Pole podstawy pryzmatu: od trójkątnego do wielokątnego. N. Geometria Nikityny

W fizyce trójkątny pryzmat wykonany ze szkła jest często używany do badania widma światła białego, ponieważ może rozbić je na poszczególne składniki. W tym artykule rozważymy formułę objętości

Co to jest trójkątny pryzmat?

Przed podaniem wzoru objętości rozważ właściwości tej liczby.

Aby to uzyskać, musisz wziąć trójkąt o dowolnym kształcie i przesunąć go równolegle do siebie na pewną odległość. Wierzchołki trójkąta w pozycji początkowej i końcowej powinny być połączone odcinkami prostymi. Powstała trójwymiarowa figura nazywana jest trójkątnym pryzmatem. Ma pięć boków. Dwie z nich nazywane są podstawami: są równoległe i równe sobie. Podstawą rozważanego graniastosłupa są trójkąty. Trzy pozostałe boki to równoległoboki.

Oprócz boków rozważany pryzmat charakteryzuje się sześcioma wierzchołkami (po trzy dla każdej podstawy) i dziewięcioma krawędziami (6 krawędzi leży w płaszczyznach podstaw, a 3 krawędzie są utworzone przez przecięcie boków). Jeśli krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, wówczas taki pryzmat nazywa się prostokątnym.

Różnica między graniastosłupem trójkątnym a wszystkimi innymi figurami tej klasy polega na tym, że jest on zawsze wypukły (prostopadłościany cztero-, pięcio-, ..., n-kątne mogą być również wklęsłe).

Jest to prostokątna figura, u podstawy której leży trójkąt równoboczny.

Objętość trójkątnego pryzmatu ogólnego typu

Jak znaleźć objętość trójkątnego pryzmatu? Formuła ogólnie jest podobna do formuły dla dowolnego rodzaju pryzmatu. Ma następującą notację matematyczną:

Tutaj h jest wysokością figury, to znaczy odległością między jej podstawami, S o jest obszarem trójkąta.

Wartość So można znaleźć, jeśli znane są pewne parametry trójkąta, na przykład jeden bok i dwa kąty lub dwa boki i jeden kąt. Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego wysokości i długości boku, na którym ta wysokość jest obniżona.

Jeśli chodzi o wysokość h figury, najłatwiej jest ją znaleźć dla prostopadłościanu. W tym drugim przypadku h pokrywa się z długością krawędzi bocznej.

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego

Ogólny wzór na objętość graniastosłupa trójkątnego, który podano w poprzedniej części artykułu, można wykorzystać do obliczenia odpowiedniej wartości dla graniastosłupa foremnego trójkątnego. Ponieważ jego podstawą jest trójkąt równoboczny, jego pole wynosi:

Każdy może uzyskać ten wzór, jeśli pamięta, że ​​​​w trójkącie równobocznym wszystkie kąty są sobie równe i tworzą 60 o. Tutaj symbol a jest długością boku trójkąta.

Wysokość h to długość krawędzi. Nie ma to nic wspólnego z podstawą graniastosłupa prawidłowego i może przyjmować dowolne wartości. W rezultacie wzór na objętość trójkątnego pryzmatu o prawidłowej formie wygląda następująco:

Po obliczeniu pierwiastka możemy przepisać tę formułę w następujący sposób:

Tak więc, aby znaleźć objętość graniastosłupa foremnego o trójkątnej podstawie, należy podnieść bok podstawy do kwadratu, pomnożyć tę wartość przez wysokość i pomnożyć otrzymaną wartość przez 0,433.

Rodzaj pracy: 8
Motyw: pryzmat

Stan

W graniastosłupie regularnym trójkątnym ABCA_1B_1C_1 boki podstawy mają długość 4 , a krawędzie boczne mają długość 10 . Znajdź pole przekroju pryzmatu przez płaszczyznę przechodzącą przez punkty środkowe krawędzi AB, AC, A_1B_1 i A_1C_1.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Rozważ poniższy rysunek.

Odcinek MN jest linią środkową trójkąta A_1B_1C_1, więc MN = \frac12 B_1C_1=2. Podobnie, KL=\frac12BC=2. Ponadto MK = NL = 10. Oznacza to, że czworokąt MNLK jest równoległobokiem. Skoro MK\równoległy AA_1, to MK\perp ABC i MK\perp KL. Dlatego czworokąt MNLK jest prostokątem. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\ckropka 2 = 20.

Odpowiedź

Rodzaj pracy: 8
Motyw: pryzmat

Stan

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDA_1B_1C_1D_1 wynosi 24 . Punkt K jest środkiem krawędzi CC_1 . Znajdź objętość piramidy KBCD.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie z warunkiem KC jest wysokością ostrosłupa KBCD . CC_1 to wysokość graniastosłupa ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Ponieważ K jest środkiem CC_1 , to KC=\frac12CC_1. Niech zatem CC_1=H KC=\frac12H. Zauważ też, że S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Następnie, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Stąd, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. wyd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 8
Motyw: pryzmat

Stan

Znajdź pole powierzchni bocznej regularnego sześciokątnego graniastosłupa, którego bok podstawy wynosi 6, a jego wysokość 8.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Obszar powierzchni bocznej pryzmatu znajduje się na stronie formuły S. = P główny. · h = 6a\cdot h, gdzie P główny. i h to odpowiednio obwód podstawy i wysokość graniastosłupa równe 8 , a a to bok sześciokąta foremnego równy 6 . Dlatego strona S. = 6\ckropka 6\ckropka 8 = 288.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. wyd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 8
Motyw: pryzmat

Stan

Wodę wlewa się do naczynia w kształcie regularnego trójkątnego graniastosłupa. Poziom wody sięga 40 cm. Na jakiej wysokości będzie poziom wody, jeśli wlejemy ją do innego naczynia o tym samym kształcie, którego podstawa jest dwa razy większa od pierwszego? Wyraź swoją odpowiedź w centymetrach.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Niech a będzie bokiem podstawy pierwszego naczynia, wtedy 2 a będzie bokiem podstawy drugiego naczynia. Warunkowo objętość cieczy V w pierwszym i drugim naczyniu jest taka sama. Oznacz przez H poziom, do którego podniosła się ciecz w drugim naczyniu. Następnie V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, I, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Stąd \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. wyd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 8
Motyw: pryzmat

Stan

W regularnym graniastosłupie sześciokątnym ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 wszystkie krawędzie mają długość 2 . Znajdź odległość między punktami A i E_1 .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Trójkąt AEE_1 jest prostokątny, ponieważ krawędź EE_1 jest prostopadła do płaszczyzny podstawy graniastosłupa, więc kąt AEE_1 będzie prosty.

Następnie z twierdzenia Pitagorasa AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Znajdź AE z trójkąta AFE za pomocą twierdzenia o cosinusie. Każdy kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę 120^(\circ). Następnie AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Stąd AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. wyd. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 8
Motyw: pryzmat

Stan

Znajdź obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu, którego podstawą jest romb o przekątnych równych 4\sqrt5 i 8 , a krawędź boczna równa 5 .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu znajduje się na stronie formuły S. = P główny. · h = 4a\cdot h, gdzie P główny. i h, odpowiednio, obwód podstawy i wysokość graniastosłupa są równe 5, a a jest bokiem rombu. Obliczmy bok rombu, korzystając z faktu, że przekątne rombu ABCD są wzajemnie prostopadłe, a punkt przecięcia jest podzielony na pół.

Objętość pryzmatu. Rozwiązywanie problemów

Geometria jest najpotężniejszym narzędziem doskonalenia naszych zdolności umysłowych i umożliwia nam prawidłowe myślenie i rozumowanie.

G.Galileo

Cel lekcji:

• uczyć rozwiązywania problemów do obliczania objętości graniastosłupów, uogólniać i systematyzować informacje, które uczniowie mają na temat pryzmatu i jego elementów, kształtować umiejętność rozwiązywania problemów o zwiększonej złożoności;
• rozwijać logiczne myślenie, umiejętność samodzielnej pracy, umiejętność wzajemnej kontroli i samokontroli, umiejętność mówienia i słuchania;
• wyrobić w sobie nawyk stałego zatrudnienia, jakiegoś pożytecznego czynu, wychowania responsywności, pracowitości, dokładności.

Rodzaj lekcji: lekcja zastosowania wiedzy, umiejętności i zdolności.

Wyposażenie: karty kontrolne, rzutnik multimedialny, prezentacja „Lekcja. Objętość pryzmatu”, komputery.

Podczas zajęć

• Żebra boczne pryzmatu (ryc. 2).
• Boczna powierzchnia pryzmatu (ryc. 2, ryc. 5).
• Wysokość pryzmatu (ryc. 3, ryc. 4).
• Pryzmat bezpośredni (ryc. 2,3,4).
• Nachylony pryzmat (rysunek 5).
• Prawidłowy pryzmat (ryc. 2, ryc. 3).
• Przekrój poprzeczny pryzmatu (ryc. 2).
• Przekątna pryzmatu (rysunek 2).
• Przekrój prostopadły pryzmatu (pi3, ryc.4).
• Obszar bocznej powierzchni pryzmatu.
• Całkowita powierzchnia pryzmatu.
• Objętość pryzmatu.

1. SPRAWDŹ ZADANIE DOMOWE (8 min)

Wymień zeszyty, sprawdź rozwiązanie na slajdach i zaznacz ocenę (zaznacz 10, jeśli zadanie jest złożone)

Narysuj problem i rozwiąż go. Uczeń broni ułożonego problemu przy tablicy. Rysunek 6 i Rysunek 7.





Rozdział 2, §3
Zadanie.2. Długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego są sobie równe. Oblicz objętość pryzmatu, jeśli jego powierzchnia wynosi cm2 (ryc. 8)



Rozdział 2, §3
Zadanie 5. Podstawą graniastosłupa prostego ABCA 1B 1C1 jest trójkąt prostokątny ABC (kąt ABC=90°), AB=4cm. Oblicz objętość graniastosłupa, jeśli promień opisanego na nim trójkąta ABC wynosi 2,5 cm, a wysokość tego graniastosłupa wynosi 10 cm. (Rysunek 9).



Rozdział 2 § 3
Zadanie 29. Długość boku podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 3 cm. Przekątna graniastosłupa tworzy kąt 30° z płaszczyzną ściany bocznej. Oblicz objętość graniastosłupa (Rysunek 10).



2. Wspólna praca nauczyciela z klasą (2-3 min.).

Cel: podsumowanie wyników rozgrzewki teoretycznej (uczniowie wystawiają sobie nawzajem oceny), nauka rozwiązywania problemów na dany temat.

3. FIZYCZNA MINUTA (3 min)
4. ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW (10 min)

Na tym etapie nauczyciel organizuje frontalną pracę nad powtórzeniem metod rozwiązywania problemów planimetrycznych, wzorów planimetrycznych. Klasa jest podzielona na dwie grupy, niektóre rozwiązują problemy, inne pracują przy komputerze. Potem się zmieniają. Studenci proszeni są o rozwiązanie wszystkich zadań nr 8 (ustnie), nr 9 (ustnie). Po podzieleniu się na grupy i przejściu do rozwiązania zadań nr 14, nr 30, nr 32.

Rozdział 2, §3, strony 66-67

Zadanie 8. Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego są sobie równe. Znajdź objętość graniastosłupa, jeśli pole przekroju poprzecznego płaszczyzny przechodzącej przez krawędź dolnej podstawy i środek boku górnej podstawy wynosi cm (ryc. 11).



Rozdział 2, §3, strony 66-67
Zadanie 9. Podstawą graniastosłupa prostego jest kwadrat, a jego krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od boku podstawy. Oblicz objętość graniastosłupa, jeśli promień okręgu opisanego w pobliżu przekroju graniastosłupa przez płaszczyznę przechodzącą przez bok podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej wynosi cm (ryc. 12)



Rozdział 2, §3, strony 66-67
Zadanie 14.Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego jedna z przekątnych jest równa jego boku. Oblicz obwód przekroju płaszczyzną przechodzącą przez dużą przekątną dolnej podstawy, jeśli objętość pryzmatu jest równa, a wszystkie ściany boczne są kwadratowe (ryc. 13).



Rozdział 2, §3, strony 66-67
Zadanie 30.ABCA 1 B 1 C 1 jest regularnym trójkątnym pryzmatem, którego wszystkie krawędzie są sobie równe, punkt w pobliżu środka krawędzi BB 1. Oblicz promień okręgu wpisanego w przekrój graniastosłupa przez płaszczyznę AOS, jeśli objętość graniastosłupa jest równa (ryc. 14).



Rozdział 2, §3, strony 66-67
Zadanie 32.W regularnym czworokątnym pryzmacie suma pól podstaw jest równa polu powierzchni bocznej. Oblicz objętość graniastosłupa, jeśli średnica koła opisanego w pobliżu przekroju graniastosłupa przez płaszczyznę przechodzącą przez dwa wierzchołki dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy wynosi 6 cm (ryc. 15).



Rozwiązując zadania, uczniowie porównują swoje odpowiedzi z odpowiedziami pokazanymi przez nauczyciela. Oto przykład rozwiązania problemu ze szczegółowymi komentarzami… Indywidualna praca nauczyciela z „silnymi” uczniami (10 min.).

5. Samodzielna praca studentów nad sprawdzianem przy komputerze

1. Bok podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi , a wysokość wynosi 5. Znajdź objętość pryzmatu.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Wybierz poprawne stwierdzenie.

1) Objętość graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.

2) Objętość regularnego trójkątnego pryzmatu oblicza się według wzoru V \u003d 0,25a 2 h - gdzie a to bok podstawy, h to wysokość graniastosłupa.

3) Objętość prostego pryzmatu jest równa połowie iloczynu pola podstawy i wysokości.

4) Objętość regularnego czworokątnego pryzmatu oblicza się według wzoru V \u003d a 2 h-gdzie a jest bokiem podstawy, h jest wysokością pryzmatu.

5) Objętość regularnego sześciokątnego pryzmatu oblicza się według wzoru V \u003d 1,5a 2 h, gdzie a to bok podstawy, h to wysokość graniastosłupa.

3. Bok podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równy. Przez bok dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi pod kątem 45° do podstawy. Znajdź objętość pryzmatu.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego bok ma długość 13, a jedna z przekątnych ma długość 24. Znajdź objętość graniastosłupa, jeśli przekątna ściany bocznej wynosi 14.

PRYZMAT BEZPOŚREDNI. POWIERZCHNIA I OBJĘTOŚĆ PRYZMATU BEZPOŚREDNIEGO.

§ 68. OBJĘTOŚĆ PRYZMATU BEZPOŚREDNIEGO.

1. Objętość prostego trójkątnego pryzmatu.

Niech będzie wymagane znalezienie objętości prawego trójkątnego pryzmatu, którego pole podstawy jest równe S, a wysokość jest równa H= AA" = = BB" = SS" (Rys. 306).

Narysujmy osobno podstawę graniastosłupa, czyli trójkąt ABC (ryc. 307, a), i uzupełnijmy go do prostokąta, dla którego narysujemy linię prostą KM przechodzącą przez wierzchołek B || AC iz punktów A i C spuszczamy prostopadłe AF i CE do tej prostej. Otrzymujemy prostokąt ACEF. Po narysowaniu wysokości BD trójkąta ABC zobaczymy, że prostokąt ACEF jest podzielony na 4 trójkąty prostokątne. I /\ WSZYSTKIE = /\ BCD i /\ BAF = /\ ZŁY. Oznacza to, że pole prostokąta ACEF jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ABC, czyli jest równe 2S.

Do tego graniastosłupa o podstawie ABC dodajemy graniastosłupy o podstawach ALL i BAF oraz wysokości H(Rysunek 307, b). Otrzymujemy prostokątny równoległościan z podstawą
ACEF.

Jeśli przetniemy ten równoległościan płaszczyzną przechodzącą przez proste BD i BB", to zobaczymy, że równoległościan składa się z 4 graniastosłupów o podstawach
BCD, WSZYSTKIE, ZŁE i BAF.

Pryzmaty o podstawach BCD i ALL można łączyć, ponieważ ich podstawy są równe ( /\ BCD = /\ p.n.e.), a także równe ich krawędziom bocznym, które są prostopadłe do jednej płaszczyzny. Stąd objętości tych graniastosłupów są równe. Objętości graniastosłupów o podstawach BAD i BAF są równe.

Okazuje się zatem, że objętość danego graniastosłupa trójkątnego z podstawą
ABC to połowa objętości równoległościanu prostokątnego o podstawie ACEF.

Wiemy, że objętość prostokątnego równoległościanu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości, czyli w tym przypadku jest równa 2S H. Stąd objętość tego graniastosłupa trójkątnego jest równa S H.

Objętość prawego trójkątnego pryzmatu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości.

2. Objętość prostopadłościanu wielokątnego.

Aby znaleźć objętość prostopadłościanu wielokątnego, takiego jak pięciokątny, o polu podstawy S i wysokości H, podzielmy go na trójkątne graniastosłupy (ryc. 308).

Oznaczając obszary podstawy trójkątnych pryzmatów przez S 1, S 2 i S 3 oraz objętość tego wielokątnego pryzmatu przez V, otrzymujemy:

V = S 1 H+S2 H+ S 3 H, Lub
V = (S 1 + S 2 + S 3) H.

I wreszcie: V = S H.

W ten sam sposób wyprowadza się wzór na objętość prostego pryzmatu z dowolnym wielokątem u podstawy.

Oznacza, Objętość dowolnego prostego pryzmatu jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości.

Ćwiczenia.

1. Oblicz objętość prostopadłościanu z równoległobokiem u podstawy, korzystając z następujących danych:

2. Oblicz objętość graniastosłupa prostego z trójkątem u podstawy, korzystając z następujących danych:

3. Oblicz objętość prostopadłościanu mającego trójkąt równoboczny o boku 12 cm (32 cm, 40 cm) u podstawy. Wysokość graniastosłupa 60 cm.

4. Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego podstawa ma trójkąt prostokątny o bokach 12 cm i 8 cm (16 cm i 7 cm; 9 m i 6 m). Wysokość graniastosłupa wynosi 0,3m.

5. Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego podstawa ma trapez o równoległych bokach 18 cm i 14 cm oraz wysokość 7,5 cm. Wysokość tego graniastosłupa wynosi 40 cm.

6. Oblicz kubaturę swojej klasy (sala gimnastyczna, pokój).

7. Całkowita powierzchnia sześcianu wynosi 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Oblicz objętość tego sześcianu.

8. Cegła budowlana ma długość 25,0 cm, szerokość 12,0 cm, a grubość 6,5 cm a) Oblicz jej objętość b) Oblicz jej wagę, jeżeli 1 cm sześcienny cegły waży 1,6 g.

9. Ile sztuk cegieł będzie potrzebnych do zbudowania pełnej ściany z cegły mającej kształt prostopadłościanu o długości 12 m, szerokości 0,6 m i wysokości 10 m? (Wymiary cegły z ćwiczenia 8.)

10. Równo przycięta deska ma długość 4,5 m, szerokość 35 cm, grubość 6 cm a) Oblicz objętość b) Oblicz jej ciężar, jeżeli decymetr sześcienny deski waży 0,6 kg.

11. Ile ton siana można zmieścić w stodole przykrytej dwuspadowym dachem (ryc. 309), jeżeli długość strychu wynosi 12 m, szerokość 8 m, wysokość 3,5 m, a wysokość kalenica ma 1,5m? (Ciężar właściwy siana przyjmuje się jako 0,2.)

12. Wymagane jest wykopanie rowu o długości 0,8 km; na przekroju rów powinien mieć kształt trapezu o podstawach 0,9 m i 0,4 m, a głębokość rowu powinna wynosić 0,5 m (ryc. 310). Ile metrów sześciennych ziemi trzeba będzie wywieźć?

Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz dowiedzieć się, jak on wygląda.

Teoria ogólna

Pryzmat to dowolny wielościan, którego boki mają postać równoległoboku. Co więcej, u podstawy może znajdować się dowolny wielościan - od trójkąta do n-gonu. Ponadto podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. Co nie dotyczy ścianek bocznych – mogą one znacznie różnić się wielkością.

Podczas rozwiązywania problemów napotyka się nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może być konieczna znajomość powierzchni bocznej, czyli wszystkich ścian, które nie są podstawami. Pełna powierzchnia będzie już połączeniem wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami w zadaniach pojawiają się wysokości. Jest prostopadła do podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek, który łączy w pary dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub nachylonego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a ścianami bocznymi. Jeśli mają te same figury na górnej i dolnej powierzchni, to ich pola będą równe.

trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę z trzema wierzchołkami, czyli trójkąt. Wiadomo, że jest różnie. Jeśli to wystarczy przypomnieć, że jego powierzchnia jest określona przez połowę iloczynu nóg.

Notacja matematyczna wygląda następująco: S = ½ śr.

Aby znaleźć obszar podstawy w ogólnej formie, przydatne są wzory: Czapla i ta, w której połowa boku jest podniesiona do wysokości, którą do niej przyciągnięto.

Pierwszą formułę należy zapisać w następujący sposób: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ten wpis zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.

Drugi: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar podstawy trójkątnego pryzmatu, który jest regularny, trójkąt okazuje się równoboczny. Ma swój własny wzór: S = ¼ a 2 * √3.

pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworoboków. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć powierzchnię podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.

Jeśli podstawą jest prostokąt, to jego pole określa się w następujący sposób: S = av, gdzie a, b to boki prostokąta.

Jeśli chodzi o czworokątny pryzmat, pole podstawy regularnego pryzmatu oblicza się za pomocą wzoru na kwadrat. Bo to on leży u podstaw. S \u003d za 2.

W przypadku, gdy podstawą jest równoległościan, potrzebna będzie następująca równość: S \u003d a * n a. Zdarza się, że dany jest bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, będziesz musiał użyć dodatkowej formuły: na \u003d b * sin A. Ponadto kąt A przylega do boku „b”, a wysokość jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli romb leży u podstawy graniastosłupa, to do wyznaczenia jego powierzchni potrzebny będzie ten sam wzór, co w przypadku równoległoboku (ponieważ jest to jego szczególny przypadek). Ale możesz też użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pięciokątny pryzmat

W tym przypadku chodzi o podzielenie wielokąta na trójkąty, których obszary są łatwiejsze do znalezienia. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą graniastosłupa jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Wtedy pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonemu przez pięć.

Regularny sześciokątny pryzmat

Zgodnie z zasadą opisaną dla graniastosłupa pięciokątnego można podzielić sześciokąt podstawy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na pole podstawy takiego graniastosłupa jest podobny do poprzedniego. Tylko w nim należy pomnożyć przez sześć.

Formuła będzie wyglądać następująco: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Podano regularną linię prostą.Jego przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm.Oblicz pole podstawy pryzmatu i całą powierzchnię.

Rozwiązanie. Podstawą graniastosłupa jest kwadrat, ale jego bok nie jest znany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną graniastosłupa (d) i jego wysokością (n). x 2 \u003d re 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” jest przeciwprostokątną w trójkącie, którego ramiona są równe bokom kwadratu. To znaczy x 2 \u003d a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zastąp „n” jej wartością - 14, okazuje się, że bok kwadratu ma 12 cm Teraz łatwo jest znaleźć obszar podstawy: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Aby znaleźć obszar całej powierzchni, musisz dodać dwukrotność wartości pola podstawy i czterokrotnie zwiększyć bok. Ten ostatni można łatwo znaleźć za pomocą wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu i bok podstawy. Oznacza to, że 14 i 12 liczba ta będzie równa 168 cm 2. Stwierdzono, że całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm 2 .

Odpowiedź. Pole podstawy graniastosłupa wynosi 144 cm2. Cała powierzchnia - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana U podstawy leży trójkąt o boku 6 cm. W tym przypadku przekątna ściany bocznej wynosi 10 cm. Oblicz pola: podstawę i powierzchnię boczną.

Rozwiązanie. Ponieważ graniastosłup jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. Zatem jego pole okazuje się równe 6 do kwadratu razy ¼, a pierwiastek kwadratowy z 3. Proste obliczenie prowadzi do wyniku: 9√3 cm 2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm Aby obliczyć ich pola, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, ponieważ pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie obszar powierzchni bocznej jest nawijany na 180 cm 2 .

Odpowiedź. Pola: podstawa - 9√3 cm 2, powierzchnia boczna graniastosłupa - 180 cm 2.