Obliczanie clippera adhvka metodą Newtona. Numeryczne metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metoda Newtona (metoda styczna)

Niech pierwiastek równania f(x)=0 zostanie rozdzielony na odcinku , a pierwsza i druga pochodna f’(x) oraz f""(x) są ciągłe i mają stały znak dla хн .

Niech następne przybliżenie do pierwiastka x n zostanie otrzymane (wybrane) na pewnym etapie udokładniania pierwiastka . Następnie załóżmy, że następne przybliżenie otrzymane za pomocą poprawki h n , daje dokładną wartość pierwiastka

x \u003d x n + godz n. (1.2.3-6)

Rachunkowość h n małej wartości, reprezentujemy f(x n + h n) jako szereg Taylora, ograniczając się do wyrażeń liniowych

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

Biorąc pod uwagę, że f(x) = f(х n + h n) = 0, otrzymujemy f(х n) + h n f ’(х n) » 0.

Stąd h n "- f (x n) / f'(x n). Zastąp wartość h n w (1.2.3-6) i zamiast dokładnej wartości pierwiastka X otrzymujemy kolejne przybliżenie

Formuła (1.2.3-8) pozwala uzyskać ciąg przybliżeń x 1, x 2, x 3 ..., który w pewnych warunkach zbiega się do dokładnej wartości pierwiastka X, to jest

Geometryczna interpretacja metody Newtona następująco
(Rys. 1.2.3-6). Przyjmujemy prawy koniec odcinka b jako początkowe przybliżenie x 0 iw odpowiednim punkcie B 0 na wykresie funkcji y \u003d f (x) konstruujemy styczną. Punkt przecięcia stycznej z osią x przyjmujemy jako nowe, dokładniejsze przybliżenie x 1 . Wielokrotne powtarzanie tej procedury pozwala uzyskać ciąg przybliżeń x 0, x 1, x 2 , . . ., który dąży do dokładnej wartości pierwiastka X.

Wzór obliczeniowy metody Newtona (1.2.3-8) można otrzymać z konstrukcji geometrycznej. Więc w trójkącie prostokątnym x 0 B 0 x 1 noga
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. Biorąc pod uwagę, że punkt B 0 leży na wykresie funkcji f(x), a przeciwprostokątna jest utworzona przez styczną do wykresu f (x) w punkcie B 0, otrzymujemy

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Ten wzór pokrywa się z (1.2.3-8) dla n-tego przybliżenia.

Z rys. 1.2.3-6 widać, że wybór punktu a jako początkowego przybliżenia może prowadzić do tego, że następne przybliżenie x 1 będzie poza segmentem, na którym rozdzielany jest pierwiastek X. W takim przypadku zbieżność procesu nie jest gwarantowana. W ogólnym przypadku wyboru aproksymacji początkowej dokonuje się zgodnie z następującą zasadą: za aproksymację wstępną należy przyjąć taki punkt x 0 н, w którym f (x 0) × f '' (x 0) > 0, czyli znaki funkcji i jej drugiej pochodnej są zgodne.

Warunki zbieżności dla metody Newtona są sformułowane w następującym twierdzeniu.

Jeśli pierwiastek równania jest oddzielony na odcinku, I f'(x 0) i f''(x) są różne od zera i zachowują swoje znaki w xo, to jeśli wybierzemy taki punkt jako początkowe przybliżenie x 0 O , Co f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , a następnie pierwiastek równania f(x)=0 można obliczyć z dowolną dokładnością.

Oszacowanie błędu metody Newtona określa się za pomocą następującego wyrażenia:

(1.2.3-11)

gdzie jest najmniejszą wartością Na

Najwyższa wartość Na

Proces obliczania zostaje zakończony, jeśli ,

gdzie jest określona dokładność.

Ponadto następujące wyrażenia mogą służyć jako warunek osiągnięcia określonej dokładności podczas udoskonalania pierwiastka metodą Newtona:

Schemat algorytmu metody Newtona pokazano na ryc. 1.2.3-7.

Lewa strona pierwotnego równania f(x) i jego pochodna f’(x) w algorytmie są zaprojektowane jako osobne moduły oprogramowania.

Ryż. 1.2.3-7. Schemat algorytmu metody Newtona

Przykład 1.2.3-3 Skoryguj pierwiastki równania x-ln(x+2) = 0 metodą Newtona, pod warunkiem, że pierwiastki tego równania są rozdzielone na odcinkach x 1 н[-1.9;-1.1] i x 2 n [-0,9;2 ].

Pierwsza pochodna f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) zachowuje swój znak na każdym z segmentów:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 przy xО [-0,9; 2].

Druga pochodna f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 dla dowolnego x.

Zatem warunki zbieżności są spełnione. Ponieważ f "" (x)> 0 w całym zakresie dopuszczalnych wartości, to doprecyzuj pierwiastek dla wstępnego przybliżenia x 1 wybierz x 0 \u003d -1,9 (od f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Otrzymujemy ciąg przybliżeń:

Kontynuując obliczenia, otrzymujemy następującą sekwencję pierwszych czterech przybliżeń: -1,9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Wartość funkcji f(x) w punkcie x=-1,8414 jest równa f(-1,8414)=-0,00003 .

Aby udoskonalić pierwiastek x 2 н[-0,9;2], jako wstępne przybliżenia wybieramy 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Na podstawie x 0 = 2 otrzymujemy ciąg przybliżeń: 2,0;1,1817; 1,1462; 1.1461. Wartość funkcji f(x) w punkcie x=1,1461 jest równa f(1,1461)= -0,00006.

Metoda Newtona ma wysoki współczynnik zbieżności, ale na każdym kroku wymaga obliczenia nie tylko wartości funkcji, ale również jej pochodnej.

metoda akordowa

Geometryczna interpretacja metody akordowej następująco
(Rys. 1.2.3-8).

Narysujmy odcinek prostej przechodzący przez punkty A i B. Kolejnym przybliżeniem x 1 jest odcięta punktu przecięcia cięciwy z osią 0x. Skonstruujmy równanie odcinka prostej:

Wstawmy y=0 i znajdźmy wartość x=x 1 (kolejne przybliżenie):

Powtarzamy proces obliczeń, aby uzyskać kolejne przybliżenie do pierwiastka - x 2 :

W naszym przypadku (ryc.1.2.11) a wzór obliczeniowy metody akordowej będzie wyglądał

Ten wzór jest ważny, gdy punkt b jest traktowany jako punkt stały, a punkt a działa jako początkowe przybliżenie.

Rozważ inny przypadek (ryc. 1.2.3-9), kiedy .

Równanie linii prostej dla tego przypadku ma postać

Następne przybliżenie x 1 przy y = 0

Wówczas rekurencyjna formuła metody akordów dla tego przypadku ma postać

Należy zauważyć, że dla punktu stałego w metodzie cięciw należy wybrać koniec odcinka, dla którego spełniony jest warunek f(x)∙f¢¢(x)>0.

Tak więc, jeśli punkt a zostanie przyjęty jako punkt stały , wtedy x 0 = b działa jako początkowe przybliżenie i odwrotnie.

Warunki wystarczające do obliczenia pierwiastka równania f(x)=0 ze wzoru na cięciwy będą takie same jak dla metody tangensowej (metoda Newtona), ale zamiast początkowego przybliżenia wybierany jest punkt stały. Metoda akordowa jest modyfikacją metody Newtona. Różnica polega na tym, że kolejnym przybliżeniem w metodzie Newtona jest punkt przecięcia stycznej z osią 0X, a w metodzie cięciw - punkt przecięcia cięciwy z osią 0X - przybliżenia zbiegają się do pierwiastka od różne strony.

Oszacowanie błędu metody akordowej jest określone przez wyrażenie

(1.2.3-15)

Warunek zakończenia procesu iteracyjnego metodą akordów

(1.2.3-16)

Jeśli M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£mi.

Przykład 1.2.3-4. Podaj pierwiastek równania e x - 3x = 0, rozdzielony na odcinku z dokładnością 10 -4 .

Sprawdźmy warunek zbieżności:

Dlatego a=0 należy wybrać jako punkt stały, a x 0 \u003d 1 należy przyjąć jako wstępne przybliżenie, ponieważ f (0) \u003d 1> 0 i f (0) * f "(0)> 0 .

2. Newtonowska metoda rozwiązywania układów równań nieliniowych.

Ta metoda osiąga zbieżność znacznie szybciej niż prosta metoda iteracji. Metoda Newtona dla układu równań (1.1) opiera się na wykorzystaniu rozwinięcia funkcji

, Gdzie
(2.1)

w szeregu Taylora, a wyrazy zawierające drugi i wyższy rząd pochodnych są odrzucane. Takie podejście pozwala na zastąpienie rozwiązania jednego układu nieliniowego (1.1) rozwiązaniem wielu układów liniowych.

Zatem układ (1.1) zostanie rozwiązany metodą Newtona. W obszarze D wybieramy dowolny punkt
i nazwij to zerowym przybliżeniem dokładnego rozwiązania oryginalnego systemu. Rozwińmy teraz funkcje (2.1) w szereg Taylora w pobliżu punktu . Będzie miał

Ponieważ lewe strony (2.2) muszą zniknąć zgodnie z (1.1), to prawe strony (2.2) również muszą zniknąć. Zatem z (2.2) mamy

Wszystkie pochodne cząstkowe w (2.3) muszą być obliczone w punkcie .

(2.3) jest układem liniowych równań algebraicznych z niewiadomymi.Układ ten można rozwiązać metodą Cramera, jeśli jego główny wyznacznik jest różny od zera i znaleźć wielkości

Teraz możemy udoskonalić przybliżenie zerowe, konstruując pierwsze przybliżenie ze współrzędnymi

te.
. (2.6)

Sprawdźmy, czy otrzymano przybliżenie (2.6) z wystarczającym stopniem dokładności. Aby to zrobić, sprawdź warunek

,
(2.7)

Gdzie z góry przypisana mała liczba dodatnia (dokładność, z jaką system (1.1) musi zostać rozwiązany). Jeżeli warunek (2.7) jest spełniony, to wybieramy (2.6) jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1) i kończymy obliczenia. Jeżeli warunek (2.7) nie jest spełniony, to wykonujemy następującą czynność. W systemie (2.3) zamiast
przyjąć skorygowane wartości

, (2.8)

te. wykonaj następujące czynności

. (2.9)

Następnie układ (2.3) będzie układem liniowych równań algebraicznych ze względu na wielkości Po ustaleniu tych wielkości kolejne drugie przybliżenie
do rozwiązania układu (1.1) znajdujemy za pomocą wzorów

Teraz sprawdźmy warunek (2.7)

Jeżeli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia przyjmując drugie przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (1.1)
. Jeżeli ten warunek nie jest spełniony, to kontynuujemy konstruowanie kolejnego przybliżenia, przyjmując (2.3)
Konieczne jest budowanie przybliżeń aż do spełnienia warunku na.

Wzory robocze metody Newtona dla rozwiązania układu (1.1) można zapisać jako

Sekwencja obliczeniowa

Tutaj
są rozwiązaniem układu

Sformułujmy algorytm obliczeń za pomocą wzorów (2.11)-(2.13).

1. Wybieramy przybliżenie zerowe , które należy do obszaru D.

2. W układzie liniowych równań algebraicznych (2.13) ustalamy
,A .

3. Rozwiązujemy układ (2.13) i znajdujemy wielkości
.

4. We wzorach (2.12) ustawiamy
i obliczyć składowe następnego przybliżenia.

5. Sprawdź warunek (2.7) dla : (Zobacz algorytm obliczania maksimum kilku wielkości.)

6. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia wybierając przybliżone rozwiązanie układu (1.1) jako przybliżenie . Jeśli ten warunek nie jest spełniony, przejdź do kroku 7.

7. Postawmy
dla wszystkich .

8. Dopełnijmy punktu 3 poprzez ustawienie
.

Geometrycznie ten algorytm można zapisać jako

Algorytm. Obliczanie maksimum z kilku wielkości.

Przykład. Rozważ użycie metody Newtona do rozwiązania układu dwóch równań.

Rozwiąż następujący układ równań nieliniowych metodą Newtona z dokładnością do

, (2.14)

Tutaj
. Wybieramy przybliżenie zerowe
, która należy do dziedziny D. Skonstruujmy układ liniowych równań algebraicznych (2.3). Ona będzie wyglądać

(2.15)

Oznaczać

Rozwiązujemy układ (2.15) ze względu na niewiadome
, na przykład metodą Cramera. Wzory Cramera zapisujemy w postaci

(2.17)

gdzie jest głównym wyznacznikiem systemu (2.15)

(2.18)

natomiast wyznaczniki pomocnicze układu (2.15) mają postać

.

Podstawiamy znalezione wartości do (2.16) i znajdujemy składniki pierwszego przybliżenia
do rozwiązania układu (2.15).

Sprawdźmy warunek

, (2.19)

jeśli ten warunek jest spełniony, to kończymy obliczenia przyjmując pierwsze przybliżenie jako przybliżone rozwiązanie układu (2.15), tj.
. Jeśli warunek (2.19) nie jest spełniony, to ustawiamy
,
i skonstruować nowy układ liniowych równań algebraicznych (2.15). Rozwiązując go, znajdujemy drugie przybliżenie
. Sprawdźmy to dla . Jeżeli ten warunek jest spełniony, to dla przybliżonego rozwiązania układu (2.15) wybieramy
. Jeśli warunek na nie jest spełniony, to ustawiamy
,
i skonstruuj następujący system (2.15), aby znaleźć
itp.

Zadania

Wszystkie zadania wymagają:

Napisz program do numerycznej realizacji metody zgodnie z zaproponowanym algorytmem.

Uzyskaj wyniki obliczeń.

Sprawdź swoje wyniki.

Podano układ dwóch równań nieliniowych.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Rozdział 3. Numeryczne metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE).

Cel pracy. Zapoznanie się z przybliżonymi metodami rozwiązywania SLAE i ich numeryczną implementacją na komputerze PC.

Uwagi wstępne. Wszystkie metody rozwiązywania SLAE są zwykle podzielone na dwie duże grupy. Pierwsza grupa obejmuje metody, które potocznie nazywane są dokładnymi. Metody te pozwalają dowolnym systemom znaleźć dokładne wartości niewiadomych po skończonej liczbie operacji arytmetycznych, z których każda jest wykonywana dokładnie.

Druga grupa obejmuje wszystkie metody, które nie są dokładne. Nazywa się je iteracyjnymi, numerycznymi lub przybliżonymi. Dokładne rozwiązanie przy zastosowaniu takich metod uzyskuje się w wyniku niekończącego się procesu przybliżeń. Atrakcyjną cechą takich metod jest ich samokorekta i łatwość implementacji na PC.

Rozważmy kilka przybliżonych metod rozwiązywania SLAE i skonstruujmy algorytmy do ich numerycznej implementacji. Otrzymamy przybliżone rozwiązanie SLAE z dokładnością do , gdzie jest jakąś bardzo małą liczbą dodatnią.

1. Metoda iteracyjna.

Niech SLAE zostanie podane w formularzu

(1.1)

Układ ten można zapisać w postaci macierzowej

, (1.2)

Gdzie
- macierz współczynników dla niewiadomych w układzie (1.1),
- kolumna wolnych członków,
- kolumna niewiadomych układu (1.1).

. (1.3)

Rozwiążmy układ (1.1) metodą iteracji. Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki.

Po pierwsze. Wybieramy przybliżenie zerowe

(1.4)

do dokładnego rozwiązania (1.3) układu (1.1). Komponentami przybliżenia zerowego mogą być dowolne liczby. Ale wygodniej jest przyjąć dla składników zerowego przybliżenia albo zera
, czyli darmowe warunki systemu (1.1)

Po drugie. Podstawiamy składowe przybliżenia zerowego na prawą stronę układu (1.1) i obliczamy

(1.5)

Wielkości po lewej stronie w (1.5) są składnikami pierwszego przybliżenia
Działania, które doprowadziły do ​​pierwszego przybliżenia, nazywane są iteracjami.

Trzeci. Sprawdźmy zero i pierwsze przybliżenie dla

(1.6)

Jeżeli wszystkie warunki (1.6) są spełnione, to dla przybliżonego rozwiązania układu (1.1) wybieramy albo , albo mimo wszystko, ponieważ różnią się od siebie nie więcej niż o i kończymy obliczenia. Jeżeli choć jeden z warunków (1.6) nie jest spełniony, to przechodzimy do następnego kroku.

Czwarty. Wykonajmy następującą iterację, tj. w prawą stronę układu (1.1) podstawiamy składowe pierwszego przybliżenia i obliczamy składowe drugiego przybliżenia
, Gdzie

Piąty. Sprawdźmy
i dalej, tj. Sprawdźmy warunek (1.6) dla tych przybliżeń. Jeżeli spełnione są wszystkie warunki (1.6), to dla przybliżonego rozwiązania układu (1.1) wybieramy albo , albo mimo wszystko, ponieważ różnią się od siebie nie więcej niż . W przeciwnym razie następną iterację skonstruujemy, podstawiając składowe drugiego przybliżenia na prawą stronę układu (1.1).

Iteracje muszą być budowane aż do dwóch sąsiednich przybliżeń
i będą się od siebie różnić nie więcej niż o .

Wzór roboczy metody iteracyjnej rozwiązania układu (1.1) można zapisać jako

Algorytm numerycznej realizacji wzoru (1.7) może wyglądać następująco.

Warunki wystarczające dla zbieżności metody iteracyjnej dla układu (1.1) mają postać

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Metoda prostej iteracji.

Niech układ liniowych równań algebraicznych (SLAE) będzie podany w postaci

(2.1)

Aby rozwiązać układ (2.1) metodą prostej iteracji, należy go najpierw sprowadzić do postaci

(2.2)

W systemie (2.2) -te równanie jest -tym równaniem układu (2.1), rozwiązanym względem -tej niewiadomej (
).

Metoda rozwiązania układu (2.1), polegająca na sprowadzeniu go do układu (2.2) z późniejszym rozwiązaniem układu (2.2) metodą iteracji, nazywana jest prostą metodą iteracji dla układu (2.1).

Zatem formuły robocze prostej metody iteracyjnej rozwiązania układu (2.1) będą miały postać

(2.3)

Formuły (2.3) można zapisać jako

Algorytm numerycznej implementacji prostej metody iteracyjnej dla układu (2.1) z wykorzystaniem wzorów (2.4) może być następujący.

Algorytm ten można zapisać geometrycznie.

Warunki wystarczające dla zbieżności prostej metody iteracyjnej dla układu (2.1) mają postać

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Stacjonarna metoda Seidela.

Metoda Seidela do rozwiązywania SLAE różni się od metody iteracyjnej tym, że po znalezieniu pewnego przybliżenia dla -tej składowej od razu używamy jej do znalezienia następującej
,
, …, komponent. Takie podejście umożliwia uzyskanie wyższego stopnia zbieżności metody Seidela w porównaniu z metodą iteracyjną.

Niech SLAE zostanie podane w formularzu

(3.1)

Pozwalać
- zerowe przybliżenie do rozwiązania dokładnego
systemy (3.1). I niech się odnajdzie przybliżenie
. Zdefiniujmy komponenty
aproksymacja za pomocą wzorów

(3.2)

Formuły (3.2) można zapisać w zwartej formie

,
,
(3.3)

Algorytm numerycznej realizacji metody Seidela dla rozwiązania układu (3.1) za pomocą wzorów (3.3) może być następujący.

1. Wybierzmy np.
,

2. Niech .

3. Dla wszystkich obliczamy .

4. Dla wszystkich sprawdź warunki
.

5. Jeżeli wszystkie warunki z punktu 4 są spełnione, to dla przybliżonego rozwiązania układu (3.1) wybieramy albo albo i kończymy obliczenia. Jeżeli choć jeden warunek z pozycji 4 nie jest spełniony, przechodzimy do pozycji 6.

6. Ustawiamy i przechodzimy do punktu 3.

Algorytm ten można zapisać geometrycznie.

Warunek wystarczający dla zbieżności metody Seidela dla układu (3.1) ma postać
, .

4. Niestacjonarna metoda Seidela.

Ta metoda rozwiązywania SLAE (3.1) zapewnia jeszcze wyższy stopień zbieżności metody Seidela.

Niech składowe -tego przybliżenia i -tego przybliżenia zostaną w jakiś sposób znalezione dla układu (3.1).

Oblicz wektor korekcyjny

Obliczmy wartości

, (4.2)

Uporządkuj ilości
, w kolejności malejącej.

W tej samej kolejności przepisujemy równania w układzie (3.1) i niewiadome w tym układzie., : Liniowyalgebra I nieliniowy ... KierownictwoDla laboratorium PracujePrzez ... metodologiczny instrukcje DlapraktycznyPracujePrzez Dlastudenci ...

Literatura edukacyjna (przyrodnicza i techniczna) 2000-2011 cykl studiów - 10 lat cykl studiów - 5 lat

Literatura

... naturalnyNauki ogólnie 1. Astronomia [Tekst]: podręcznik Dla ... Liczbowymetody: Liniowyalgebra I nieliniowy ... KierownictwoDla laboratorium PracujePrzez ... metodologiczny instrukcje DlapraktycznyPracujePrzez dyscyplina „Ekonomika transportu” Dlastudenci ...

- nauki przyrodnicze (1)

Instruktaż

... kierownictwoDlastudenci i nauczycieli, zaprojektowane Dla używać nie tylko w nauce metodypraca... Pokolenie praktyczny umiejętności posługiwania się prawdziwymi danymi. metodyczny zalecenia Przez kredyt pracaPrzez dany...

- nauki przyrodnicze - nauki fizyczne i matematyczne - nauki chemiczne - nauki o ziemi (geodezyjne geofizyczne nauki geologiczne i geograficzne)

Dokument

... Dlastudencinaturalnie- ... PracujePrzez dyscyplina „Genetyka i selekcja”, poświęcona aktualnym problemom z tym związanym Nauki. Usystematyzowane niezależne StanowiskostudenciPrzez teoretyczne i praktyczny ... liniowy, nieliniowy, dynamiczny. Wszystko metody ...

- nauki przyrodnicze - nauki fizyczne i matematyczne - nauki chemiczne - nauki o ziemi (geodezyjne geofizyczne nauki geologiczne i geograficzne) (7)

Spis podręczników

Wyznacznik Eremina liniowy I nieliniowyalgebra : liniowy I nieliniowy programowanie: nowe metoda/ Eremin, Michaił... Dlastudenci oraz nauczyciele specjalności geologicznych uczelni wyższych. kx-1 1794549 99. D3 P 693 PraktycznykierownictwoPrzez ...

Metoda Newtona (znana również jako metoda styczna) jest iteracyjną metodą numeryczną służącą do znajdowania pierwiastka (zera) danej funkcji. Metoda została po raz pierwszy zaproponowana przez angielskiego fizyka, matematyka i astronoma Isaaca Newtona (1643-1727), pod którego nazwiskiem zyskał sławę.

Metodę tę opisał Izaak Newton w rękopisie De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (łac. .O analiza równaniami szeregów nieskończonych), adresowana w 1669 r. do Barrowa oraz w De metodis fluxionum et serierum infinitarum (łac. Metoda strumieni i szeregów nieskończonych) czy Geometria analytica ( łac.Analityczny geometria) w zbiorach Newtona, który został napisany w 1671 roku. Jednak opis metody znacznie różnił się od jego obecnej prezentacji: Newton zastosował swoją metodę wyłącznie do wielomianów. Obliczył nie kolejne przybliżenia x n , ale ciąg wielomianów, w wyniku czego otrzymał przybliżone rozwiązanie x.

Metoda została po raz pierwszy opublikowana w traktacie Algebra przez Johna Wallisa w 1685 roku, na którego prośbę została ona krótko opisana przez samego Newtona. W 1690 roku Joseph Raphson opublikował uproszczony opis w Analysis aequationum universalis (łac. Ogólna analiza równań). Raphson uważał metodę Newtona za czysto algebraiczną i ograniczył jej zastosowanie do wielomianów, ale opisał metodę opartą na kolejnych przybliżeniach x n zamiast trudniejszej do zrozumienia sekwencji wielomianów używanej przez Newtona.

Wreszcie, w 1740 roku, metoda Newtona została opisana przez Thomasa Simpsona jako iteracyjna metoda pierwszego rzędu do rozwiązywania równań nieliniowych za pomocą pochodnej, jak przedstawiono tutaj. W tej samej publikacji Simpson uogólnił metodę na przypadek układu dwóch równań i zauważył, że metodę Newtona można również zastosować do problemów optymalizacyjnych, znajdując zero pochodnej lub gradientu.

Zgodnie z tą metodą problem znalezienia pierwiastka funkcji sprowadza się do problemu znalezienia punktu przecięcia z osią odciętych stycznej wykreślonej do wykresu funkcji.

Ryc.1 . Wykres zmiany funkcji

Linia styczna poprowadzona w dowolnym punkcie wykresu funkcji jest wyznaczona przez pochodną danej funkcji w rozpatrywanym punkcie, która z kolei jest wyznaczona przez tangens kąta α (). Punkt przecięcia stycznej z osią odciętych wyznacza się na podstawie następującej zależności w trójkącie prostokątnym: tangens kątaw trójkącie prostokątnym jest określony przez stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej nogi trójkąta. Zatem na każdym kroku konstruowana jest styczna do wykresu funkcji w punkcie kolejnego przybliżenia . Punkt przecięcia stycznej z osią Wół będzie następnym punktem podejścia. Zgodnie z rozważaną metodą obliczenie przybliżonej wartości pierwiastkaI-iteracje wykonujemy wg wzoru:

Nachylenie linii prostej jest dostosowywane na każdym kroku w najlepszy sposób, należy jednak zwrócić uwagę na to, że algorytm nie uwzględnia krzywizny wykresu i dlatego podczas obliczeń nie wiadomo, w którym kierunek, w którym wykres może odbiegać.

Warunkiem zakończenia procesu iteracyjnego jest spełnienie warunku:

Gdzie ˗ błąd dopuszczalny w ustaleniu pierwiastka.

Metoda ma zbieżność kwadratową. Kwadratowa szybkość zbieżności oznacza, że ​​liczba poprawnych cyfr w przybliżeniu podwaja się z każdą iteracją.

Uzasadnienie matematyczne

Niech będzie dana funkcja rzeczywista, która jest zdefiniowana i ciągła na rozpatrywanym odcinku. Konieczne jest znalezienie rzeczywistego pierwiastka rozważanej funkcji.

Wyprowadzenie równania opiera się na metodzie prostych iteracji, zgodnie z którą równanie sprowadza się do równania równoważnego dla dowolnej funkcji. Wprowadźmy pojęcie odwzorowania kontrakcji, które określa relacja .

Aby uzyskać najlepszą zbieżność metody w punkcie kolejnego przybliżenia, warunek musi być spełniony. To wymaganie oznacza, że ​​pierwiastek funkcji musi odpowiadać ekstremum funkcji.

Pochodna odwzorowania skurczujest zdefiniowany w następującej postaci:

Wyraźmy zmienną z tego wyrażeniaz zastrzeżeniem przyjętego wcześniej oświadczenia, że ​​jest to konieczne do zapewnienia warunku. W rezultacie otrzymujemy wyrażenie określające zmienną:

Mając to na uwadze, odbiór funkcji kontrakcji jest następujący:

W ten sposób algorytm znajdowania numerycznego rozwiązania równania sprowadza się do iteracyjnej procedury obliczeniowej:

Algorytm znajdowania pierwiastka równania nieliniowego za pomocą metody

1. Ustaw punkt początkowy przybliżonej wartości pierwiastka funkcji, a także błąd obliczeń (mała liczba dodatnia ) i początkowy krok iteracji ().

2. Oblicz przybliżoną wartość pierwiastka funkcji zgodnie ze wzorem:

3. Sprawdzamy przybliżoną wartość pierwiastka dla określonej dokładności, w przypadku:

Jeśli różnica między dwoma kolejnymi przybliżeniami jest mniejsza niż określona dokładność, proces iteracyjny kończy się.

Jeżeli różnica dwóch kolejnych przybliżeń nie osiąga wymaganej dokładności, to należy kontynuować proces iteracyjny i przejść do kroku 2 rozpatrywanego algorytmu.

Przykład rozwiązywania równań

zgodnie z metodąNewton dla równania z jedną zmienną

Jako przykład rozważ rozwiązanie równania nieliniowego metodąNewton dla równania z jedną zmienną. Pierwiastek należy znaleźć z dokładnością jako pierwsze przybliżenie.

Wariant rozwiązania równania nieliniowego w pakiecie oprogramowaniaMathCADpokazano na rysunku 3.

Wyniki obliczeń, a mianowicie dynamikę zmiany przybliżonej wartości pierwiastka, a także błędy obliczeń z kroku iteracyjnego przedstawiono w formie graficznej (patrz rys. 2).

Ryc.2. Wyniki obliczeń Newtona dla równania z jedną zmienną

Aby zapewnić określoną dokładność podczas wyszukiwania przybliżonej wartości pierwiastka równania w przedziale, konieczne jest wykonanie 4 iteracji. W ostatnim kroku iteracji przybliżona wartość pierwiastka równania nieliniowego zostanie określona przez wartość: .

Ryc.3 . Lista programów wMathCad

Modyfikacje metody Newtona dla równania z jedną zmienną

Istnieje kilka modyfikacji metody Newtona, które mają na celu uproszczenie procesu obliczeniowego.

Uproszczona metoda Newtona

Zgodnie z metodą Newtona w każdym kroku iteracji wymagane jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), co prowadzi do wzrostu kosztów obliczeniowych. Aby zmniejszyć koszty związane z obliczaniem pochodnej na każdym etapie obliczeń, można zastąpić pochodną f’(x n) w punkcie x n we wzorze pochodną f’(x 0) w punkcie x 0 . Zgodnie z tą metodą obliczania przybliżoną wartość pierwiastka określa następujący wzór:Zmodyfikowana metoda Newtona

Metoda różnicowa Newtona

W rezultacie przybliżoną wartość pierwiastka funkcji f(x) wyznaczy wyrażenie metody różnicowej Newtona:

Dwuetapowa metoda Newtona

Zgodnie z metodą Newtona w każdym kroku iteracji wymagane jest obliczenie pochodnej funkcji f(x), co nie zawsze jest wygodne, a czasem praktycznie niemożliwe. Ta metoda pozwala zastąpić pochodną funkcji stosunkiem różnicy (wartość przybliżona):

W rezultacie przybliżoną wartość pierwiastka funkcji f(x) wyznaczy wyrażenie:

Gdzie

Ryc.5 . Dwuetapowa metoda Newtona

Metoda siecznych jest metodą dwuetapową, czyli nowym przybliżeniemokreślone przez dwie poprzednie iteracje I . Metoda wymaga dwóch wstępnych domysłów I . Szybkość zbieżności metody będzie liniowa.

• Z powrotem
• Do przodu

W celu dodania komentarza do artykułu należy zarejestrować się w serwisie.

Problem znalezienia rozwiązań układu n nieliniowych równań algebraicznych lub przestępnych z n niewiadomymi postaci

	fa 1(x 1, x 2, ... x n) \u003d 0,
	fa 2(x 1, x 2, ... x n) \u003d 0,
	……………………
	fa n (x 1 , x 2 ,… x n ) = 0,

szeroko rozważane w praktyce obliczeniowej. Podobne układy równań mogą powstać np. w symulacji numerycznej nieliniowych układów fizycznych na etapie poszukiwania ich stanów stacjonarnych. W wielu przypadkach układy postaci (6.1) uzyskuje się pośrednio, w procesie rozwiązywania jakiegoś innego problemu obliczeniowego. Na przykład, próbując zminimalizować funkcję kilku zmiennych, można szukać tych punktów w przestrzeni wielowymiarowej, w których gradient funkcji wynosi zero. W tym przypadku należy rozwiązać układ równań (6.1) z lewymi bokami, rzutami gradientu na osie współrzędnych.

W notacji wektorowej układ (6.1) można zapisać w bardziej zwartej postaci

kolumnie wektorów funkcji, symbol () T oznacza działanie transpon-

Znalezienie rozwiązań układu równań nieliniowych jest znacznie trudniejszym zadaniem niż rozwiązanie pojedynczego równania nieliniowego. Niemniej jednak szereg iteracyjnych metod rozwiązywania równań nieliniowych można również rozszerzyć na układy równań nieliniowych.

Prosta metoda iteracyjna

Metoda prostej iteracji dla układów równań nieliniowych jest zasadniczo uogólnieniem metody o tej samej nazwie dla jednego równania. Polega ona na tym, że układ równań (6.1) sprowadza się do postaci

x 1= sol 1(x 1, x 2, … , x n ) , x 2= sol 2(x 1, x 2, … , x n ) ,

……………………

x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,

a iteracje przeprowadzane są według wzorów

x 1 (k + 1) \u003d g 1 (x 1 (k), x 2 (k), ..., x n (k)), x 2 (k + 1) \u003d g 2 (x 1 (k) ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,

……………………………

x n (k + 1 )= sol n (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) .

Tutaj indeks górny wskazuje liczbę przybliżoną. Proces iteracyjny (6.3) rozpoczyna się od wstępnego przybliżenia

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) i kontynuuj, aż moduły przyrostowe

wszystkich argumentów po jednej k-iteracji nie będzie mniejsza niż podana wartość ε :x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Chociaż metoda prostej iteracji prowadzi bezpośrednio do rozwiązania i jest łatwa do zaprogramowania, ma dwie istotne wady. Jednym z nich jest powolna konwergencja. Drugim jest to, że jeśli początkowe przybliżenie jest wybrane daleko od prawdziwego rozwiązania (X 1 , X 2 ,… , X n ), to zbieżność

metoda nie jest gwarantowana. Oczywiste jest, że problem wyboru przybliżenia początkowego, który nie jest prosty nawet dla pojedynczego równania, staje się bardzo skomplikowany dla układów nieliniowych.

Rozwiąż układ równań nieliniowych:

	(X...		) =0
F n (x 1 ...		x n) = 0 .

Nie ma bezpośrednich metod rozwiązywania ogólnych układów nieliniowych. Tylko w niektórych przypadkach układ (4.1) można rozwiązać bezpośrednio. Na przykład w przypadku dwóch równań czasami można wyrazić jedną niewiadomą za pomocą drugiej, a tym samym sprowadzić problem do rozwiązania jednego równania nieliniowego w odniesieniu do jednej niewiadomej.

Metody iteracyjne są zwykle stosowane do rozwiązywania układów równań nieliniowych.

Metoda Newtona

W przypadku jednego równania F(x) = 0 algorytm metody Newtona można było łatwo otrzymać zapisując równania stycznej do krzywej y = F(x) . Metoda Newtona dla układów równań opiera się na wykorzystaniu rozwinięcia funkcji F 1 (x 1 ... x n) w szereg Taylora oraz wyrazów zawierających

Wszystkie pochodne drugiego (i wyższego rzędu) są odrzucane. Niech przybliżone wartości niewiadomych układu (4.1) będą równe

odpowiedzialnie a 1 ,a 2 ,....,a n . Problem polega na znalezieniu przyrostów (o

edycje) do tych wartości	x 1 , x 2 ,...,	x n , dzięki czemu rozwiązanie układu
tematy będą zapisywane jako:
x 1= za 1+ x 1,	x 2 = a 2+	x 2 , .... , x n = za n + x n .

Rozwińmy lewe strony równań (4.1) uwzględniając rozwinięcie w szereg Taylora, ograniczając się do wyrazów liniowych względem

przyrosty:
F1(x1...xn) ≈ F1(a1...an) +	∂ F 1	x 1+		+ ∂ fa 1		xn,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) +	∂F2	x 1+			∂F2	xn,
	∂x				∂x
...................................
fa n(x 1 ... x n) ≈ fa n ( za 1 ... za n) +	∂Fn	x 1+			∂Fn	xn.
	∂x				∂x

Podstawiając do układu (4.1) otrzymujemy następujący układ liniowych równań algebraicznych względem przyrostów:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ fa 1			= -F ,
∂x			∂x			∂x
∂F2			∂F2				∂F2		= -F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂Fn			∂Fn				∂Fn		= -F .
∂x			∂x				∂x
Wartości F 1 ...				pochodne				obliczone na godz

x 2 \u003d za 2, ... x n \u003d za n.

Wyznacznikiem systemu (4.3) jest jakobian:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂F2		∂F2
J = ∂x		∂x.

… … … …

∂ fa n… … ∂ fa n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = za 1,

Aby istniało unikalne rozwiązanie systemu, jakobian musi być różny od zera w każdej iteracji.

Zatem iteracyjny proces rozwiązywania układu równań metodą Newtona polega na wyznaczaniu przyrostów x 1 ,x 2 , ...,x n do wartości niewiadomych przy każdej iteracji przez rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych (4.3). Liczenie zatrzymuje się, jeśli wszystkie przyrosty stają się małe w wartości bezwzględnej: maxx i< ε . В ме-

Metoda Newtona jest również ważna dla dobrego wyboru początkowego przybliżenia, aby zapewnić dobrą zbieżność. Zbieżność pogarsza się wraz ze wzrostem liczby równań układu.

Jako przykład rozważ użycie metody Newtona do rozwiązania układu dwóch równań:

∂ ∂ fa 1. x

Wartości po prawej stronie są obliczane dla x = a ,y = b .

Jeśli spełnione są warunki		y-b		< εи		x - za			wtedy dla danego M
wyprowadzane są wartości x i y,	W przeciwnym razie								występuje wyjście
x , y , M .



Słowa kluczowe:

Cel pracy: badać metody rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą i testować je w pracach eksperymentalnych.

Zadania robocze:

1. Analizować literaturę specjalistyczną i wybierać najbardziej racjonalne sposoby rozwiązywania równań nieliniowych, umożliwiając wszystkim maturzystom dogłębne przestudiowanie i przyswojenie tej tematyki.
2. Opracować niektóre aspekty metodologii rozwiązywania równań nieliniowych z wykorzystaniem ICT.
3. Poznaj metody rozwiązywania równań nieliniowych:

‒ Metoda krokowa

‒ Metoda bisekcji

‒ Metoda Newtona

Wstęp.

Bez umiejętności matematycznych niemożliwe jest skuteczne opanowanie metod rozwiązywania problemów z fizyki, chemii, biologii i innych przedmiotów. Cały kompleks nauk przyrodniczych jest zbudowany i rozwijany w oparciu o wiedzę matematyczną. Na przykład badanie wielu aktualnych problemów fizyki matematycznej prowadzi do konieczności rozwiązywania równań nieliniowych. Rozwiązywanie równań nieliniowych jest niezbędne w optyce nieliniowej, fizyce plazmy, teorii nadprzewodnictwa i fizyce niskich temperatur. Istnieje wystarczająca ilość literatury na ten temat, ale wiele podręczników i artykułów jest trudnych do zrozumienia dla ucznia szkoły średniej. W artykule omówiono metody rozwiązywania równań nieliniowych, które można wykorzystać w rozwiązywaniu stosowanych problemów fizyki i chemii. Ciekawym aspektem jest zastosowanie technologii informatycznych do rozwiązywania równań i problemów w matematyce.

metoda krokowa.

Niech będzie wymagane rozwiązanie równania nieliniowego o postaci równania F(x)=0. Załóżmy również, że mamy podany interwał wyszukiwania. Należy znaleźć przedział [а,b] o długości h zawierający pierwiastek pierwszego równania, zaczynając od lewej krawędzi przedziału poszukiwań.

Ryż. 1. Metoda krokowa

Istnieje kilka sposobów rozwiązania takiego problemu. Metoda krokowa jest najprostszą z numerycznych metod rozwiązywania nierówności, jednak aby osiągnąć dużą dokładność, konieczne jest znaczne zmniejszenie kroku, a to znacznie wydłuża czas obliczeń. Algorytm rozwiązywania równań tą metodą składa się z dwóch etapów.

Iscena. Sekcja korzenia.

Na tym etapie określane są sekcje, z których każda ma tylko jeden pierwiastek równania. Istnieje kilka opcji wdrożenia tego etapu:

• Podstawiamy wartości X (najlepiej jakimś dość małym krokiem) i patrzymy, gdzie funkcja zmienia znak. Jeśli funkcja zmieniła znak, oznacza to, że w przedziale między poprzednią a obecną wartością X jest pierwiastek (jeśli funkcja nie zmienia charakteru wzrostu/spadku, to można argumentować, że jest tylko jeden pierwiastek w tym przedziale).
• Metoda graficzna. Budujemy wykres i oceniamy, w jakich odstępach leży jeden pierwiastek.
• Badamy właściwości określonej funkcji.

IIscena. Udoskonalenie korzenia.

Na tym etapie określana jest wcześniej wyznaczona wartość pierwiastków równania. Z reguły na tym etapie stosuje się metody iteracyjne. Na przykład metoda podziału na pół (dychotomia) lub metoda Newtona.

Metoda półpodziału

Szybka i dość prosta metoda numeryczna rozwiązywania równań polegająca na sukcesywnym zawężaniu przedziału zawierającego unikalny pierwiastek równania F(x) = 0 aż do osiągnięcia określonej dokładności E. Metodę tę stosuje się zwykle przy rozwiązywaniu równań i równań kwadratowych wyższych stopni. Jednak ta metoda ma istotną wadę - jeśli segment [a, b] zawiera więcej niż jeden pierwiastek, to nie będzie możliwe osiągnięcie dobrych wyników z jej pomocą.

Ryż. 2. Metoda dychotomii

Algorytm tej metody jest następujący:

– Wyznacz nowe przybliżenie pierwiastka x w środku odcinka [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Znajdź wartości funkcji w punktach a i x: F(a) i F(x).

‒ Sprawdź warunek F(a)*F(x)

‒ Przejdź do kroku 1 i ponownie podziel segment na pół. Kontynuuj algorytm aż do warunku |F(x)|

Metoda Newtona

Najdokładniejsza z numerycznych metod rozwiązywania; nadaje się do rozwiązywania bardzo złożonych równań, ale komplikuje to konieczność obliczania pochodnych na każdym kroku. jest to, że jeśli x n jest pewnym przybliżeniem pierwiastka równania , to kolejne przybliżenie definiuje się jako pierwiastek stycznej do funkcji f(x) poprowadzonej w punkcie x n .

Równanie stycznej do funkcji f(x) w punkcie x n ma postać:

W równaniu stycznym wstawmy y \u003d 0 i x \u003d x n +1.

Wtedy algorytm obliczeń sekwencyjnych w metodzie Newtona jest następujący:

Zbieżność metody stycznej jest kwadratowa, rząd zbieżności to 2.

Zatem zbieżność metody stycznej Newtona jest bardzo szybka.

Bez żadnych zmian metoda jest uogólniona na przypadek złożony. Jeśli pierwiastek x i jest pierwiastkiem z wielokrotności drugiej i wyższej, to rząd zbieżności spada i staje się liniowy.

Wady metody Newtona obejmują jej lokalizację, ponieważ zbieżność dla dowolnego przybliżenia początkowego jest gwarantowana tylko wtedy, gdy warunek , w przeciwnym razie zbieżność występuje tylko w pewnym sąsiedztwie korzenia.

Metoda Newtona (metoda styczna) jest zwykle stosowana, jeśli równanie f(x) = 0 ma pierwiastek i spełnione są następujące warunki:

1) funkcja y=f(x) jest określony i ciągły dla ;

2) f(a) f(b) (funkcja przyjmuje wartości różnych znaków na końcach odcinka [ a; b]);

3) instrumenty pochodne f"(x) I f""(x) zachowaj znak na segmencie [ a; b] (tj. funkcja f(x) rośnie lub maleje w przedziale [ a; b], przy zachowaniu kierunku wypukłości);

Znaczenie metody jest następujące: na odcinku [ a; b] taka liczba jest wybrana x 0 , pod którym f(x0) ma taki sam znak jak f""(x0), tj. warunek f(x 0) f""(x) > 0. W ten sposób wybierany jest punkt z odciętą x0, gdzie styczna do krzywej y=f(x) na odcinku [ a; b] przecina oś Wół. Za punkt x0 Po pierwsze, wygodnie jest wybrać jeden z końców segmentu.

Rozważmy ten algorytm na konkretnym przykładzie.

Dajmy sobie funkcję rosnącą y = f(x) = x 2– 2, ciągłe w przedziale (0;2) i posiadające f "(x)=2x>0 I f ""(x) = 2> 0.

W naszym przypadku równanie styczne ma postać: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). W jako punkt x 0 wybierz punkt B 1 (b; f(b)) = (2,2). Rysujemy styczną do funkcji y = f(x) w punkcie B 1 i oznaczyć punkt przecięcia stycznej i osi Wół kropka x 1. Otrzymujemy równanie pierwszej stycznej: y-2=2 2(x-2), y=4x-6. Wół: x 1 =

Ryż. 3. Konstrukcja pierwszej stycznej do wykresu funkcji f(x)

y=f(x) Wół przez punkt x 1, zdobywamy punkt B2 = (1,5; 0,25). Ponownie narysuj styczną do funkcji y = f(x) w punkcie B 2 i oznacz punkt przecięcia stycznej i Wół kropka x2.

Równanie drugiej stycznej: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y=3x - 4,25. Punkt przecięcia stycznej i osi Wół: x 2 =.

Następnie znajdujemy punkt przecięcia funkcji y=f(x) i prostopadle do osi Wół przechodząc przez punkt x 2, otrzymujemy punkt B 3 i tak dalej.

Ryż. 4. Konstrukcja drugiej stycznej do wykresu funkcji f(x)

Pierwsze przybliżenie pierwiastka określa wzór:

= 1.5.

Drugie przybliżenie pierwiastka określa wzór:

=

Trzecie przybliżenie pierwiastka określa wzór:

Zatem , I-te przybliżenie pierwiastka określa wzór:

Obliczenia są przeprowadzane do momentu osiągnięcia miejsc po przecinku, które są potrzebne w odpowiedzi lub określonej dokładności e - do momentu spełnienia nierówności |xi-xi-1|

W naszym przypadku porównajmy przybliżenie uzyskane w kroku trzecim z odpowiedzią rzeczywistą. Jak widać już w trzecim kroku otrzymaliśmy błąd mniejszy niż 0.000002.

Rozwiązywanie równań z CADMathCAD

Dla najprostszych równań postaci F(X) = 0 rozwiązanie w programie MathCAD można znaleźć za pomocą funkcji źródło.

źródło(F (X 1 , X 2 , … ) , X 1 , a, b ) - zwraca wartość X 1 , należący do segmentu [ a, b ] , w którym wyrażenie lub funkcja F (X ) staje się 0. Oba argumenty tej funkcji muszą być skalarami. Funkcja zwraca wartość skalarną.

Ryż. 5. Rozwiązywanie równań nieliniowych w MathCAD (funkcja pierwiastkowa)

Jeśli w wyniku zastosowania tej funkcji wystąpi błąd, może to oznaczać, że równanie nie ma pierwiastków lub pierwiastki równania znajdują się daleko od początkowego przybliżenia, wyrażenie ma lokalne maks I min między początkowym przybliżeniem a pierwiastkami.

Aby ustalić przyczynę błędu, konieczne jest zbadanie wykresu funkcji F(X). Pomoże to ustalić obecność pierwiastków równania F(X) = 0, a jeśli tak, to określ ich przybliżone wartości. Im dokładniejsze zostanie wybrane początkowe przybliżenie pierwiastka, tym szybciej zostanie znaleziona jego dokładna wartość.

Jeśli początkowe przybliżenie jest nieznane, wskazane jest użycie funkcji rozwiązywać . W takim przypadku, jeśli równanie zawiera kilka zmiennych, po słowie kluczowym solve należy podać listę zmiennych, w odniesieniu do których równanie jest rozwiązywane.

Ryż. 6. Rozwiązywanie równania nieliniowego w MathCAD (rozwiąż funkcję)

Wniosek

Podczas badań uwzględniono zarówno metody matematyczne, jak i rozwiązywanie równań z wykorzystaniem programowania w programie CAD MathCAD. Różne metody mają swoje zalety i wady. Należy zauważyć, że zastosowanie jednej lub drugiej metody zależy od warunków początkowych danego równania. Te równania, które dobrze rozwiązuje się znanymi w szkole metodami faktoryzacji itp., nie mają sensu rozwiązywać bardziej złożonymi sposobami. Stosowane problemy matematyczne, które są ważne dla fizyki i chemii i wymagają skomplikowanych operacji obliczeniowych przy rozwiązywaniu równań, są z powodzeniem rozwiązywane na przykład za pomocą programowania. Są one dobrze rozwiązane metodą Newtona.

Aby udoskonalić pierwiastki, możesz zastosować kilka metod rozwiązania tego samego równania. To właśnie badanie stanowiło podstawę niniejszej pracy. Jednocześnie łatwo jest prześledzić, która metoda jest najskuteczniejsza w rozwiązywaniu każdego etapu równania, a której metody lepiej nie stosować na tym etapie.

Badany materiał z jednej strony przyczynia się do poszerzenia i pogłębienia wiedzy matematycznej, rozbudzając zainteresowanie matematyką. Z drugiej strony ważna jest umiejętność rozwiązywania problemów prawdziwej matematyki dla tych, którzy zamierzają zdobyć zawód kierunku technicznego i inżynierskiego. Dlatego ta praca jest ważna dla dalszej edukacji (na przykład w instytucji szkolnictwa wyższego).

Literatura:

1. Mityakov S. N. Informatyka. Kompleks materiałów edukacyjnych i metodycznych. - Niżny Nowogród: Niżny Nowogród. państwo technika. uniwersytet, 2006
2. Vainberg MM, Trenogin VA Rozgałęziona teoria rozwiązań równań nieliniowych. M.: Nauka, 1969. - 527 s.
3. Bronstein IN, Semendyaev KA Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów VTU - M .: Nauka, 1986.
4. Omelchenko VP, Kurbatova EV Matematyka: podręcznik. - Rostów n / a .: Phoenix, 2005.
5. Savin AP Encyklopedyczny słownik młodego matematyka. - M.: Pedagogika, 1989.
6. Korn G., Korn T. Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu.Wyższa matematyka oparta na Mathcad. Kurs ogólny. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Metody numeryczne oparte na Mathcadzie. - Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Słowa kluczowe: równania nieliniowe, matematyka stosowana, MathCAD, metoda Newtona, metoda krokowa, metoda dychotomii..

Adnotacja: Artykuł poświęcony jest badaniu metod rozwiązywania równań nieliniowych, w tym z wykorzystaniem systemu komputerowego wspomagania projektowania MathCAD. Omówiono metodę krokową, podziału połówkowego i metodę Newtona, podano szczegółowe algorytmy stosowania tych metod oraz przeprowadzono analizę porównawczą tych metod.