Równanie x2 y2. Rozwiązywanie równań z dwiema zmiennymi

1. Układy równań liniowych z parametrem

Układy równań liniowych z parametrem rozwiązuje się tymi samymi podstawowymi metodami, co konwencjonalne układy równań: metodą podstawienia, metodą dodawania równań i metodą graficzną. Znajomość graficznej interpretacji układów liniowych ułatwia odpowiedź na pytanie o liczbę pierwiastków i ich istnienie.

Przykład 1

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań nie ma rozwiązań.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Rozwiązanie.

Spójrzmy na kilka sposobów rozwiązania tego problemu.

1 sposób. Korzystamy z własności: układ nie ma rozwiązań, jeśli stosunek współczynników przed x jest równy stosunkowi współczynników przed y, ale nie jest równy stosunkowi wyrazów wolnych (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Następnie mamy:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 lub system

(i 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Dlatego z pierwszego równania a 2 \u003d 4, biorąc pod uwagę warunek, że a ≠ 2, otrzymujemy odpowiedź.

Odpowiedź: a = -2.

2 sposoby. Rozwiązujemy metodą podstawienia.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Po wyjęciu wspólnego czynnika y z nawiasów w pierwszym równaniu otrzymujemy:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Układ nie ma rozwiązań, jeśli pierwsze równanie nie ma rozwiązań, to znaczy

(i 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Wiadomo, że a = ±2, ale biorąc pod uwagę drugi warunek, dana jest tylko odpowiedź z minusem.

Odpowiedź: a = -2.

Przykład 2

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Rozwiązanie.

Zgodnie z właściwością, jeśli stosunek współczynników przy x i y jest taki sam i jest równy stosunkowi wolnych członków systemu, to ma nieskończony zbiór rozwiązań (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d do / do 1). Stąd 8/a = a/2 = 2/1. Rozwiązując każde z otrzymanych równań, stwierdzamy, że a \u003d 4 jest odpowiedzią w tym przykładzie.

Odpowiedź: za = 4.

2. Układy równań wymiernych z parametrem

Przykład 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Rozwiązanie.

Pomnóż pierwsze równanie układu przez 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Odejmij drugie równanie od pierwszego, otrzymamy 5|х| = 4 – za. To równanie będzie miało unikalne rozwiązanie dla a = 4. W innych przypadkach to równanie będzie miało dwa rozwiązania (dla a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odpowiedź: a = 4.

Przykład 4

Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których układ równań ma unikalne rozwiązanie.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Rozwiązanie.

Rozwiążemy ten układ metodą graficzną. Tak więc wykres drugiego równania układu jest parabolą podniesioną wzdłuż osi Oy o jeden segment jednostkowy. Pierwsze równanie definiuje zbiór prostych równoległych do prostej y = -x (obrazek 1). Rysunek wyraźnie pokazuje, że układ ma rozwiązanie, jeśli prosta y \u003d -x + a jest styczna do paraboli w punkcie o współrzędnych (-0,5; 1,25). Podstawiając te współrzędne do równania prostej zamiast x i y, znajdujemy wartość parametru a:

1,25 = 0,5 + a;

Odpowiedź: a = 0,75.

Przykład 5

Korzystając z metody podstawienia, dowiedz się, przy jakiej wartości parametru a układ ma jednoznaczne rozwiązanie.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Rozwiązanie.

Wyraź y z pierwszego równania i wstaw je do drugiego:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Drugie równanie sprowadzamy do postaci kx = b, która będzie miała jednoznaczne rozwiązanie dla k ≠ 0. Mamy:

topór + za 2 x - za 2 - za + 2 topór - 2a - 2 \u003d 2;

za 2 x + 3ax \u003d 2 + za 2 + 3a + 2.

Kwadratowy trójmian a 2 + 3a + 2 można przedstawić jako iloczyn nawiasów

(a + 2)(a + 1), a po lewej wyjmujemy x z nawiasów:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Oczywiście a 2 + 3a nie może być równe zeru, dlatego

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, co oznacza a ≠ 0 i ≠ -3.

Odpowiedź: a ≠ 0; ≠ -3.

Przykład 6

Korzystając z graficznej metody rozwiązania, określ, przy jakiej wartości parametru a układ ma jednoznaczne rozwiązanie.

(x2 + y2 = 9,
(y - |x| = a.

Rozwiązanie.

Na podstawie warunku budujemy okrąg o środku w początku współrzędnych i promieniu 3 segmentów jednostkowych, to właśnie ten okrąg ustala pierwsze równanie układu

x 2 + y 2 = 9. Drugie równanie układu (y = |x| + a) jest linią łamaną. Używając Rysunek 2 rozważamy wszystkie możliwe przypadki jego położenia względem okręgu. Łatwo zauważyć, że a = 3.

Odpowiedź: a = 3.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać układy równań?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Instrukcja

Metoda podstawienia Wyraź jedną zmienną i podstaw ją do innego równania. Możesz wyrazić dowolną zmienną. Na przykład wyraź „y” z drugiego równania:
x-y=2 => y=x-2 Następnie wstaw wszystko do pierwszego równania:
2x+(x-2)=10 Przenieś wszystko bez x na prawą stronę i policz:
2x+x=10+2
3x=12 Następnie dla „x podziel obie strony równania przez 3:
x=4. Więc znalazłeś „x. Znajdź „w. Aby to zrobić, podstaw „x” do równania, z którego wyraziłeś „y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Sprawdź. Aby to zrobić, zastąp otrzymane wartości równaniami:
2*4+2=10
4-2=2
Nieznany znaleziony poprawnie!

Jak dodawać lub odejmować równania Pozbądź się dowolnej zmiennej na raz. W naszym przypadku łatwiej jest to zrobić za pomocą „y.
Skoro w równaniu „y ma znak” + , a w drugim „-”, to można wykonać operację dodawania, tj. Lewą stronę dodajemy do lewej, a prawą do prawej:
2x+y+(x-y)=10+2Przekształć:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Podstaw „x” do dowolnego równania i znajdź „y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Za pomocą pierwszej metody możesz sprawdzić, czy korzenie zostały znalezione poprawnie.

Jeśli nie ma jasno określonych zmiennych, konieczne jest nieznaczne przekształcenie równań.
W pierwszym równaniu mamy „2x”, a w drugim tylko „x. Aby zmniejszyć x podczas dodawania lub odejmowania, pomnóż drugie równanie przez 2:
x-y=2
2x-2y=4 Następnie odejmij drugie równanie od pierwszego równania:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3 lata = 6
znajdź y \u003d 2 "x, wyrażając z dowolnego równania, tj.
x=4

Powiązane wideo

Podczas rozwiązywania równań różniczkowych argument x (lub czas t w problemach fizycznych) nie zawsze jest jawnie dostępny. Niemniej jednak jest to uproszczony szczególny przypadek ustawienia równania różniczkowego, co często pomaga uprościć poszukiwanie jego całki.

Instrukcja

Rozważmy problem fizyczny, który prowadzi do równania różniczkowego bez argumentu t. Jest to problem drgań o masie m, zawieszonych na nitce o długości r, znajdującej się w płaszczyźnie pionowej. Równanie ruchu wahadła jest wymagane, jeśli wahadło początkowe było nieruchome i odchylało się od stanu równowagi o kąt α. Siły należy pominąć (patrz rys. 1a).

Rozwiązanie. Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici w punkcie O. Na punkt działają dwie siły: grawitacja G \u003d mg i naprężenie nici N. Obie te siły leżą w płaszczyźnie pionowej. Dlatego do rozwiązania problemu można zastosować równanie ruchu obrotowego punktu wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt O. Równanie ruchu obrotowego ciała ma postać pokazaną na ryc. 1b. W tym przypadku I jest momentem bezwładności punktu materialnego; j to kąt obrotu nici wraz z punktem, liczony od osi pionowej przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; M jest momentem sił przyłożonych do punktu materialnego.

Oblicz te ilości. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Ale M(N)=0, ponieważ linia działania siły przechodzi przez punkt O. M(G)=-mgrsinj. Znak „-” oznacza, że ​​moment siły skierowany jest w kierunku przeciwnym do ruchu. Podstaw moment bezwładności i moment siły do ​​równania ruchu i otrzymaj równanie pokazane na ryc. 1s. Zmniejszając masę, powstaje zależność (patrz ryc. 1d). Nie ma tu argumentu t.

Rozwiązywanie równań na liczbach całkowitych jest jednym z najstarszych problemów matematycznych. Już na początku II tysiąclecia pne. mi. Babilończycy umieli rozwiązywać układy takich równań z dwiema zmiennymi. Ta dziedzina matematyki osiągnęła swój największy rozkwit w starożytnej Grecji. Głównym źródłem jest dla nas „Arytmetyka” Diofantosa, która zawiera różne rodzaje równań. W nim Diofant (od swojego imienia i nazwy równań - równania diofantyczne) przewiduje szereg metod badania równań 2. i 3. stopnia, które rozwinęły się dopiero w XIX wieku.

Najprostsze równania diofantyczne ax + y = 1 (równanie z dwiema zmiennymi pierwszego stopnia) x2 + y2 = z2 (równanie z trzema zmiennymi drugiego stopnia)

Najpełniej zbadano równania algebraiczne, których rozwiązanie było jednym z najważniejszych problemów algebry w XVI i XVII wieku.

Do początku XIX wieku prace P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa badały równanie diofantyczne o postaci: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c , d, e, f są liczbami; x, y to nieznane zmienne.

Jest to równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.

K. Gauss zbudował ogólną teorię form kwadratowych, która jest podstawą rozwiązywania pewnych typów równań z dwiema zmiennymi (równania diofantyczne). Istnieje wiele specyficznych równań diofantycznych, które można rozwiązać metodami elementarnymi. /p>

materiał teoretyczny.

W tej części pracy zostaną opisane podstawowe pojęcia matematyczne, podane zostaną definicje terminów, sformułowane zostanie twierdzenie o dekompozycji metodą współczynników nieokreślonych, które badano i rozważano przy rozwiązywaniu równań z dwiema zmiennymi.

Definicja 1: Równanie postaci ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c, d, e, f są liczbami; x, y nieznane zmienne nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema zmiennymi.

Na szkolnym kursie matematyki badane jest równanie kwadratowe ax2 + inx + c \u003d 0, gdzie a, b, c liczby x jest zmienną z jedną zmienną. Istnieje wiele sposobów rozwiązania takiego równania:

1. Znajdowanie pierwiastków za pomocą wyróżnika;

2. Znajdowanie pierwiastków dla parzystego współczynnika w (wg D1 =);

3. Znajdowanie pierwiastków z twierdzenia Viety;

4. Znajdowanie pierwiastków za pomocą wyboru pełnego kwadratu dwumianu.

Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że ich nie ma.

Definicja 2: Pierwiastek równania to liczba, która po podstawieniu do równania tworzy prawdziwą równość.

Definicja 3: Rozwiązanie równania z dwiema zmiennymi nazywa się parą liczb (x, y), po podstawieniu ich do równania zamienia się w prawdziwą równość.

Proces poszukiwania rozwiązań równania bardzo często polega na zastąpieniu równania równaniem równoważnym, ale prostszym w rozwiązaniu. Takie równania nazywane są równoważnymi.

Definicja 4: Mówimy, że dwa równania są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego równania jest rozwiązaniem drugiego równania i odwrotnie, a oba równania są rozpatrywane w tym samym obszarze.

Do rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi stosuje się twierdzenie o rozwinięciu równania na sumę doskonałych kwadratów (metodą nieokreślonych współczynników).

Dla równania drugiego rzędu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) zachodzi rozkład a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Sformułujmy warunki, w jakich zachodzi rozwinięcie (2) dla równania (1) dwóch zmiennych.

Twierdzenie: Jeżeli współczynniki a, c, c równania (1) spełniają warunki a0 i 4av - c20, to ekspansja (2) jest określona w sposób jednoznaczny.

Innymi słowy, równanie (1) z dwiema zmiennymi można sprowadzić do postaci (2) metodą nieoznaczonych współczynników, jeśli spełnione są warunki twierdzenia.

Spójrzmy na przykład implementacji metody nieokreślonych współczynników.

METODA NR 1. Rozwiąż równanie metodą współczynników nieokreślonych

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Sprawdźmy, czy spełnione są warunki twierdzenia, a=2, b=1, c=2, więc a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Warunki twierdzenia są spełnione i można je rozszerzyć wzorem (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, na podstawie warunków twierdzenia obie części tożsamości są równoważne. Uprość prawą stronę tożsamości.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Przyrównaj współczynniki tych samych zmiennych do ich potęg.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Zdobądź układ równań, rozwiąż go i znajdź wartości współczynników.

7. Podstaw współczynniki w (2), wtedy równanie przybierze postać

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Zatem oryginalne równanie jest równoważne równaniu

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), to równanie jest równoważne układowi dwóch równań liniowych.

Odpowiedź: (-1; 1).

Jeśli zwrócisz uwagę na rodzaj dekompozycji (3), to zobaczysz, że jest ona identyczna w formie z wyborem pełnego kwadratu z równania kwadratowego z jedną zmienną: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Zastosujmy tę sztuczkę do rozwiązania równania z dwiema zmiennymi. Rozwiążmy za pomocą wyboru pełnego kwadratu równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi już rozwiązanymi za pomocą twierdzenia.

METODA 2: Rozwiąż równanie 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Rozwiązanie: 1. Reprezentujemy 2x2 jako sumę dwóch wyrazów x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Grupujemy wyrażenia w taki sposób, że możemy zwinąć zgodnie z formułą pełnego kwadratu.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Wybierz pełne kwadraty z wyrażeń w nawiasach.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. To równanie jest równoważne układowi równań liniowych.

Odpowiedź: (-1;1).

Jeśli porównamy wyniki, to zobaczymy, że równanie rozwiązane metodą nr 1 metodą twierdzenia i metodą nieoznaczonych współczynników oraz równanie rozwiązane metodą nr 2 metodą wyboru pełnego kwadratu mają takie same pierwiastki.

Wniosek: Równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi można rozwinąć do sumy kwadratów na dwa sposoby:

➢ Pierwsza metoda to metoda współczynników nieokreślonych, która opiera się na twierdzeniu i rozkładzie (2).

➢ Drugi sposób polega na zastosowaniu identycznych przekształceń, które umożliwiają wybieranie kolejnych pełnych kwadratów.

Oczywiście przy rozwiązywaniu problemów preferowana jest druga metoda, ponieważ nie wymaga zapamiętywania rozwinięć (2) i warunków.

Metodę tę można również zastosować do równań kwadratowych z trzema zmiennymi. Wybór pełnego kwadratu w takich równaniach jest bardziej pracochłonny. W przyszłym roku zrobię taką metamorfozę.

Warto zauważyć, że funkcja mająca postać f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f nazywana jest funkcją kwadratową dwóch zmiennych. Funkcje kwadratowe odgrywają ważną rolę w różnych gałęziach matematyki:

W programowaniu matematycznym (programowanie kwadratowe)

W algebrze liniowej i geometrii (formy kwadratowe)

W teorii równań różniczkowych (sprowadzanie równania liniowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej).

Rozwiązując te różne problemy, trzeba w rzeczywistości zastosować procedurę wyodrębniania pełnego kwadratu z równania kwadratowego (jedna, dwie lub więcej zmiennych).

Linie, których równania są opisane równaniem kwadratowym dwóch zmiennych, nazywane są krzywymi drugiego rzędu.

To koło, elipsa, hiperbola.

Przy wykreślaniu tych krzywych stosowana jest również metoda sukcesywnego wybierania pełnego kwadratu.

Zastanówmy się, jak na konkretnych przykładach działa metoda sukcesywnego wybierania pełnego kwadratu.

Część praktyczna.

Rozwiązuj równania metodą sukcesywnego wybierania pełnego kwadratu.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Odpowiedź: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Odpowiedź: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Odpowiedź: (-1; 1).

Rozwiąż równania:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(doprowadzić do postaci: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Odpowiedź: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(doprowadzić do postaci: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Odpowiedź: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(doprowadzić do postaci: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Odpowiedź: (7; -7)

Wniosek.

W tej pracy naukowej badano równania z dwiema zmiennymi drugiego stopnia, rozważano metody ich rozwiązywania. Zadanie jest zakończone, sformułowana i opisana jest krótsza metoda rozwiązania, polegająca na wybraniu pełnego kwadratu i zastąpieniu równania równoważnym układem równań, w wyniku czego procedura znajdowania pierwiastków równania z dwiema zmiennymi jest uproszczona.

Ważnym punktem pracy jest to, że rozważana technika jest wykorzystywana do rozwiązywania różnych problemów matematycznych związanych z funkcją kwadratową, konstruowania krzywych drugiego rzędu oraz znajdowania największej (najmniejszej) wartości wyrażeń.

Tak więc technika rozwinięcia równania drugiego rzędu z dwiema zmiennymi do sumy kwadratów ma najliczniejsze zastosowania w matematyce.

Równania nieokreślone w liczbach naturalnych.

Państwowa Instytucja Edukacyjna „Rieczyckie Liceum Rejonowe”

Przygotowane przez: .

Opiekun: .

Wstęp

1.Rozwiązywanie równań metodą faktoryzacji…………4

2. Rozwiązywanie równań z dwiema zmiennymi (metoda dyskryminacyjna)……………………………………………………………………….11

3. Metoda pozostałości ......................................................... ...........................................13

4. Metoda "nieskończonego zejścia" .............................................. .... ..............15

5. Metoda pobierania próbek……………………………...16

Wniosek................................................. .......................................18

Wstęp

Jestem Sława, uczę się w Liceum Okręgowym Rechitsa, jestem uczniem 10 klasy.

Wszystko zaczyna się od pomysłu! Poproszono mnie o rozwiązanie równania z trzema niewiadomymi 29x + 30y + 31 z =366. Teraz traktuję to równanie jako zadanie - żart, ale po raz pierwszy złamałem sobie głowę. Dla mnie to równanie stało się trochę nieokreślone, jak je rozwiązać, w jaki sposób.

Pod równania nieokreślone musimy zrozumieć, że są to równania zawierające więcej niż jedną niewiadomą. Zwykle ludzie, którzy rozwiązują te równania, szukają rozwiązań w liczbach całkowitych.

Rozwiązywanie nieokreślonych równań to bardzo ekscytujące i pouczające zajęcie, które przyczynia się do kształtowania pomysłowości uczniów, obserwacji, uważności, a także rozwoju pamięci i orientacji, umiejętności logicznego myślenia, analizowania, porównywania i uogólniania. Nie znalazłem jeszcze ogólnej techniki, ale teraz opowiem o niektórych metodach rozwiązywania takich równań w liczbach naturalnych.

Temat ten nie jest w pełni omówiony w istniejących podręcznikach do matematyki, a problemy są oferowane na olimpiadach i na scentralizowanych testach. Zainteresowało mnie to i zafascynowało do tego stopnia, że ​​rozwiązując różne równania i problemy zebrałem cały zbiór własnych rozwiązań, które dzieliliśmy z nauczycielem według metod i metod rozwiązania. Jaki jest więc cel mojej pracy?

Mój cel analizować rozwiązania równań z kilkoma zmiennymi na zbiorze liczb naturalnych.

Na początek rozważymy problemy praktyczne, a następnie przejdziemy do rozwiązywania równań.

Jaka jest długość boków prostokąta, jeśli jego obwód jest liczbowo równy jego polu?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N i y€ N

P=S

2x+2y=xy rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>+rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" Times New Roman> =rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: "times new roman> Odpowiedź: (4:4); (3:6); (6:3).

Znajdź sposoby na zapłacenie 47 rubli, jeśli można do tego użyć tylko rachunków za trzy i pięć rubli.

Rozwiązanie

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€ Z

Naturalne wartości x i y odpowiadają K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Zadanie żart

Udowodnij, że istnieje rozwiązanie równania 29x+30y+31 z=336 w liczbach naturalnych.

Dowód

Rok przestępny ma 366 dni i jeden miesiąc ma 29 dni, cztery miesiące mają 30 dni,

7 miesięcy - 31 dni.

Rozwiązaniem są trzy (1:4:7). Oznacza to, że istnieje rozwiązanie równania w liczbach naturalnych.

1. Rozwiązywanie równań przez faktoring

1) Rozwiąż równanie x2-y2=91 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

(x-y)(x+y)=91

Rozwiązanie 8 systemów

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

xy = 7

x+y=13

(10:3)

xy = -1

x+y= -91

(-46: 45)

xy = -91

x+y= -1

(-46: -45)

xy = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Odpowiedź: ( 46:45):(10:3).

2) Rozwiąż równanie x3 + 91 \u003d y3 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Rozwiązanie 8 systemów

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Pozostałe 4 układy nie mają rozwiązań w liczbach całkowitych. Warunek jest spełniony przez jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: (5:6).

3) Rozwiąż równanie xy=x+y w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Rozwiązanie 2 systemy

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>y-1= -1

x-1= -1

(0:0)

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

Odpowiedź: (2:2).

4) Rozwiąż równanie 2x2+5xy-12y2=28 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - liczby naturalne; (x+4y)€ N

(x+4y)≥5

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

brak rozwiązań w liczbach naturalnych

Odpowiedź: (8:5).

5) Rozwiązać równanie 2xy=x2+2y w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

brak rozwiązań w liczbach naturalnych

Odpowiedź: (2:2).

6) Rozwiązać równanie XNaz-3 xy-2 xz+ yz+6 X-3 y-2 z= -4 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Rozwiązanie 6 systemów

z -3= 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2=2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="rozmiar czcionki: 14.0pt;wysokość linii:150%;rodzina czcionek:" razy nowy roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x +1 = 2

y-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

x +1= -1

y-2=-1

(-2:1:5)

Odpowiedź: (1:3:4).

Rozważ dla mnie bardziej złożone równanie.

7) Rozwiąż równanie x2-4xy-5y2=1996 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N, y € N; (x+y) € N ; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

żadnych rozwiązań

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>x-5y=499

x+y=4

żadnych rozwiązań

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>x-5y=4

x+y=499

żadnych rozwiązań

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

żadnych rozwiązań

Odpowiedź: x=832, y=166.

Podsumujmy:przy rozwiązywaniu równań przez faktoring stosuje się skrócone wzory mnożenia, metodę grupowania, metodę pełnego wyboru kwadratowego .

2. Rozwiązywanie równań z dwiema zmiennymi (metoda dyskryminacyjna)

1) Rozwiąż równanie 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1,2= rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>=rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: "times new roman>

D=0, rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman> = 0

y=-1, x=1

Odpowiedź: nie ma rozwiązań.

2) Rozwiąż równanie 3(x2+xy+y2)=x+8y w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>≤y≤rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman> y€ N , y=1, 2, 3. Przechodząc przez te wartości, mamy (1:1).

Odpowiedź: (1:1).

3) Rozwiąż równanie x4-y4-20x2+28y2=107 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

Wprowadzamy zamiennik: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1,2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>= 10±rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>= 10 ± (a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Równanie wygląda następująco:

(a-a+4)(a+a-24)=1

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

w liczbach naturalnych nie ma rozwiązań;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

х2+y2 – 24= -1 brak rozwiązań w liczbach naturalnych i całkowitychOdpowiedź: (4:3),(2:3).

3. Metoda pozostałościowa

Podczas rozwiązywania równań metodą resztkową bardzo często stosuje się następujące zadania:

A) Jakie reszty można otrzymać przy dzieleniu przez 3 i 4?

To bardzo proste, przy dzieleniu przez 3 lub 4 dokładne kwadraty mogą dawać dwie możliwe reszty: 0 lub 1.

B) Jakie reszty dają dokładne sześciany przy dzieleniu przez 7 i 9?

Przy dzieleniu przez 7 mogą dawać reszty: 0, 1, 6; a przy dzieleniu przez 9: 0, 1, 8.

1) Rozwiąż równanie x2+y2=4 z-1 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

x2+y2+1=4z

Zastanów się, co dają reszty z dzielenia przez 4, lewą i prawą stronę tego równania. Przy dzieleniu przez 4 dokładne kwadraty mogą dawać tylko dwie różne reszty 0 i 1. Wtedy x2 + y2 + 1 przy dzieleniu przez 4 dają reszty 1, 2, 3 i 4 z podzielone bez reszty.

Dlatego to równanie nie ma rozwiązań.

2) Rozwiąż równanie 1!+2!+3!+ …+x!= y2 w liczbach naturalnych

Rozwiązanie

A) X=1, 1!=1, wtedy y2=1, y=±1 (1:1)

B) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, czyli y2= 9, y=±3 (3:3)

C) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, czyli y=±rozmiar-czcionki:14.0pt;wysokość-linii:150%; rodzina czcionek: „times new roman> d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (brak), y2=33

mi) x≥5, 5!+6!+…+x!, wyobraź sobie 10 n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

Liczba kończąca się na 3 oznacza, że ​​nie może być kwadratem liczby całkowitej. Dlatego x≥5 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.

Odpowiedź:(3:3) i (1:1).

3) Udowodnij, że w liczbach naturalnych nie ma rozwiązań

x2-y3=7

z 2 – 2у2=1

Dowód

Załóżmy, że system jest rozwiązywalny z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - liczba nieparzysta

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2 jest liczbą parzystą, y = 2 n , n € N

x2=8n3 +7, tj x2 jest liczbą nieparzystą i X nieparzyste, x = 2 r +1, n € N

Zastąpić X I Na do pierwszego równania,

2(r 2 + r -2n 3 )=3

Nie jest to możliwe, ponieważ lewa strona równania jest podzielna przez dwa, a prawa niepodzielna, co oznacza, że ​​nasze założenie nie jest prawdziwe, czyli układ nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.

4. Metoda nieskończonego spadku

Rozwiązujemy według następującego schematu:

Załóżmy, że równanie ma rozwiązanie, budujemy pewien nieskończony proces, podczas gdy zgodnie z istotą problemu proces ten powinien zakończyć się krokiem równym.

1)Udowodnij, że równanie 8x4+4y4+2 z4 = T4 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych

Dowód

Załóżmy, że równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych, to wynika z tego

t4 jest liczbą parzystą, to t też jest parzyste

t=2t1 , t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 jest parzyste, to z =2 z 1 , z 1 € Z

Zastąpić

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x jest parzyste, tj. x=2x, x1€ Z., więc

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Więc x, y, z , T – liczby parzyste, następnie x1, y1, z1,t1 - nawet. wtedy x, y, z, t i x1, y1, z 1, t 1 są podzielne przez 2, tj, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:"times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>”,rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman> irozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>”,rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>”,rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>”,rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>.

Okazało się więc, że liczba spełnia równanie; są wielokrotnościami 2 i bez względu na to, ile razy podzielimy je przez 2, zawsze otrzymamy liczby będące wielokrotnościami 2. Jedyną liczbą spełniającą ten warunek jest zero. Ale zero nie należy do zbioru liczb naturalnych.

5. Przykładowa metoda

1) Znajdź rozwiązania równania rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>+rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" Times New Roman>Rozwiązanie

rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman>=rozmiar czcionki: 14,0 pkt; wysokość linii: 150%; rodzina czcionek: „times new roman> p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Rozwiązanie 6 systemów

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - p

y=0, x=0

y-r=1

xp=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

xp= -1

y=p-1, x=p-1

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>y-p=p2

xp = p2

y=p2+p, x= p2+p

rozmiar czcionki: 14.0pt; line-height:150%;font-family:" razy nowy roman>y-p= -p2

x p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Odpowiedź:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Wniosek

Zazwyczaj rozwiązań równań nieoznaczonych szuka się w liczbach całkowitych. Równania, w których szukane są tylko rozwiązania całkowitoliczbowe, nazywane są diofantynami.

Analizowałem rozwiązania równań z więcej niż jedną niewiadomą na zbiorze liczb naturalnych. Takie równania są tak różnorodne, że prawie nie ma sposobu, algorytmu ich rozwiązania. Rozwiązanie takich równań wymaga pomysłowości i przyczynia się do nabywania umiejętności samodzielnej pracy z matematyki.

Przykłady rozwiązałem najprostszymi metodami. Najprostszą techniką rozwiązywania takich równań jest wyrażenie jednej zmiennej względem reszty, a otrzymamy wyrażenie, które będziemy badać, aby znaleźć te zmienne, dla których jest ona naturalna (liczba całkowita).

Jednocześnie koncepcje i fakty związane z podzielnością, takie jak liczby pierwsze i złożone, znaki podzielności, względnie pierwsze liczby itp.

Szczególnie często używane:

1) Jeśli iloczyn jest podzielny przez liczbę pierwszą p, to przynajmniej jeden z jego czynników jest podzielny przez p.

2) Jeśli iloczyn jest podzielny przez pewną liczbę Z a jeden z czynników jest względnie pierwszy z liczbą Z, to drugi czynnik jest podzielny przez Z.