L. 2-1 Podstawowe pojęcia algebry wektorów. Operacje liniowe na wektorach.

Dekompozycja wektora ze względu na bazę.

Podstawowe pojęcia algebry wektorów

Wektor to zbiór wszystkich skierowanych odcinków o tej samej długości i kierunku
.

Nieruchomości:

Operacje liniowe na wektorach

1.

Reguła równoległoboku:

Z ummah dwa wektory oraz zwany wektorem , wychodzących ze wspólnego początku i będących przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach oraz jak po bokach.

Reguła wielokąta:

Aby skonstruować sumę dowolnej liczby wektorów, należy umieścić początek drugiego wektora na końcu pierwszego wyrazu, początek trzeciego na końcu drugiego i tak dalej. Wektor zamykający wynikową polilinię jest sumą. Jego początek pokrywa się z początkiem pierwszego, a koniec z końcem ostatniego.

Nieruchomości:

2.

Produkt wektorowy na numer , nazywamy wektorem spełniającym warunki:
.

Nieruchomości:

3.

różnica wektory oraz wektor wywołania równa sumie wektora i wektor przeciwny do wektora , tj.
.

- prawo elementu przeciwnego (wektora).

Dekompozycja wektora ze względu na bazę

Suma wektorów jest wyznaczana w unikalny sposób
(lecz tylko ). Operacja odwrotna, czyli rozkład wektora na kilka składowych, jest niejednoznaczna: Aby było to jednoznaczne, konieczne jest wskazanie kierunków, w których następuje rozszerzenie rozpatrywanego wektora, lub, jak mówią, konieczne jest wskazanie podstawa.

Przy określaniu bazy istotny jest wymóg niewspółpłaszczyznowości i niewspółliniowości wektorów. Aby zrozumieć znaczenie tego wymagania, konieczne jest rozważenie koncepcji liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów.

Dowolne wyrażenie postaci: , tzw kombinacja liniowa wektory
.

Nazywa się kombinację liniową kilku wektorów trywialny jeśli wszystkie jego współczynniki są równe zeru.

Wektory
nazywa liniowo zależne, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja liniowa tych wektorów równa zeru:
(1), pod warunkiem
. Jeśli równość (1) zachodzi tylko dla wszystkich
jednocześnie równe zero, a następnie niezerowe wektory
będzie liniowo niezależny.

Łatwo to udowodnić: dowolne dwa wektory współliniowe są liniowo zależne, a dwa wektory niewspółliniowe są liniowo niezależne.

Dowód zaczynamy od pierwszego twierdzenia.

Niech wektory oraz współliniowy. Pokażmy, że są one liniowo zależne. Rzeczywiście, jeśli są współliniowe, to różnią się od siebie tylko czynnikiem liczbowym, tj.
, W konsekwencji
. Ponieważ wynikowa kombinacja liniowa jest wyraźnie nietrywialna i jest równa „0”, to wektory oraz liniowo zależne.

Rozważmy teraz dwa wektory niewspółliniowe oraz . Udowodnijmy, że są one liniowo niezależne. Dowód konstruujemy przez sprzeczność.

Zakładamy, że są one liniowo zależne. Wtedy musi istnieć nietrywialna kombinacja liniowa
. Udawajmy, że
, następnie
. Otrzymana równość oznacza, że ​​wektory oraz są współliniowe, wbrew naszemu początkowemu założeniu.

Podobnie można udowodnić: dowolne trzy wektory współpłaszczyznowe są liniowo zależne, a dwa wektory niewspółpłaszczyznowe są liniowo niezależne.

Wracając do pojęcia bazy i do problemu rozwinięcia wektora w pewnej bazie, możemy tak powiedzieć baza na płaszczyźnie iw przestrzeni jest utworzona ze zbioru liniowo niezależnych wektorów. Takie pojęcie bazy jest bowiem ogólne ma zastosowanie do przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów.

Wyrażenie takie jak:
, nazywa się rozkładem wektora przez wektory ,…,.

Jeśli weźmiemy pod uwagę podstawę w przestrzeni trójwymiarowej, to rozkład wektora podstawa
będzie
, gdzie
-współrzędne wektora.

W problemie rozwinięcia dowolnego wektora w jakiejś bazie bardzo ważne jest następujące stwierdzenie: dowolny wektormożna rozłożyć w unikalny sposób w danej bazie
. Innymi słowy, współrzędne
dla dowolnego wektora względem podstawy
jest określony jednoznacznie.

Wprowadzenie bazy w przestrzeni i na płaszczyźnie daje możliwość przypisania do każdego wektora uporządkowana potrójna (para) liczb - jej współrzędne. Ten bardzo ważny wynik, który umożliwia ustalenie związku między obiektami geometrycznymi a liczbami, umożliwia analityczny opis i badanie położenia i ruchu obiektów fizycznych.

Połączenie punktu i podstawy nazywa się system współrzędnych.

Jeśli wektory tworzące podstawę są jednostkowe i parami prostopadłe, wówczas nazywa się układ współrzędnych prostokątny, i podstawa ortonormalny.

L. 2-2 Iloczyn wektorów

Dekompozycja wektora ze względu na bazę

Rozważ wektor
, określone przez jego współrzędne:
.

- składowe wektorowe w kierunkach wektorów bazowych
.

Wyrażenie formularza
nazywa się rozkładem wektora podstawa
.

W podobny sposób można się rozłożyć podstawa
wektor
:

.

Cosinusy kątów utworzonych przez rozpatrywany wektor z wektorami bazowymi
nazywa cosinusy kierunkowe

;
;
.

Iloczyn skalarny wektorów.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów oraz nazywa się liczbą równą iloczynowi modułów tych wektorów przez cosinus kąta między nimi

Iloczyn skalarny dwóch wektorów można uznać za iloczyn modułu jednego z tych wektorów i rzutu ortogonalnego drugiego wektora na kierunek pierwszego
.

Nieruchomości:

Jeśli znane są współrzędne wektorów
oraz
, a następnie rozwinąwszy wektory pod względem podstawy
:
oraz
, odnaleźć

, dlatego
,
, następnie

.

.

Warunek prostopadłości wektorów:
.

Warunek kolinearności dla rektorów:
.

Iloczyn krzyżowy wektorów

lub

sztuka wektorowa na wektor taki wektor nazywa się
, który spełnia warunki:

Nieruchomości:

Rozważane własności algebraiczne umożliwiają znalezienie analitycznego wyrażenia dla iloczynu krzyżowego ze współrzędnych wektorów składowych w bazie ortonormalnej.

Dany:
oraz
.

dlatego ,
,
,
,
,
,
, następnie

. Formułę tę można zapisać krócej, w postaci wyznacznika trzeciego rzędu:

.

Produkt mieszany wektorów

Produkt mieszany trzech wektorów ,oraz nazywamy liczbą równą iloczynowi wektorowemu
, pomnożona skalarnie przez wektor .

Następująca równość jest prawdziwa:
, więc iloczyn mieszany jest zapisywany
.

Jak wynika z definicji, wynikiem iloczynu mieszanego trzech wektorów jest liczba. Ta liczba ma wyraźne znaczenie geometryczne:

Moduł produktów mieszanych
jest równa objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach sprowadzonych do wspólnego początku ,oraz .

Mieszane właściwości produktu:

Jeśli wektory ,,są podane w bazie ortonormalnej
ich współrzędne, obliczenie zmieszanego produktu przeprowadza się zgodnie ze wzorem

.

Rzeczywiście, jeśli
, następnie

;
;
, następnie
.

Jeśli wektory ,,są współpłaszczyznowe, to iloczyn wektorowy
prostopadle do wektora . I odwrotnie, jeśli
, to objętość równoległościanu wynosi zero, a jest to możliwe tylko wtedy, gdy wektory są współpłaszczyznowe (liniowo zależne).

Zatem trzy wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany wynosi zero.

Zależność liniowa i niezależność liniowa wektorów.
Podstawa wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a dziś każdy odwiedzający dostanie słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule poruszymy jednocześnie dwie sekcje wyższej matematyki i zobaczymy, jak sobie poradzą w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twixa! ... cholera, cóż, kłócić się bezsensownie. Chociaż dobrze, nie będę punktować, w końcu powinno być pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, liniowa niezależność wektorów, podstawa wektorowa i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Nie musisz daleko szukać dowodu, spróbuj narysować wektor pięciowymiarowej przestrzeni . Lub wektor pogody, dla którego właśnie poszedłem do Gismeteo: - odpowiednio temperatura i ciśnienie atmosferyczne. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, ale mimo to nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadanie polega na tym Rozumiesz definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale przykłady zostaną podane w ujęciu geometrycznym. Dzięki temu wszystko jest proste, przystępne i wizualne. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy również niektóre typowe zadania algebry. Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów oraz Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaszczyzny i afiniczny układ współrzędnych

Rozważ płaszczyznę biurka komputerowego (tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, cokolwiek chcesz). Zadanie składać się będzie z następujących czynności:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza mówiąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne są dwa wektory. Jeden wektor to wyraźnie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim elementom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić palec wskazujący lewej ręki na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce mały palec prawej ręki na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co można powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowo wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest liczbą różną od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tej akcji w lekcji. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce ustawią podstawę na płaszczyźnie stołu komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe poruszają się tam iz powrotem w sam kierunku, podczas gdy płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywamy liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach matematycznych, wyrażeniach nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole, tak aby między nimi był dowolny kąt oprócz 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowo nie są zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc podstawa jest odbierana. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „ukośna” z nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego budowy nadaje się nie tylko kąt 90 stopni, i nie tylko wektory jednostkowe równej długości

Każdy wektor samolot jedyny sposób rozbudowane pod względem podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są wywoływane współrzędne wektora w tej podstawie.

Tak też mówią wektorprzedstawiony w formularzu kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowypodstawa lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład, można powiedzieć, że wektor jest rozwinięty w ortonormalnej bazie płaszczyzny lub można powiedzieć, że jest reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy się definicja podstawy formalnie: podstawa płaska jest parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów , , w którym każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotą definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. podstawy To dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, małego palca lewej ręki nie można przesunąć w miejsce małego palca prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne do każdego elementu na biurku komputera. Dlaczego nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne tym małym, brudnym kropkom na stole, które pozostały po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A takim punktem odniesienia jest znany każdemu punkt - początek współrzędnych. Zrozumienie układu współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem niektóre różnice między prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

kiedy mowa o prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej oznaczają początek, osie współrzędnych i skalę wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł powie Ci o osiach współrzędnych znanych z klasy 5-6 oraz o tym, jak kreślić punkty na płaszczyźnie.

Z drugiej strony można odnieść wrażenie, że prostokątny układ współrzędnych można dobrze zdefiniować za pomocą bazy ortonormalnej. I prawie jest. Sformułowanie brzmi tak:

początek, oraz ortonormalny zestaw bazowy Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny . To znaczy prostokątny układ współrzędnych Zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w problemach geometrycznych zarówno wektory, jak i osie współrzędnych są często (ale dalekie od zawsze) rysowane.

Myślę, że wszyscy to rozumieją za pomocą punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT płaszczyzny i DOWOLNY WEKTOR płaszczyzny można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na samolocie można policzyć”.

Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa ortogonalne wektory o dowolnej niezerowej długości:

Taka baza to tzw prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami definiuje siatkę współrzędnych, a każdy punkt płaszczyzny, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych ogólnie mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jeden, wówczas uzyskuje się zwykłą bazę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni uwzględnia się jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na odciętej zawiera 4 cm, jedna jednostka na rzędnej zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby przeliczyć „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

I drugie pytanie, na które już właściwie udzielono odpowiedzi - czy kąt między wektorami bazowymi musi być równy 90 stopni? Nie! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. W związku z tym kąt może być dowolny z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw początek, oraz niewspółliniowe wektory , , ustawić afiniczny układ współrzędnych płaszczyzny :

Czasami ten układ współrzędnych jest nazywany skośny system. Punkty i wektory pokazane są przykładowo na rysunku:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, wzory na długości wektorów i odcinków, które rozważaliśmy w drugiej części lekcji, nie działają w nim. Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych z iloczyn skalarny wektorów. Ale obowiązują zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory dzielenia segmentu pod tym względem, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest prostokątny układ kartezjański. Dlatego ona, jej własna, najczęściej musi być widziana. ... Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których właściwe jest posiadanie skośnego (lub innego, np. polarny) system współrzędnych. Tak, a humanoidom takie systemy mogą przypaść do gustu =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy w tej lekcji dotyczą zarówno prostokątnego układu współrzędnych, jak i ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. W celu uzyskania dwóch wektorów płaskich są współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to udoskonalenie oczywistej zależności współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe .
b) Czy wektory tworzą bazę? ?

Rozwiązanie:
a) Sprawdź, czy istnieje wektor współczynnik proporcjonalności, taki, że spełnione są równości:

Na pewno opowiem o „frutowatej” wersji stosowania tej zasady, która całkiem nieźle sprawdza się w praktyce. Chodzi o to, aby natychmiast sporządzić proporcję i sprawdzić, czy jest poprawna:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

skracamy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, dlatego

Relację można utworzyć i odwrotnie, jest to równoważna opcja:

Do samotestowania można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo przez siebie. W tym przypadku istnieją równości . Ich ważność można łatwo sprawdzić za pomocą elementarnych operacji na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem współliniowości . Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza, system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Skomponuj proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów :
, stąd te wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Zwykle recenzenci nie odrzucają tej opcji, ale problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tutaj przejść przez proporcję? (Naprawdę nie można dzielić przez zero). Z tego powodu nazwałem uproszczone rozwiązanie „frutowatym”.

Odpowiadać: a) , b) forma.

Mały kreatywny przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 2

Przy jakiej wartości wektorów parametrów będzie współliniowy?

W roztworze próbki parametr znajduje się w proporcji.

Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzania współliniowości wektorów.Usystematyzujmy naszą wiedzę i po prostu dodajmy ją jako piąty punkt:

Dla dwóch wektorów płaskich następujące stwierdzenia są równoważne:

2) wektory tworzą podstawę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Odpowiednio, następujące przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią podstawy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.

Mam ogromną nadzieję, że w tej chwili rozumiesz już wszystkie terminy i stwierdzenia, które się pojawiły.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Aby korzystać z tej funkcji, oczywiście musisz być w stanie znaleźć wyznaczniki.

Zdecydujemy Przykład 1 w drugi sposób:

a) Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, więc te wektory są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, stąd wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Odpowiadać: a) , b) forma.

Wygląda o wiele bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie z proporcjami.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków, prostych. Rozważ kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnij, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby budowania rysunku w problemie, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Zapamiętaj definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równoległe.

Należy więc udowodnić:
1) równoległość przeciwległych boków i;
2) równoległość przeciwległych boków i .

udowadniamy:

1) Znajdź wektory:

2) Znajdź wektory:

Rezultatem jest ten sam wektor („według szkoły” - równe wektory). Współliniowość jest dość oczywista, ale lepiej podjąć decyzję właściwie, z układem. Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów:
, więc te wektory są współliniowe, i .

Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są parami równoległe, więc z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej dobrych i różnych postaci:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnij, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście otrzymać definicję trapezu, ale wystarczy zapamiętać, jak on wygląda.

Jest to zadanie do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie na końcu lekcji.

A teraz pora powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić współliniowość wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiadające współrzędne były proporcjonalne do.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

a) ;
b)
w)

Rozwiązanie:
a) Sprawdź, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczony” sporządza się, sprawdzając proporcję. W tym przypadku:
– odpowiednie współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiadać: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania współliniowości wektorów przestrzennych i za pomocą wyznacznika trzeciego rzędu metoda ta jest omówiona w artykule Iloczyn krzyżowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia mogą służyć do badania równoległości odcinków i linii przestrzennych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność trójwymiarowych wektorów przestrzennych.
Podstawa przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele regularności, które rozważaliśmy na płaszczyźnie, będzie również obowiązywać w kosmosie. Starałem się zminimalizować streszczenie teorii, ponieważ lwia część informacji została już przeżuta. Niemniej jednak zalecam uważne przeczytanie części wprowadzającej, ponieważ pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz, zamiast płaszczyzny stołu komputerowego, zbadajmy przestrzeń trójwymiarową. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne są trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory to za mało, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę i rozłożyć w różnych kierunkach kciuk, palec wskazujący i środkowy. Będą to wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają różne kąty między sobą. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Nawiasem mówiąc, nie musisz tego demonstrować nauczycielom, bez względu na to, jak przekręcisz palce, ale nie możesz uciec od definicji =)

Następnie zadajemy ważne pytanie, czy dowolne trzy wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej? Proszę mocno nacisnąć trzema palcami na blat stołu komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, mówiąc z grubsza, straciliśmy jeden z pomiarów - wysokość. Takimi wektorami są współpłaszczyznowy i, całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie została stworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, mogą być w płaszczyznach równoległych (tylko nie rób tego palcami, tylko Salvador Dali tak wyszedł =)).

Definicja: nazywamy wektory współpłaszczyznowy jeśli istnieje płaszczyzna, do której są równoległe. Tutaj logiczne jest dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy współpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraź sobie ponownie, że leżą w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, ale mogą być również współliniowe, a następnie dowolny wektor można wyrazić za pomocą dowolnego wektora. W drugim przypadku, jeśli na przykład wektory nie są współliniowe, trzeci wektor jest przez nie wyrażany w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo się domyślić z materiałów z poprzedniej sekcji).

Odwrotność jest również prawdziwa: trzy wektory niewspółpłaszczyznowe są zawsze liniowo niezależne, to znaczy, że nie są one w żaden sposób wyrażane przez siebie. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawy przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnych (nie współpłaszczyznowych) wektorów, przyjmowane w określonej kolejności, podczas gdy dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób rozwija się w danej bazie , gdzie to współrzędne wektora w danej bazie

Dla przypomnienia, możesz też powiedzieć, że wektor jest reprezentowany jako kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:

początek, oraz niewspółpłaszczyznowy wektory , przyjmowane w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Oczywiście siatka współrzędnych jest „skośna” i niewygodna, niemniej jednak skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam Zdecydowanie wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać.

Jak każdy może się domyślić, najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

punkt w przestrzeni tzw początek, oraz ortonormalny zestaw bazowy Kartezjański układ współrzędnych przestrzeni . znajome zdjęcie:

Przed przystąpieniem do praktycznych zadań ponownie systematyzujemy informacje:

Dla trzech wektorów przestrzennych poniższe instrukcje są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory tworzą podstawę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Wydaje mi się, że zdania przeciwne są zrozumiałe.

Liniową zależność / niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (poz. 5). Pozostałe zadania praktyczne będą miały wyraźny charakter algebraiczny. Czas zawiesić geometryczny patyczek na gwoździu i dzierżyć kij bejsbolowy do algebry liniowej:

Trzy wektory kosmiczne są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru: .

Zwracam uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się od tego - patrz właściwości wyznaczników). Ale w kolumnach jest znacznie lepiej, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli metody obliczania wyznaczników, a może w ogóle są słabo zorientowani, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Właściwie całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów (wyznacznik jest rozwinięty w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiadać: te wektory tworzą podstawę

b) To jest punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją również zadania kreatywne:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo wymagane jest rozwiązanie równania z wyznacznikiem. Wlatujemy w zera jak latawce w skoczki - najbardziej opłaca się otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego:

Odpowiadać: w

Łatwo to sprawdzić tutaj, w tym celu musisz podstawić wynikową wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, że poprzez ponowne jego otwarcie.

Na zakończenie rozważmy inny typowy problem, który ma charakter bardziej algebraiczny i tradycyjnie jest uwzględniany w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na osobny temat:

Udowodnij, że 3 wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź współrzędne czwartego wektora w podanej bazie

Przykład 8

Podano wektory. Wykaż, że wektory tworzą bazę przestrzeni trójwymiarowej i znajdź w tej bazie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podane są cztery wektory i, jak widać, mają one już współrzędne w jakiejś bazie. Jaka jest podstawa - nas nie interesuje. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą równie dobrze tworzyć nową bazę. Pierwszy krok jest całkowicie taki sam jak rozwiązanie z przykładu 6, konieczne jest sprawdzenie, czy wektory są naprawdę liniowo niezależne:

Oblicz wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów:

, stąd wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie łańcuchy. W przeciwnym razie nastąpi zamieszanie w algorytmie dalszego rozwiązania.