Aflați rata maximă de creștere a funcției. Cum să găsiți gradientul unei funcții

Gradient funcții este o mărime vectorială, a cărei constatare este asociată cu definirea derivatelor parțiale ale funcției. Direcția gradientului indică calea celei mai rapide creșteri a funcției de la un punct al câmpului scalar la altul.

Instruire

1. Pentru rezolvarea problemei pe gradientul unei funcții se folosesc metode de calcul diferențial și anume găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi în trei variabile. Se presupune că funcția în sine și toate derivatele ei parțiale au proprietatea de continuitate în domeniul funcției.

2. Gradientul este un vector, a cărui direcție indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției F. Pentru a face acest lucru, pe grafic sunt selectate două puncte M0 și M1, care sunt capetele vectorului. Valoarea gradientului este egală cu rata de creștere a funcției de la punctul M0 la punctul M1.

3. Funcția este diferențiabilă în toate punctele acestui vector, prin urmare, proiecțiile vectorului pe axele de coordonate sunt toate derivatele sale parțiale. Atunci formula gradientului arată astfel: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, unde i, j, k sunt coordonatele vectorului unitar. Cu alte cuvinte, gradientul unei funcții este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele sale parțiale grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Exemplul 1. Fie dată funcția F = sin (x z?) / y. Este necesar să-și găsească gradientul în punctul (?/6, 1/4, 1).

5. Soluție. Determinați derivatele parțiale în raport cu orice variabilă: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Înlocuiți celebrele coordonate ale punctului: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Aplicați formula gradientului funcției: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Exemplul 2. Aflați coordonatele gradientului funcției F = y arсtg (z / x) în punctul (1, 2, 1).

9. Soluție. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradientul câmpului scalar este o mărime vectorială. Astfel, pentru a-l găsi, este necesară determinarea tuturor componentelor vectorului corespunzător, pe baza cunoștințelor despre împărțirea câmpului scalar.

Instruire

1. Citiți într-un manual de matematică superioară care este gradientul unui câmp scalar. După cum știți, această mărime vectorială are o direcție caracterizată de rata maximă de dezintegrare a funcției scalare. Un astfel de sens al unei mărimi vectoriale date este justificat de o expresie pentru determinarea componentelor sale.

2. Amintiți-vă că fiecare vector este definit de valorile componentelor sale. Componentele vectoriale sunt de fapt proiecții ale acestui vector pe una sau alta axă de coordonate. Astfel, dacă se consideră spațiul tridimensional, atunci vectorul trebuie să aibă trei componente.

3. Scrieți cum sunt determinate componentele unui vector care este gradientul unui câmp. Toate coordonatele unui astfel de vector sunt egale cu derivata potențialului scalar în raport cu variabila a cărei coordonată este calculată. Adică, dacă trebuie să calculați componenta „x” a vectorului de gradient de câmp, atunci trebuie să diferențiați funcția scalară în raport cu variabila „x”. Rețineți că derivata trebuie să fie cât. Aceasta înseamnă că la diferențiere, variabilele rămase care nu participă la aceasta trebuie considerate constante.

4. Scrieți o expresie pentru câmpul scalar. După cum știți, acest termen înseamnă fiecare doar o funcție scalară a mai multor variabile, care sunt și cantități scalare. Numărul de variabile ale unei funcții scalare este limitat de dimensiunea spațiului.

5. Diferențiați separat funcția scalară în raport cu fiecare variabilă. Ca rezultat, veți avea trei funcții noi. Scrieți orice funcție în expresia pentru vectorul gradient al câmpului scalar. Oricare dintre funcțiile obținute este într-adevăr un indicator pentru un vector unitar al unei coordonate date. Astfel, vectorul gradient final ar trebui să arate ca un polinom cu exponenți ca derivate ale unei funcții.

Când luăm în considerare problemele care implică reprezentarea unui gradient, este mai obișnuit să ne gândim la fiecare ca pe un câmp scalar. Prin urmare, trebuie să introducem notația adecvată.

Vei avea nevoie

• - boom;
• - un stilou.

Instruire

1. Fie funcția dată de trei argumente u=f(x, y, z). Derivata parțială a unei funcții, de exemplu față de x, este definită ca derivată față de acest argument, obținută prin fixarea argumentelor rămase. Restul argumentelor sunt similare. Notația derivată parțială se scrie ca: df / dx \u003d u’x ...

2. Diferența totală va fi egală cu du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Derivatele parțiale pot fi înțelese ca derivate în direcțiile axelor de coordonate. În consecință, se pune problema găsirii derivatei în raport cu direcția unui vector dat s în punctul M(x, y, z) (nu uitați că direcția s specifică un vector unitar-ort s^o). În acest caz, vectorul diferenţial al argumentelor este (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Având în vedere forma diferenţialului total du, se poate concluziona că derivata faţă de direcţia s în punctul M este: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alfa) + ((df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Dacă s= s(sx,sy,sz), atunci cosinus de direcție (cos(alfa), se calculează cos(beta), cos(gamma)) (vezi Fig. 1a).

4. Definiția derivatei în direcție, considerând punctul M ca o variabilă, poate fi rescrisă ca produs scalar: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Această expresie va fi obiectivă pentru un câmp scalar. Dacă luăm în considerare o funcție ușoară, atunci gradf este un vector având coordonatele care coincid cu derivatele parțiale f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz). )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Aici (i, j, k) sunt vectorii unitari ai axelor de coordonate într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

5. Dacă folosim operatorul vectorial diferenţial Hamilton Nabla, atunci gradf poate fi scris ca înmulţirea acestui vector operator cu scalarul f (vezi Fig. 1b). Din punctul de vedere al legăturii lui gradf cu derivata direcțională, egalitatea (gradf, s^o)=0 este admisibilă dacă acești vectori sunt ortogonali. În consecință, gradf este adesea definit ca direcția celei mai rapide metamorfoze a unui câmp scalar. Și din punctul de vedere al operațiilor diferențiale (gradf este una dintre ele), proprietățile lui gradf repetă exact proprietățile de diferențiere a funcțiilor. În special, dacă f=uv, atunci gradf=(vgradu+ugradv).

Videoclipuri similare

Gradient acesta este un instrument care în editorii grafici umple silueta cu o tranziție lină a unei culori la alta. Gradient poate da unei siluete rezultatul volumului, poate simula iluminarea, reflexiile luminii pe suprafața unui obiect sau rezultatul unui apus de soare pe fundalul unei fotografii. Acest instrument are o utilizare largă, prin urmare, pentru prelucrarea fotografiilor sau crearea de ilustrații, este foarte important să învățați cum să îl folosiți.

Vei avea nevoie

• Computer, editor grafic Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net sau altele.

Instruire

1. Deschideți imaginea în program sau creați una nouă. Faceți o siluetă sau selectați zona dorită din imagine.

2. Activați instrumentul Gradient din bara de instrumente a editorului grafic. Plasați cursorul mouse-ului pe un punct din interiorul zonei sau siluetei selectate, unde va începe prima culoare a gradientului. Faceți clic și țineți apăsat butonul stâng al mouse-ului. Mutați cursorul în punctul în care gradientul ar trebui să treacă la culoarea finală. Eliberați butonul stâng al mouse-ului. Silueta selectată va fi umplută cu o umplere în degrade.

3. Gradient y este posibil să setați transparența, culorile și raportul acestora la un anumit punct de umplere. Pentru a face acest lucru, deschideți fereastra Gradient Edit. Pentru a deschide fereastra de editare în Photoshop, faceți clic pe exemplul de gradient din panoul Opțiuni.

4. În fereastra care se deschide, opțiunile disponibile de umplere cu gradient sunt afișate ca exemple. Pentru a edita una dintre opțiuni, selectați-o cu un clic de mouse.

5. Un exemplu de gradient este afișat în partea de jos a ferestrei sub forma unei scale largi cu glisoare. Glisoarele indică punctele în care gradientul ar trebui să aibă colațiile specificate, iar în intervalul dintre glisoare, culoarea trece uniform de la cea specificată la primul punct la culoarea celui de-al doilea punct.

6. Glisoarele situate în partea de sus a scalei stabilesc transparența gradientului. Pentru a schimba transparența, faceți clic pe glisorul dorit. Sub scară va apărea un câmp, în care introduceți gradul de transparență necesar în procente.

7. Glisoarele din partea de jos a scalei stabilesc culorile gradientului. Făcând clic pe una dintre ele, vei putea prefera culoarea dorită.

8. Gradient poate avea mai multe culori de tranziție. Pentru a seta o altă culoare, faceți clic pe un spațiu gol din partea de jos a scalei. Un alt glisor va apărea pe el. Setați culoarea dorită pentru aceasta. Scara va afișa un exemplu de gradient cu încă un punct. Puteți muta glisoarele ținându-le cu sprijinul butonului stâng al mouse-ului pentru a obține combinația dorită.

9. Gradient Exista mai multe tipuri care pot da forma siluetelor plate. Să zicem că pentru a da unui cerc forma unei mingi se aplică un gradient radial, iar pentru a da forma unui con se aplică un gradient conic. Un gradient specular poate fi folosit pentru a da suprafeței iluzia de umflătură, iar un gradient de diamant poate fi folosit pentru a crea lumini.

Videoclipuri similare

Videoclipuri similare

Dacă în fiecare punct din spațiu sau parte de spațiu este definită valoarea unei anumite mărimi, atunci se spune că este dat câmpul acestei mărimi. Câmpul se numește scalar dacă valoarea considerată este scalară, adică. bine caracterizat prin valoarea sa numerică. De exemplu, câmpul de temperatură. Câmpul scalar este dat de funcția scalară a punctului u = /(M). Dacă în spațiu se introduce un sistem de coordonate carteziene, atunci există o funcție a trei variabile x, yt z - coordonatele punctului M: Definiție. Suprafața de nivel a unui câmp scalar este mulțimea de puncte la care funcția f(M) ia aceeași valoare. Ecuație de suprafață de nivel Exemplu 1. Găsiți suprafețe de nivel ale unui câmp scalar ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe de nivel și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Derivată a unui câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a unui gradient Reguli pentru calcularea unui gradient -4 Prin definiție, un nivel ecuația de suprafață va fi. Aceasta este ecuația unei sfere (cu Ф 0) centrată la origine. Un câmp scalar se numește plat dacă câmpul este același în toate planurile paralele cu un anumit plan. Dacă planul specificat este luat ca plan xOy, atunci funcția câmpului nu va depinde de coordonata z, adică va fi o funcție doar a argumentelor x și y. și, de asemenea, semnificația. Ecuație a liniilor de nivel - Exemplul 2. Găsiți linii de nivel ale unui câmp scalar Liniile de nivel sunt date prin ecuații La c = 0 obținem o pereche de linii, obținem o familie de hiperbole (Fig. 1). 1.1. Derivată direcțională Fie un câmp scalar definit de o funcție scalară u = /(Af). Să luăm punctul Afo și să alegem direcția determinată de vectorul I. Să luăm un alt punct M astfel încât vectorul M0M să fie paralel cu vectorul 1 (Fig. 2). Să notăm lungimea vectorului MoM cu A/, iar incrementul funcției /(Af) - /(Afo), corespunzătoare deplasării D1, cu Di. Raportul determină viteza medie de modificare a câmpului scalar pe unitate de lungime față de direcția dată.Să tind acum la zero, astfel încât vectorul М0М să rămână paralel cu vectorul I tot timpul.Definiție. Dacă pentru D/O există o limită finită a relaţiei (5), atunci se numeşte derivată a funcţiei la un punct dat Afo la direcţia dată I şi se notează cu simbolul zr!^. Deci, prin definiție, Această definiție nu are legătură cu alegerea sistemului de coordonate, adică are un caracter **variant. Să găsim o expresie pentru derivată în raport cu direcția în sistemul de coordonate carteziene. Fie funcția / să fie diferențiabilă într-un punct. Luați în considerare valoarea /(Af) într-un punct. Apoi incrementul total al funcției poate fi scris în următoarea formă: unde și simbolurile înseamnă că derivatele parțiale sunt calculate în punctul Afo. Prin urmare, aici mărimile jfi, ^ sunt cosinusurile de direcție ale vectorului. Deoarece vectorii MoM și I sunt co-direcționați, cosinusurile lor de direcție sunt aceleași: derivate, sunt derivate ale funcției și de-a lungul direcțiilor axelor de coordonate cu exteriorul nno- Exemplul 3. Aflați derivata funcției spre punct Vectorul are o lungime. Cosinusurile sale de direcție: Prin formula (9) vom avea Faptul că, înseamnă că câmpul scalar într-un punct într-o direcție dată de vârstă- Pentru un câmp plat, derivata în direcția I într-un punct se calculează prin formula unde a este unghiul format de vectorul I cu axa Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) pentru calcularea derivatei pe direcția I într-un punct dat Afo rămâne în vigoare chiar și atunci când punctul M tinde către punctul Mo de-a lungul unei curbe pentru care vectorul I este tangent în punctul PrISchr 4. Calculați derivata câmpului scalar în punctul Afo(l, 1). aparținând unei parabole în direcția acestei curbe (în sensul creșterii absciselor). Direcția ] a unei parabole într-un punct este direcția tangentei la parabolă în acest punct (Fig. 3). Fie tangenta la parabolă în punctul Afo să formeze un unghi o cu axa Ox. Atunci de unde direcționarea cosinusurilor unei tangente Să calculăm valori și într-un punct. Avem Acum prin formula (10) obținem. Aflați derivata câmpului scalar într-un punct în direcția cercului Ecuația vectorială a cercului are forma. Găsim vectorul unitar m al tangentei la cerc Punctul corespunde valorii parametrului. Gradientul câmpului scalar Să fie definit un câmp scalar printr-o funcție scalară care se presupune că este diferențiabilă. Definiție. Gradientul unui câmp scalar » la un punct dat M este un vector notat cu simbolul grad și definit prin egalitate Este clar că acest vector depinde atât de funcția / cât și de punctul M la care se calculează derivata lui. Fie 1 un vector unitar în direcția Atunci formula derivatei direcționale se poate scrie după cum urmează: . astfel, derivata funcției u pe direcția 1 este egală cu produsul scalar al gradientului funcției u(M) și vectorul unitar 1° al direcției I. 2.1. Proprietățile de bază ale gradientului Teorema 1. Gradientul câmpului scalar este perpendicular pe suprafața de nivel (sau pe linia de nivel dacă câmpul este plat). (2) Să desenăm o suprafață de nivel u = const printr-un punct arbitrar M și să alegem o curbă netedă L pe această suprafață care trece prin punctul M (Fig. 4). Fie I un vector tangent la curba L în punctul M. Deoarece pe suprafața de nivel u(M) = u(M|) pentru orice punct Mj ∈ L, atunci Pe de altă parte, = (gradu, 1°) . De aceea. Aceasta înseamnă că vectorii grad și și 1° sunt ortogonali.Astfel, vectorul grad și este ortogonal cu orice tangentă la suprafața de nivel în punctul M. Astfel, este ortogonal cu suprafața de nivel în sine în punctul M. Teorema 2 Gradientul este direcționat în direcția creșterii funcției câmpului. Mai devreme am demonstrat că gradientul câmpului scalar este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, care poate fi orientată fie spre creșterea funcției u(M), fie spre scăderea acesteia. Se notează cu n normala suprafeței de nivel orientată în direcția creșterii funcției ti(M) și se află derivata funcției u în direcția acestei normale (Fig. 5). Avem Deoarece conform condiției din Fig. 5 și deci ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariantă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Rezultă că grad și este direcționat în aceeași direcție cu cea pe care am ales-o normala n, adică în direcția creșterii funcției u(M). Teorema 3. Lungimea gradientului este egală cu cea mai mare derivată în raport cu direcția într-un punct dat al câmpului, (aici, max $ este luat în toate direcțiile posibile de la un punct dat M până la punctul). Avem unde este unghiul dintre vectorii 1 și grad n. Deoarece cea mai mare valoare este Exemplul 1. Aflați direcția celui mai mare imoniu al câmpului scalar în punctul și, de asemenea, magnitudinea acestei schimbări mai mari în punctul specificat. Direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar este indicată de un vector. Avem deci Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a câmpului până la un punct. Valoarea celei mai mari modificări în domeniu în acest moment este 2,2. Definiția invariantă a gradientului Mărimile care caracterizează proprietățile obiectului studiat și nu depind de alegerea sistemului de coordonate se numesc invarianți ai obiectului dat. De exemplu, lungimea unei curbe este un invariant al acestei curbe, dar unghiul tangentei la curbă cu axa x nu este un invariant. Pe baza celor trei proprietăți de mai sus ale gradientului câmpului scalar, putem da următoarea definiție invariantă a gradientului. Definiție. Gradientul de câmp scalar este un vector direcționat de-a lungul normalei la suprafața de nivel în direcția creșterii funcției de câmp și având o lungime egală cu cea mai mare derivată direcțională (la un punct dat). Fie un vector normal unitar îndreptat în direcția câmpului crescător. Apoi Exemplul 2. Găsiți gradientul distanței - un punct fix și M(x,y,z) - cel curent. 4 Avem unde este vectorul direcției unitare. Reguli pentru calcularea gradientului unde c este un număr constant. Formulele de mai sus sunt obținute direct din definiția gradientului și proprietățile derivaților. După regula de diferențiere a produsului Demonstrația este similară cu demonstrația proprietății Fie F(u) o funcție scalară diferențiabilă. Apoi 4 Prin definiția gradientului, avem Aplicați tuturor termenilor din partea dreaptă regula de diferențiere a unei funcții complexe. În special, formula (6) urmează din planul formulei la două puncte fixe ale acestui plan. Luați în considerare o elipsă arbitrară cu focare Fj și F] și demonstrați că orice rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, după reflectarea din elipsă, intră în celălalt focar al acesteia. Liniile de nivel ale funcției (7) sunt ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariantă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Ecuațiile (8) descriu o familie de elipse cu focare în puncte F) și Fj. Conform rezultatului din Exemplul 2, avem și vectori cu rază. trasate la punctul P(x, y) din focarele F| și Fj și, prin urmare, se află pe bisectoarea unghiului dintre acești vectori cu rază (Fig. 6). Conform lui Tooromo 1, gradientul PQ este perpendicular pe elipsa (8) în punct. Prin urmare, Fig.6. normala la elipsa (8) în orice al-lea punct bisectează unghiul dintre vectorii cu rază trasați în acest punct. De aici și din faptul că unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie, obținem: o rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, reflectată din acesta, va cădea cu siguranță în celălalt focar al acestei elipse.