Cum se calculează aria unui paralelipiped. Suprafața laterală a diferitelor piramide

Când se pregătesc pentru examenul de matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Ce să faceți când găsiți zona bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În sarcinile USE de interes pentru școlari, există doar sarcini cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

triunghi dreptunghic

Asta este echilateral. Una în care toate părțile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Cum se procedează la calcularea suprafeței laterale și totale?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:

S \u003d ½ P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să se folosească o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina 1

Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia are o latură de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Pentru un triunghi la bază, se va obține următoarea valoare a ariei: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm2.

Sarcina #2

Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoști suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele de bază și ale fețelor laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Sarcina #3

Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. În el, latura pătratului este de 6 cm și înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este să folosești formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm că este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema dorită (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm2.

Sarcina #4

Condiție. Partea corectă a bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria bazei este calculată folosind formula de mai sus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Rămâne să calculați aria unui astfel de triunghi folosind formula Heron, apoi înmulțiți-o cu șase și adăugați-o la cea care a rezultat pentru baza.

Calcule folosind formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcule care vor da suprafața laterală: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza - 726√3 cm 2, suprafata laterala - 3960 cm 2, intreaga suprafata - 5217 cm 2.

Un cilindru este o figură formată dintr-o suprafață cilindrică și două cercuri dispuse paralel. Calcularea ariei unui cilindru este o problemă în ramura geometrică a matematicii, care se rezolvă destul de simplu. Există mai multe metode de rezolvare, care, ca rezultat, se reduc întotdeauna la o singură formulă.

Cum să găsiți aria unui cilindru - reguli de calcul

• Pentru a afla aria cilindrului, trebuie să adăugați două zone de bază cu aria suprafeței laterale: S \u003d S. + 2 S principal. Într-o versiune mai detaliată, această formulă arată astfel: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Aria suprafeței laterale a unui corp geometric dat poate fi calculată dacă înălțimea acestuia și raza cercului de la baza bazei sunt cunoscute. În acest caz, puteți exprima raza de la circumferință, dacă este dată. Înălțimea poate fi găsită dacă valoarea generatricei este specificată în condiție. În acest caz, generatoarea va fi egală cu înălțimea. Formula pentru suprafața laterală a unui corp dat arată astfel: S= 2 π rh.
• Aria bazei se calculează prin formula pentru găsirea aria unui cerc: S osn= π r 2 . În unele probleme, raza poate să nu fie dată, dar circumferința este dată. Cu această formulă, raza este exprimată destul de ușor. С=2π r, r= С/2π. De asemenea, trebuie amintit că raza este jumătate din diametru.
• Atunci când efectuați toate aceste calcule, numărul π nu este de obicei tradus în 3,14159 ... Trebuie doar să îl adăugați lângă valoarea numerică care a fost obținută ca rezultat al calculelor.
• În plus, este necesar doar să înmulțiți suprafața găsită a bazei cu 2 și să adăugați la numărul rezultat aria calculată a suprafeței laterale a figurii.
• Dacă problema indică faptul că cilindrul are o secțiune axială și acesta este un dreptunghi, atunci soluția va fi ușor diferită. În acest caz, lățimea dreptunghiului va fi diametrul cercului care se află la baza corpului. Lungimea figurii va fi egală cu generatoarea sau înălțimea cilindrului. Este necesar să se calculeze valorile dorite și să se înlocuiască într-o formulă deja cunoscută. În acest caz, lățimea dreptunghiului trebuie împărțită la două pentru a găsi aria bazei. Pentru a găsi suprafața laterală, lungimea se înmulțește cu două raze și cu numărul π.
• Puteți calcula aria unui corp geometric dat prin volumul său. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivați valoarea lipsă din formula V=π r 2 h.
• Nu este nimic dificil în calcularea ariei unui cilindru. Trebuie doar să cunoști formulele și să poți deduce din ele cantitățile necesare calculelor.

Suprafața piramidei. În acest articol, vom lua în considerare cu tine problemele cu piramidele obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc că o piramidă obișnuită este o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, vârful piramidei este proiectat în centrul acestui poligon.

Fața laterală a unei astfel de piramide este un triunghi isoscel.Înălțimea acestui triunghi, desenată din vârful unei piramide obișnuite, se numește apotem, SF este o apotem:

În tipul de probleme prezentate mai jos, este necesar să se găsească suprafața întregii piramide sau zona suprafeței sale laterale. Blogul a luat deja în considerare câteva probleme cu piramidele obișnuite, unde s-a pus întrebarea despre găsirea elementelor (înălțime, marginea bazei, marginea laterală), .

În sarcinile examenului, de regulă, sunt luate în considerare piramidele regulate triunghiulare, patrulatere și hexagonale. Nu am văzut probleme cu piramidele pentagonale și heptagonale regulate.

Formula pentru suprafața întregii suprafețe este simplă - trebuie să găsiți suma ariei bazei piramidei și a suprafeței sale laterale:

Luați în considerare sarcinile:

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 72, marginile laterale sunt 164. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

Aria suprafeței piramidei este egală cu suma ariilor suprafeței laterale și ale bazei:

*Suprafața laterală este formată din patru triunghiuri de suprafață egală. Baza piramidei este un pătrat.

Aria laturii piramidei poate fi calculată folosind:

Astfel, aria suprafeței piramidei este:

Răspuns: 28224

Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt 22, marginile laterale sunt 61. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Baza unei piramide hexagonale regulate este un hexagon regulat.

Suprafața laterală a acestei piramide este formată din șase zone de triunghiuri egale cu laturile 61,61 și 22:

Găsiți aria unui triunghi folosind formula lui Heron:

Deci aria suprafeței laterale este:

Răspuns: 3240

*În problemele prezentate mai sus, zona feței laterale poate fi găsită folosind o formulă diferită a triunghiului, dar pentru aceasta trebuie să calculați apotema.

27155. Aflați aria suprafeței unei piramide patruunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt 6 și a cărei înălțime este 4.

Pentru a găsi suprafața unei piramide, trebuie să cunoaștem aria bazei și aria suprafeței laterale:

Aria bazei este de 36, deoarece este un pătrat cu latura de 6.

Suprafața laterală este formată din patru fețe, care sunt triunghiuri egale. Pentru a găsi aria unui astfel de triunghi, trebuie să-i cunoașteți baza și înălțimea (apotema):

* Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimea trasă la această bază.

Baza este cunoscută, este egală cu șase. Să găsim înălțimea. Luați în considerare un triunghi dreptunghic (evidențiat cu galben):

Un picior este egal cu 4, deoarece aceasta este înălțimea piramidei, celălalt este egal cu 3, deoarece este egal cu jumătate din marginea bazei. Putem găsi ipotenuza folosind teorema lui Pitagora:

Deci aria suprafeței laterale a piramidei este:

Astfel, suprafața întregii piramide este:

Raspuns: 96

27069. Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 10, marginile laterale sunt 13. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

27070. Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt 10, marginile laterale sunt 13. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Există, de asemenea, formule pentru suprafața laterală a unei piramide obișnuite. Într-o piramidă obișnuită, baza este o proiecție ortogonală a suprafeței laterale, prin urmare:

P- perimetrul bazei, l- apotema piramidei

*Această formulă se bazează pe formula pentru aria unui triunghi.

Dacă doriți să aflați mai multe despre cum sunt derivate aceste formule, nu o ratați, urmați publicarea articolelor.Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Un cilindru este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol, vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme, de exemplu.

Un cilindru are trei suprafețe: o suprafață de sus, una de jos și o suprafață laterală.

Partea superioară și inferioară a cilindrului sunt cercuri și sunt ușor de identificat.

Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2 . Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (sus și jos a cilindrului) va arăta ca πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că un cilindru este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior și fund. Să facem o incizie verticală pe peretele lateral de sus până jos al borcanului (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).

După dezvăluirea completă a borcanului rezultat, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru un moment la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința unui cerc se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.

Când peretele lateral al cilindrului este complet extins, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui cilindru.

Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru
partea S = 2prh

Suprafața completă a unui cilindru

În cele din urmă, dacă adunăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr (r + h).

Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului

Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru

Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.

1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.

Suprafața totală se calculează cu formula: partea S. = 2prh

partea S = 2 * 3,14 * 2 * 3

partea S = 6,28 * 6

partea S = 37,68

Suprafața laterală a cilindrului este de 37,68.

2. Cum să găsiți suprafața unui cilindru dacă înălțimea este 4 și raza este 6?

Suprafața totală se calculează prin formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Aceasta este o figură poliedrică, la baza căreia se află un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramidă patruunghiular, dacă triunghiul este triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema este înălțimea feței laterale coborâte de la vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma suprafețelor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este folosită foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și al apotema:

Luați în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm.Apotema a = 5 cm.Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate fețele bazei sunt egale, atunci perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi zona laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară obișnuită constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare obișnuite poate fi calculată în multe moduri. Puteți aplica formula obișnuită de calcul prin perimetru și apotema sau puteți găsi aria feței osoase și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața piramidei este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Luați în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.

Având în vedere o piramidă cu o apotema a = 4 cm și o față de bază b = 2 cm. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile din formula:
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv:

Aria piramidei trunchiate

Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema: