de asemenea, că un obiect (luați acest cuvânt neutru) este simetric dacă o jumătate din el este legată de cealaltă, ca o imagine și imaginea în oglindă.

Un cerc are un număr infinit de axe de simetrie și toate trec printr-un centru de simetrie comun. Alte figuri au un număr finit de axe de simetrie, dar totuși toate axele (două sau mai multe dintre ele) trec prin centrul de simetrie. Aceasta înseamnă că putem roti forma la un anumit unghi (maximum 180°) și va fi din nou exact în același loc ca înainte de rotație.

Să continuăm raționamentul despre simetria oglinzii. Este ușor de stabilit că fiecare figură plană simetrică poate fi combinată cu ea însăși cu ajutorul unei oglinzi. Este surprinzător că figuri atât de complexe precum o stea cu cinci colțuri sau un pentagon echilateral sunt și ele simetrice. După cum rezultă din numărul de axe, acestea se disting tocmai prin simetria lor ridicată. Și invers: nu este atât de ușor de înțeles de ce o figură atât de aparent obișnuită, precum un paralelogram oblic, nu este simetrică. La început se pare că o axă de simetrie ar putea fi paralelă cu una dintre laturile sale. Dar merită să încerci mental să-l folosești, deoarece ești imediat convins că nu este așa. Asimetric și spiralat.

Destul de ciudat, o astfel de figură cu aspect „simetric”, ca un paralelogram, nu numai că nu are axe de simetrie, ci și simetrie în oglindă în general.

În timp ce figurile simetrice corespund pe deplin reflectării lor, cele nesimetrice sunt diferite de aceasta: dintr-o spirală care se răsucește de la dreapta la stânga, o spirală care se răsucește de la stânga la dreapta se va dovedi într-o oglindă. Această proprietate este adesea folosită în jocurile și competițiile de masă organizate de televiziune. Jucătorii sunt invitați, privind în oglindă, să deseneze un fel de figură asimetrică, cum ar fi o spirală. Și apoi desenați din nou spirala „exact aceeași”, dar fără oglindă. Compararea ambelor desene arată că spiralele s-au dovedit a fi diferite: una se răsucește de la stânga la dreapta, cealaltă de la dreapta la stânga.

Dar ceea ce pare o glumă aici, în viața practică provoacă o mulțime de dificultăți nu numai copiilor, ci și adulților. Adesea, copiii scriu niște litere „din interior”. N-ul lor latin arată ca Și, în loc de S și Z, primesc S și Z. Dacă ne uităm cu atenție la literele alfabetului latin (și acestea sunt, de fapt, și cifre plate!), Vom vedea simetrice și asimetrice. unul dintre ei. Litere precum N, S, Z nu au nicio axă de simetrie (nici F, G, J, L, P, Q și R). Dar N, S și Z sunt deosebit de ușor de scris „în sens invers” ( Au un centru de simetrie. - Aprox. ed). Restul majusculelor au cel puțin o axă de simetrie. Literele A, M, T, U, V, W și Y pot fi împărțite în jumătate de axa longitudinală de simetrie. Literele B, C, D, E, I, K - axa transversală de simetrie. Literele H, O și X au două axe de simetrie reciproc perpendiculare.

Daca asezati literele in fata oglinzii, paralel cu linia, veti observa ca cele cu axa orizontala de simetrie pot fi citite si in oglinda. Dar cele în care axa este situată vertical sau este complet absentă devin „izibile”.

Întrebarea de ce literele cu o axă longitudinală se comportă diferit decât cu una transversală este destul de interesantă. Poate te vei gândi la asta. Motivul acestui fenomen va fi discutat mai târziu.

Sunt copii care scriu cu mâna stângă și primesc toate literele într-o formă oglindă, reflectată. Jurnalele lui Leonardo da Vinci sunt scrise cu oglindă. Probabil că nu există niciun motiv întemeiat pentru care ar trebui să scriem scrisori așa cum o facem. Este puțin probabil ca un font oglindă să fie mai greu de stăpânit decât cel obișnuit.

Nu ar face ortografia mai ușoară, iar unele cuvinte, precum OTTO, nu s-ar schimba deloc. Există limbi în care inscripția semnelor se bazează pe prezența simetriei. Deci, în scrierea chineză, hieroglifa înseamnă exact mijlocul adevărat.

În arhitectură, axele de simetrie sunt folosite ca mijloc de exprimare a intenției arhitecturale. În inginerie, axele de simetrie sunt cel mai clar indicate acolo unde este necesară abaterea de la zero, cum ar fi pe volanul unui camion sau pe volanul unei nave.

LUMEA NOASTRĂ ÎN OGLINDĂ

Din Lineland am scos conceptul de centru de simetrie, iar din Flatland - despre axa de simetrie. În lumea tridimensională a corpurilor spațiale, unde trăim, există, respectiv, planuri de simetrie. O „oglindă” are întotdeauna o dimensiune mai mică decât lumea pe care o reflectă. Când privim corpurile rotunde, este imediat clar că au planuri de simetrie, dar cât de mult nu este întotdeauna ușor de decis.

Să punem o minge în fața oglinzii și să începem să o rotim încet: imaginea din oglindă nu va diferi în niciun fel de originală, desigur, dacă mingea nu are nicio caracteristică distinctivă pe suprafața sa. Mingea de ping pong dezvăluie nenumărate planuri de simetrie. Luați un cuțit, tăiați jumătate din minge și puneți-o în fața oglinzii. Reflecția în oglindă va completa din nou această jumătate la o minge întreagă.

Dar dacă luăm un glob și luăm în considerare simetria lui, ținând cont de contururile geografice marcate pe el, atunci nu vom găsi un singur plan de simetrie.

În Flatland, figura cu nenumărate axe de simetrie era cercul. Prin urmare, nu ar trebui să fim surprinși că în spațiu proprietăți similare sunt inerente mingii. Dar dacă cercul este singurul de acest fel, atunci în lumea tridimensională există o serie de corpuri care au un număr infinit de planuri de simetrie: un cilindru drept cu un cerc la bază, un con cu o circulară. sau bază emisferică, o minge sau un segment de minge. Sau să luăm exemple din viață: o țigară, un trabuc, un pahar, un kilogram de înghețată în formă de con, o bucată de sârmă, o pipă.

Dacă ne uităm mai atent la aceste corpuri, vom observa că toate, într-un fel sau altul, constau dintr-un cerc, printr-un număr infinit de axe de simetrie din care trec un număr infinit de planuri de simetrie. Majoritatea acestor corpuri (se numesc corpuri de revoluție) au, desigur, și un centru de simetrie (centrul unui cerc) prin care trece cel puțin o axă de simetrie.

În mod clar vizibilă, de exemplu, este axa cornetului de înghețată. Se întinde de la mijlocul cercului (care iese din înghețată!) până la capătul ascuțit al cornetului funky. Percepem setul de elemente de simetrie ale unui corp ca un fel de măsură de simetrie. Mingea, fără îndoială, din punct de vedere al simetriei este o întruchipare de neegalat a perfecțiunii, un ideal. Grecii antici îl percepeau ca pe cel mai perfect corp, iar cercul, desigur, ca pe cea mai perfectă figură plată.

În general, aceste idei sunt destul de acceptabile până în prezent. În plus, filozofii greci au concluzionat că universul, desigur, trebuie construit pe modelul unui ideal matematic. Această concluzie a dus la erori, ale căror consecințe le vom descrie mai târziu. Este clar că grecii antici nu aveau încă păstăi de înghețată! În caz contrar, un astfel de obiect prozaic, având un număr nenumărat de planuri de simetrie, ar putea încălca sistemul lor armonios.

Dacă pentru comparație considerăm un cub, vom vedea că are nouă planuri de simetrie. Trei dintre ele își disectează fețele și șase trec prin vârfuri. În comparație cu mingea, acest lucru, desigur, nu este suficient.

Dar există corpuri care ocupă o poziție intermediară între o minge și un cub în ceea ce privește numărul de planuri? Fără îndoială, da. Trebuie doar să ne amintim că cercul, în esență, pare să fie format din poligoane. Am trecut prin asta la școală când am calculat numărul pi. Dacă ridicăm o piramidă n-gonală peste fiecare n-gon, atunci putem desena n planuri de simetrie prin ea.

S-ar putea găsi un trabuc cu 32 de fețe care ar avea simetria corespunzătoare!

Dar dacă totuși percepem cubul ca un obiect mai simetric decât faimosul kilogram de înghețată, atunci acest lucru se datorează structurii suprafeței. O sferă are o singură suprafață. Cubul are șase dintre ele - în funcție de numărul de fețe, iar fiecare față este reprezentată de un pătrat. Funtik cu înghețată este format din două suprafețe: un cerc și o coajă în formă de con.

De mai bine de două milenii (probabil datorită percepției directe), corpurile geometrice „proporționale” au fost în mod tradițional preferate. Filosoful grec Platon (427-347 î.Hr.) a descoperit că numai cinci corpuri volumetrice pot fi construite din figuri plane congruente regulate.

Din patru triunghiuri regulate (echilaterale) se obține un tetraedru (tetraedru). Din opt triunghiuri regulate, puteți construi un octaedru (octaedru) și, în sfârșit, din douăzeci de triunghiuri regulate - un icosaedru. Și numai din patru, opt sau douăzeci de triunghiuri identice puteți obține un corp geometric tridimensional. Din pătrate, puteți face o singură figură tridimensională - un hexaedru (hexaedru), iar din pentagoane echilaterale - un dodecaedru (dodecaedru).

Și ce în lumea noastră tridimensională este complet lipsită de simetrie în oglindă?

Dacă în Flatland a fost o spirală plată, atunci în lumea noastră va fi cu siguranță o scară în spirală sau un burghiu în spirală. În plus, există mii de lucruri și obiecte asimetrice în viața și tehnologia din jurul nostru. De regulă, șurubul are filet pe dreapta. Dar uneori există și stânga. Deci, pentru o mai mare siguranță, buteliile de propan sunt echipate cu un filet pe stânga, astfel încât un reductor de supapă proiectat, de exemplu, pentru o butelie cu alt gaz, nu poate fi înșurubat pe ele. În viața de zi cu zi, asta înseamnă că în camping, înainte de a găti pe o sobă de camping, ar trebui să încerci întotdeauna în ce fel se deșuruba sticla.

Între minge și cub, pe de o parte, și scara în spirală, pe de altă parte, există încă multe grade de simetrie. Din cub, puteți îndepărta treptat planurile de simetrie, axele și centrul, până ajungem la o stare de asimetrie completă.

Aproape la capătul acestui rând de simetrie ne aflăm noi, oamenii, cu un singur plan de simetrie care împarte corpul nostru în jumătăți stânga și dreaptă. Gradul de simetrie pe care îl avem este același cu, de exemplu, cel al feldspatului obișnuit (un mineral care formează gneisul sau granitul împreună cu mica și cuarțul).

CINCI PLATONI

Pentru poliedre regulate, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. În orice poliedru (inclusiv unul regulat), suma tuturor unghiurilor dintre muchiile care converg la un vârf este întotdeauna mai mică de 360°.

2. După teorema lui Euler pentru politopii convexi

unde e este numărul de vârfuri, ƒ este numărul de fețe și k este numărul de muchii.

Fețele poliedrelor regulate pot fi doar următoarele poligoane regulate:

3, 4 sau 5 triunghiuri echilaterale de 60°. Șase astfel de triunghiuri dau deja 60° X 6 = 360° și, prin urmare, nu pot limita unghiul poliedric.

Trei pătrate (90° X 3 = 270°), 3 pentagoane regulate (108° X 3 = 324°), 3 hexagoane regulate (120° X 3 = 360°) limitează unghiul poliedric.

Din teorema lui Euler și din forma fețelor rezultă că există doar 5 poliedre regulate:

Tabel cu cinci poliedre regulate

Formele feței	Număr				Solidele platonice
	fețe într-un singur vârf	culmi	chipuri	coaste
Triunghiuri echilaterale	3	4	4	6	Tetraedru
La fel	4	6	8	12	Octaedru
La fel	5	12	20	30	icosaedru
pătrate	3	8	6	12	Hexaedru (cub)
Pentagoane corecte	3	20	12	20	Dodecaedrul Pentagonului

(Orice față a Pentagonului-dodecaedru este o figură pentagonală, în care patru laturi sunt egale între ele, dar diferite de a cincea. - Aprox. traducere)