Exemple de determinanți de ordinul al patrulea cu soluție. Calculul determinantului

Formularea problemei

Sarcina necesită ca utilizatorul să se familiarizeze cu conceptele de bază ale metodelor numerice, cum ar fi matricea determinantă și inversă, și cu diferitele modalități de calculare a acestora. Acest raport teoretic introduce mai întâi conceptele și definițiile de bază într-un limbaj simplu și accesibil, pe baza căruia se efectuează cercetări ulterioare. Este posibil ca utilizatorul să nu aibă cunoștințe speciale în domeniul metodelor numerice și algebrei liniare, dar poate utiliza cu ușurință rezultatele acestei lucrări. Pentru claritate, este dat un program de calcul al determinantului unei matrice folosind mai multe metode, scris în limbajul de programare C++. Programul este folosit ca stand de laborator pentru crearea de ilustrații pentru raport. De asemenea, este în curs de desfășurare un studiu al metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Inutilitatea calculării matricei inverse este dovedită, astfel încât lucrarea oferă modalități mai optime de a rezolva ecuații fără a le calcula. Acesta explică de ce există atât de multe metode diferite pentru calcularea determinanților și a matricelor inverse și discută deficiențele acestora. Sunt de asemenea luate în considerare erorile în calcularea determinantului și se evaluează acuratețea obținută. Pe lângă termenii ruși, lucrarea folosește și echivalentele lor în engleză pentru a înțelege sub ce nume să caute proceduri numerice în biblioteci și ce înseamnă parametrii acestora.

Definiții de bază și cele mai simple proprietăți

Determinant

Să introducem definiția determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Această definiție va fi recurent, adică pentru a stabili care este determinantul matricei de ordine, trebuie să știți deja care este determinantul matricei de ordine. Rețineți, de asemenea, că determinantul există numai pentru matrice pătrată.

Vom nota determinantul unei matrice pătrate cu sau det.

Definiția 1. Determinant matrice pătrată se numește numărul de ordine al doilea .

Determinant matricea pătrată de ordin, se numește număr

unde este determinantul matricei de ordine obtinut din matrice prin stergerea primului rand si coloana cu numarul .

Pentru claritate, haideți să scriem cum puteți calcula determinantul unei matrice de ordinul al patrulea:

Cometariu. Calculul propriu-zis al determinanților pentru matricele de peste ordinul trei pe baza definiției este utilizat în cazuri excepționale. De obicei, calculul se realizează folosind alți algoritmi, care vor fi discutați mai târziu și care necesită mai puțină muncă de calcul.

Cometariu.În Definiția 1, ar fi mai corect să spunem că determinantul este o funcție definită pe mulțimea matricelor pătrate de ordine și luând valori în mulțimea numerelor.

Cometariu.În literatură, în locul termenului „determinant”, se folosește și termenul „determinant”, care are același sens. Din cuvântul „determinant” a apărut denumirea det.

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale determinanților, pe care le vom formula sub formă de enunțuri.

Afirmația 1. La transpunerea unei matrice, determinantul nu se modifică, adică .

Afirmația 2. Determinantul produsului matricelor pătrate este egal cu produsul determinanților factorilor, adică.

Afirmația 3. Dacă două rânduri dintr-o matrice sunt schimbate, determinantul său își va schimba semnul.

Afirmația 4. Dacă o matrice are două rânduri identice, atunci determinantul ei este zero.

În viitor, va trebui să adăugăm șiruri și să înmulțim un șir cu un număr. Vom efectua aceste acțiuni pe rânduri (coloane) în același mod ca și acțiunile pe matrice de rând (matrice de coloană), adică element cu element. Rezultatul va fi un rând (coloană), care, de regulă, nu coincide cu rândurile matricei originale. Dacă există operații de adunare de rânduri (coloane) și de înmulțire a acestora cu un număr, se poate vorbi și de combinații liniare de rânduri (coloane), adică de sume cu coeficienți numerici.

Afirmația 5. Dacă un rând al unei matrice este înmulțit cu un număr, atunci determinantul său va fi înmulțit cu acest număr.

Afirmația 6. Dacă o matrice conține un rând zero, atunci determinantul ei este zero.

Afirmația 7. Dacă unul dintre rândurile matricei este egal cu altul, înmulțit cu un număr (rândurile sunt proporționale), atunci determinantul matricei este egal cu zero.

Afirmația 8. Fie al-lea rând din matrice să aibă forma . Apoi, unde matricea se obține din matrice prin înlocuirea rândului i cu rândul, iar matricea se obține prin înlocuirea rândului i cu rândul.

Afirmația 9. Dacă adăugați un alt rând la unul dintre rândurile matricei, înmulțit cu un număr, atunci determinantul matricei nu se va modifica.

Afirmația 10. Dacă unul dintre rândurile unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri ale sale, atunci determinantul matricei este egal cu zero.

Definiția 2. Complement algebric unui element de matrice este un număr egal cu , unde este determinantul matricei obținut din matrice prin ștergerea rândului i și coloanei j. Complementul algebric al unui element de matrice se notează cu .

Exemplu. Lăsa . Apoi

Cometariu. Folosind adunări algebrice, definiția unui determinant poate fi scrisă după cum urmează:

Afirmația 11. Extinderea determinantului într-un șir arbitrar.

Formula pentru determinantul matricei este

Exemplu. calculati .

Soluţie. Să folosim expansiunea de-a lungul celei de-a treia linii, aceasta este mai profitabilă, deoarece în a treia linie două dintre cele trei numere sunt zerouri. Primim

Afirmația 12. Pentru o matrice pătrată de ordinul la, relația este valabilă: .

Afirmația 13. Toate proprietățile determinantului formulat pentru rânduri (propozițiile 1 - 11) sunt valabile și pentru coloane, în special, descompunerea determinantului în coloana j-a este valabilă și egalitate la .

Afirmația 14. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale.

Consecinţă. Determinantul matricei de identitate este egal cu unu, .

Concluzie. Proprietățile enumerate mai sus fac posibilă găsirea determinanților matricilor de ordine suficient de mare cu o cantitate relativ mică de calcule. Algoritmul de calcul este următorul.

Algoritm pentru crearea zerourilor într-o coloană. Să presupunem că trebuie să calculăm determinantul de ordine. Dacă , atunci schimbați prima linie și orice altă linie în care primul element nu este zero. Ca urmare, determinantul , va fi egal cu determinantul noii matrice cu semnul opus. Dacă primul element al fiecărui rând este egal cu zero, atunci matricea are o coloană zero și, conform afirmațiilor 1, 13, determinantul său este egal cu zero.

Deci, credem că deja în matricea originală. Lăsăm prima linie neschimbată. Adaugă la a doua linie prima linie înmulțită cu numărul . Atunci primul element al celei de-a doua linii va fi egal cu .

Notăm elementele rămase ale noului al doilea rând cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu . Înmulțiți prima linie cu un număr și adăugați-o la a treia. Primul element al noii trei linii va fi egal cu

Notăm elementele rămase ale noului al treilea rând cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu .

Vom continua procesul de obținere a zerourilor în locul primelor elemente de linii. În cele din urmă, înmulțiți prima linie cu un număr și adăugați-o la ultima linie. Rezultatul este o matrice, să o notăm, care are forma

și . Pentru a calcula determinantul matricei, folosim expansiunea în prima coloană

De atunci

În partea dreaptă se află determinantul matricei de ordine. Îi aplicăm același algoritm, iar calcularea determinantului matricei se va reduce la calcularea determinantului matricei de ordine. Repetăm ​​procesul până ajungem la determinantul de ordinul doi, care se calculează prin definiție.

Dacă matricea nu are proprietăți specifice, atunci nu este posibil să se reducă semnificativ cantitatea de calcule în comparație cu algoritmul propus. Un alt aspect bun al acestui algoritm este că este ușor de utilizat pentru a crea un program de calculator pentru calcularea determinanților matricilor de ordine mari. Programele standard pentru calcularea determinanților folosesc acest algoritm cu modificări minore legate de minimizarea influenței erorilor de rotunjire și a erorilor datelor de intrare în calculele computerizate.

Exemplu. Calculați determinantul matricei .

Soluţie. Lăsăm prima linie neschimbată. La a doua linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. La a patra linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:

Determinantul nu se schimbă. Ca rezultat obținem

Folosind același algoritm, calculăm determinantul matricei de ordinul 3, situată în dreapta. Lăsăm prima linie neschimbată, adăugăm prima linie înmulțită cu numărul la a doua linie :

La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul :

Ca rezultat obținem

Răspuns. .

Cometariu. Deși s-au folosit fracții în calcule, rezultatul s-a dovedit a fi un număr întreg. Într-adevăr, folosind proprietățile determinanților și faptul că numerele originale sunt numere întregi, operațiile cu fracții ar putea fi evitate. Dar în practica ingineriei, numerele sunt extrem de rar numere întregi. Prin urmare, de regulă, elementele determinantului vor fi fracții zecimale și este nepotrivit să folosiți orice truc pentru a simplifica calculele.

matrice inversă

Definiția 3. Matricea se numește matrice inversă pentru o matrice pătrată, dacă .

Din definiție rezultă că matricea inversă va fi o matrice pătrată de același ordin ca și matricea (altfel unul dintre produse sau nu ar fi definit).

Inversul unei matrice este notat cu . Astfel, dacă există, atunci.

Din definiția unei matrice inversă rezultă că matricea este inversul matricei, adică . Despre matrice putem spune că sunt inverse între ele sau reciproc inverse.

Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci inversul său nu există.

Deoarece pentru a găsi matricea inversă este important dacă determinantul matricei este egal cu zero sau nu, introducem următoarele definiții.

Definiția 4. Să numim matrice pătrată degenerat sau matrice specială, dacă nedegenerat sau matrice nesingulară, Dacă .

Afirmație. Dacă matricea inversă există, atunci este unică.

Afirmație. Dacă o matrice pătrată este nesingulară, atunci inversul ei există și (1) unde sunt complemente algebrice ale elementelor.

Teorema. O matrice inversă pentru o matrice pătrată există dacă și numai dacă matricea este nesingulară, matricea inversă este unică și formula (1) este valabilă.

Cometariu. O atenție deosebită trebuie acordată locurilor ocupate de adunări algebrice în formula matriceală inversă: primul indice arată numărul coloană, iar al doilea este numărul linii, în care trebuie să scrieți adunarea algebrică calculată.

Exemplu. .

Soluţie. Găsirea determinantului

Deoarece , atunci matricea este nedegenerată, iar inversul său există. Găsirea complementelor algebrice:

Compunem matricea inversă, plasând adunările algebrice găsite astfel încât primul indice să corespundă coloanei, iar al doilea rândului: (2)

Matricea rezultată (2) servește drept răspuns la problemă.

Cometariu.În exemplul anterior, ar fi mai corect să scrieți răspunsul astfel:
(3)

Cu toate acestea, notația (2) este mai compactă și este mai convenabil să efectuați calcule suplimentare cu ea, dacă este necesar. Prin urmare, scrierea răspunsului în forma (2) este de preferat dacă elementele matricei sunt numere întregi. Și invers, dacă elementele matricei sunt fracții zecimale, atunci este mai bine să scrieți matricea inversă fără un factor în față.

Cometariu. Când găsiți matricea inversă, trebuie să efectuați destul de multe calcule, iar regula pentru aranjarea adunărilor algebrice în matricea finală este neobișnuită. Prin urmare, există o mare probabilitate de eroare. Pentru a evita erorile, ar trebui să verificați: calculați produsul matricei originale și matricei finale într-o ordine sau alta. Dacă rezultatul este o matrice de identitate, atunci matricea inversă a fost găsită corect. În caz contrar, trebuie să căutați o eroare.

Exemplu. Aflați inversul unei matrice .

Soluţie. - există.

Răspuns: .

Concluzie. Găsirea matricei inverse folosind formula (1) necesită prea multe calcule. Pentru matrice de ordinul al patrulea și mai mare, acest lucru este inacceptabil. Algoritmul real pentru găsirea matricei inverse va fi dat mai târziu.

Calculul determinantului și al matricei inverse folosind metoda Gaussiană

Metoda Gaussiană poate fi utilizată pentru a găsi determinantul și matricea inversă.

Și anume, determinantul matricei este egal cu det.

Matricea inversă se găsește prin rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda de eliminare gaussiană:

Unde este j-a coloană a matricei de identitate, este vectorul dorit.

Vectorii soluție rezultați formează în mod evident coloane ale matricei, deoarece .

Formule pentru determinant

1. Dacă matricea este nesingulară, atunci și (produsul elementelor conducătoare).

Metode de calcul a acestora

Definiție. Expresie

se numește determinant de ordinul al patrulea. Acest determinant poate fi scris astfel:

unde este minorul elementului la intersecția rândului i și coloanei j și este complementul algebric al acestui element.

Formula (6) poate fi scrisă folosind pictograma de însumare:

, (7)

unde i=1,2,3,4.

Formula (7) se numește expansiunea determinantului în elemente

i-a linie. De asemenea, putem scrie expansiunea determinantului în elementele coloanei j-a:

(8)

unde j=1,2,3,4.

Metoda de reducere a ordinii unui determinant se bazează pe transformarea tuturor elementelor, cu excepția unuia, dintr-un rând sau coloană a determinantului la zero, folosind proprietățile determinanților.

Exemplul 11. Calculați determinant

.

Soluţie. Să adăugăm elementele primei linii la elementele celei de-a doua linie:

.

Înmulțim elementele primei linii cu (-2) și le adăugăm la elementele celei de-a treia linii:

.

Înmulțim elementele primei linii cu (-1) și le adăugăm la elementele celei de-a patra linii:

.

Să extindem determinantul rezultat în elementele primei coloane

Să rearanjam primele două rânduri, iar semnul determinantului se va schimba în opus; în același timp, vom lua factorul comun al celor 3 elemente din a treia coloană dincolo de semnul determinantului:

.

Înmulțiți elementele primei linii cu (-2) și adăugați elementele din a doua linie:

.

Extindem determinantul rezultat în elementele celui de-al doilea rând

Exemplul 12. Calculați determinant .

Soluţie. Să schimbăm prima și a doua linie și, conform proprietății 2, semnul determinantului se va schimba în opus:

.

În primul rând, înmulțim elementele primei linii cu (-2) și le adăugăm la elementele celei de-a doua și a patra linie, apoi înmulțim elementele primei linii cu (-3) și le adăugăm la elementele din prima linie. a treia linie, obținem:

.

Adăugăm elementele din a doua linie la elementele din a patra linie:

.

Înmulțim elementele celei de-a treia linii cu (-1) și le adăugăm la elementele celei de-a patra linii:

.

Obținem un determinant triunghiular a cărui valoare este egală cu produsul elementelor diagonalei principale.

Exemplul 13. Calculați determinant

.

Soluţie. Să extindem determinantul în elementele celui de-al treilea rând

Calculăm determinanții de ordinul trei rezultați folosind regula triunghiului

Sarcini pentru soluție independentă.

1.Calculați determinanții:

2. Rezolvați ecuațiile:

3. Rezolvați inegalitățile:

4. Calculați determinanții:

Raspunsuri: 1. a)7; b)26; c)0; d)0; e)30. 2 . a)5; b)2; la 2;

G) 3 . A) b) V) d)[-1;7]. 4 . a) -24; b) -40; la 9; d)57; e) -5; e)1; g)1; h)55; i)30; j)48; l)0; m)-1004; n)150.

Matrici

Noțiuni de bază

Definiție. O matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține m rânduri de aceeași lungime și n coloane de aceeași lungime, care este scris sub forma

(9)

sau, pe scurt, , Unde , (adică ) - Numărul de linie, (acestea. ) – numărul coloanei, numerele se numesc elemente de matrice. Matricea se numește matricea mărimii și este scrisă. De exemplu. , .

Definiție. Două matrice Și sunt egale între ele dacă dimensiunile lor coincid și elementele corespunzătoare sunt egale, adică , Dacă , Unde .

De exemplu. Deoarece dimensiunile matricelor coincid și elementele corespunzătoare sunt egale, prin urmare matricele sunt egale, i.e.

Definiție. O matrice în care numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane se numește pătrat. O matrice pătrată de dimensiune se numește matrice de ordin al n-lea.

De exemplu. acestea. este dată o matrice de ordinul doi.

Definiție. O matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero, se numește diagonală.

Matrice - diagonala.

Definiție. O matrice diagonală în care fiecare element al diagonalei principale este egal cu unu se numește identitate. Indicat prin litera .

sau .

Definiție. O matrice pătrată se numește triunghiulară dacă toate elementele situate deasupra diagonalei principale (sau sub diagonala principală) sunt egale cu zero.

sau - matrici triunghiulare.

O caracteristică importantă a unei matrice pătrate de ordinul n este determinantul (sau determinantul), care este notat cu sau. .

Definiție. O matrice pătrată al cărei determinant este diferit de zero, adică , se numește nedegenerat. În caz contrar, matricea se numește singular.

De exemplu,

Matrice A- degenerat.

Matrice ÎN– nedegenerate.

Definiție. O matrice ale cărei elemente sunt toate egale cu zero se numește zero și se notează cu litera O.

În calculul matriceal, matricele O și E joacă rolul numerelor 0 și 1 în aritmetică.

Definiție. O matrice care conține un rând se numește matrice de rând

O matrice de dimensiune , constând dintr-un număr, este identificată cu acest număr, adică sunt 3.

Definiție. O matrice obtinuta dintr-una data prin inlocuirea fiecaruia dintre randurile sale cu o coloana cu acelasi numar se numeste matrice transpusa la cea data. Notat cu .

Dacă , Acea , Dacă , Acea .

O matrice transpusă are următoarea proprietate: .

La rezolvarea problemelor de matematică superioară apare foarte des nevoia calculați determinantul unei matrice. Determinantul unei matrice apare în algebra liniară, geometria analitică, analiza matematică și alte ramuri ale matematicii superioare. Astfel, este pur și simplu imposibil să faci fără priceperea de a rezolva determinanți. De asemenea, pentru autotestare, puteți descărca gratuit un calculator de determinanți; acesta nu vă va învăța cum să rezolvați determinanții de la sine, dar este foarte convenabil, deoarece este întotdeauna benefic să cunoașteți răspunsul corect în avans!

Nu voi da o definiție matematică strictă a determinantului și, în general, voi încerca să minimizez terminologia matematică; acest lucru nu va ușura cu nimic pentru majoritatea cititorilor. Scopul acestui articol este să vă învețe cum să rezolvați determinanții de ordinul al doilea, al treilea și al patrulea. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă și chiar și un ceainic plin (gol) la matematică superioară, după ce a studiat cu atenție materialul, va putea rezolva corect determinanții.

În practică, cel mai adesea puteți găsi un determinant de ordinul doi, de exemplu: și un determinant de ordinul trei, de exemplu: .

Determinant de ordinul al patrulea De asemenea, nu este o antichitate și vom ajunge la el la sfârșitul lecției.

Sper ca toata lumea sa inteleaga urmatoarele: Numerele din interiorul determinantului trăiesc de la sine și nu se pune problema vreunei scăderi! Numerele nu pot fi schimbate!

(În special, este posibil să se efectueze rearanjamente perechi ale rândurilor sau coloanelor unui determinant cu o schimbare a semnului său, dar adesea acest lucru nu este necesar - vezi lecția următoare Proprietățile determinantului și scăderea ordinii sale)

Astfel, dacă este dat vreun determinant, atunci Nu atingem nimic în interiorul ei!

Denumiri: Dacă i se oferă o matrice , atunci se notează determinantul său . De asemenea, foarte des determinantul este notat printr-o literă latină sau greacă.

1)Ce înseamnă a rezolva (găsește, dezvălui) un determinant? A calcula determinantul înseamnă a GĂSI NUMĂRUL. Semnele de întrebare din exemplele de mai sus sunt numere complet obișnuite.

2) Acum rămâne de dat seama CUM să găsesc acest număr? Pentru a face acest lucru, trebuie să aplicați anumite reguli, formule și algoritmi, care vor fi discutate acum.

Să începem cu determinantul „doi” cu „doi”:

ACEST TREBUIE ȚINUT, cel puțin în timp ce studiezi matematica superioară la o universitate.

Să ne uităm imediat la un exemplu:

Gata. Cel mai important lucru este SA NU TE CONFUZI IN SEMNE.

Determinant al unei matrice de trei câte trei poate fi deschis în 8 moduri, 2 dintre ele sunt simple și 6 sunt normale.

Să începem cu două moduri simple

Similar cu determinantul doi câte doi, determinantul trei câte trei poate fi extins folosind formula:

Formula este lungă și este ușor să faci o greșeală din cauza neatenției. Cum să eviți greșelile enervante? În acest scop, a fost inventată o a doua metodă de calcul a determinantului, care de fapt coincide cu prima. Se numește metoda Sarrus sau metoda „fâșiilor paralele”.
Linia de jos este aceea că, în dreapta determinantului, atribuiți prima și a doua coloană și trageți cu atenție linii cu un creion:

Multiplicatorii localizați pe diagonalele „roșii” sunt incluși în formulă cu semnul „plus”.
Multiplicatorii situati pe diagonalele „albastre” sunt inclusi in formula cu semnul minus:

Exemplu:

Comparați cele două soluții. Este ușor de observat că acesta este același lucru, doar în al doilea caz factorii de formulă sunt ușor rearanjați și, cel mai important, probabilitatea de a face o greșeală este mult mai mică.

Acum să ne uităm la cele șase moduri normale de a calcula determinantul

De ce normal? Pentru că în marea majoritate a cazurilor, calificativele trebuie dezvăluite în acest fel.

După cum ați observat, determinantul de trei câte trei are trei coloane și trei rânduri.
Puteți rezolva determinantul deschizându-l după orice rând sau după orice coloană.
Astfel, există 6 metode, în toate cazurile folosind acelasi tip algoritm.

Determinantul matricei este egal cu suma produselor elementelor rândului (coloanei) prin complementele algebrice corespunzătoare. Infricosator? Totul este mult mai simplu; vom folosi o abordare non-științifică, dar ușor de înțeles, accesibilă chiar și unei persoane departe de matematică.

În exemplul următor vom extinde determinantul pe prima linie.
Pentru aceasta avem nevoie de o matrice de semne: . Este ușor de observat că semnele sunt aranjate într-un model de șah.

Atenţie! Matricea semnelor este propria mea invenție. Acest concept nu este științific, nu trebuie utilizat în proiectarea finală a sarcinilor, ci doar vă ajută să înțelegeți algoritmul de calcul al determinantului.

Voi da mai întâi soluția completă. Luăm din nou determinantul nostru experimental și efectuăm calculele:

Și întrebarea principală: CUM să obțineți acest lucru din determinantul „trei cu trei”:
?

Deci, determinantul „trei cu trei” se rezumă la rezolvarea a trei determinanți mici, sau așa cum se mai numesc, MINOROV. Vă recomand să vă amintiți termenul, mai ales că este memorabil: minor – mic.

Odată aleasă metoda de descompunere a determinantului pe prima linie, este evident că totul se învârte în jurul ei:

Elementele sunt de obicei vizualizate de la stânga la dreapta (sau de sus în jos dacă a fost selectată o coloană)

Să mergem, mai întâi ne ocupăm de primul element al liniei, adică de unul:

1) Din matricea de semne scriem semnul corespunzător:

2) Apoi scriem elementul în sine:

3) Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care apare primul element:

Cele patru numere rămase formează determinantul „două câte doi”, care se numește MINOR a unui element (unitate) dat.

Să trecem la al doilea element al liniei.

4) Din matricea de semne scriem semnul corespunzător:

5) Apoi scrieți al doilea element:

6) Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care apare al doilea element:

Ei bine, al treilea element din prima linie. Fără originalitate:

7) Din matricea de semne scriem semnul corespunzător:

8) Notați al treilea element:

9) Trimiteți MENTAL rândul și coloana care conține al treilea element:

Scriem cele patru numere rămase într-un mic determinant.

Acțiunile rămase nu prezintă dificultăți, deoarece știm deja să numărăm determinanții doi câte doi. NU TE CONFUZI IN SEMNE!

În mod similar, determinantul poate fi extins pe orice rând sau în orice coloană. Desigur, în toate cele șase cazuri răspunsul este același.

Determinantul patru pe patru poate fi calculat folosind același algoritm.
În acest caz, matricea noastră de semne va crește:

În exemplul următor am extins determinantul conform coloanei a patra:

Cum s-a întâmplat, încercați să vă dați seama singur. Mai multe informații vor veni mai târziu. Dacă cineva dorește să rezolve determinantul până la capăt, răspunsul corect este: 18. Pentru practică, este mai bine să rezolve determinantul printr-o altă coloană sau alt rând.

Exersarea, descoperirea, efectuarea de calcule este foarte bine și util. Dar cât timp vei petrece pentru marea calificare? Nu există o modalitate mai rapidă și mai fiabilă? Vă sugerez să vă familiarizați cu metode eficiente de calculare a determinanților în a doua lecție - Proprietățile unui determinant. Reducerea ordinii determinantului.

ATENȚIE!

Al doilea ordin este un număr egal cu diferența dintre produsul numerelor care formează diagonala principală și produsul numerelor de pe diagonala secundară; puteți găsi următoarea notație pentru determinant: ; ; ; detA(determinant).

.

Exemplu:
.

Determinant al unei matrice de ordinul trei este un număr sau o expresie matematică calculată conform următoarei reguli

Cea mai simplă modalitate de a calcula determinantul de ordinul trei este să adăugați primele două linii sub determinant.

În tabelul de numere rezultat, elementele situate pe diagonala principală și pe diagonalele paralele cu cea principală sunt înmulțite, semnul rezultatului produsului nu se modifică. Următoarea etapă a calculelor este o înmulțire similară a elementelor situate pe diagonala laterală și a celor paralele cu aceasta. Semnele rezultatelor produsului sunt inversate. Apoi adunăm cei șase termeni rezultați.

Exemplu:

Descompunerea unui determinant în elemente dintr-un anumit rând (coloană).

Minor M ij element şi ij matrice pătrată A este un determinant alcătuit din elemente de matrice A, rămânând după ștergere eu- oh linii și j a coloana.

De exemplu, minor la element un 21 matrici de ordinul trei
va fi un determinant
.

Vom spune că elementul şi ij ocupă un loc uniform dacă i+j(suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora se află acest element) - număr par, loc impar, dacă i+j- numar impar.

Complement algebric A ij element şi ij matrice pătrată A numită expresie (sau valoarea minorului corespunzător, luată cu semnul „+” dacă elementul matricei ocupă o poziție pară și cu semnul „-” dacă elementul ocupă o poziție impară).

Exemplu:

un 23= 4;

- complement algebric al unui element un 22= 1.

teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui anumit rând (coloană) și a complementelor algebrice corespunzătoare.

Să ilustrăm cu exemplul unui determinant de ordinul trei. Puteți calcula determinantul de ordinul al treilea extinzând pe primul rând după cum urmează:

În mod similar, puteți calcula determinantul de ordinul trei prin extinderea pe orice rând sau coloană. Este convenabil să extindeți determinantul de-a lungul rândului (sau coloanei) care conține mai multe zerouri.

Exemplu:

Astfel, calculul determinantului de ordinul 3 se reduce la calculul a 3 determinanți de ordinul doi. În general, puteți calcula determinantul unei matrice pătrate n-a ordinul, reducându-l la calcul n determinanti ( n-1)-a ordine

Cometariu. Nu există metode simple de calculare a determinanților de ordin superior similare cu metodele de calculare a determinanților de ordinul 2 și 3. Prin urmare, pentru a calcula determinanții de peste ordinul al treilea, se poate folosi doar metoda expansiunii.

Exemplu. Calculați determinantul de ordinul al patrulea.

Să extindem determinantul în elementele celui de-al treilea rând

Proprietățile determinanților:

1. Determinantul nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane și invers.

2. La rearanjarea a două rânduri (coloane) adiacente, determinantul își schimbă semnul în cel opus.

3. Un determinant cu două rânduri (coloane) identice este egal cu 0.

4. Factorul comun al tuturor elementelor unui anumit rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

5. Determinantul nu se va schimba dacă elementele corespunzătoare ale oricărei alte coloane (rând) sunt adăugate elementelor uneia dintre coloanele (rândurile) ale acesteia, înmulțite cu un anumit număr.

Conceptul de determinant este unul dintre cele mai importante în cursul algebrei liniare. Acest concept este inerent NUMAI MATRICILOR PĂTRATE, iar acest articol este dedicat acestui concept. Aici vom vorbi despre determinanții matricilor ale căror elemente sunt numere reale (sau complexe). În acest caz, determinantul este un număr real (sau complex). Toate prezentările ulterioare vor fi un răspuns la întrebările despre cum se calculează determinantul și ce proprietăți are acesta.

În primul rând, dăm definiția determinantului unei matrici pătrate de ordin n cu n ca sumă a produselor permutărilor elementelor matricei. Pe baza acestei definiții, vom scrie formule pentru calcularea determinanților matricelor de ordinul întâi, al doilea și al treilea și vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

În continuare, trecem la proprietățile determinantului, pe care le vom formula sub formă de teoreme fără demonstrație. Aici vom obține o metodă de calculare a determinantului prin extinderea acestuia în elementele unui rând sau coloană. Această metodă vă permite să reduceți calculul determinantului unei matrice de ordin n cu n la calculul determinanților matricelor de ordin 3 cu 3 sau mai puțin. Cu siguranță vom arăta soluții la mai multe exemple.

În concluzie, ne vom concentra pe calcularea determinantului folosind metoda Gaussiană. Această metodă este bună pentru găsirea valorilor determinanților matricelor de ordin mai mari de 3 cu 3, deoarece necesită mai puțin efort de calcul. Ne vom uita și la soluțiile exemplelor.

Navigare în pagină.

Determinarea determinantului unei matrice, calculul determinantului unei matrice prin definiție.

Să ne amintim câteva concepte auxiliare.

Definiție.

Permutarea ordinului n Se numește un set ordonat de numere format din n elemente.

Pentru o mulțime care conține n elemente, există n! (n factoriale) permutări de ordin n. Permutările diferă unele de altele doar în ordinea în care apar elementele.

De exemplu, să considerăm o mulțime formată din trei numere: . Să notăm toate permutările (sunt șase în total, deoarece ):

Definiție.

Prin inversare într-o permutare a ordinului n Se numește orice pereche de indici p și q pentru care al-lea element al permutării este mai mare decât al-lea.

În exemplul anterior, inversul permutației 4, 9, 7 este perechea p=2, q=3, deoarece al doilea element al permutației este egal cu 9 și este mai mare decât al treilea, egal cu 7. Inversarea permutației 9, 7, 4 va fi de trei perechi: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) și p=2, q=3 (7>4).

Vom fi mai interesați de numărul de inversiuni în permutare, decât de inversarea în sine.

Fie o matrice pătrată de ordin n de n peste câmpul numerelor reale (sau complexe). Fie mulțimea tuturor permutărilor de ordin n ale mulțimii. Setul contine n! permutări. Să notăm k-a permutare a mulțimii ca , iar numărul de inversiuni din k-a permutare ca .

Definiție.

Determinant de matriceȘi există un număr egal cu .

Să descriem această formulă în cuvinte. Determinantul unei matrici pătrate de ordin n de n este suma care conține n! termeni. Fiecare termen este un produs al n elemente ale matricei și fiecare produs conține un element din fiecare rând și din fiecare coloană a matricei A. Un coeficient (-1) apare înaintea k-lea termen dacă elementele matricei A din produs sunt ordonate după numărul de rând, iar numărul de inversiuni în k-a permutare a mulțimii de numere de coloane este impar.

Determinantul matricei A este de obicei notat ca și det(A) este, de asemenea, utilizat. De asemenea, puteți auzi determinantul numit determinant.

Asa de, .

Din aceasta, este clar că determinantul unei matrice de ordinul întâi este elementul acestei matrice.

Calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul doi - formulă și exemplu.

cam 2 pe 2 in general.

În acest caz n=2 , deci n!=2!=2 .

.

Avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 2 cu 2, are forma .

Exemplu.

Ordin .

Soluţie.

În exemplul nostru. Aplicam formula rezultata :

Calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul trei - formulă și exemplu.

Să găsim determinantul unei matrice pătrate cam 3 pe 3 în general.

În acest caz n=3, deci n!=3!=6.

Să aranjam sub forma unui tabel datele necesare pentru aplicarea formulei .

Avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 3 cu 3, are forma

În mod similar, puteți obține formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 4 cu 4, 5 cu 5 și mai mari. Vor arăta foarte voluminoase.

Exemplu.

Calculați determinantul unei matrici pătrate cam 3 pe 3.

Soluţie.

În exemplul nostru

Aplicăm formula rezultată pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei:

Formulele pentru calcularea determinanților matricelor pătrate de ordinul doi și trei sunt foarte des folosite, așa că vă recomandăm să le amintiți.

Proprietăți ale determinantului unei matrice, calcularea determinantului unei matrice folosind proprietăți.

Pe baza definiției menționate, următoarele sunt adevărate: proprietățile determinantului matricei.

Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A T, adică .

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul matricei este egală cu determinantul matricei transpuse.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul 3 cu 3:



Transpune matricea A:


Să calculăm determinantul matricei transpuse:



Într-adevăr, determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele cel puțin unuia dintre rânduri (una dintre coloane) sunt zero, determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero.

Exemplu.

Verificați dacă determinantul matricei ordinul 3 cu 3 este zero.

Soluţie.




Într-adevăr, determinantul unei matrice cu o coloană zero este egal cu zero.

Dacă rearanjați oricare două rânduri (coloane) într-o matrice pătrată, atunci determinantul matricei rezultate va fi opus celui inițial (adică semnul se va schimba).

Exemplu.

Date două matrice pătrate de ordinul 3 cu 3 Și . Arătați că determinanții lor sunt opuși.

Soluţie.

Matrice B se obține din matricea A prin înlocuirea celui de-al treilea rând cu primul și primul cu al treilea. Conform proprietății luate în considerare, determinanții unor astfel de matrici trebuie să difere ca semn. Să verificăm acest lucru calculând determinanții folosind formula binecunoscută.



Într-adevăr, .

Dacă într-o matrice pătrată cel puțin două rânduri (două coloane) sunt aceleași, atunci determinantul său este egal cu zero.

Exemplu.

Să se arate că determinantul matricei egal cu zero.

Soluţie.

În această matrice, a doua și a treia coloană sunt aceleași, deci, conform proprietății luate în considerare, determinantul său trebuie să fie egal cu zero. Hai să verificăm.



De fapt, determinantul unei matrice cu două coloane identice este zero.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele oricărui rând (coloană) sunt înmulțite cu un anumit număr k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale înmulțit cu k. De exemplu,



Exemplu.

Demonstrați că determinantul matricei egal cu triplul determinantului matricei .

Soluţie.

Elementele primei coloane a matricei B se obțin din elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei A prin înmulțirea cu 3. Apoi, datorită proprietății luate în considerare, egalitatea trebuie să se mențină. Să verificăm acest lucru calculând determinanții matricelor A și B.



Prin urmare, asta trebuie dovedit.

NOTĂ.

Nu confundați și nu amestecați conceptele de matrice și determinant! Proprietatea considerată a determinantului unei matrice și operația de înmulțire a unei matrice cu un număr sunt departe de același lucru.
, Dar .

Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate reprezintă suma a s termeni (s este un număr natural mai mare decât unu), atunci determinantul unei astfel de matrice va fi egal cu suma celor s determinanți ai matricelor obținute din cel original, dacă elementele rândului (coloanei) sunt: ​​lăsați câte un termen. De exemplu,


Exemplu.

Demonstrați că determinantul unei matrici este egal cu suma determinanților matricilor .

Soluţie.

În exemplul nostru , prin urmare, datorită proprietății considerate a determinantului matricei, egalitatea trebuie îndeplinită . Să o verificăm calculând determinanții corespunzători ai matricelor de ordin 2 cu 2 folosind formula .


Din rezultatele obținute reiese clar că . Aceasta completează dovada.

Dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) sunt adăugate elementelor unui anumit rând (coloană) unei matrice, înmulțite cu un număr arbitrar k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale .

Exemplu.

Asigurați-vă că dacă la elementele coloanei a treia a matricei se adună elementele corespunzătoare din a doua coloană a acestei matrice, înmulțite cu (-2), și se adună elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei, înmulțite cu un număr real arbitrar, apoi determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale.

Soluţie.

Dacă pornim de la proprietatea considerată a determinantului, atunci determinantul matricei obținut după toate transformările specificate în problemă va fi egal cu determinantul matricei A.

Mai întâi, să calculăm determinantul matricei originale A:



Acum să efectuăm transformările necesare ale matricei A.

Să adăugăm elementelor din a treia coloană a matricei elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei, înmulțindu-le anterior cu (-2). După aceasta, matricea va lua forma:


La elementele coloanei a treia a matricei rezultate adăugăm elementele corespunzătoare din prima coloană, înmulțite cu:


Să calculăm determinantul matricei rezultate și să ne asigurăm că este egal cu determinantul matricei A, adică -24:



Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin adunări algebrice.



Iată complementul algebric al elementului de matrice , .

Această proprietate permite să se calculeze determinanții matricilor de ordin mai mare decât 3 cu 3 reducându-i la suma mai multor determinanți ai matricelor de ordin unul mai mic. Cu alte cuvinte, aceasta este o formulă recurentă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Vă recomandăm să-l amintiți datorită aplicabilității sale destul de frecvente.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

aproximativ 4 pe 4, extinzându-l

• prin elemente ale liniei a 3-a,
• prin elemente ale coloanei a 2-a.

Soluţie.

Folosim formula de descompunere a determinantului în elementele din al 3-lea rând



Avem



Deci problema găsirii determinantului unei matrici de ordin 4 cu 4 a fost redusă la calcularea a trei determinanți ai matricelor de ordin 3 cu 3:



Inlocuind valorile obtinute ajungem la rezultatul:


Folosim formula de descompunere a determinantului în elementele coloanei a 2-a


și acționăm în același mod.

Nu vom descrie în detaliu calculul determinanților matricilor de ordinul trei.



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 4 pe 4.

Soluţie.

Puteți extinde determinantul unei matrice în elementele oricărei coloane sau oricărui rând, dar este mai profitabil să alegeți rândul sau coloana care conține cel mai mare număr de elemente zero, deoarece acest lucru va ajuta la evitarea calculelor inutile. Să extindem determinantul în elementele primei linii:



Să calculăm determinanții rezultați ai matricelor de ordin 3 cu 3 folosind formula cunoscută nouă:



Înlocuiți rezultatele și obțineți valoarea dorită


Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 5 pe 5.

Soluţie.

Al patrulea rând al matricei are cel mai mare număr de zero elemente dintre toate rândurile și coloanele, așa că este indicat să extindem determinantul matricei exact în funcție de elementele celui de-al patrulea rând, deoarece în acest caz vom avea nevoie de mai puține calcule.



Determinanții rezultați ai matricelor de ordin 4 cu 4 au fost găsiți în exemplele anterioare, așa că să folosim rezultatele gata făcute:



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 7 pe 7.

Soluţie.

Nu trebuie să vă grăbiți imediat să sortați determinantul în elementele oricărui rând sau coloană. Dacă te uiți atent la matrice, vei observa că elementele celui de-al șaselea rând al matricei pot fi obținute prin înmulțirea cu două a elementelor corespunzătoare din al doilea rând. Adică, dacă elementele corespunzătoare din al doilea rând sunt adăugate elementelor din al șaselea rând, înmulțite cu (-2), atunci determinantul nu se va modifica datorită proprietății a șaptea, iar al șaselea rând al matricei rezultate va consta de zerouri. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero prin a doua proprietate.

Răspuns:

Trebuie remarcat faptul că proprietatea considerată permite calcularea determinanților matricilor de orice ordin, dar trebuie efectuate o mulțime de operații de calcul. În cele mai multe cazuri, este mai avantajos să găsim determinantul matricelor de ordin mai mare decât a treia folosind metoda Gauss, pe care o vom considera mai jos.

Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate prin complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) este egală cu zero.


Exemplu.

Să se arate că suma produselor elementelor coloanei a treia a matricei pe complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare primei coloane este egală cu zero.

Soluţie.




Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor, adică , unde m este un număr natural mai mare decât unu, A k, k=1,2,...,m sunt matrici pătrate de același ordin.

Exemplu.

Verificați că determinantul produsului a două matrici și este egal cu produsul determinanților lor.

Soluţie.

Să găsim mai întâi produsul determinanților matricelor A și B:


Acum să efectuăm înmulțirea matricei și să calculăm determinantul matricei rezultate:



Prin urmare, , care este ceea ce trebuia arătat.

Calculul determinantului unei matrice folosind metoda Gauss.

Să descriem esența acestei metode. Folosind transformări elementare, matricea A este redusă la o astfel de formă încât în ​​prima coloană toate elementele cu excepția celor devin zero (acest lucru se poate face întotdeauna dacă determinantul matricei A este diferit de zero). Vom descrie această procedură puțin mai târziu, dar acum vom explica de ce se face acest lucru. Se obțin elemente zero pentru a obține cea mai simplă expansiune a determinantului peste elementele primei coloane. După o astfel de transformare a matricei A, ținând cont de a opta proprietate și, obținem

Unde - ordinul minor (n-1)., obținut din matricea A prin ștergerea elementelor primului rând și primei sale coloane.

Cu matricea căreia îi corespunde minor, se efectuează aceeași procedură pentru a obține zero elemente în prima coloană. Și tot așa până la calculul final al determinantului.

Acum rămâne să răspundem la întrebarea: „Cum să obțineți zero elemente în prima coloană”?

Să descriem algoritmul acțiunilor.

Dacă , atunci elementele corespunzătoare ale rândului k se adaugă elementelor din primul rând al matricei, în care . (Dacă toate elementele primei coloane a matricei A, fără excepție, sunt zero, atunci determinantul său este egal cu zero prin a doua proprietate și nu este necesară nicio metodă Gaussiană). După o astfel de transformare, elementul „nou” va fi diferit de zero. Determinantul matricei „noii” va fi egal cu determinantul matricei originale datorită celei de-a șaptea proprietăți.

Acum avem o matrice cu . Când la elementele din a doua linie adăugăm elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu , la elementele din a treia linie - elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu . Și așa mai departe. În cele din urmă, la elementele din al n-lea rând adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Aceasta va avea ca rezultat o matrice A transformată, toate elementele primei coloane ale cărei, cu excepția , vor fi zero. Determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale datorită proprietății a șaptea.

Să ne uităm la metodă atunci când rezolvăm un exemplu, va fi mai clar.

Exemplu.

Calculați determinantul unei matrici de ordinul 5 cu 5 .

Soluţie.

Să folosim metoda Gaussiană. Să transformăm matricea A astfel încât toate elementele primei ei coloane, cu excepția , să devină zero.

Deoarece elementul este inițial , adăugăm elementelor din primul rând al matricei elementele corespunzătoare, de exemplu, ale celui de-al doilea rând, deoarece:

Semnul „~” indică echivalența.

Acum adăugăm elementelor din a doua linie elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu , la elementele din a treia linie – elementele corespunzătoare din prima linie, înmulțite cu și procedați în mod similar până la a șasea linie:

Primim

Cu matrice Efectuăm aceeași procedură pentru obținerea zero elemente în prima coloană:

Prin urmare,

Acum efectuăm transformări cu matricea :

Cometariu.

La o anumită etapă a transformării matricei folosind metoda Gauss, poate apărea o situație când toate elementele ultimelor rânduri ale matricei devin zero. Acest lucru va indica faptul că determinantul este egal cu zero.

Rezuma.

Determinantul unei matrice pătrate ale cărei elemente sunt numere este un număr. Am analizat trei moduri de a calcula determinantul:

1. prin suma produselor de combinații de elemente ale matricei;
2. prin descompunerea determinantului în elementele unui rând sau coloană a matricei;
3. prin reducerea matricei la una triunghiulară superioară (metoda Gauss).

Au fost obținute formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 2 cu 2 și 3 cu 3.

Am examinat proprietățile determinantului unei matrice. Unele dintre ele vă permit să înțelegeți rapid că determinantul este zero.

La calcularea determinanților matricilor de ordin mai mare de 3 cu 3, este recomandabil să se folosească metoda gaussiană: se efectuează transformări elementare ale matricei și se reduce la una triunghiulară superioară. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul tuturor elementelor de pe diagonala principală.