Rezolvați o ecuație diferențială de ordinul I. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

O ecuație diferențială este o ecuație care include o funcție și una sau mai multe dintre derivatele acesteia. În majoritatea problemelor practice, funcțiile sunt mărimi fizice, derivatele corespund ratelor de modificare a acestor mărimi, iar ecuația determină relația dintre ele.

Acest articol discută metode de rezolvare a unor tipuri de ecuații diferențiale obișnuite, ale căror soluții pot fi scrise sub forma functii elementare, adică funcții polinomiale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice, precum și funcțiile lor inverse. Multe dintre aceste ecuații apar în viața reală, deși majoritatea celorlalte ecuații diferențiale nu pot fi rezolvate prin aceste metode, iar pentru ele răspunsul este scris ca funcții speciale sau serii de puteri, sau găsit prin metode numerice.

Pentru a înțelege acest articol, trebuie să cunoașteți calculul diferențial și integral, precum și să aveți o anumită înțelegere a derivatelor parțiale. De asemenea, se recomandă cunoașterea elementelor de bază ale algebrei liniare aplicate ecuațiilor diferențiale, în special ecuațiilor diferențiale de ordinul doi, deși cunoașterea calculului diferențial și integral este suficientă pentru a le rezolva.

Informații preliminare

Ecuațiile diferențiale au o clasificare extinsă. Acest articol vorbește despre ecuații diferențiale obișnuite, adică despre ecuații care includ o funcție a unei variabile și derivatele acesteia. Ecuațiile diferențiale obișnuite sunt mult mai ușor de înțeles și de rezolvat decât ecuații cu diferențe parțiale, care includ funcții ale mai multor variabile. Acest articol nu ia în considerare ecuațiile diferențiale parțiale, deoarece metodele de rezolvare a acestor ecuații sunt de obicei determinate de forma lor specifică.
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale obișnuite.
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații cu diferențe parțiale.
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Ordin ecuația diferențială este determinată de ordinea celei mai mari derivate incluse în această ecuație. Prima dintre ecuațiile diferențiale obișnuite de mai sus este de ordinul întâi, în timp ce a doua este de ordinul al doilea. grad a unei ecuații diferențiale se numește puterea cea mai mare la care se ridică unul dintre termenii acestei ecuații.
- De exemplu, ecuația de mai jos este de ordinul trei și puterea a doua.
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ dreapta)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
Ecuația diferențială este ecuație diferențială liniară dacă funcția și toate derivatele ei sunt în prima putere. În caz contrar, ecuația este ecuație diferențială neliniară. Ecuațiile diferențiale liniare sunt remarcabile prin faptul că se pot face combinații liniare din soluțiile lor, care vor fi, de asemenea, soluții ale acestei ecuații.
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale liniare.
- Mai jos sunt câteva exemple de ecuații diferențiale neliniare. Prima ecuație este neliniară datorită termenului sinus.
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Decizie comună ecuația diferențială obișnuită nu este unică, ea include constante arbitrare de integrare. În cele mai multe cazuri, numărul de constante arbitrare este egal cu ordinea ecuației. În practică, valorile acestor constante sunt determinate de date condiții inițiale, adică prin valorile funcției și derivatelor sale la x = 0. (\displaystyle x=0.) Numărul de condiții inițiale care sunt necesare pentru a găsi decizie privată ecuație diferențială, în cele mai multe cazuri este, de asemenea, egală cu ordinea acestei ecuații.
- De exemplu, acest articol va analiza rezolvarea ecuației de mai jos. Aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi. Soluția sa generală conține două constante arbitrare. Pentru a găsi aceste constante, este necesar să se cunoască condițiile inițiale la x (0) (\displaystyle x(0))Și x′ (0) . (\displaystyle x"(0).) De obicei, condițiile inițiale sunt date la punct x = 0 , (\displaystyle x=0,), deși acest lucru nu este necesar. Acest articol va analiza, de asemenea, cum să găsiți soluții speciale pentru condiții inițiale date.
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pași

Partea 1

Ecuații de ordinul întâi

Când utilizați acest serviciu, unele informații pot fi transferate pe YouTube.

Ecuații liniare de ordinul întâi. Această secțiune discută metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi în cazuri generale și speciale, când unii termeni sunt egali cu zero. Să ne prefacem că y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))Și q (x) (\displaystyle q(x)) sunt functii X . (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Conform uneia dintre principalele teoreme ale analizei matematice, integrala derivatei unei funcții este de asemenea o funcție. Astfel, este suficient să integrezi ecuația pentru a-i găsi soluția. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că la calcularea integralei nedefinite apare o constantă arbitrară.
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Folosim metoda separarea variabilelor. În acest caz, diferite variabile sunt transferate în diferite părți ale ecuației. De exemplu, puteți transfera toți membrii de la y (\displaystyle y)într-unul, și toți membrii cu x (\displaystyle x) de cealaltă parte a ecuației. De asemenea, membrii pot fi mutați d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)Și d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), care sunt incluse în expresii derivate, cu toate acestea, trebuie amintit că aceasta este doar o convenție, care este convenabilă atunci când diferențiem o funcție complexă. O discuție despre acești termeni, care se numesc diferențiale, este în afara domeniului de aplicare al acestui articol.
- Mai întâi, trebuie să mutați variabilele pe părțile opuse ale semnului egal.
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Integram ambele părți ale ecuației. După integrare, pe ambele părți apar constante arbitrare, care pot fi transferate în partea dreaptă a ecuației.
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e - ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Exemplul 1.1.În ultimul pas, am folosit regula e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) si inlocuit e C (\displaystyle e^(C)) pe C (\displaystyle C), deoarece este și o constantă arbitrară a integrării.
  - d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aliniat)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\q(x)\neq 0.) Pentru a găsi soluția generală, am introdus factor integrator ca o funcție a x (\displaystyle x) pentru a reduce partea stângă la o derivată comună și a rezolva astfel ecuația.
- Înmulțiți ambele părți cu μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- Pentru a reduce partea stângă la o derivată comună, trebuie făcute următoarele transformări:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Ultima egalitate înseamnă că d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Acesta este un factor de integrare care este suficient pentru a rezolva orice ecuație liniară de ordinul întâi. Acum putem deriva o formulă pentru rezolvarea acestei ecuații în raport cu µ , (\displaystyle \mu ,) deși pentru antrenament este util să se facă toate calculele intermediare.
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Exemplul 1.2.În acest exemplu, luăm în considerare cum să găsim o anumită soluție a unei ecuații diferențiale cu condiții inițiale date.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d))) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aliniat)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Rezolvarea ecuațiilor liniare de ordinul întâi (înregistrate de Intuit - National Open University).
Ecuații neliniare de ordinul întâi. În această secțiune sunt luate în considerare metode de rezolvare a unor ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi. Deși nu există o metodă generală de rezolvare a unor astfel de ecuații, unele dintre ele pot fi rezolvate folosind metodele de mai jos.
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Dacă funcţia f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) poate fi împărțit în funcții ale unei variabile, se numește o astfel de ecuație ecuație diferențială separabilă. În acest caz, puteți utiliza metoda de mai sus:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )X)
- Exemplul 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ începe(aliniat)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(aliniat)))
D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Să ne prefacem că g (x , y) (\displaystyle g(x, y))Și h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) sunt functii x (\displaystyle x)Și y . (\displaystyle y.) Apoi ecuație diferențială omogenă este o ecuaţie în care g (\displaystyle g)Și h (\displaystyle h) sunt funcții omogene acelasi grad. Adică, funcțiile trebuie să îndeplinească condiția g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Unde k (\displaystyle k) se numeste grad de omogenitate. Orice ecuație diferențială omogenă poate fi dată de un adecvat modificarea variabilelor (v = y / x (\displaystyle v=y/x) sau v = x / y (\displaystyle v=x/y)) pentru a converti într-o ecuație cu variabile separabile.
- Exemplul 1.4. Descrierea de mai sus a omogenității poate părea obscură. Să ne uităm la acest concept cu un exemplu.
  - d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Pentru început, trebuie remarcat faptul că această ecuație este neliniară în raport cu y . (\displaystyle y.) De asemenea, vedem că în acest caz este imposibilă separarea variabilelor. Cu toate acestea, această ecuație diferențială este omogenă, deoarece atât numărătorul, cât și numitorul sunt omogene cu o putere de 3. Prin urmare, putem face o schimbare de variabile v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Ca rezultat, avem o ecuație pentru v (\displaystyle v) cu variabile partajate.
  - v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Acest Ecuația diferențială Bernoulli- un tip special de ecuație neliniară de gradul I, a cărei soluție poate fi scrisă folosind funcții elementare.
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 - n) y - n d y d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe din partea stângă și transformăm ecuația într-o ecuație liniară în raport cu y 1 - n , (\displaystyle y^(1-n),) care poate fi rezolvată prin metodele de mai sus.
  - d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) Acest ecuația diferențială totală. Este necesar să găsiți așa-numitul funcție potențială φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), care îndeplinește condiția d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să aveți derivat total. Derivata totală ia în considerare dependența de alte variabile. Pentru a calcula derivata totală φ (\displaystyle \varphi ) De x , (\displaystyle x,) presupunem că y (\displaystyle y) poate depinde și de X . (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Compararea termenilor ne oferă M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))Și N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y)).) Acesta este un rezultat tipic pentru ecuațiile cu mai multe variabile, unde derivatele mixte ale funcțiilor netede sunt egale între ele. Uneori se numește acest caz teorema lui Clairaut. În acest caz, ecuația diferențială este o ecuație în diferențiale totale dacă este îndeplinită următoarea condiție:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- Metoda de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale este similară cu găsirea de funcții potențiale în prezența mai multor derivate, pe care le vom discuta pe scurt. Mai întâi ne integrăm M (\displaystyle M) De X . (\displaystyle x.) Deoarece M (\displaystyle M) este o funcţie şi x (\displaystyle x), Și y , (\displaystyle y,) la integrare, obținem o funcție incompletă φ , (\displaystyle \varphi ,) etichetat ca φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Rezultatul include și dependența de y (\displaystyle y) constanta de integrare.
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- După aceea, pentru a obține c (y) (\displaystyle c(y)) puteți lua derivata parțială a funcției rezultate în raport cu y , (\displaystyle y,) echivalează rezultatul N (x, y) (\displaystyle N(x, y))și să integreze. De asemenea, se poate integra primul N (\displaystyle N), și apoi luați derivata parțială în raport cu x (\displaystyle x), ceea ce ne va permite să găsim o funcție arbitrară d(x). (\displaystyle d(x).) Ambele metode sunt potrivite și, de obicei, funcția mai simplă este aleasă pentru integrare.
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ parțial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Exemplul 1.5. Puteți lua derivate parțiale și puteți verifica dacă ecuația de mai jos este o ecuație diferențială totală.
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- Dacă ecuația diferențială nu este o ecuație diferențială totală, în unele cazuri puteți găsi un factor de integrare care vă va permite să o convertiți într-o ecuație diferențială totală. Cu toate acestea, astfel de ecuații sunt rareori utilizate în practică, și deși factorul de integrare există, află că se întâmplă nu este usor, deci aceste ecuații nu sunt luate în considerare în acest articol.

Partea 2

Ecuații de ordinul doi

Ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți. Aceste ecuații sunt utilizate pe scară largă în practică, astfel încât soluția lor este de o importanță capitală. În acest caz, nu vorbim despre funcții omogene, ci despre faptul că în partea dreaptă a ecuației există 0. În secțiunea următoare, vom arăta cum corespunzătoare eterogen ecuatii diferentiale. De mai jos a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) sunt constante.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Ecuație caracteristică. Această ecuație diferențială este remarcabilă prin faptul că poate fi rezolvată foarte ușor dacă acordați atenție proprietăților soluțiilor sale. Din ecuație se poate observa că y (\displaystyle y) iar derivatele sale sunt proporționale între ele. Din exemplele anterioare, care au fost luate în considerare în secțiunea privind ecuațiile de ordinul întâi, știm că numai funcția exponențială are această proprietate. Prin urmare, este posibil să se prezinte ansatz(o presupunere educată) despre care va fi soluția ecuației date.
- Soluția va lua forma unei funcții exponențiale e r x , (\displaystyle e^(rx),) Unde r (\displaystyle r) este o constantă a cărei valoare trebuie găsită. Înlocuiți această funcție în ecuație și obțineți următoarea expresie
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Această ecuație indică faptul că produsul dintre o funcție exponențială și un polinom trebuie să fie zero. Se știe că exponentul nu poate fi egal cu zero pentru nicio valoare a gradului. Prin urmare, concluzionăm că polinomul este egal cu zero. Astfel, am redus problema rezolvării unei ecuații diferențiale la o problemă mult mai simplă de rezolvare a unei ecuații algebrice, care se numește ecuație caracteristică pentru o ecuație diferențială dată.
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Avem două rădăcini. Deoarece această ecuație diferențială este liniară, soluția ei generală este o combinație liniară de soluții parțiale. Deoarece aceasta este o ecuație de ordinul doi, știm că aceasta este într-adevăr soluție generală și nu există altele. O justificare mai riguroasă pentru aceasta constă în teoremele privind existența și unicitatea soluției, care pot fi găsite în manuale.
- O modalitate utilă de a verifica dacă două soluții sunt liniar independente este de a calcula Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- acesta este determinantul matricei, în coloanele căreia se află funcții și derivatele lor succesive. Teorema algebrei liniare afirmă că funcțiile din Wronskian sunt liniar dependente dacă Wronskianul este egal cu zero. În această secțiune, putem testa dacă două soluții sunt liniar independente, asigurându-ne că Wronskianul este diferit de zero. Wronskianul este important în rezolvarea ecuațiilor diferențiale neomogene cu coeficienți constanți prin metoda variației parametrilor.
  - w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- În ceea ce privește algebra liniară, mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale date formează un spațiu vectorial a cărui dimensiune este egală cu ordinea ecuației diferențiale. În acest spațiu, se poate alege o bază din liniar independent decizii unul de la celălalt. Acest lucru este posibil datorită faptului că funcția y (x) (\displaystyle y(x)) valabil operator liniar. Derivat este operator liniar, deoarece transformă spațiul funcțiilor diferențiabile în spațiul tuturor funcțiilor. Ecuațiile sunt numite omogene în cazurile în care pentru un operator liniar L (\displaystyle L) este necesar să se găsească o soluție la ecuație L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Să ne întoarcem acum la câteva exemple concrete. Cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice va fi luat în considerare puțin mai târziu, în secțiunea privind reducerea ordinii.
Dacă rădăcinile r ± (\displaystyle r_(\pm )) sunt numere reale diferite, ecuația diferențială are următoarea soluție
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Două rădăcini complexe. Din teorema fundamentală a algebrei rezultă că soluțiile ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au rădăcini care sunt reale sau formează perechi conjugate. Prin urmare, dacă numărul complex r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) este rădăcina ecuației caracteristice, atunci r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta) este și rădăcina acestei ecuații. Astfel, soluția poate fi scrisă sub formă c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) cu toate acestea, acesta este un număr complex și este nedorit în rezolvarea problemelor practice.
- În schimb, puteți folosi Formula lui Euler e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), care vă permite să scrieți soluția sub formă de funcții trigonometrice:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- Acum poți în loc să fii constant c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) scrie c 1 (\displaystyle c_(1)), și expresia i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) inlocuit de c 2 . (\displaystyle c_(2).) După aceea, obținem următoarea soluție:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
- Există o altă modalitate de a scrie soluția în termeni de amplitudine și fază, care este mai potrivită pentru problemele fizice.
- Exemplul 2.1. Să găsim soluția ecuației diferențiale prezentate mai jos cu condiții inițiale date. Pentru aceasta, este necesar să luați soluția obținută, precum și derivatul său, și înlocuiți-le în condițiile inițiale, ceea ce ne va permite să determinăm constante arbitrare.
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\dreapta))
Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul al n-lea cu coeficienți constanți (înregistrate de Intuit - National Open University).
Comanda de retrogradare. Reducerea ordinului este o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale atunci când se cunoaște o soluție liniar independentă. Această metodă constă în scăderea ordinii ecuației cu una, ceea ce permite rezolvarea ecuației folosind metodele descrise în secțiunea anterioară. Să fie cunoscută soluția. Ideea principală de scădere a comenzii este să găsiți o soluție în formularul de mai jos, unde este necesar să definiți funcția v (x) (\displaystyle v(x)), substituindu-l în ecuația diferențială și găsirea v(x). (\displaystyle v(x).) Să luăm în considerare modul în care reducerea ordinii poate fi utilizată pentru a rezolva o ecuație diferențială cu coeficienți constanți și rădăcini multiple.

Rădăcini multiple ecuație diferențială omogenă cu coeficienți constanți. Reamintim că o ecuație de ordinul doi trebuie să aibă două soluții liniar independente. Dacă ecuația caracteristică are mai multe rădăcini, mulțimea soluțiilor Nu formează un spațiu deoarece aceste soluții sunt dependente liniar. În acest caz, reducerea ordinului trebuie utilizată pentru a găsi o a doua soluție liniar independentă.
- Fie ca ecuația caracteristică să aibă mai multe rădăcini r (\displaystyle r). Presupunem că a doua soluție poate fi scrisă ca y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), și înlocuiți-l în ecuația diferențială. În acest caz, majoritatea termenilor, cu excepția termenului cu derivata a doua a funcției v , (\displaystyle v,) vor fi reduse.
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Exemplul 2.2. Având în vedere următoarea ecuație, care are mai multe rădăcini r = − 4. (\displaystyle r=-4.) La înlocuire, majoritatea termenilor sunt anulați.
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(aliniat)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
- Ca și ansatz-ul nostru pentru o ecuație diferențială cu coeficienți constanți, în acest caz numai derivata a doua poate fi egală cu zero. Integram de doua ori si obtinem expresia dorita pt v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, dacă ecuația caracteristică are mai multe rădăcini, se poate scrie în forma următoare. Pentru comoditate, vă puteți aminti că pentru a obține independența liniară, este suficient să înmulțiți pur și simplu al doilea termen cu x (\displaystyle x). Acest set de soluții este liniar independent și astfel am găsit toate soluțiile acestei ecuații.
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Reducerea comenzii este aplicabilă dacă soluția este cunoscută y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), care poate fi găsit sau dat în enunțul problemei.
- Cautam o solutie in formular y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))și conectați-l în această ecuație:
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Deoarece y 1 (\displaystyle y_(1)) este o soluție a ecuației diferențiale, toți termenii cu v (\displaystyle v) se micsoreaza. Drept urmare, rămâne ecuație liniară de ordinul întâi. Pentru a vedea acest lucru mai clar, haideți să schimbăm variabilele w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\dreapta)(\mathrm (d) )x\dreapta))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Dacă integralele pot fi calculate, obținem soluția generală ca o combinație de funcții elementare. În caz contrar, soluția poate fi lăsată în formă integrală.
Ecuația Cauchy-Euler. Ecuația Cauchy-Euler este un exemplu de ecuație diferențială de ordinul doi cu variabile coeficienți, care are soluții exacte. Această ecuație este folosită în practică, de exemplu, pentru a rezolva ecuația Laplace în coordonate sferice.
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Ecuație caracteristică. După cum puteți vedea, în această ecuație diferențială, fiecare termen conține un factor de putere, al cărui grad este egal cu ordinul derivatei corespunzătoare.
- Astfel, se poate încerca să caute o soluție în formă y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) unde să se definească n (\displaystyle n), așa cum căutam o soluție sub forma unei funcții exponențiale pentru o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți. După diferențiere și înlocuire, obținem
  - x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Pentru a folosi ecuația caracteristică, trebuie să presupunem că x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punct x = 0 (\displaystyle x=0) numit punct singular regulat ecuație diferențială. Astfel de puncte sunt importante atunci când se rezolvă ecuații diferențiale folosind serii de puteri. Această ecuație are două rădăcini, care pot fi diferite și reale, multiple sau complexe conjugate.
  - n ± = 1 - a ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))
Două rădăcini reale diferite. Dacă rădăcinile n ± (\displaystyle n_(\pm )) sunt reale și diferite, atunci soluția ecuației diferențiale are următoarea formă:
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Două rădăcini complexe. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcini n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), soluția este o funcție complexă.
- Pentru a transforma soluția într-o funcție reală, facem o schimbare de variabile x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) acesta este t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)și folosiți formula lui Euler. Acțiuni similare au fost efectuate mai devreme la definirea constantelor arbitrare.
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Atunci soluția generală poate fi scrisă ca
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
Rădăcini multiple. Pentru a obține o a doua soluție liniar independentă, este necesar să reduceți din nou ordinea.
- Este nevoie de un pic de calcul, dar principiul este același: înlocuim y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))într-o ecuație a cărei primă soluție este y 1 (\displaystyle y_(1)). După reduceri, se obține următoarea ecuație:
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Aceasta este o ecuație liniară de ordinul întâi în raport cu v′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Soluția lui este v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Astfel, soluția poate fi scrisă în forma următoare. Este destul de ușor de reținut - pentru a obține a doua soluție liniar independentă, aveți nevoie doar de un termen suplimentar cu ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Ecuații diferențiale liniare neomogene cu coeficienți constanți. Ecuațiile neomogene au forma L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Unde f (x) (\displaystyle f(x))- așa-zisul membru gratuit. Conform teoriei ecuațiilor diferențiale, soluția generală a acestei ecuații este o suprapunere decizie privată y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))Și solutie suplimentara y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Totuși, în acest caz, o soluție anume nu înseamnă o soluție dată de condițiile inițiale, ci mai degrabă o soluție care se datorează prezenței neomogenității (termen liber). Soluția complementară este soluția ecuației omogene corespunzătoare în care f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Soluția generală este o suprapunere a acestor două soluții, deoarece L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), și de când L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) o astfel de suprapunere este într-adevăr o soluție generală.
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Metoda coeficienților nedeterminați. Metoda coeficienților nedeterminați este utilizată în cazurile în care termenul liber este o combinație de funcții exponențiale, trigonometrice, hiperbolice sau de putere. Doar aceste funcții sunt garantate a avea un număr finit de derivate liniar independente. În această secțiune, vom găsi o soluție particulară a ecuației.
- Comparați termenii din f (x) (\displaystyle f(x)) cu termeni în ignorarea factorilor constanţi. Sunt posibile trei cazuri.
  - Nu există membri identici.În acest caz, o soluție specială y p (\displaystyle y_(p)) va fi o combinație liniară de termeni din y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru x n (\displaystyle x^(n)) si un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este zero sau un întreg pozitiv, iar acest termen corespunde unei singure rădăcini a ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) va consta dintr-o combinație a funcției x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) derivatele sale liniar independente, precum și alți termeni f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele lor liniar independente.
  - f (x) (\displaystyle f(x)) conţine membru h (x) , (\displaystyle h(x),) care este o lucrare x n (\displaystyle x^(n)) si un membru din y c , (\displaystyle y_(c),) Unde n (\displaystyle n) este egal cu 0 sau un număr întreg pozitiv, iar acestui termen îi corespunde multiplu rădăcina ecuației caracteristice.În acest caz y p (\displaystyle y_(p)) este o combinație liniară a funcției x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Unde s (\displaystyle s)- multiplicitatea rădăcinii) și derivatele sale liniar independente, precum și alți membri ai funcției f (x) (\displaystyle f(x))și derivatele sale liniar independente.
- Să scriem y p (\displaystyle y_(p)) ca o combinație liniară a termenilor de mai sus. Datorită acestor coeficienți într-o combinație liniară, această metodă se numește „metoda coeficienților nedeterminați”. La apariţia celor cuprinse în y c (\displaystyle y_(c)) membrii lor pot fi aruncați din cauza prezenței constantelor arbitrare în Y c . (\displaystyle y_(c).) După aceea înlocuim y p (\displaystyle y_(p))într-o ecuație și echivalează termeni similari.
- Determinăm coeficienții. În această etapă, se obține un sistem de ecuații algebrice, care de obicei poate fi rezolvat fără probleme speciale. Soluția acestui sistem face posibilă obținerea y p (\displaystyle y_(p))și astfel rezolvăți ecuația.
- Exemplul 2.3. Considerăm o ecuație diferențială neomogenă al cărei termen liber conține un număr finit de derivate liniar independente. O soluție particulară a unei astfel de ecuații poate fi găsită prin metoda coeficienților nedeterminați.
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(aliniat)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ sfârșitul (cazurile)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Metoda Lagrange. Metoda Lagrange, sau metoda de variație a constantelor arbitrare, este o metodă mai generală de rezolvare a ecuațiilor diferențiale neomogene, mai ales în cazurile în care termenul liber nu conține un număr finit de derivate liniar independente. De exemplu, cu membri gratuiti bronz ⁡ x (\displaystyle \tan x) sau x − n (\displaystyle x^(-n)) pentru a găsi o anumită soluție, este necesar să folosiți metoda Lagrange. Metoda Lagrange poate fi folosită chiar și pentru a rezolva ecuații diferențiale cu coeficienți variabili, deși în acest caz, cu excepția ecuației Cauchy-Euler, este mai rar utilizată, deoarece soluția suplimentară nu este de obicei exprimată în termeni de funcții elementare.
- Să presupunem că soluția are următoarea formă. Derivata sa este dată în a doua linie.
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) „+v_(2)”y_(2)+v_(2)y_(2)”)
- Întrucât soluția propusă conține Două cantități necunoscute, este necesar să se impună adiţional condiție. Alegem această condiție suplimentară în următoarea formă:
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Acum putem obține a doua ecuație. După înlocuirea și redistribuirea membrilor, puteți grupa membrii cu v 1 (\displaystyle v_(1)) si membrii din v 2 (\displaystyle v_(2)). Acești termeni sunt anulați deoarece y 1 (\displaystyle y_(1))Și y 2 (\displaystyle y_(2)) sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare. Ca rezultat, obținem următorul sistem de ecuații
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1))"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aliniat)))
- Acest sistem poate fi transformat într-o ecuație matriceală de formă A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) a cărui soluție este x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Pentru matrice 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matricea inversă se găsește prin împărțirea la determinant, permutarea elementelor diagonale și inversarea semnului elementelor off-diagonale. De fapt, determinantul acestei matrice este un Wronskian.
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- Expresii pentru v 1 (\displaystyle v_(1))Și v 2 (\displaystyle v_(2)) sunt enumerate mai jos. Ca și în metoda reducerii ordinului, în acest caz apare o constantă arbitrară în timpul integrării, care include o soluție suplimentară în soluția generală a ecuației diferențiale.
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Prelegerea Universității Naționale Deschise Intuit intitulată „Ecuații diferențiale lineare de ordinul n-a cu coeficienți constanți”.

Uz practic

Ecuațiile diferențiale stabilesc o relație între o funcție și una sau mai multe dintre derivatele sale. Deoarece astfel de relații sunt atât de comune, ecuațiile diferențiale au găsit o aplicație largă într-o mare varietate de domenii și, deoarece trăim în patru dimensiuni, aceste ecuații sunt adesea ecuații diferențiale în privat derivate. Această secțiune discută unele dintre cele mai importante ecuații de acest tip.

Creștere și decădere exponențială. dezintegrare radioactivă. Interes compus. Viteza reacțiilor chimice. Concentrația de medicamente în sânge. Creștere nelimitată a populației. Legea Newton-Richmann. În lumea reală, există multe sisteme în care rata de creștere sau decădere la un moment dat este proporțională cu cantitatea din acel moment sau poate fi bine aproximată printr-un model. Acest lucru se datorează faptului că soluția acestei ecuații diferențiale, funcția exponențială, este una dintre cele mai importante funcții din matematică și alte științe. Mai general, în condiții de creștere controlată a populației, sistemul poate include termeni suplimentari care limitează creșterea. În ecuația de mai jos, constanta k (\displaystyle k) poate fi mai mare sau mai mică decât zero.
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Vibrații armonice. Atât în mecanica clasică, cât și în cea cuantică, oscilatorul armonic este unul dintre cele mai importante sisteme fizice datorită simplității și aplicației sale extinse pentru aproximarea sistemelor mai complexe, cum ar fi un pendul simplu. În mecanica clasică, oscilațiile armonice sunt descrise printr-o ecuație care leagă poziția unui punct material de accelerația sa prin legea lui Hooke. În acest caz, pot fi luate în considerare și forțele de amortizare și de antrenare. În expresia de mai jos x ˙ (\displaystyle (\punct (x)))- derivată în timp a x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) este un parametru care descrie forța de amortizare, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frecvența unghiulară a sistemului, F (t) (\displaystyle F(t)) este o forță motrice dependentă de timp. Oscilatorul armonic este prezent și în circuitele oscilatoare electromagnetice, unde poate fi implementat cu o precizie mai mare decât în sistemele mecanice.
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Ecuația Bessel. Ecuația diferențială Bessel este utilizată în multe domenii ale fizicii, inclusiv soluția ecuației de undă, ecuația Laplace și ecuația Schrödinger, în special în prezența simetriei cilindrice sau sferice. Această ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți variabili nu este o ecuație Cauchy-Euler, deci soluțiile sale nu pot fi scrise ca funcții elementare. Soluțiile ecuației Bessel sunt funcțiile Bessel, care sunt bine studiate datorită faptului că sunt utilizate în multe domenii. În expresia de mai jos α (\displaystyle \alpha) este o constantă care se potrivește Ordin Funcțiile Bessel.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Ecuațiile lui Maxwell. Alături de forța Lorentz, ecuațiile lui Maxwell formează baza electrodinamicii clasice. Acestea sunt patru ecuații diferențiale parțiale pentru electric E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))și magnetice B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) câmpuri. În expresiile de mai jos ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densitatea de încărcare, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) este densitatea de curent și ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))Și μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) sunt constantele electrice și respectiv magnetice.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
Ecuația Schrödinger.În mecanica cuantică, ecuația Schrödinger este ecuația de bază a mișcării care descrie mișcarea particulelor în conformitate cu schimbarea funcției de undă. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) cu timpul. Ecuația mișcării este descrisă de comportament Hamiltonian H ^ (\displaystyle (\pălărie(H))) - operator, care descrie energia sistemului. Unul dintre exemplele binecunoscute ale ecuației Schrödinger în fizică este ecuația pentru o particulă non-relativistă, care este supusă potențialului V (r, t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Multe sisteme sunt descrise de ecuația Schrödinger dependentă de timp, cu ecuația în partea stângă E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Unde E (\displaystyle E) este energia particulei. În expresiile de mai jos ℏ (\displaystyle \hbar ) este constanta Planck redusă.
- eu ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
ecuația de undă. Este imposibil să ne imaginăm fizica și tehnologia fără valuri, ele sunt prezente în toate tipurile de sisteme. În general, undele sunt descrise de ecuația de mai jos, în care u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t)) este funcția dorită și c (\displaystyle c)- constantă determinată experimental. d'Alembert a fost primul care a descoperit că pentru cazul unidimensional soluția ecuației de undă este orice funcția cu argument x − c t (\displaystyle x-ct), care descrie o undă arbitrară care se propagă spre dreapta. Soluția generală pentru cazul unidimensional este o combinație liniară a acestei funcții cu o a doua funcție cu un argument x + c t (\displaystyle x+ct), care descrie o undă care se propagă spre stânga. Această soluție este prezentată în a doua linie.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Ecuații Navier-Stokes. Ecuațiile Navier-Stokes descriu mișcarea fluidelor. Deoarece fluidele sunt prezente practic în fiecare domeniu al științei și tehnologiei, aceste ecuații sunt extrem de importante pentru predicția vremii, proiectarea aeronavelor, curenții oceanici și multe alte aplicații. Ecuațiile Navier-Stokes sunt ecuații diferențiale parțiale neliniare, iar în majoritatea cazurilor este foarte dificil de rezolvat, deoarece neliniaritatea duce la turbulențe, iar pentru a obține o soluție stabilă prin metode numerice, împărțirea în foarte mici. celulele este necesară, ceea ce necesită o putere de calcul semnificativă. În scopuri practice în hidrodinamică, metode precum media timpului sunt folosite pentru a modela curgerile turbulente. Chiar și mai multe întrebări de bază, cum ar fi existența și unicitatea soluțiilor pentru ecuațiile diferențiale parțiale neliniare, sunt probleme complexe, iar demonstrarea existenței și unicității soluțiilor pentru ecuațiile Navier-Stokes în trei dimensiuni este printre problemele matematice ale mileniului. . Mai jos sunt ecuația de curgere a fluidului incompresibil și ecuația de continuitate.
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Multe ecuații diferențiale pur și simplu nu pot fi rezolvate prin metodele de mai sus, în special cele menționate în ultima secțiune. Acest lucru se aplică atunci când ecuația conține coeficienți variabili și nu este o ecuație Cauchy-Euler sau când ecuația este neliniară, cu excepția câtorva cazuri foarte rare. Cu toate acestea, metodele de mai sus vă permit să rezolvați multe ecuații diferențiale importante care sunt adesea întâlnite în diferite domenii ale științei.
Spre deosebire de diferențiere, care vă permite să găsiți derivata oricărei funcții, integrala multor expresii nu poate fi exprimată în funcții elementare. Prin urmare, nu pierdeți timpul încercând să calculați integrala acolo unde este imposibil. Uită-te la tabelul integralelor. Dacă soluția unei ecuații diferențiale nu poate fi exprimată în termeni de funcții elementare, uneori poate fi reprezentată în formă integrală, iar în acest caz nu contează dacă această integrală poate fi calculată analitic.

Avertizări

Aspect ecuația diferențială poate induce în eroare. De exemplu, mai jos sunt două ecuații diferențiale de ordinul întâi. Prima ecuație este ușor de rezolvat folosind metodele descrise în acest articol. La prima vedere, o schimbare minoră y (\displaystyle y) pe y 2 (\displaystyle y^(2))în a doua ecuație o face neliniară și devine foarte greu de rezolvat.
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Primul ordin, care are forma standard $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, unde $P\left(x\right)$ este o funcție continuă, se numește omogen liniar. numele „liniar” se explică prin faptul că funcția necunoscută $y$ și derivata ei prima $y"$ intră în ecuație liniar, adică la gradul I. Denumirea „omogen” se explică prin faptul că zero se află în partea dreaptă a ecuației.

O astfel de ecuație diferențială poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor. Să o reprezentăm în forma standard a metodei: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, unde $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right) $ și $f_(2) \left(y\right)=y$.

Să calculăm integrala $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Calculați integrala $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right| $ .

Să facem transformările:

Folosind definiția logaritmului, obținem: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Această egalitate este la rândul ei echivalentă cu $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Înlocuind o constantă arbitrară $C=\pm C_(1) $, obținem soluția generală a ecuației diferențiale liniare omogene: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Rezolvând ecuația $f_(2) \left(y\right)=y=0$, găsim soluții speciale. Printr-o simplă verificare, ne asigurăm că funcția $y=0$ este o soluție specială a ecuației diferențiale date.

Totuși, aceeași soluție poate fi obținută din soluția generală $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ setând $C=0$ în ea.

Deci rezultatul final este: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Metoda generală de rezolvare a unei ecuații diferențiale omogene liniare de ordinul întâi poate fi reprezentată ca următorul algoritm:

Pentru a rezolva această ecuație, ea trebuie mai întâi reprezentată în forma standard a metodei $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Dacă acest lucru nu a fost realizat, atunci această ecuație diferențială trebuie rezolvată prin altă metodă.
Calculați integrala $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Scriem soluția generală ca $y=C\cdot e^(-I) $ și, dacă este necesar, facem transformări simplificatoare.

Sarcina 1

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Avem o ecuație liniară omogenă de ordinul întâi în forma standard pentru care $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Calculați integrala $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Soluția generală este: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul întâi

Definiție

O ecuație diferențială de ordinul întâi care poate fi reprezentată în forma standard $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, unde $P\left(x\right) $ și $ Q\left(x\right)$ -- funcții continue cunoscute, se numește ecuație diferențială liniară neomogenă. Denumirea „neomogenă” se explică prin faptul că partea dreaptă a ecuației diferențiale este diferită de zero.

Soluția unei ecuații diferențiale neomogene liniare complexe poate fi redusă la soluția a două ecuații diferențiale mai simple. Pentru a face acest lucru, funcția dorită $y$ trebuie înlocuită cu produsul a două funcții auxiliare $u$ și $v$, adică puneți $y=u\cdot v$.

Diferențiem înlocuirea acceptată: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Inlocuim expresia rezultata in aceasta ecuatie diferentiala: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ stânga(x\right)$ sau $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ dreapta] =Q\stanga(x\dreapta)$.

Rețineți că dacă $y=u\cdot v$ este acceptat, atunci una dintre funcțiile auxiliare poate fi aleasă în mod arbitrar ca parte a produsului $u\cdot v$. Alegem o funcție auxiliară $v$ astfel încât expresia dintre paranteze pătrate să dispară. Pentru a face acest lucru, este suficient să rezolvați ecuația diferențială $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ în raport cu funcția $v$ și să alegeți pentru aceasta cea mai simplă particularitate. soluție $v=v\left(x \right)$ diferit de zero. Această ecuație diferențială este omogenă liniară și se rezolvă prin metoda de mai sus.

Inlocuim solutia rezultata $v=v\left(x\right)$ in aceasta ecuatie diferentiala, tinand cont de faptul ca acum expresia dintre paranteze drepte este egala cu zero, si obtinem inca o ecuatie diferentiala, dar acum cu fata de functia auxiliara $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Această ecuație diferențială poate fi reprezentată ca $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, după care devine evident că admite o integrare directă. Pentru această ecuație diferențială este necesar să se găsească o soluție generală sub forma $u=u\left(x,\; C\right)$.

Acum putem găsi soluția generală a acestei ecuații diferențiale neomogene liniare de ordinul întâi sub forma $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Metoda generală de rezolvare a unei ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul întâi poate fi reprezentată ca următorul algoritm:

Pentru a rezolva această ecuație, ea trebuie mai întâi reprezentată în forma standard a metodei $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Dacă acest lucru nu este realizat, atunci această ecuație diferențială trebuie rezolvată printr-o metodă diferită.
Calculați integrala $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, scrieți soluția particulară ca $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, executați transformări simplificatoare și alegeți cea mai simplă variantă diferită de zero pentru $v\left(x\right)$.
Calculăm integrala $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, după care scriem expresia ca $u\left (x, C\dreapta)=I_(2) +C$.
Scriem soluția generală a acestei ecuații diferențiale liniare neomogene sub forma $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ și, dacă este necesar, efectuăm transformări simplificatoare.

Sarcina 2

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Avem o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi în forma standard pentru care $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ și $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Calculați integrala $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Scriem o anumită soluție ca $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ și efectuăm transformări simplificatoare: $v\left(x\right)=e^(\ln \left|x \ dreapta|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Alegem pentru $v\left(x\right)$ cea mai simplă variantă diferită de zero: $v\left(x\right)=x$.

Calculați integrala $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) \ cdot dx=3\cdot x $.

Scriem expresia $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

În cele din urmă, scriem soluția generală a acestei ecuații diferențiale liniare neomogene sub forma $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, adică $y=\left(3\ cdot x+C \right)\cdot x$.

Cred că ar trebui să începem cu istoria unui instrument matematic atât de glorios precum ecuațiile diferențiale. La fel ca orice calcul diferențial și integral, aceste ecuații au fost inventate de Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. El a considerat tocmai această descoperire a lui atât de importantă încât a criptat chiar mesajul, care astăzi poate fi tradus cam așa: „Toate legile naturii sunt descrise prin ecuații diferențiale”. Poate părea o exagerare, dar este adevărat. Orice lege a fizicii, chimiei, biologiei poate fi descrisă prin aceste ecuații.

O contribuție uriașă la dezvoltarea și crearea teoriei ecuațiilor diferențiale a fost adusă de matematicienii Euler și Lagrange. Deja în secolul al XVIII-lea, au descoperit și dezvoltat ceea ce învață acum în cursurile superioare ale universităților.

O nouă piatră de hotar în studiul ecuațiilor diferențiale a început datorită lui Henri Poincare. El a creat o „teorie calitativă a ecuațiilor diferențiale”, care, în combinație cu teoria funcțiilor unei variabile complexe, a adus o contribuție semnificativă la fundamentul topologiei - știința spațiului și a proprietăților sale.

Ce sunt ecuațiile diferențiale?

Mulți oameni se tem de o singură frază. Cu toate acestea, în acest articol vom detalia întreaga esență a acestui aparat matematic foarte util, care de fapt nu este atât de complicat pe cât pare din nume. Pentru a începe să vorbiți despre ecuații diferențiale de ordinul întâi, ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu conceptele de bază care sunt în mod inerent legate de această definiție. Să începem cu diferența.

Diferenţial

Mulți oameni cunosc acest concept de la școală. Cu toate acestea, să aruncăm o privire mai atentă la el. Imaginează-ți un grafic al unei funcții. Îl putem crește în așa măsură încât oricare dintre segmentele sale va lua forma unei linii drepte. Pe el luăm două puncte care sunt infinit aproape unul de celălalt. Diferența dintre coordonatele lor (x sau y) va fi o valoare infinitezimală. Se numește diferențial și este notat prin semnele dy (diferențial de la y) și dx (diferențial de la x). Este foarte important să înțelegem că diferența nu este o valoare finită, iar acesta este sensul și funcția sa principală.

Și acum este necesar să luăm în considerare următorul element, care ne va fi util în explicarea conceptului de ecuație diferențială. Acesta este un derivat.

Derivat

Probabil că toți am auzit acest concept la școală. Se spune că derivată este rata de creștere sau scădere a unei funcții. Cu toate acestea, o mare parte din această definiție devine de neînțeles. Să încercăm să explicăm derivata în termeni de diferenţiale. Să revenim la un segment infinitezimal al unei funcții cu două puncte care sunt la o distanță minimă unul de celălalt. Dar chiar și pentru această distanță, funcția reușește să se schimbe cu o anumită sumă. Și pentru a descrie această schimbare, au venit cu o derivată, care altfel poate fi scrisă ca raport al diferențialelor: f (x) "=df / dx.

Acum merită să luăm în considerare proprietățile de bază ale derivatului. Sunt doar trei dintre ele:

Derivata sumei sau diferenței poate fi reprezentată ca suma sau diferența derivatelor: (a+b)"=a"+b" și (a-b)"=a"-b".
A doua proprietate este legată de înmulțire. Derivata unui produs este suma produselor unei functii si derivata alteia: (a*b)"=a"*b+a*b".
Derivata diferenței poate fi scrisă ca următoarea egalitate: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Toate aceste proprietăți ne vor fi utile pentru a găsi soluții la ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Există și derivate parțiale. Să presupunem că avem o funcție z care depinde de variabilele x și y. Pentru a calcula derivata parțială a acestei funcții, să zicem, în raport cu x, trebuie să luăm variabila y ca o constantă și să diferențiem pur și simplu.

Integral

Un alt concept important este integrala. De fapt, acesta este direct opusul derivatului. Există mai multe tipuri de integrale, dar pentru a rezolva cele mai simple ecuații diferențiale, avem nevoie de cele mai banale

Deci, să presupunem că avem o dependență a lui f de x. Luăm integrala din ea și obținem funcția F (x) (deseori numită antiderivată), a cărei derivată este egală cu funcția originală. Astfel F(x)"=f(x). De asemenea, rezultă că integrala derivatei este egală cu funcția inițială.

Când rezolvați ecuații diferențiale, este foarte important să înțelegeți semnificația și funcția integralei, deoarece va trebui să le luați foarte des pentru a găsi o soluție.

Ecuațiile sunt diferite în funcție de natura lor. În secțiunea următoare, vom lua în considerare tipurile de ecuații diferențiale de ordinul întâi și apoi vom învăța cum să le rezolvăm.

Clase de ecuații diferențiale

„Diffura” sunt împărțite în funcție de ordinea derivatelor implicate în ele. Astfel, există prima, a doua, a treia și mai multă ordine. Ele pot fi, de asemenea, împărțite în mai multe clase: derivate obișnuite și parțiale.

În acest articol, vom lua în considerare ecuațiile diferențiale obișnuite de ordinul întâi. Vom discuta, de asemenea, exemple și modalități de a le rezolva în secțiunile următoare. Vom lua în considerare doar EDO, deoarece acestea sunt cele mai comune tipuri de ecuații. Obișnuite sunt împărțite în subspecii: cu variabile separabile, omogene și eterogene. În continuare, veți afla cum diferă unele de altele și cum să le rezolvați.

În plus, aceste ecuații pot fi combinate, astfel încât după obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. De asemenea, vom lua în considerare astfel de sisteme și vom învăța cum să le rezolvăm.

De ce luăm în considerare doar prima comandă? Pentru că trebuie să începeți cu unul simplu și este pur și simplu imposibil să descrieți tot ce este legat de ecuațiile diferențiale într-un articol.

Ecuații de variabile separabile

Acestea sunt probabil cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi. Acestea includ exemple care pot fi scrise astfel: y "=f (x) * f (y). Pentru a rezolva această ecuație, avem nevoie de o formulă de reprezentare a derivatei ca raport al diferenţialelor: y" = dy / dx. Folosind-o, obținem următoarea ecuație: dy/dx=f(x)*f(y). Acum putem trece la metoda de rezolvare a exemplelor standard: vom împărți variabilele în părți, adică vom transfera totul cu variabila y în partea în care se află dy și vom face același lucru cu variabila x. Obținem o ecuație de forma: dy/f(y)=f(x)dx, care se rezolvă luând integralele ambelor părți. Nu uitați de constantă, care trebuie setată după luarea integralei.

Soluția oricărei „difuzații” este o funcție a dependenței lui x de y (în cazul nostru) sau, dacă există o condiție numerică, atunci răspunsul este sub forma unui număr. Să aruncăm o privire la întreaga soluție folosind un exemplu specific:

Transferăm variabile în direcții diferite:

Acum luăm integralele. Toate acestea pot fi găsite într-un tabel special de integrale. Și obținem:

log(y) = -2*cos(x) + C

Dacă este necesar, putem exprima „y” în funcție de „x”. Acum putem spune că ecuația noastră diferențială este rezolvată dacă nu este dată nicio condiție. O condiție poate fi dată, de exemplu, y(n/2)=e. Apoi pur și simplu substituim valoarea acestor variabile în soluție și găsim valoarea constantei. În exemplul nostru, este egal cu 1.

Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Acum să trecem la partea mai dificilă. Ecuațiile diferențiale omogene de ordinul întâi pot fi scrise în formă generală după cum urmează: y "= z (x, y). Trebuie remarcat că funcția din dreapta a două variabile este omogenă și nu poate fi împărțită în două dependențe. : z pe x și z pe y. Verificați dacă ecuația este omogenă sau nu este destul de simplu: facem substituția x=k*x și y=k*y.Acum anulăm toate k.Dacă toate aceste litere au fost reduse , atunci ecuația este omogenă și puteți continua în siguranță să o rezolvați. Privind în viitor, să spunem: principiul rezolvării acestor exemple este, de asemenea, foarte simplu.

Trebuie să facem o înlocuire: y=t(x)*x, unde t este o funcție care depinde și de x. Atunci putem exprima derivata: y"=t"(x)*x+t. Înlocuind toate acestea în ecuația noastră originală și simplificând-o, obținem un exemplu cu variabile separabile t și x. Rezolvăm și obținem dependența t(x). Când l-am primit, pur și simplu înlocuim y=t(x)*x în înlocuirea noastră anterioară. Atunci obținem dependența lui y de x.

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu: x*y"=y-x*e y/x .

Când se verifică cu un înlocuitor, totul este redus. Deci ecuația este într-adevăr omogenă. Acum facem o altă înlocuire despre care am vorbit: y=t(x)*x și y"=t"(x)*x+t(x). După simplificare, obținem următoarea ecuație: t "(x) * x \u003d -e t. Rezolvăm exemplul rezultat cu variabile separate și obținem: e -t \u003dln (C * x). Trebuie doar să înlocuim t cu y / x (pentru că dacă y \u003d t * x, atunci t \u003d y / x) și obținem răspunsul: e -y / x \u003d ln (x * C).

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Este timpul să luăm în considerare un alt subiect amplu. Vom analiza ecuații diferențiale neomogene de ordinul întâi. Cu ce sunt diferite de cele două anterioare? Să ne dăm seama. Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi în formă generală pot fi scrise după cum urmează: y " + g (x) * y \u003d z (x). Merită să clarificăm că z (x) și g (x) pot fi valori constante .

Și acum un exemplu: y" - y*x=x 2 .

Există două moduri de rezolvare și le vom analiza pe ambele în ordine. Prima este metoda de variație a constantelor arbitrare.

Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie mai întâi să egalați partea dreaptă cu zero și să rezolvați ecuația rezultată, care, după transferul părților, va lua forma:

ln|y|=x2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Acum trebuie să înlocuim constanta C 1 cu funcția v(x), pe care trebuie să o găsim.

Să schimbăm derivata:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Să substituim aceste expresii în ecuația originală:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Se poate observa că doi termeni sunt anulați în partea stângă. Dacă, într-un exemplu, acest lucru nu s-a întâmplat, atunci ai făcut ceva greșit. Hai sa continuăm:

v"*e x2/2 = x 2 .

Acum rezolvăm ecuația obișnuită în care trebuie să separăm variabilele:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Pentru a extrage integrala, trebuie să aplicăm aici integrarea pe părți. Cu toate acestea, acesta nu este subiectul articolului nostru. Dacă sunteți interesat, puteți învăța singur cum să efectuați astfel de acțiuni. Nu este dificil și, cu suficientă îndemânare și grijă, nu durează mult timp.

Să trecem la a doua metodă de rezolvare a ecuațiilor neomogene: metoda Bernoulli. Ce abordare este mai rapidă și mai ușoară depinde de tine.

Deci, atunci când rezolvăm ecuația prin această metodă, trebuie să facem o înlocuire: y=k*n. Aici k și n sunt câteva funcții dependente de x. Apoi derivata va arata astfel: y"=k"*n+k*n". Inlocuim ambele inlocuiri in ecuatie:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupare:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Acum trebuie să echivalăm cu zero ceea ce este între paranteze. Acum, dacă combinăm cele două ecuații rezultate, obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi care trebuie rezolvat:

Rezolvăm prima egalitate ca o ecuație obișnuită. Pentru a face acest lucru, trebuie să separați variabilele:

Luăm integrala și obținem: ln(n)=x 2 /2. Atunci, dacă exprimăm n:

Acum înlocuim egalitatea rezultată în a doua ecuație a sistemului:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Și transformând, obținem aceeași egalitate ca în prima metodă:

dk=x 2 /e x2/2 .

De asemenea, nu vom analiza alte acțiuni. Merită spus că la început rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi provoacă dificultăți semnificative. Cu toate acestea, cu o imersiune mai profundă în subiect, începe să devină din ce în ce mai bine.

Unde se folosesc ecuațiile diferențiale?

Ecuațiile diferențiale sunt folosite foarte activ în fizică, deoarece aproape toate legile de bază sunt scrise în formă diferențială, iar formulele pe care le vedem sunt soluția acestor ecuații. În chimie, ele sunt folosite din același motiv: legile de bază sunt derivate din ele. În biologie, ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a modela comportamentul sistemelor, cum ar fi prădător-pradă. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a crea modele de reproducere a, de exemplu, o colonie de microorganisme.

Cum vor ajuta ecuațiile diferențiale în viață?

Răspunsul la această întrebare este simplu: în niciun caz. Dacă nu sunteți om de știință sau inginer, atunci este puțin probabil să vă fie de folos. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea generală, nu strica să știi ce este o ecuație diferențială și cum se rezolvă. Și apoi întrebarea unui fiu sau a unei fiice "ce este o ecuație diferențială?" nu te va deruta. Ei bine, dacă ești om de știință sau inginer, atunci tu însuți înțelegi importanța acestui subiect în orice știință. Dar cel mai important lucru este că acum întrebarea „cum se rezolvă o ecuație diferențială de ordinul întâi?” poți întotdeauna să răspunzi. De acord, este întotdeauna frumos când înțelegi ceea ce oamenilor chiar le este frică să înțeleagă.

Principalele probleme în învățare

Principala problemă în înțelegerea acestui subiect este slaba abilitate de integrare și diferențiere a funcțiilor. Dacă nu sunteți bun să luați derivate și integrale, atunci probabil că merită să învățați mai multe, să stăpâniți diferite metode de integrare și diferențiere și abia apoi să continuați să studiați materialul descris în articol.

Unii oameni sunt surprinși când află că dx poate fi transferat, deoarece mai devreme (la școală) s-a afirmat că fracția dy / dx este indivizibilă. Aici trebuie să citiți literatura despre derivată și să înțelegeți că este raportul cantităților infinitezimale care poate fi manipulat la rezolvarea ecuațiilor.

Mulți nu realizează imediat că soluția ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi este adesea o funcție sau o integrală care nu poate fi luată, iar această iluzie le dă multe probleme.

Ce altceva mai poate fi studiat pentru o mai bună înțelegere?

Cel mai bine este să începeți o imersiune suplimentară în lumea calculului diferențial cu manuale specializate, de exemplu, despre calcul pentru studenții de specialități non-matematice. Apoi poți trece la literatură mai specializată.

Merită să spunem că, pe lângă ecuațiile diferențiale, există și ecuații integrale, așa că vei avea mereu la ce să te străduiești și ceva de studiat.

Concluzie

Sperăm că după ce ați citit acest articol vă faceți o idee despre ce sunt ecuațiile diferențiale și cum să le rezolvați corect.

În orice caz, matematica ne este oarecum de folos în viață. Ea dezvoltă logica și atenția, fără de care fiecare persoană este ca și fără mâini.

O ecuație de ordinul întâi de forma a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) se numește ecuație diferențială liniară. Dacă b (x) ≡ 0, atunci ecuația se numește omogenă, în caz contrar - eterogen. Pentru o ecuație diferențială liniară, teorema existenței și unicității are o formă mai concretă.

Atribuirea serviciului. Un calculator online poate fi folosit pentru a verifica soluția ecuații diferențiale liniare omogene și neomogene ca y"+y=b(x) .

Pentru a obține o soluție, expresia originală trebuie redusă la forma: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . De exemplu, pentru y"-exp(x)=2*y va fi y"-2 *y=exp(x) .

Teorema. Fie a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) continuu pe intervalul [α,β], a 1 ≠0 pentru ∀x∈[α,β]. Atunci pentru orice punct (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], există o soluție unică a ecuației care satisface condiția y(x 0) = y 0 și este definită pe întreg intervalul [α ,β].
Se consideră o ecuație diferențială liniară omogenă a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Separând variabilele, obținem , sau, integrând ambele părți, Ultima relație, ținând cont de notația exp(x) = e x , se scrie sub forma

Să încercăm acum să găsim o soluție a ecuației în forma indicată, în care funcția C(x) este înlocuită în loc de constanta C, adică în forma

Inlocuind aceasta solutie in solutia initiala, dupa transformarile necesare, obtinem Integrându-l pe acesta din urmă, avem

unde C 1 este o constantă nouă. Înlocuind expresia rezultată pentru C(x), obținem în final soluția ecuației liniare inițiale
.

Exemplu. Rezolvați ecuația y" + 2y = 4x. Luați în considerare ecuația omogenă corespunzătoare y" + 2y = 0. Rezolvând-o, obținem y = Ce -2 x. Căutăm acum o soluție la ecuația originală sub forma y = C(x)e -2 x . Înlocuind y și y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x în ecuația originală, avem C"(x) = 4xe 2 x, de unde C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 și y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x este soluția generală a ecuației inițiale. această soluție, y 1 ( x) = 2x-1 - mișcarea obiectului sub acțiunea forței b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - mișcarea proprie a obiectului.

Exemplul #2. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Aceasta este o ecuație neomogenă. Să facem o schimbare de variabile: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x sau u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Soluția constă din doi pași:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Echivalați u=0, găsiți soluția pentru 3v tg(3x)+v" = 0
Reprezentați sub forma: v" = -3v tg(3x)

Integrând, obținem:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Știind v, găsiți u din condiția: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integrând, obținem:
Din condiția y=u v, obținem:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) sau y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN I

Rezumatul cursului pentru studenții contabili

formă de educație prin corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuații diferențiale de ordinul întâi

Conceptul de ecuație diferențială. Soluții generale și particulare

Când se studiază diverse fenomene, adesea nu este posibil să se găsească o lege care să conecteze direct variabila independentă și funcția dorită, dar este posibil să se stabilească o legătură între funcția dorită și derivatele acesteia.

Se numește relația care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele acesteia ecuație diferențială :

Aici X este o variabilă independentă, y este funcția dorită,
sunt derivatele funcției dorite. În acest caz, relația (1) necesită prezența a cel puțin unei derivate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate din ecuație.

Luați în considerare ecuația diferențială

. (2)

Deoarece această ecuație include o derivată doar de ordinul întâi, atunci se numește este o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Dacă ecuația (2) poate fi rezolvată în raport cu derivata și scrisă ca

, (3)

atunci o astfel de ecuație se numește ecuație diferențială de ordinul întâi în formă normală.

În multe cazuri, este oportun să se ia în considerare o ecuație de formă

Care e numit o ecuație diferențială de ordinul întâi scrisă sub formă diferențială.

Deoarece
, atunci ecuația (3) poate fi scrisă ca
sau
, unde se poate număra
Și
. Aceasta înseamnă că ecuația (3) a fost convertită în ecuația (4).

Scriem ecuația (4) sub forma
. Apoi
,
,
, unde se poate număra
, adică se obţine o ecuaţie de forma (3). Astfel, ecuațiile (3) și (4) sunt echivalente.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale (2) sau (3) se apelează orice funcție
, care, la substituirea lui în ecuația (2) sau (3), o transformă într-o identitate:

sau
.

Procesul de găsire a tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește ei integrare , și graficul soluției
se numește ecuație diferențială curba integrala această ecuație.

Dacă soluţia ecuaţiei diferenţiale se obţine sub formă implicită
, atunci se numește integrală ecuație diferențială dată.

Soluție generală ecuația diferențială de ordinul întâi este o familie de funcții de forma
, în funcție de o constantă arbitrară CU, fiecare dintre acestea fiind o soluție a ecuației diferențiale date pentru orice valoare admisibilă a unei constante arbitrare CU. Astfel, ecuația diferențială are un număr infinit de soluții.

Decizie privată ecuația diferențială se numește soluție obținută din formula soluției generale pentru o anumită valoare a unei constante arbitrare CU, inclusiv
.

Problema Cauchy și interpretarea ei geometrică

Ecuația (2) are un număr infinit de soluții. Pentru a identifica o soluție din acest set, care se numește o soluție particulară, trebuie specificate câteva condiții suplimentare.

Se numește problema găsirii unei anumite soluții la ecuația (2) în condiții date Problema Cauchy . Această problemă este una dintre cele mai importante în teoria ecuațiilor diferențiale.

Problema Cauchy este formulată astfel: dintre toate soluțiile ecuației (2) găsiți o astfel de soluție
, în care funcția
ia o valoare numerică dată dacă variabila independentă X ia o valoare numerică dată , adică

,
, (5)

Unde D este domeniul funcției
.

Sens numit valoarea inițială a funcției , A – valoarea initiala a variabilei independente . Se numește condiția (5). condiția inițială sau Starea Cauchy .

Din punct de vedere geometric, problema Cauchy pentru ecuația diferențială (2) poate fi formulată după cum urmează: din multimea curbelor integrale ale ecuatiei (2) selectati-o pe cea care trece printr-un punct dat
.

Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Unul dintre cele mai simple tipuri de ecuații diferențiale este o ecuație diferențială de ordinul întâi care nu conține funcția dorită:

. (6)

Dat fiind
, scriem ecuația sub forma
sau
. Integrând ambele părți ale ultimei ecuații, obținem:
sau

. (7)

Astfel, (7) este o soluție generală a ecuației (6).

Exemplul 1 . Aflați soluția generală a ecuației diferențiale
.

Soluţie . Scriem ecuația sub forma
sau
. Integram ambele părți ale ecuației rezultate:
,
. Să scriem în sfârșit
.

Exemplul 2 . Găsiți o soluție pentru ecuație
dat fiind
.

Soluţie . Să găsim soluția generală a ecuației:
,
,
,
. După condiție
,
. Înlocuiți în soluția generală:
sau
. Inlocuim valoarea gasita a unei constante arbitrare in formula solutiei generale:
. Aceasta este soluția particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția dată.

Ecuația

(8)

numit o ecuație diferențială de ordinul întâi care nu conține o variabilă independentă . O scriem sub formă
sau
. Integram ambele părți ale ultimei ecuații:
sau
- soluția generală a ecuației (8).

Exemplu . Găsiți o soluție generală a ecuației
.

Soluţie . Scriem această ecuație sub forma:
sau
. Apoi
,
,
,
. Prin urmare,
este soluția generală a acestei ecuații.

Tip ecuație

(9)

integrat folosind separarea variabilelor. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația sub forma
, iar apoi, folosind operațiile de înmulțire și împărțire, o aducem într-o astfel de formă încât o parte include doar funcția de X si diferential dx, iar în a doua parte - o funcție de la si diferential dy. Pentru a face acest lucru, ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu dxși împărțiți la
. Ca rezultat, obținem ecuația

, (10)

în care variabilele XȘi la separat. Integram ambele părți ale ecuației (10):
. Relația rezultată este integrala generală a ecuației (9).

Exemplul 3 . Ecuația de integrare
.

Soluţie . Transformați ecuația și separați variabilele:
,
. Să integrăm:
,
sau este integrala generală a acestei ecuații.
.

Fie dată ecuația sub forma

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile în formă simetrică.

Pentru a separa variabilele, ambele părți ale ecuației trebuie împărțite la
:

. (12)

Ecuația rezultată se numește ecuație diferențială separată . Integram ecuația (12):

.(13)

Relația (13) este o integrală generală a ecuației diferențiale (11).

Exemplul 4 . Integrați ecuația diferențială.

Soluţie . Scriem ecuația sub forma

și împărțiți ambele părți în
,
. Ecuația rezultată:
este o ecuație variabilă separată. Să-l integrăm:

,
,

,
. Ultima egalitate este integrala generală a ecuației diferențiale date.

Exemplul 5 . Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale
, îndeplinind condiția
.

Soluţie . Dat fiind
, scriem ecuația sub forma
sau
. Să separăm variabilele:
. Să integrăm această ecuație:
,
,
. Relația rezultată este integrala generală a acestei ecuații. După condiție
. Înlocuiți în integrala generală și găsiți CU:
,CU=1. Apoi expresia
este o soluție particulară a ecuației diferențiale date, scrisă ca o integrală particulară.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Ecuația

(14)

numit ecuație diferențială liniară de ordinul întâi . functie necunoscuta
iar derivata ei intră liniar în această ecuație, iar funcțiile
Și
continuu.

Dacă
, apoi ecuația

(15)

numit liniar omogen . Dacă
, atunci se numește ecuația (14). liniar neomogen .

Pentru a găsi o soluție la ecuația (14), se folosește de obicei metoda de substituție (Bernoulli) , a cărui esență este următoarea.

Soluția ecuației (14) va fi căutată sub forma unui produs a două funcții

, (16)

Unde
Și
- unele functii continue. Substitui
și derivată
în ecuația (14):

Funcţie v vor fi alese în aşa fel încât condiţia
. Apoi
. Astfel, pentru a găsi o soluție la ecuația (14), este necesar să se rezolve sistemul de ecuații diferențiale

Prima ecuație a sistemului este o ecuație liniară omogenă și poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor:
,
,
,
,
. Ca o caracteristică
se poate lua una dintre soluțiile particulare ale ecuației omogene, adică. la CU=1:
. Înlocuiți în a doua ecuație a sistemului:
sau
.Apoi
. Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi are forma
.

Exemplul 6 . rezolva ecuatia
.

Soluţie . Vom căuta soluția ecuației sub forma
. Apoi
. Înlocuiți în ecuație:

sau
. Funcţie v alege în așa fel încât egalitatea
. Apoi
. Rezolvăm prima dintre aceste ecuații prin metoda separării variabilelor:
,
,
,
,. Funcţie vÎnlocuiți în a doua ecuație:
,
,
,
. Soluția generală a acestei ecuații este
.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

Ce este o ecuație diferențială?

Care este ordinea unei ecuații diferențiale?

Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială de ordinul întâi?

Cum se scrie o ecuație diferențială de ordinul întâi în formă diferențială?

Care este soluția unei ecuații diferențiale?

Ce este o curbă integrală?

Care este soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi?

Care este o soluție particulară a unei ecuații diferențiale?

Cum este formulată problema Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi?

Care este interpretarea geometrică a problemei Cauchy?

Cum se scrie o ecuație diferențială cu variabile separabile în formă simetrică?

Care ecuație se numește ecuație diferențială liniară de ordinul întâi?

Ce metodă poate fi folosită pentru a rezolva o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi și care este esența acestei metode?

Sarcini pentru munca independentă

Rezolvați ecuații diferențiale cu variabile separabile:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi:

A)
; b)
; V)
;

G)
; e)
.

CATEGORII

Screening

Ecografia extremităților

Tipuri de ultrasunete

ecografie abdominală

ecografie toracică

ARTICOLE POPULARE

	Negația nu cu verbe (în formă personală, la infinitiv, sub formă de gerunziu) se scrie separat: nu lua, nu era, neștiind, încet.
	Prezentare, raportare principalele trăsături ale filosofiei Renașterii
	Stilul de ficțiune
	Copiii pământului Prezentare noi suntem copiii pământului pentru grădină
	Prezentare pe tema barierelor în calea comunicării, munca a fost făcută de studenți.Fără comunicare, ne închidem.

2023 "kingad.ru" - examinarea cu ultrasunete a organelor umane