Oblicz w najbardziej racjonalny sposób. Racjonalne sposoby obliczania

Obecny poziom rozwoju narzędzi do automatyzacji obliczeń stworzył dla wielu złudzenie, że rozwijanie umiejętności informatycznych nie jest wcale konieczne. Wpłynęło to na przygotowanie uczniów. W przypadku braku kalkulatora nawet proste zadania obliczeniowe stają się dla wielu problemem.

Jednocześnie zadania egzaminacyjne i materiały do ​​​​egzaminu zawierają wiele zadań, których rozwiązanie wymaga umiejętności racjonalnego organizowania obliczeń przez osoby badane.

W tym artykule rozważymy niektóre metody optymalizacji obliczeń i ich zastosowanie do zadań konkurencyjnych.

Najczęściej metody optymalizacji obliczeń są związane z zastosowaniem podstawowych praw wykonywania operacji arytmetycznych.

Na przykład:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; Lub

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 itd.

Inny kierunek - stosowanie skróconych wzorów mnożenia.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; Lub

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Poniższy przykład jest interesujący dla obliczeń.

Oblicz:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Są to niemal standardowe sposoby optymalizacji obliczeń. Czasami oferowane są bardziej egzotyczne. Jako przykład rozważ metodę mnożenia liczb dwucyfrowych, których suma jednostek wynosi 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 lub

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Schemat mnożenia można zrozumieć na podstawie rysunku.

Skąd taki schemat mnożenia?

Nasze liczby według warunku mają postać: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Stwórzmy pracę:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) i metoda jest uzasadniona.

Istnieje wiele pomysłowych sposobów na przekształcenie dość skomplikowanych obliczeń w problemy umysłowe. Ale nie możesz myśleć, że wszyscy muszą pamiętać te i kilka innych genialnych sposobów na uproszczenie obliczeń. Ważne jest, aby nauczyć się tylko kilku podstawowych. Analiza innych ma sens tylko dla rozwijania umiejętności stosowania podstawowych metod. To właśnie ich kreatywne zastosowanie umożliwia szybkie i poprawne rozwiązywanie problemów obliczeniowych.

Czasami przy rozwiązywaniu przykładów do obliczeń wygodnie jest przejść od przekształcania wyrażenia za pomocą liczb do przekształcania wielomianów. Rozważ następujący przykład.

Oblicz w najbardziej racjonalny sposób:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Rozwiązanie.

Niech a = 1/117 i b = 1/119. Wtedy 3 1/117 = 3 + a, 4 1/119 = 4 + b, 1 116/117 = 2 - a, 5 118/119 = 6 - b.

Zatem podane wyrażenie można zapisać jako (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

Po wykonaniu prostych przekształceń wielomianu otrzymujemy 10a lub 10/117 .

Tutaj uzyskaliśmy, że wartość naszego wyrażenia nie zależy od b. A to oznacza, że ​​obliczyliśmy nie tylko wartość tego wyrażenia, ale także każdego innego otrzymanego z (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b podstawiając wartości ​z a i b. Jeśli na przykład a = 5/329, to w odpowiedzi otrzymujemy 50 / 329 , cokolwiek b.

Rozważmy inny przykład, który jest prawie niemożliwy do rozwiązania za pomocą kalkulatora, a odpowiedź jest dość prosta, jeśli znasz podejście do rozwiązywania przykładów tego typu.

Oblicz

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Rozwiązanie.

Przekształćmy warunek

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1 ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Rozważ jeden z przykładów, który już się stał podręcznik w materiałach egzaminacyjnych z kursu szkoły podstawowej.

Oblicz sumę:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Oznacza to, że metoda zastępowania każdego ułamka różnicą dwóch ułamków pozwoliła nam rozwiązać ten problem. Suma okazała się parami liczb przeciwnych do wszystkich oprócz pierwszej i ostatniej.

Ale ten przykład można uogólnić. Rozważ sumę:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + ( M – 1)k) (n + mk))

W tym przypadku ważne są wszystkie te same rozumowania, które przeprowadzono w poprzednim przykładzie. Rzeczywiście:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) itd.

Następnie konstruujemy odpowiedź według tego samego schematu: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

I więcej o „długich” kwotach.

Kwota

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

można obliczyć jako sumę 11 członków ciągu geometrycznego o mianowniku 1/2 i pierwszym członie 1. Ale tę samą sumę może obliczyć uczeń 5 klasy, który nie ma pojęcia o postępach. Aby to zrobić, wystarczy z powodzeniem wybrać liczbę, którą dodamy do sumy X. Ta liczba wyniesie tutaj 1/1024.

Obliczać

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Teraz jest oczywiste, że X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Druga metoda jest nie mniej obiecująca. Za jego pomocą możesz obliczyć sumę:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Tutaj „szczęśliwa” liczba to 11. Dodaj ją do S i rozłóż równomiernie na wszystkie 11 wyrazów. Każdy z nich dostanie wtedy 1. Wtedy mamy:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Zatem S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

W odległej przeszłości, kiedy nie wynaleziono jeszcze systemu rachunku różniczkowego, ludzie liczyli wszystko na palcach. Wraz z pojawieniem się arytmetyki i podstaw matematyki prowadzenie ewidencji towarów, produktów i artykułów gospodarstwa domowego stało się znacznie łatwiejsze i praktyczniejsze. Jak jednak wygląda współczesny system rachunku różniczkowego: na jakie rodzaje istniejących liczb dzieli się i co oznacza „wymierna postać liczb”? Rozwiążmy to.

Ile rodzajów liczb występuje w matematyce?

Samo pojęcie „liczby” oznacza pewną jednostkę dowolnego obiektu, która charakteryzuje jego wskaźniki ilościowe, porównawcze lub porządkowe. Aby poprawnie obliczyć liczbę niektórych rzeczy lub wykonać określone operacje matematyczne na liczbach (dodawanie, mnożenie itp.), Należy przede wszystkim zapoznać się z odmianami tych samych liczb.

Tak więc istniejące numery można podzielić na następujące kategorie:

1. Liczby naturalne to te liczby, za pomocą których liczymy liczbę obiektów (najmniejsza liczba naturalna to 1, logiczne jest, że szereg liczb naturalnych jest nieskończony, to znaczy nie ma największej liczby naturalnej). Zbiór liczb naturalnych jest zwykle oznaczany literą N.
2. Wszystkie liczby. Ten zestaw zawiera wszystko, podczas gdy dodawane są do niego wartości ujemne, w tym liczba „zero”. Oznaczenie zbioru liczb całkowitych jest zapisane w formie łacińskiej litery Z.
3. Liczby wymierne to takie, które możemy mentalnie zamienić na ułamek, którego licznik będzie należał do zbioru liczb całkowitych, a mianownik do liczb naturalnych. Poniżej przeanalizujemy bardziej szczegółowo, co oznacza „liczba wymierna”, i podamy kilka przykładów.
4. - zbiór, który obejmuje wszystkie wymierne i Ten zbiór jest oznaczony literą R.
5. Liczby zespolone zawierają część liczby rzeczywistej i część zmiennej. Służą do rozwiązywania różnych równań sześciennych, które z kolei mogą mieć ujemne wyrażenie we wzorach (i 2 = -1).

Co oznacza „racjonalny”: analizujemy to na przykładach

Jeśli te liczby, które możemy przedstawić jako ułamek wspólny, zostaną uznane za wymierne, to okaże się, że wszystkie liczby całkowite dodatnie i ujemne są również zawarte w zbiorze liczb wymiernych. W końcu każdą liczbę całkowitą, na przykład 3 lub 15, można przedstawić jako ułamek, w którym mianownik będzie równy jeden.

Ułamki: -9/3; 7/5, 6/55 to przykłady liczb wymiernych.

Co oznacza „wyrażenie racjonalne”?

Zacząć robić. Omówiliśmy już, co oznacza wymierna forma liczb. Wyobraźmy sobie teraz wyrażenie matematyczne składające się z sumy, różnicy, iloczynu lub ilorazu różnych liczb i zmiennych. Oto przykład: ułamek, którego licznik jest sumą dwóch lub więcej liczb całkowitych, a mianownik zawiera zarówno liczbę całkowitą, jak i pewną zmienną. To wyrażenie nazywa się racjonalnym. Opierając się na zasadzie „nie można dzielić przez zero”, można się domyślić, że wartość tej zmiennej nie może być taka, że ​​wartość mianownika wynosi zero. Dlatego rozwiązując wyrażenie wymierne, musisz najpierw określić zakres zmiennej. Na przykład, jeśli w mianowniku znajduje się wyrażenie: x+5-2, to okazuje się, że „x” nie może być równe -3. Rzeczywiście, w tym przypadku całe wyrażenie zamienia się w zero, dlatego podczas rozwiązywania konieczne jest wykluczenie liczby całkowitej -3 dla tej zmiennej.

Jak poprawnie rozwiązywać równania wymierne?

Wyrażenia wymierne mogą zawierać dość dużą liczbę liczb, a nawet 2 zmienne, więc czasami ich rozwiązanie staje się trudne. Aby ułatwić rozwiązanie takiego wyrażenia, zaleca się wykonanie pewnych operacji w sposób racjonalny. Co zatem oznacza „w sposób racjonalny” i jakimi zasadami należy się kierować przy podejmowaniu decyzji?

1. Pierwszy typ, gdy wystarczy uprościć wyrażenie. Aby to zrobić, możesz skorzystać z operacji redukcji licznika i mianownika do wartości nieredukowalnej. Na przykład, jeśli licznik zawiera wyrażenie 18x, a mianownik 9x, to zmniejszając oba wskaźniki o 9x, otrzymamy po prostu liczbę całkowitą równą 2.
2. Druga metoda jest praktyczna, gdy mamy jednomian w liczniku i wielomian w mianowniku. Spójrzmy na przykład: w liczniku mamy 5x, aw mianowniku - 5x + 20x 2 . W tym przypadku najlepiej wyjąć z nawiasów zmienną w mianowniku, otrzymamy następującą postać mianownika: 5x(1+4x). A teraz możesz użyć pierwszej reguły i uprościć wyrażenie, zmniejszając 5x w liczniku i mianowniku. W rezultacie otrzymujemy ułamek postaci 1/1+4x.

Jakie działania można wykonać na liczbach wymiernych?

Zbiór liczb wymiernych ma wiele własnych cech. Wiele z nich jest bardzo podobnych do cech występujących w liczbach całkowitych i naturalnych, z uwagi na to, że te ostatnie zawsze mieszczą się w zbiorze wymiernym. Oto kilka właściwości liczb wymiernych, znając je, możesz łatwo rozwiązać dowolne wyrażenie wymierne.

1. Właściwość przemienności pozwala sumować dwie lub więcej liczb, niezależnie od ich kolejności. Mówiąc najprościej, suma nie zmienia się od zmiany miejsc warunków.
2. Własność rozdzielności pozwala rozwiązywać problemy z wykorzystaniem prawa rozdzielności.
3. I wreszcie operacje dodawania i odejmowania.

Nawet dzieci w wieku szkolnym wiedzą, co oznacza „typ liczb wymiernych” i jak rozwiązywać problemy na podstawie takich wyrażeń, więc wykształcony dorosły musi po prostu pamiętać przynajmniej podstawy zbioru liczb wymiernych.

W tym artykule zaczniemy się uczyć liczby wymierne. Tutaj podajemy definicje liczb wymiernych, podajemy niezbędne wyjaśnienia i podajemy przykłady liczb wymiernych. Następnie skupimy się na tym, jak ustalić, czy dana liczba jest wymierna, czy nie.

Nawigacja po stronie.

Definicja i przykłady liczb wymiernych

W tym podrozdziale podajemy kilka definicji liczb wymiernych. Pomimo różnic w sformułowaniach, wszystkie te definicje mają to samo znaczenie: liczby wymierne łączą liczby całkowite i ułamkowe, tak jak liczby całkowite łączą liczby naturalne, ich liczby przeciwne i liczbę zero. Innymi słowy, liczby wymierne uogólniają liczby całkowite i ułamkowe.

Zacznijmy definicje liczb wymiernych co jest postrzegane jako najbardziej naturalne.

Z brzmionej definicji wynika, że ​​liczba wymierna to:

• Dowolna liczba naturalna n . Rzeczywiście, każdą liczbę naturalną można przedstawić jako zwykły ułamek, na przykład 3 = 3/1.
• Dowolna liczba całkowita, w szczególności liczba zero. Rzeczywiście, każdą liczbę całkowitą można zapisać jako dodatnią część wspólną, jako ujemną część wspólną lub jako zero. Na przykład 26=26/1 , .
• Dowolny ułamek zwykły (dodatni lub ujemny). Wynika to bezpośrednio z podanej definicji liczb wymiernych.
• Dowolna liczba mieszana. Rzeczywiście, zawsze można przedstawić liczbę mieszaną jako niewłaściwy ułamek wspólny. Na przykład i .
• Dowolny skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony okresowy. Dzieje się tak, ponieważ określone ułamki dziesiętne są konwertowane na ułamki zwykłe. Na przykład , i 0,(3)=1/3 .

Jest również jasne, że każda nieskończona i niepowtarzająca się liczba dziesiętna NIE jest liczbą wymierną, ponieważ nie można jej przedstawić jako zwykłego ułamka.

Teraz możemy łatwo przynieść przykłady liczb wymiernych. Liczby 4, 903, 100 321 są liczbami wymiernymi, ponieważ są liczbami naturalnymi. Liczby całkowite 58 , −72 , 0 , −833 333 333 są również przykładami liczb wymiernych. Ułamki zwykłe 4/9, 99/3 są również przykładami liczb wymiernych. Liczby wymierne to też liczby.

Powyższe przykłady pokazują, że istnieją zarówno dodatnie, jak i ujemne liczby wymierne, a wymierna liczba zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Powyższą definicję liczb wymiernych można sformułować w krótszej formie.

Definicja.

Liczby wymierne numery połączeń, które można zapisać jako ułamek z/n, gdzie z jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną.

Udowodnijmy, że ta definicja liczb wymiernych jest równoważna poprzedniej definicji. Wiemy, że kreskę ułamka możemy uznać za znak dzielenia, a następnie z własności dzielenia liczb całkowitych i reguł dzielenia liczb całkowitych wynikają następujące równości i . Więc co jest dowodem.

Podajemy przykłady liczb wymiernych opartych na tej definicji. Liczby −5 , 0 , 3 , i są liczbami wymiernymi, ponieważ można je zapisać jako ułamki zwykłe z licznikiem całkowitym i naturalnym mianownikiem odpowiednio postaci i .

Definicję liczb wymiernych można również podać w następującym sformułowaniu.

Definicja.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Ta definicja jest również równoważna pierwszej definicji, ponieważ każdy zwykły ułamek odpowiada skończonemu lub okresowemu ułamkowi dziesiętnemu i odwrotnie, a każda liczba całkowita może być powiązana z ułamkiem dziesiętnym z zerami po przecinku.

Na przykład liczby 5 , 0 , −13 , są przykładami liczb wymiernych, ponieważ można je zapisać jako następujące ułamki dziesiętne 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 i −7,(18) .

Kończymy teorię tej sekcji następującymi stwierdzeniami:

• liczby całkowite i ułamkowe (dodatnie i ujemne) tworzą zbiór liczb wymiernych;
• każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek z licznikiem całkowitym i naturalnym mianownikiem, a każdy taki ułamek jest liczbą wymierną;
• każdą liczbę wymierną można przedstawić jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny, a każdy taki ułamek reprezentuje jakąś liczbę wymierną.

Czy ta liczba jest wymierna?

W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy się, że dowolna liczba naturalna, dowolna liczba całkowita, dowolna ułamek zwykły, dowolna liczba mieszana, dowolna końcowa ułamek dziesiętny, a także dowolna ułamek dziesiętny okresowy jest liczbą wymierną. Ta wiedza pozwala nam „rozpoznać” liczby wymierne ze zbioru liczb zapisanych.

Ale co, jeśli liczba jest podana jako some , lub as , itd., jak odpowiedzieć na pytanie, czy dana liczba jest racjonalna? W wielu przypadkach bardzo trudno jest na nie odpowiedzieć. Wskażmy pewne kierunki toku myślenia.

Jeśli liczba jest określona jako wyrażenie numeryczne, które zawiera tylko liczby wymierne i znaki arytmetyczne (+, −, · oraz:), to wartość tego wyrażenia jest liczbą wymierną. Wynika to ze sposobu definiowania operacji na liczbach wymiernych. Na przykład po wykonaniu wszystkich operacji w wyrażeniu otrzymujemy liczbę wymierną 18 .

Czasami po uproszczeniu wyrażeń i bardziej złożonej postaci możliwe staje się stwierdzenie, czy dana liczba jest wymierna.

Idźmy dalej. Liczba 2 jest liczbą wymierną, ponieważ każda liczba naturalna jest wymierna. A co z numerem? Czy to jest racjonalne? Okazuje się, że nie - to nie jest liczba wymierna, to jest liczba niewymierna (dowód tego faktu przez sprzeczność podany jest w podręczniku do algebry dla klasy 8, wskazanym poniżej w spisie piśmiennictwa). Udowodniono również, że pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest liczbą wymierną tylko w przypadkach, gdy pierwiastek jest liczbą będącą doskonałym kwadratem pewnej liczby naturalnej. Na przykład i są liczbami wymiernymi, ponieważ 81=9 2 i 1024=32 2 , a liczby i nie są wymierne, ponieważ liczby 7 i 199 nie są doskonałymi kwadratami liczb naturalnych.

Czy liczba jest wymierna, czy nie? W tym przypadku łatwo zauważyć, że liczba ta jest zatem wymierna. Czy liczba jest wymierna? Udowodniono, że k-ty pierwiastek liczby całkowitej jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba pod znakiem pierwiastka jest k-tą potęgą pewnej liczby całkowitej. Dlatego nie jest to liczba wymierna, ponieważ nie ma liczby całkowitej, której piąta potęga wynosi 121.

Metoda sprzeczności pozwala nam udowodnić, że logarytmy niektórych liczb z jakiegoś powodu nie są liczbami wymiernymi. Na przykład udowodnijmy, że - nie jest liczbą wymierną.

Załóżmy odwrotnie, to znaczy załóżmy, że jest to liczba wymierna i można ją zapisać w postaci ułamka zwykłego m/n. Następnie i podaj następujące równości: . Ostatnia równość jest niemożliwa, ponieważ po jej lewej stronie jest liczba nieparzysta 5 n , a po prawej stronie jest liczba parzysta 2 m . Dlatego nasze założenie jest błędne, a zatem nie jest liczbą wymierną.

Podsumowując, warto podkreślić, że wyjaśniając racjonalność lub niewymierność liczb, należy powstrzymać się od nagłych wniosków.

Na przykład nie należy od razu twierdzić, że iloczyn liczb niewymiernych π i e jest liczbą niewymierną, jest to „jakby oczywiste”, ale nie udowodnione. Rodzi to pytanie: „Dlaczego iloczyn miałby być liczbą wymierną”? A dlaczego nie, ponieważ możesz podać przykład liczb niewymiernych, których iloczyn daje liczbę wymierną:

Nie wiadomo również, czy liczby i wiele innych liczb są wymierne, czy nie. Na przykład istnieją liczby niewymierne, których moc niewymierna jest liczbą wymierną. Dla ilustracji podajmy stopień postaci , podstawa tego stopnia i wykładnik nie są liczbami wymiernymi, ale , a 3 jest liczbą wymierną.

Bibliografia.

• Matematyka. Klasa 6: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje / [N. Ya Vilenkin i inni]. - wyd. 22, ks. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chory. ISBN 978-5-346-00897-2 .
• Algebra: podręcznik na 8 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., zd.

Kożinowa Anastazja

NIETYPOWY BUDŻET MIEJSKI

OGÓLNA INSTYTUCJA KSZTAŁCENIA

„LICEUM №76”

JAKI JEST SEKRET RACJONALNEGO LICZENIA?

Wykonane:

Uczeń klasy 5 „B”.

Kożinowa Anastazja

Kierownik:

Nauczyciel matematyki

Szyklina Tatiana

Nikołajewna

Nowokuźnieck 2013

Wstęp……………………………… 3

Główna część.............................................................................. 5-13

Podsumowanie i wnioski........................................................... 13-14

Bibliografia………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….

Aplikacje……………………………………………………. 16-31

I. Wstęp

Problem: znajdowanie wartości wyrażeń liczbowych

Cel pracy: poszukiwanie, badanie istniejących metod i technik racjonalnego liczenia, ich zastosowanie w praktyce.

Zadania:

1. Przeprowadź mini ankietę w formie ankiety wśród klas równoległych.

2. Analizować temat badań: literaturę dostępną w bibliotece szkolnej, informacje w podręczniku do matematyki dla klasy 5, w Internecie.

3. Wybierz najskuteczniejsze metody i środki racjonalnego liczenia.

4. Przeprowadzić klasyfikację istniejących metod szybkiego liczenia ustnego i pisemnego.

5. Tworzyć notatki zawierające techniki racjonalnego liczenia do wykorzystania na 5 równoległych zajęciach.

Przedmiot badań: konto racjonalne.

Przedmiot badań: sposoby racjonalnego liczenia.

Dla efektywności pracy badawczej zastosowałem następujące metody: analiza informacji pozyskanych z różnych źródeł, synteza, uogólnienie; badanie opinii w formie ankiety. Ankieta została opracowana przeze mnie zgodnie z celem i celami badania, wiekiem respondentów i jest przedstawiona w głównej części pracy.

W toku prac badawczych rozważano zagadnienia związane z metodami i technikami racjonalnego liczenia oraz wydano zalecenia eliminowania problemów z umiejętnościami obliczeniowymi, kształtowania kultury obliczeniowej.

II. Głównym elementem

Kształtowanie kultury komputerowej studentów

5-6 stopni.

Oczywiste jest, że metody racjonalnego liczenia są niezbędnym elementem kultury obliczeniowej w życiu każdego człowieka, przede wszystkim ze względu na ich praktyczne znaczenie, a uczniowie potrzebują ich niemal na każdej lekcji.

Kultura obliczeniowa jest podstawą studiowania matematyki i innych dyscyplin akademickich, ponieważ oprócz tego, że obliczenia aktywizują pamięć, uwagę, pomagają racjonalnie organizować działania i znacząco wpływają na rozwój człowieka.

W życiu codziennym, na szkoleniach, kiedy liczy się każda minuta, bardzo ważne jest szybkie i racjonalne przeprowadzanie ustnych i pisemnych obliczeń bez popełniania błędów i bez użycia dodatkowych narzędzi obliczeniowych.

My, uczniowie, spotykamy się z tym problemem wszędzie: w klasie, w domu, w sklepie itp. Ponadto po klasach 9 i 11 będziemy musieli zdawać egzaminy w postaci IGA oraz Unified State Examination, gdzie korzystanie z mikrokalkulatora jest zabronione. Dlatego problem kształtowania się u każdego człowieka kultury obliczeniowej, której elementem jest opanowanie metod racjonalnego liczenia, staje się niezwykle istotny.

Szczególnie konieczne jest opanowanie metod racjonalnego liczenia.

w nauce takich przedmiotów, jak matematyka, historia, technologia, informatyka itp., czyli racjonalne liczenie pomaga opanować przedmioty pokrewne, lepiej poruszać się po studiowanym materiale w sytuacjach życiowych. Więc na co czekamy? Przejdźmy do świata tajemnic Racjonalnych metod liczenia!!!

Jakie problemy mają uczniowie podczas wykonywania obliczeń?

Często rówieśnicy w moim wieku mają problemy z wykonywaniem różnych zadań, w których konieczne jest szybkie i wygodne wykonywanie obliczeń. . Dlaczego???

Oto kilka domysłów:

1. Student nie opanował dobrze studiowanego tematu

2. Student nie powtarza materiału

3. Student ma słabe umiejętności liczenia

4. Student nie chce studiować tego tematu

5. Uczeń uważa, że ​​nie będzie mu to przydatne.

Wszystkie te założenia wziąłem z własnego doświadczenia oraz doświadczeń moich kolegów z klasy i rówieśników. Jednak umiejętność racjonalnego liczenia odgrywa ważną rolę w ćwiczeniach obliczeniowych, więc studiowałem, stosowałem i chcę przedstawić kilka technik racjonalnego liczenia.

Racjonalne metody obliczeń ustnych i pisemnych.

W pracy i życiu nieustannie pojawia się potrzeba różnego rodzaju obliczeń. Korzystanie z najprostszych metod liczenia w myślach zmniejsza zmęczenie, rozwija uwagę i pamięć. Stosowanie racjonalnych metod obliczeniowych jest niezbędne do zwiększenia pracochłonności, dokładności i szybkości obliczeń. Szybkość i dokładność obliczeń można osiągnąć tylko przy racjonalnym wykorzystaniu metod i środków mechanizacji obliczeń, a także przy prawidłowym stosowaniu metod liczenia umysłowego.

I. Uproszczone techniki dodawania liczb

Istnieją cztery metody dodawania, które pozwalają przyspieszyć obliczenia.

Metoda sekwencyjnego dodawania bitów używany w obliczeniach umysłowych, ponieważ upraszcza i przyspiesza sumowanie terminów. Podczas korzystania z tej metody dodawanie zaczyna się od najwyższych cyfr: odpowiednie cyfry drugiego terminu są dodawane do pierwszego terminu.

Przykład. Znajdźmy sumę liczb 5287 i 3564 metodą sekwencyjnego dodawania bitowego.

Rozwiązanie. Obliczymy w następującej kolejności:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Odpowiedź: 8 851

Inny sposób sekwencyjnego dodawania bitowego polega na tym, że najwyższa ranga drugiego wyrazu jest dodawana do najwyższej cyfry pierwszego wyrazu, następnie następna cyfra drugiego wyrazu jest dodawana do kolejnej cyfry pierwszego wyrazu i tak dalej.

Rozważmy to rozwiązanie w podanym przykładzie, otrzymamy:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Odpowiedź: 8851.

metoda okrągłych liczb . Liczba, która ma jedną cyfrę znaczącą i kończy się jednym lub więcej zerami, nazywana jest liczbą okrągłą. Ta metoda jest używana, gdy można wybrać dwa lub więcej terminów, które można uzupełnić do okrągłej liczby. Różnica między liczbą zaokrągloną a liczbą określoną w warunku obliczenia nazywana jest dopełnieniem. Na przykład 1000 - 978 = 22. W tym przypadku liczba 22 jest arytmetycznym dodaniem liczby 978 do 1000.

Aby dodać metodą okrągłych liczb, należy zaokrąglić jeden lub więcej terminów zbliżonych do okrągłych liczb, dodać okrągłe liczby i odjąć arytmetyczne dodatki od otrzymanej sumy.

Przykład. Znajdź sumę liczb 1238 i 193 za pomocą metody liczb okrągłych.

Rozwiązanie. Zaokrąglij liczbę od 193 do 200 i dodaj w następujący sposób: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (prawo stowarzyszeniowe)

Metoda grupowania terminów . Ta metoda jest stosowana, gdy terminy pogrupowane razem dają okrągłe liczby, które następnie są sumowane.

Przykład. Znajdź sumę liczb 74, 32, 67, 48, 33 i 26.

Rozwiązanie. Zsumujmy pogrupowane liczby w następujący sposób: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(prawo asocjacyjno-przesunięcia)

lub, gdy grupowanie liczb daje równe sumy:

Przykład: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(prawo asocjacyjno-przesunięcia)

II. Techniki uproszczonego odejmowania liczb

Metoda sekwencyjnego odejmowania bitowego. Ta metoda sekwencyjnie odejmuje każdą cyfrę odejmowaną od zmniejszonej. Jest używany, gdy liczb nie można zaokrąglić.

Przykład. Znajdź różnicę między liczbami 721 i 398.

Rozwiązanie. Wykonajmy działania, aby znaleźć różnicę podanych liczb w następującej kolejności:

przedstaw liczbę 398 jako sumę: 300 + 90 + 8 = 398;

wykonaj odejmowanie bitowe:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

metoda okrągłych liczb . Ta metoda jest używana, gdy odejmowanie jest bliskie okrągłej liczbie. Aby obliczyć, konieczne jest odjęcie odejmowanej liczby, przyjętej jako liczba okrągła, od zredukowanej i dodanie arytmetycznego dodatku do powstałej różnicy.

Przykład. Obliczmy różnicę między liczbami 235 i 197 za pomocą metody liczb okrągłych.

Rozwiązanie. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Techniki uproszczonego mnożenia liczb

Mnożenie przez jeden, a następnie zera. Podczas mnożenia liczby przez liczbę, która zawiera jednostkę, po której następują zera (10; 100; 1000 itd.), Po prawej stronie przypisujemy jej tyle zer, ile jest w mnożniku po jednostce.

Przykład. Znajdź iloczyn liczb 568 i 100.

Rozwiązanie. 568x100 = 56800.

metoda mnożenia bitowego . Ta metoda jest używana podczas mnożenia liczby przez dowolną liczbę jednocyfrową. Jeśli musisz pomnożyć liczbę dwucyfrową (trzy-, czterocyfrową itp.) Przez liczbę jednocyfrową, to najpierw mnożnik jednocyfrowy jest mnożony przez dziesiątki innego czynnika, a następnie przez jego jednostki i wynikową produkty są sumowane.

Przykład. Znajdź iloczyn liczb 39 i 7.

Rozwiązanie. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (prawo rozdzielności mnożenia w odniesieniu do dodawania)

metoda okrągłych liczb . Metodę tę stosuje się tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zbliżony do liczby okrągłej. Mnożnik mnoży się przez okrągłą liczbę, a następnie przez dodawanie arytmetyczne, a na koniec od pierwszego iloczynu odejmowana jest druga.

Przykład. Znajdź iloczyn liczb 174 i 69.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (prawo rozdzielności mnożenia w odniesieniu do odejmowania)

Sposób na rozwinięcie jednego z czynników. W metodzie tej jeden z czynników jest najpierw rozkładany na części (człony), następnie drugi czynnik jest mnożony kolejno przez każdą część pierwszego czynnika, a otrzymane produkty są sumowane.

Przykład. Znajdź iloczyn liczb 13 i 325.

Rozłóżmy liczbę 13 na wyrazy: 13 \u003d 10 + 3. Pomnóżmy każdy z otrzymanych wyrazów przez 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Sumując otrzymane iloczyny: 3250 + 975 = 4225

Opanowanie umiejętności racjonalnego liczenia w myślach sprawi, że Twoja praca będzie wydajniejsza. Jest to możliwe tylko przy dobrym opanowaniu wszystkich powyższych operacji arytmetycznych. Stosowanie racjonalnych metod liczenia przyspiesza obliczenia i zapewnia niezbędną dokładność. Ale nie tylko trzeba umieć liczyć, ale trzeba też znać tabliczkę mnożenia, prawa działań arytmetycznych, klasy i cyfry.

Istnieją mentalne systemy liczenia, które umożliwiają szybkie i racjonalne liczenie ustne. Przyjrzymy się niektórym z najczęściej stosowanych technik.

1. Mnożenie liczby dwucyfrowej przez 11.

Przestudiowaliśmy tę metodę, ale nie przestudiowaliśmy jej do końca. tajemnica tej metody polega na tym, że można ją uznać za prawa operacji arytmetycznych.

Przykłady:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (prawo rozdzielności i metoda okrągłych liczb)

Studiowaliśmy tę metodę, ale nie znaliśmy innej. Sekret mnożenia liczb dwucyfrowych przez 11.

Obserwując wyniki uzyskane podczas mnożenia liczb dwucyfrowych przez 11, zauważyłem, że można uzyskać odpowiedź w wygodniejszy sposób. : przy mnożeniu liczby dwucyfrowej przez 11 cyfry tej liczby są rozsuwane, a suma tych cyfr jest umieszczana na środku.

a) 23 11=253, ponieważ 2+3=5;

b) 45 11=495, ponieważ 4+5=9;

c) 57 11=627, ponieważ 5 + 7 = 12, dwa zostały umieszczone w środku, a jeden został dodany do setek;

d) 78 11=858, skoro 7+8=15, to liczba dziesiątek będzie równa 5, a liczba setek wzrośnie o jeden i będzie równa 8.

Znalazłem potwierdzenie tej metody w Internecie.

2) Iloczyn liczb dwucyfrowych, które mają taką samą liczbę dziesiątek, a suma jednostek wynosi 10, czyli 23 27; 34 36; 52 58 itd.

reguła: cyfra dziesiątek jest mnożona przez następną cyfrę ciągu naturalnego, wynik jest zapisywany i przypisywany jest do niego iloczyn jednostek.

a) 23 27 = 621. Jak zdobyłeś 621? Mnożymy liczbę 2 przez 3 (po „dwóch” następuje „trzy”), będzie to 6, a następnie przypiszemy iloczyn jednostek: 3 7 \u003d 21, okazuje się, że 621.

b) 34 36 = 1224, ponieważ 3 4 = 12, przypisujemy 24 liczbie 12, jest to iloczyn jednostek tych liczb: 4 6.

c) 52 58 \u003d 3016, ponieważ liczbę dziesiątek pomnożymy 5 przez 6, będzie to 30, przypisujemy iloczyn 2 i 8, tj. 16.

d) 61 69=4209. Oczywiste jest, że 6 zostało pomnożone przez 7 i otrzymało 42. A skąd pochodzi zero? Pomnożyliśmy jednostki i otrzymaliśmy: 1 9 \u003d 9, ale wynik musi być dwucyfrowy, więc bierzemy 09.

3) Podziel liczby trzycyfrowe, które mają te same cyfry, przez 37. Wynikiem jest suma tych identycznych cyfr liczby trzycyfrowej (lub liczby równej trzykrotnej cyfrze liczby trzycyfrowej).

Przykłady: a) 222:37=6. To jest suma 2+2+2=6; b) 333:37=9, ponieważ 3+3+3=9.

c) 777:37=21, czyli do 7+7+7=21.

d) 888:37=24, ponieważ 8+8+8=24.

Bierzemy również pod uwagę fakt, że 888:24=37.

III. Wniosek

Aby rozwikłać główny sekret w temacie mojej pracy, musiałem ciężko pracować - wyszukiwać, analizować informacje, pytać kolegów z klasy, powtarzać znane wcześniej metody i znajdować wiele nieznanych metod racjonalnego liczenia, a wreszcie zrozumieć jaki jest jego sekret? I zdałem sobie sprawę, że najważniejsze jest znać i umieć zastosować znane, znaleźć nowe racjonalne metody liczenia, tabliczkę mnożenia, skład liczby (klasy i cyfry), prawa operacji arytmetycznych. Oprócz,

poszukaj nowych sposobów, aby to zrobić:

- Uproszczone techniki dodawania liczb: (metoda sekwencyjnego dodawania bitowego; metoda liczby okrągłej; metoda rozkładu jednego z czynników na wyrazy);

-Techniki uproszczonego odejmowania liczb(metoda sekwencyjnego odejmowania bitowego; metoda liczb okrągłych);

-Techniki uproszczonego mnożenia liczb(mnożenie przez jedynkę i zera; metoda mnożenia bitowego; metoda liczb okrągłych; metoda rozszerzania jednego z czynników ;

- Sekrety szybkiego liczenia w pamięci(mnożenie liczby dwucyfrowej przez 11: przy mnożeniu liczby dwucyfrowej przez 11 cyfry tej liczby są rozsuwane, a suma tych cyfr umieszczana na środku; iloczyn liczb dwucyfrowych, które mają ta sama liczba dziesiątek, a suma jednostek wynosi 10 Dzielenie liczb trzycyfrowych składających się z identycznych cyfr, na liczbie 37. Takich sposobów jest pewnie więcej, więc w przyszłym roku będę kontynuował pracę nad tym tematem.

IV. Bibliografia

1. Savin AP Miniatury matematyczne / AP Savin. - M.: Literatura dziecięca, 1991

2. Zubareva II, Matematyka, klasa 5: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / I.I. Zubareva, A.G. Mordkowicz. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http:// / www. biografia.ru

6. http://www. Matematyka-powtórka. en

V. Aplikacje

Mini badanie (ankieta w formie ankiety)

Aby zidentyfikować wiedzę uczniów na temat racjonalnego liczenia, przeprowadziłam ankietę w formie kwestionariusza na następujące pytania:

* Czy wiesz, jakie są racjonalne metody liczenia?

* Jeśli tak, to gdzie, a jeśli nie, to dlaczego?

* Ile znasz sposobów racjonalnego liczenia?

* Czy masz trudności z liczeniem w pamięci?

* Jak uczysz się matematyki? a) na „5”; b) na „4”; c) na „3”

* Co najbardziej lubisz w matematyce?

a) przykłady; b) zadania; c) ułamki

* Jak myślisz, gdzie liczenie w myślach może być przydatne, z wyjątkiem matematyki? * Czy pamiętasz prawa operacji arytmetycznych, jeśli tak, to jakie?

Po przeprowadzeniu ankiety zdałem sobie sprawę, że moi koledzy z klasy nie znają wystarczająco praw działań arytmetycznych, większość z nich ma problemy z racjonalnym liczeniem, wielu uczniów liczy wolno i z błędami, a każdy chce nauczyć się liczyć szybko, poprawnie i w sposób wygodny sposób. Dlatego temat mojej pracy badawczej jest niezwykle ważny dla wszystkich studentów i nie tylko.

1. Ciekawe ustne i pisemne metody obliczeń, które studiowaliśmy na lekcjach matematyki, korzystając z przykładów z podręcznika „matematyka, klasa 5”:

Tutaj jest kilka z nich:

szybko pomnożyć liczbę przez 5, wystarczy zauważyć, że 5=10:2.

Na przykład 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Aby pomnożyć liczbę przez 50 , możesz to pomnożyć przez 100 i podzielić przez 2.

Na przykład: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Aby pomnożyć liczbę przez 25 , możesz to pomnożyć przez 100 i podzielić przez 4,

Na przykład 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Aby pomnożyć liczbę przez 125 , możesz to pomnożyć przez 1000 i podzielić przez 8 ,

Na przykład: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Aby utworzyć okrągłą liczbę zakończoną dwoma zerami podzieloną przez 25 , możesz podzielić przez 100 i pomnożyć przez 4.

Na przykład: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Aby podzielić okrągłą liczbę przez 50 , można podzielić przez 100 i pomnożyć przez 2

Na przykład: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Ale nie tylko trzeba umieć liczyć, ale trzeba też znać tabliczkę mnożenia, prawa działań arytmetycznych, skład liczby (klasy i cyfry) i umieć z nich korzystać

Prawa działań arytmetycznych.

A + B = B + A

Przemienne prawo dodawania

(A + B) + C = A + (B + C)

Asocjacyjne prawo dodawania

A · B = B · A

Przemienne prawo mnożenia

(A · B) · C = A · (B · C)

Asocjacyjne prawo mnożenia

(A = B) · C = A · C = B · C

Dystrybucyjne prawo mnożenia (w odniesieniu do dodawania)

Tabliczka mnożenia.

Co to jest mnożenie?

To sprytny dodatek.

W końcu mądrzej jest pomnożyć razy,

Niż dodać wszystko przez godzinę.

Tabliczka mnożenia

Wszyscy potrzebujemy tego w życiu.

I nie bez powodu nazwane

POMNÓŻ to!

Rangi i klasy

Aby wygodnie było czytać, a także zapamiętywać liczby o dużych wartościach, należy je podzielić na tzw. „klasy”: zaczynając od prawej, liczbę dzieli się spacją na trzy cyfry „pierwszej klasy”, następnie trzy zaznaczono więcej cyfr, „drugiej klasy” itp. W zależności od znaczenia cyfry, ostatnie zajęcia mogą kończyć się trzema, dwiema lub jedną cyfrą.

Na przykład liczba 35461298 jest zapisana w następujący sposób:

Ta liczba jest podzielona na klasy:

482 - pierwsza klasa (klasa jednostek)

630 - druga klasa (klasa tysięcy)

35 - trzecia klasa (klasa milionów)

Wypisać

Każda z cyfr tworzących klasę nazywana jest jej kategorią, której odliczanie również przebiega w prawo.

Na przykład liczbę 35 630 482 można rozłożyć na klasy i cyfry:

482 - pierwsza klasa

2 - pierwsza cyfra (cyfra jedności)

8 - druga cyfra (cyfra dziesiątek)

4 - trzecia cyfra (cyfra setek)

630 - druga klasa

0 - pierwsza cyfra (cyfra tysięcy)

3 - druga cyfra (cyfra dziesiątek tysięcy)

6 - trzecia cyfra (cyfra stu tysięcy)

35 - trzecia klasa

5 - pierwsza cyfra (cyfra jednostek milionów)

3 - druga cyfra (cyfra dziesiątek milionów)

Numer 35 630 482 brzmi:

Trzydzieści pięć milionów sześćset trzydzieści tysięcy czterysta osiemdziesiąt dwa.

Problemy z racjonalnym liczeniem i sposoby ich rozwiązywania

Racjonalne metody zapamiętywania.

W wyniku ankiety i obserwacji z lekcji zauważyłem, że niektórzy uczniowie źle rozwiązują różne zadania i ćwiczenia, ponieważ nie znają racjonalnych metod liczenia.

1. Jedną z metod jest sprowadzenie badanego materiału do systemu dogodnego do zapamiętywania i przechowywania w pamięci.

2. Aby zapamiętany materiał mógł być przechowywany w pamięci w określonym systemie, należy wykonać pewną pracę nad jego zawartością.

3. Następnie możesz zacząć opanowywać każdą pojedynczą część tekstu, czytać go ponownie i próbować natychmiast odtworzyć (powtórzyć sobie lub na głos) to, co przeczytałeś.

4. Duże znaczenie dla zapamiętywania ma powtarzanie materiału. Świadczy o tym również popularne przysłowie: „Powtórzenie matką nauki”. Ale trzeba to również powtarzać rozsądnie i poprawnie.

Dzieło powtarzania należy ożywić, opierając się na ilustracjach lub przykładach, które wcześniej nie istniały lub zostały już zapomniane.

Na podstawie powyższego możemy pokrótce sformułować następujące zalecenia dotyczące pomyślnej asymilacji materiału edukacyjnego:

1. Ustaw zadanie, szybko i mocno zapamiętaj materiał edukacyjny na długi czas.

2. Skoncentruj się na tym, czego musisz się nauczyć.

3. Dobrze zrozum materiał do nauki.

4. Zrób plan zapamiętanego tekstu, podkreślając w nim główne myśli, podziel tekst na części.

5. Jeśli materiał jest obszerny, przyswajaj kolejno jedną część po drugiej, a następnie przedstaw wszystko jako całość.

6. Po przeczytaniu materiału należy go odtworzyć (powiedzieć, co przeczytano).

7. Powtarzaj materiał, aż zostanie zapomniany.

8. Rozłóż powtórzenie na dłuższy czas.

9. Podczas zapamiętywania korzystaj z różnych rodzajów pamięci (przede wszystkim semantycznej) i indywidualnych cech swojej pamięci (wzrokowej, słuchowej lub motorycznej).

10. Trudny materiał należy powtarzać przed snem, a potem rano „dla świeżej pamięci”.

11. Staraj się stosować zdobytą wiedzę w praktyce. To najlepszy sposób na zachowanie ich w pamięci (nie bez powodu mówią: „Prawdziwą matką doktryny nie jest powtarzanie, lecz stosowanie”).

12. Konieczne jest zdobywanie większej wiedzy, nauczenie się czegoś nowego.

Teraz nauczyłeś się, jak szybko i poprawnie zapamiętać studiowany materiał.

Ciekawa technika mnożenia niektórych liczb przez 9 w połączeniu z dodawaniem kolejnych liczb naturalnych od 2 do 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Ciekawa gra „Zgadnij liczbę”

Czy grałeś w grę Zgadnij numer? To jest bardzo prosta gra. Powiedzmy, że myślę o liczbie naturalnej mniejszej niż 100, zapisuję ją na papierze (aby nie było możliwości oszukiwania), a ty próbujesz ją odgadnąć, zadając pytania, na które można odpowiedzieć tylko „tak” lub „nie” . Potem odgadujesz liczbę, a ja próbuję ją odgadnąć. Wygrywa ten, kto odgadnie najmniejszą liczbę pytań.

Ile pytań potrzebujesz, aby odgadnąć mój numer? Nie wiem? Zobowiązuję się odgadnąć Twój numer, zadając tylko siedem pytań. Jak? Ale jak np. Pozwól odgadnąć liczbę. Pytam: „Czy to mniej niż 64?” - "Tak". – „Mniej niż 32?” - "Tak". - "Mniej niż 16 lat?" - "Tak". – „Mniej niż 8?” - "NIE". - "Mniej niż 12?" - "NIE". - "Mniej niż 14?" - "Tak". - "Mniej niż 13?" - "NIE". - „Liczba 13 została poczęta”.

Jest jasne? Dzielę zbiór możliwych liczb na pół, następnie pozostałą połowę ponownie na pół i tak dalej, aż reszta będzie jedną liczbą.

Jeśli podobała ci się gra lub wręcz przeciwnie, chcesz więcej, idź do biblioteki i weź książkę „A. P. Savin (Miniatury matematyczne). W tej książce znajdziesz wiele ciekawych i ekscytujących rzeczy. zdjęcie książki:

Dziękuję wszystkim za uwagę

I życzę powodzenia!!!

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Jaki jest sekret racjonalnego liczenia?

Cel pracy: poszukiwanie informacji, badanie istniejących metod i technik racjonalnego liczenia, ich zastosowanie w praktyce.

Zadania: 1. Przeprowadzić mini ankietę w formie ankiety wśród klas równoległych. 2. Analizować temat badań: literaturę dostępną w bibliotece szkolnej, informacje zawarte w podręczniku do matematyki dla klasy 5, a także w Internecie. 3. Wybierz najskuteczniejsze metody i środki racjonalnego liczenia. 4. Dokonać klasyfikacji istniejących metod szybkiego liczenia ustnego i pisemnego. 5. Utwórz notatki zawierające racjonalne techniki liczenia do wykorzystania na 5 równoległych zajęciach.

Jak już powiedziałem, temat racjonalnego liczenia jest ważny nie tylko dla uczniów, ale dla każdej osoby, aby się o tym przekonać, przeprowadziłem ankietę wśród uczniów klasy 5. Pytania i odpowiedzi z ankiety są prezentowane w aplikacji.

Co to jest konto racjonalne? Racjonalne konto to wygodne konto (słowo racjonalne oznacza wygodne, poprawne)

Dlaczego uczniowie mają trudności?

Oto kilka założeń: Student: 1. nie opanował dobrze studiowanego tematu; 2. nie powtarza materiału; 3. ma słabe umiejętności liczenia; 4 . myśli, że nie będzie mu to potrzebne.

Racjonalne metody obliczeń ustnych i pisemnych. W pracy i życiu nieustannie pojawia się potrzeba różnego rodzaju obliczeń. Korzystanie z najprostszych metod liczenia w myślach zmniejsza zmęczenie, rozwija uwagę i pamięć.

Istnieją cztery metody dodawania, które pozwalają przyspieszyć obliczenia. I. Techniki uproszczonego dodawania liczb

Metoda sekwencyjnego dodawania bitowego jest stosowana w obliczeniach mentalnych, ponieważ upraszcza i przyspiesza sumowanie wyrazów. Podczas korzystania z tej metody dodawanie zaczyna się od najwyższych cyfr: odpowiednie cyfry drugiego terminu są dodawane do pierwszego terminu. Przykład. Znajdź sumę liczb 5287 i 3564 za pomocą tej metody. Rozwiązanie. Obliczymy w następującej kolejności: 5287 + 3000 = 8287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851 . Odpowiedź: 8 851.

Innym sposobem dodawania kolejnych bitów jest dodawanie najwyższej cyfry drugiego wyrazu do najwyższej cyfry pierwszego wyrazu, następnie następna cyfra drugiego wyrazu jest dodawana do następnej cyfry pierwszego wyrazu i tak dalej. Rozważmy to rozwiązanie w podanym przykładzie, otrzymamy: 5000 + 3000 = 8000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Odpowiedź: 8851.

metoda okrągłych liczb. Liczba, która kończy się jednym lub kilkoma zerami, nazywana jest liczbą okrągłą. Ta metoda jest używana, gdy można wybrać dwa lub więcej terminów, które można uzupełnić do okrągłej liczby. Różnica między liczbą zaokrągloną a liczbą określoną w warunku obliczenia nazywana jest dopełnieniem. Na przykład 1000 - 978 = 22. W tym przypadku liczba 22 jest arytmetycznym uzupełnieniem liczby od 978 do 1000. Aby dodać metodą okrągłych liczb, należy zaokrąglić jeden lub więcej terminów zbliżonych do okrągłych liczb, dodać okrągłe liczby i odjąć arytmetyczne dodatki od otrzymanej sumy. Przykład. Znajdź sumę liczb 1238 i 193 za pomocą metody liczb okrągłych. Rozwiązanie. Zaokrąglij liczbę od 193 do 200 i dodaj następująco: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Metoda grupowania terminów. Ta metoda jest stosowana, gdy terminy pogrupowane razem dają okrągłe liczby, które następnie są sumowane. Przykład. Znajdź sumę liczb 74, 32, 67, 48, 33 i 26. Rozwiązanie. Zsumujmy pogrupowane liczby w następujący sposób: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Metoda dodawania oparta na grupowaniu terminów. Przykład: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Techniki uproszczonego odejmowania liczb

Metoda sekwencyjnego odejmowania bitowego. Ta metoda sekwencyjnie odejmuje każdą cyfrę odejmowaną od zmniejszonej. Jest używany, gdy liczb nie można zaokrąglić. Przykład. Znajdź różnicę między liczbami 721 i 398 . Wykonajmy działania mające na celu znalezienie różnicy podanych liczb w następującej kolejności: przedstawmy liczbę 398 jako sumę: 300 + 90 + 8 = 398; wykonaj odejmowanie bitowe: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

metoda okrągłych liczb. Ta metoda jest używana, gdy odejmowanie jest bliskie okrągłej liczbie. Aby obliczyć, konieczne jest odjęcie odejmowanej liczby, przyjętej jako liczba okrągła, od zredukowanej i dodanie arytmetycznego dodatku do powstałej różnicy. Przykład. Obliczmy różnicę między liczbami 235 i 197 za pomocą metody liczb okrągłych. Rozwiązanie. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Techniki uproszczonego mnożenia liczb

Mnożenie przez jeden, a następnie zera. Podczas mnożenia liczby przez liczbę, która zawiera jednostkę, po której następują zera (10; 100; 1000 itd.), Po prawej stronie przypisujemy jej tyle zer, ile jest w mnożniku po jednostce. Przykład. Znajdź iloczyn liczb 568 i 100. Rozwiązanie. 568x100 = 56800.

Metoda sekwencyjnego mnożenia bitowego. Ta metoda jest używana podczas mnożenia liczby przez dowolną liczbę jednocyfrową. Jeśli musisz pomnożyć liczbę dwucyfrową (trzy-, czterocyfrową itp.) Przez jedną, to najpierw jeden z czynników jest mnożony przez dziesiątki drugiego czynnika, a następnie przez jego jednostki, a otrzymane produkty są podsumował. Przykład. Znajdźmy iloczyn liczb 39 i 7. Rozwiązanie. 39x7 = (30x7) + (9x7) = 210 + 63 = 273.

metoda okrągłych liczb. Metodę tę stosuje się tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zbliżony do liczby okrągłej. Mnożnik mnoży się przez okrągłą liczbę, a następnie przez dodawanie arytmetyczne, a na koniec od pierwszego iloczynu odejmowana jest druga. Przykład. Znajdźmy iloczyn liczb 174 i 69. Rozwiązanie. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12180 - 174 = 12006.

Sposób na rozwinięcie jednego z czynników. W metodzie tej jeden z czynników jest najpierw rozkładany na części (człony), następnie drugi czynnik jest mnożony kolejno przez każdą część pierwszego czynnika, a otrzymane produkty są sumowane. Przykład. Znajdźmy iloczyn liczb 13 i 325. Rozwiązanie. Rozłóżmy liczbę na wyrazy: 13 \u003d 10 + 3. Pomnóżmy każdy z otrzymanych wyrazów przez 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Sumujemy otrzymane produkty: 3250 + 975 = 4225.

Sekrety szybkiego liczenia w pamięci. Istnieją mentalne systemy liczenia, które umożliwiają szybkie i racjonalne liczenie ustne. Przyjrzymy się niektórym z najczęściej stosowanych technik.

Mnożenie liczby dwucyfrowej przez 11.

Przykłady: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (prawo rozdzielności i metoda zaokrąglania liczb) We studiowaliśmy tę metodę, ale nie znaliśmy jeszcze jednego sekretu mnożenia liczb dwucyfrowych przez 11.

Obserwując wyniki uzyskane podczas mnożenia liczb dwucyfrowych przez 11, zauważyłem, że odpowiedź można uzyskać w wygodniejszy sposób: podczas mnożenia liczby dwucyfrowej przez 11 cyfry tej liczby są rozsuwane, a suma tych cyfry są umieszczane na środku. Przykłady. a) 23 11=253, ponieważ 2+3=5; b) 45 11=495, ponieważ 4+5=9; c) 57 11=627, ponieważ 5 + 7 = 12, dwa zostały umieszczone w środku, a jeden został dodany do setek; Znalazłem potwierdzenie tej metody w Internecie.

2) iloczyn liczb dwucyfrowych, które mają tę samą liczbę dziesiątek, a suma jednostek wynosi 10, tj. 23 27; 34 36; 52 58 itd. Zasada: cyfrę dziesiątek mnoży się przez następną cyfrę ciągu naturalnego, wynik zapisuje się i przypisuje mu iloczyn jednostek. Przykłady. a) 23 27 = 621. Jak zdobyłeś 621? Mnożymy liczbę 2 przez 3 (po „dwóch” następuje „trzy”), będzie to 6, a następnie przypiszemy iloczyn jednostek: 3 7 \u003d 21, okazuje się, że 621. b) 34 36 = 1224, ponieważ 3 4 = 12, przypisujemy 24 liczbie 12, jest to iloczyn jednostek tych liczb: 4 6.

3) Dzielenie liczb trzycyfrowych składających się z tych samych cyfr przez liczbę 37. Wynik jest równy sumie tych identycznych cyfr liczby trzycyfrowej (lub liczby równej trzykrotności cyfry liczby trzycyfrowej ). Przykłady. a) 222:37=6. To jest suma 2+2+2=6 . b) 333:37=9, ponieważ 3+3+3=9. c) 777:37=21, ponieważ 7+7+7=21. d) 888:37=24, ponieważ 8+8+8=24. Bierzemy również pod uwagę fakt, że 888:24=37.

Opanowanie umiejętności racjonalnego liczenia w myślach sprawi, że Twoja praca będzie wydajniejsza. Jest to możliwe tylko przy dobrym opanowaniu wszystkich powyższych operacji arytmetycznych. Stosowanie racjonalnych metod liczenia przyspiesza obliczenia i zapewnia niezbędną dokładność.

Wniosek Aby rozwikłać główny sekret w temacie mojej pracy, musiałem ciężko pracować - wyszukiwać, analizować informacje, pytać kolegów z klasy, powtarzać znane wcześniej metody i znajdować wiele nieznanych metod racjonalnego liczenia, a wreszcie zrozumieć, na czym polega sekret? I zdałem sobie sprawę, że najważniejsze jest znać i umieć zastosować znane, znaleźć nowe racjonalne metody liczenia, znać tabliczkę mnożenia, skład liczby (klasy i cyfry), prawa operacji arytmetycznych. Poza tym poszukaj nowych sposobów, aby to zrobić:

Techniki uproszczonego dodawania liczb: (metoda sekwencyjnego dodawania bitowego; metoda liczby okrągłej; metoda rozkładania jednego z czynników na wyrazy); - Techniki uproszczonego odejmowania liczb (metoda sekwencyjnego odejmowania bitowego; metoda liczby okrągłej); - Techniki uproszczonego mnożenia liczb (mnożenie przez jedynkę i zera; metoda sekwencyjnego mnożenia bitowego; metoda liczby okrągłej; metoda rozszerzania jednego z czynników; - Tajniki szybkiego liczenia w pamięci (mnożenie liczby dwucyfrowej przez 11: podczas mnożenia liczby dwucyfrowej przez 11 cyfry tej liczby są rozsuwane i na środku umieszcza się sumę tych cyfr; iloczyn liczb dwucyfrowych, które mają tę samą liczbę dziesiątek, oraz sumę jednostek to 10. Dzielenie liczb trzycyfrowych składających się z tych samych cyfr przez liczbę 37. Prawdopodobnie jest jeszcze wiele takich sposobów, więc będę kontynuował pracę nad tym tematem w przyszłym roku.

Podsumowując, chciałbym zakończyć moje wystąpienie następującymi słowami:

Dziękuję wszystkim za uwagę, życzę powodzenia!!!