Najprostsze problemy z linią prostą na płaszczyźnie. Wzajemny układ linii

Niech będzie dana prosta określona równaniem liniowym i punkt określony jej współrzędnymi (x0, y0) i nieleżący na tej prostej. Trzeba znaleźć punkt, który byłby symetryczny do danego punktu względem danej prostej, to znaczy pokrywałby się z nią, gdyby płaszczyzna była mentalnie zgięta w pół wzdłuż tej prostej.

Instrukcja

1. Oczywiste jest, że oba punkty – zadany i pożądany – muszą leżeć na tej samej prostej, a prosta ta musi być prostopadła do podanej. Zatem pierwszą częścią problemu jest znalezienie równania prostej, która byłaby prostopadła do jakiejś danej prostej i jednocześnie przechodziła przez dany punkt.

2. Linię prostą można zdefiniować na dwa sposoby. Równanie kanoniczne prostej wygląda następująco: Ax + By + C = 0, gdzie A, B i C są stałymi. Linię prostą można również wyznaczyć za pomocą funkcji liniowej: y \u003d kx + b, gdzie k jest wykładnikiem kątowym, b jest przesunięciem.Te dwie metody są wymienne i można przechodzić od siebie. Jeśli Ax + By + C = 0, to y = – (Ax + C)/B. Innymi słowy, w funkcji liniowej y = kx + b, wykładnik kątowy k = -A/B, a przesunięcie b = -C/B. W przypadku omawianego zadania wygodniej jest rozumować na podstawie kanonicznego równania linii prostej.

3. Jeżeli dwie proste są do siebie prostopadłe, a równanie pierwszej prostej to Ax + By + C = 0, to równanie drugiej prostej powinno mieć postać Bx - Ay + D = 0, gdzie D jest stałą. Aby znaleźć pewną wartość D, trzeba dodatkowo wiedzieć, przez który punkt przechodzi prosta prostopadła. W tym przypadku jest to punkt (x0, y0), zatem D musi spełniać równość: Bx0 – Ay0 + D = 0, czyli D = Ay0 – Bx0.

4. Później, po znalezieniu prostej prostopadłej, należy obliczyć współrzędne punktu jej przecięcia z zadanym. Aby to zrobić, musisz rozwiązać układ równań liniowych: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Jego rozwiązanie da liczby (x1, y1), które służą jako współrzędne punkt przecięcia linii.

5. Żądany punkt musi leżeć na wykrytej linii, a jego odległość od punktu przecięcia musi być równa odległości od punktu przecięcia do punktu (x0, y0). Współrzędne punktu symetrycznego do punktu (x0, y0) można więc znaleźć rozwiązując układ równań: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ale ułatwmy to. Jeżeli punkty (x0,y0) i (x,y) leżą w równych odległościach od punktu (x1,y1) i wszystkie trzy punkty leżą na tej samej prostej, to: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0.W konsekwencji x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Podstawiając te wartości do drugiego równania pierwszego układu i upraszczając wyrażenia, łatwo jest upewnić się, że jego prawa strona staje się taka sama jak lewa. Ponadto nie ma sensu dokładniej rozważać pierwszego równania, ponieważ wiadomo, że punkty (x0,y0) i (x1,y1) je spełniają, a punkt (x,y) na pewno leży na tej samej prostej .

Sformułowanie problemu. Znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem płaszczyzny.

Plan rozwiązania.

1. Znajdujemy równanie prostej, która jest prostopadła do danej płaszczyzny i przechodzi przez punkt . Ponieważ prosta jest prostopadła do danej płaszczyzny, to wektor normalnej płaszczyzny można przyjąć jako jej wektor kierunkowy, tj.

.

Dlatego równanie linii prostej będzie

.

2. Znajdź punkt przecięcie linii i samoloty (patrz Zadanie 13).

3. Punkt jest środkiem odcinka, gdzie punkt jest punktem symetrycznym do punktu , dlatego

Zadanie 14. Znajdź punkt symetryczny do punktu względem płaszczyzny.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do ​​danej płaszczyzny będzie miało postać:

.

Znajdź punkt przecięcia linii i płaszczyzny.

Gdzie - punkt przecięcia prostej i płaszczyzny jest zatem środkiem odcinka

Tych. .

Jednorodne współrzędne płaszczyzny. Transformacje afiniczne na płaszczyźnie.

Wynajmować M X oraz w

M(X, wJa (X, w, 1) w przestrzeni (ryc. 8).

Ja (X, w

Ja (X, w hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentarz

h(na przykład, h

Rzeczywiście, biorąc pod uwagę h

Komentarz

Przykład 1

b) w rogu (Rys. 9).

1. krok.

2. krok. Obrót kątowy 

macierz odpowiedniej transformacji.

trzeci krok. Przenieś do wektora A(a, b)

macierz odpowiedniej transformacji.

Przykład 3

 wzdłuż osi x i

1. krok.

macierz odpowiedniej transformacji.

2. krok.

trzeci krok.

wreszcie dostać

Komentarz

[R],[D],[M],[T],

Wynajmować M- dowolny punkt płaszczyzny ze współrzędnymi X oraz w obliczone w odniesieniu do danego prostoliniowego układu współrzędnych. Współrzędne jednorodne tego punktu to dowolna trójka jednocześnie niezerowych liczb x 1, x 2, x 3, związana z danymi liczbami x i y następującymi zależnościami:

Podczas rozwiązywania problemów z grafiką komputerową jednorodne współrzędne są zwykle wprowadzane w następujący sposób: dowolny punkt M(X, w) płaszczyzna ma przypisany punkt Ja (X, w, 1) w przestrzeni (ryc. 8).

Zauważ, że dowolny punkt na linii łączącej początek, punkt 0 (0, 0, 0), z punktem Ja (X, w, 1) można podać przez potrójną liczbę postaci (hx, hy, h).

Wektor o współrzędnych hx, hy jest wektorem kierunkowym prostej łączącej punkty 0 (0, 0, 0) i Ja (X, w, jeden). Prosta ta przecina płaszczyznę z = 1 w punkcie (x, y, 1), który jednoznacznie wyznacza punkt (x, y) płaszczyzny współrzędnych hu.

Zatem między dowolnym punktem o współrzędnych (x, y) a zbiorem trójek liczb postaci

(hx, hy, h), h  0,

ustalana jest korespondencja (jeden do jednego), co pozwala nam uznać liczby hx, hy, h za nowe współrzędne tego punktu.

Komentarz

Współrzędne jednorodne, szeroko stosowane w geometrii rzutowej, pozwalają skutecznie opisywać tzw. elementy niewłaściwe (zasadniczo takie, w których płaszczyzna rzutowa różni się od znanej nam płaszczyzny euklidesowej). Więcej szczegółów na temat nowych funkcji zapewnianych przez wprowadzone współrzędne jednorodne omówiono w czwartej części tego rozdziału.

W geometrii rzutowej dla współrzędnych jednorodnych przyjmuje się następującą notację:

x: y: 1 lub bardziej ogólnie x 1: x 2: x 3

(przypomnijmy, że tutaj absolutnie wymagane jest, aby liczby x 1, x 2, x 3 jednocześnie nie znikały).

Zastosowanie jednorodnych współrzędnych okazuje się wygodne nawet przy rozwiązywaniu najprostszych problemów.

Rozważmy na przykład kwestie związane ze skalowaniem. Jeśli urządzenie wyświetlające działa tylko z liczbami całkowitymi (lub jeśli konieczna jest praca tylko z liczbami całkowitymi), to dla dowolnej wartości h(na przykład, h= 1) punkt o jednorodnych współrzędnych

nie można sobie wyobrazić. Jednak przy rozsądnym wyborze h można zapewnić, że współrzędne tego punktu są liczbami całkowitymi. W szczególności dla h = 10, dla rozważanego przykładu, mamy

Rozważmy inny przypadek. Aby wyniki transformacji nie prowadziły do ​​przepełnienia arytmetycznego, dla punktu o współrzędnych (80000 40000 1000) można przyjąć np. h=0,001. W rezultacie otrzymujemy (80 40 1).

Podane przykłady pokazują przydatność stosowania współrzędnych jednorodnych w obliczeniach. Jednak głównym celem wprowadzania współrzędnych jednorodnych w grafice komputerowej jest ich niewątpliwa wygoda w zastosowaniu do przekształceń geometrycznych.

Za pomocą trójek jednorodnych współrzędnych i macierzy trzeciego rzędu można opisać dowolną transformację afiniczną płaszczyzny.

Rzeczywiście, biorąc pod uwagę h= 1, porównaj dwa wpisy: oznaczony * i następujący, macierz:

Łatwo zauważyć, że po przemnożeniu wyrażeń po prawej stronie ostatniej relacji otrzymujemy oba wzory (*) i poprawną równość liczbową 1=1.

Komentarz

Niekiedy w literaturze stosuje się inny zapis – zapis kolumnowy:

Ten zapis jest równoważny z powyższym zapisem liniowym (i jest uzyskiwany z niego przez transpozycję).

Elementy dowolnej macierzy transformacji afinicznej nie mają wyraźnego znaczenia geometrycznego. Dlatego, aby zaimplementować określone odwzorowanie, czyli znaleźć elementy odpowiedniej macierzy według zadanego opisu geometrycznego, potrzebne są specjalne techniki. Zwykle budowa tej macierzy, zgodnie ze złożonością rozpatrywanego problemu i opisanymi powyżej konkretnymi przypadkami, dzieli się na kilka etapów.

Na każdym etapie wyszukiwana jest macierz odpowiadająca jednemu lub drugiemu z powyższych przypadków A, B, C lub D, które mają dobrze zdefiniowane właściwości geometryczne.

Wypiszmy odpowiednie macierze trzeciego rzędu.

A. Macierz obrotu, (obrót)

B. Matryca dylatacji

B. Matryca odbicia

D. Transfer Matrix (tłumaczenie)

Rozważ przykłady przekształceń afinicznych płaszczyzny.

Przykład 1

Zbuduj macierz rotacji wokół punktu A (a,b) w rogu (Rys. 9).

1. krok. Przenieś do wektora - A (-a, -b), aby wyrównać środek obrotu z początkiem;

macierz odpowiedniej transformacji.

2. krok. Obrót kątowy 

macierz odpowiedniej transformacji.

trzeci krok. Przenieś do wektora A(a, b) przywrócić środek obrotu do poprzedniej pozycji;

macierz odpowiedniej transformacji.

Mnożymy macierze w tej samej kolejności, w jakiej zostały zapisane:

W rezultacie otrzymujemy, że pożądana transformacja (w notacji macierzowej) będzie wyglądać następująco:

Elementy wynikowej macierzy (zwłaszcza w ostatnim rzędzie) nie są łatwe do zapamiętania. Jednocześnie każdą z trzech zwielokrotnionych macierzy można łatwo skonstruować z opisu geometrycznego odpowiedniego odwzorowania.

Przykład 3

Zbuduj matrycę rozciągania z czynnikami rozciągania wzdłuż osi x i wzdłuż osi y i wyśrodkowany w punkcie A(a, b).

1. krok. Przenieś do wektora -А(-а, -b), aby dopasować środek rozciągania do początku;

macierz odpowiedniej transformacji.

2. krok. Rozciąganie wzdłuż osi współrzędnych o współczynnikach odpowiednio  i ; macierz transformacji ma postać

trzeci krok. Przenieś do wektora A(a, b), aby przywrócić środek rozciągania do poprzedniej pozycji; macierz odpowiedniej transformacji to

Pomnóż macierze w tej samej kolejności

wreszcie dostać

Komentarz

Argumentując w podobny sposób, czyli rozbijając proponowaną transformację na etapy wsparte macierzami[R],[D],[M],[T], można skonstruować macierz dowolnej transformacji afinicznej z jej opisu geometrycznego.

Przesunięcie jest realizowane przez dodawanie, a skalowanie i obracanie przez mnożenie.

Transformacja skali (dylatacja) względem początku ma postać:

lub w postaci macierzowej:

gdzie Dx,Dy są współczynnikami skalowania wzdłuż osi i

- macierz skalowania.

Dla D > 1 następuje rozwinięcie, dla 0<=D<1- сжатие

Obróć Przekształć względem pochodzenia ma postać:

lub w postaci macierzowej:

gdzie φ jest kątem obrotu i

- macierz rotacji.

Komentarz: Kolumny i wiersze macierzy rotacji są wzajemnie ortogonalnymi wektorami jednostkowymi. Rzeczywiście, kwadraty długości wektorów wierszy są równe jeden:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 i (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a iloczyn skalarny wektorów rzędowych to

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Ponieważ iloczyn skalarny wektorów A · B = |A| ·| B| ·cosψ, gdzie | A| - długość wektora A, |B| - długość wektora B, a ψ jest najmniejszym dodatnim kątem między nimi, to z równości 0 iloczynu skalarnego dwóch wektorów rzędowych o długości 1 wynika, że ​​kąt między nimi wynosi 90 ° .

Oh-oh-oh-oh-oh… no to blado, jakbyś sobie czytała zdanie =) Jednak wtedy relaks pomoże, tym bardziej, że kupiłam dzisiaj odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu zachowam pogodny nastrój.

Wzajemny układ dwóch linii prostych

Przypadek, gdy sala śpiewa w refrenie. Dwie linie mogą:

1) dopasowanie;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla debili : proszę pamiętać o matematycznym znaku skrzyżowania, będzie się on pojawiał bardzo często. Wpis oznacza, że ​​prosta przecina się z prostą w punkcie.

Jak określić względną pozycję dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości

Rozważmy proste i ułóżmy trzy równania z odpowiadających im współczynników: . Z każdego równania wynika zatem, że linie te pokrywają się.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez -1 (zmień znaki) i wszystkie współczynniki równania zmniejsz o 2, otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy proste są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: , ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednak jasne jest, że .

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE istnieje taka wartość "lambda" aby równości były spełnione

Tak więc dla prostych ułożymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , stąd system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie przecinają się

W praktycznych problemach można zastosować właśnie rozważany schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania współliniowości wektorów, który rozważaliśmy na lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:

Przykład 1

Znajdź względne położenie linii:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierujących liniami prostymi:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, więc wektory nie są współliniowe i proste się przecinają.

Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:

Reszta przeskakuje przez kamień i idzie dalej, prosto do Kashchei Nieśmiertelnego =)

b) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Proste mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że ​​są albo równoległe, albo takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.

Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

W ten sposób,

c) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
, zatem wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Jednak można to również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Oba wolne terminy są zerowe, więc:

Otrzymana wartość spełnia to równanie (zwykle spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiadać:

Bardzo szybko nauczysz się (lub już się nauczyłeś) rozwiązywać rozważany problem ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. Pod tym względem nie widzę powodu, aby oferować coś za samodzielne rozwiązanie, lepiej dołożyć jeszcze jedną ważną cegiełkę w geometrycznym fundamencie:

Jak narysować linię równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Rozbójnik surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli proste są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy prostej „ce” nadaje się również do zbudowania prostej „te”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiadać:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie.

Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do przeprowadzenia ustnie. Przyjrzyj się dwóm równaniom, a wielu z was szybko odkryje, w jaki sposób linie są równoległe bez żadnego rysowania.

Przykłady samodzielnego rozwiązania dzisiaj będą kreatywne. Bo ciągle trzeba rywalizować z Babą Jagą, a ona, wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej if

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga znajduje się na końcu lekcji.

Popracowaliśmy trochę nad liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Twoje zdrowie znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia prostych

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Graficzny sposób polega po prostu na narysowaniu podanych linii i znalezieniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że zrobienie poprawnego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyrazami. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiadać:

Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład zrób to sam. Zadanie można wygodnie podzielić na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrował.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:

Para butów nie została jeszcze zużyta, ponieważ przeszliśmy do drugiej części lekcji:

Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować prostą równoległą do podanej, a teraz chatka na kurzych nóżkach obróci się o 90 stopni:

Jak narysować linię prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.

Rozwiązanie: Wiadomo z założenia, że ​​. Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierunkowym prostej.

Tworzymy równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy:

Odpowiadać:

Rozłóżmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań i z pomocą iloczyn skalarny wektorów wnioskujemy, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie .

Weryfikacja jest łatwa do przeprowadzenia ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i kropka.

To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka działań, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadłości. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyraża się wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość od punktu do prostej

Rozwiązanie: wszystko, czego potrzebujesz, to ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiadać:

Wykonajmy rysunek:

Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wtedy odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu , który jest symetryczny do punktu względem prostej . Proponuję wykonać działania we własnym zakresie, jednak nakreślę algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obie akcje są szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Za pomocą wzory na współrzędne środka odcinka odnaleźć .

Sprawdzenie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki, nie będzie zbędne.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala liczyć ułamki zwykłe. Doradzałem wiele razy i będę polecał ponownie.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała podpowiedź: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Odprawa na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt między dwiema liniami

Niezależnie od rogu, to oścież:


W geometrii kąt między dwiema liniami prostymi jest traktowany jako KĄT MNIEJSZY, z czego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany czerwonym łukiem nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub zorientowane przeciwnie karmazynowy kącik.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” rogu ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt skierowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny i nie powinno to nikogo dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) za pomocą strzałki.

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie formuły robocze:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie oraz Metoda pierwsza

Rozważmy dwie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadłe, następnie zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie to iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego zgłoszono zastrzeżenie co do nieprostopadłości linii w sformułowaniu.

W oparciu o powyższe rozwiązanie można wygodnie sformalizować w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących liniami prostymi:
więc proste nie są prostopadłe.

2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości łuku tangensa (patrz ryc. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiadać:

W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej zarówno w stopniach, jak i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

Cóż, minus, więc minus, jest w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w stanie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić proste, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od directa .

Linię prostą w przestrzeni można zawsze zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn. Jeżeli równanie jednej płaszczyzny jest równaniem drugiej płaszczyzny, to równanie prostej jest podane jako

tutaj niewspółliniowe
. Równania te nazywają się równania ogólne linia prosta w przestrzeni.

Równania kanoniczne linii prostej

Każdy niezerowy wektor leżący na danej prostej lub do niej równoległy nazywamy wektorem kierunkowym tej prostej.

Jeśli sprawa jest znana
linia i jej wektor kierunkowy
, to równania kanoniczne linii mają postać:

. (9)

Równania parametryczne prostej

Niech będą podane równania kanoniczne prostej

.

Stąd otrzymujemy parametryczne równania prostej:

(10)

Te równania są przydatne do znajdowania punktu przecięcia linii i płaszczyzny.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
oraz
wygląda jak:

.

Kąt między liniami

Kąt między liniami

oraz

jest równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi. Dlatego można to obliczyć za pomocą wzoru (4):

Warunek linii równoległych:

.

Warunek prostopadłości płaszczyzn:

Odległość punktu od prostej

P dany punkt
i bezpośredni

.

Punkt jest znany z równań kanonicznych linii
, należący do prostej, oraz wektor jej kierunku
. Następnie odległość punktowa
od linii prostej jest równa wysokości równoległoboku zbudowanego na wektorach oraz
. W konsekwencji,

.

Warunek przecięcia linii

Dwie nierównoległe linie

,

przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Wzajemny układ prostej i płaszczyzny.

Niech linia prosta
i płaski. Narożnik między nimi można znaleźć za pomocą wzoru

.

Zadanie 73. Napisz równania kanoniczne linii

(11)

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej (9), konieczna jest znajomość dowolnego punktu należącego do prostej oraz wektora kierunkowego prostej.

Znajdźmy wektor równolegle do podanej linii. Ponieważ musi być prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, tj.

,
, następnie

.

Z ogólnych równań linii prostej mamy to
,
. Następnie

.

Od punktu
dowolny punkt prostej, to jej współrzędne muszą spełniać równania prostej, a jedno z nich można określić, np.
, znajdujemy pozostałe dwie współrzędne z układu (11):

Stąd,
.

Zatem równania kanoniczne pożądanej linii mają postać:

lub
.

Zadanie 74.

oraz
.

Rozwiązanie. Z równań kanonicznych pierwszego wiersza znane są współrzędne punktu
należący do prostej i współrzędne wektora kierunkowego
. Z równań kanonicznych drugiej linii znane są również współrzędne punktu
i współrzędne wektora kierunku
.

Odległość między liniami równoległymi jest równa odległości punktu
z drugiej linii. Odległość tę oblicza się według wzoru

.

Znajdźmy współrzędne wektora
.

Oblicz iloczyn wektorowy
:

.

zadanie 75. Znajdź punkt symetryczny punkt
względnie prosto

.

Rozwiązanie. Piszemy równanie płaszczyzny prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt . Jako wektor normalny możemy przyjąć wektor kierunkowy jako linię prostą. Następnie
. W konsekwencji,

Znajdźmy punkt
punkt przecięcia danej linii i płaszczyzny P. W tym celu zapisujemy równania parametryczne linii, korzystając z równań (10), otrzymujemy

W konsekwencji,
.

Wynajmować
punkt symetryczny do punktu
o tej linii. Następnie punkt
punkt środkowy
. Aby znaleźć współrzędne punktu używamy wzorów na współrzędne środka odcinka:

,
,
.

Więc,
.

Zadanie 76. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez linię prostą
oraz

a) przez kropkę
;

b) prostopadle do płaszczyzny.

Rozwiązanie. Zapiszmy ogólne równania tej prostej. Aby to zrobić, rozważ dwie równości:

Oznacza to, że pożądana płaszczyzna należy do ołówka płaszczyzn z generatorami i jej równanie można zapisać w postaci (8):

a) znaleźć
oraz od warunku, że płaszczyzna przechodzi przez punkt
, zatem jego współrzędne muszą spełniać równanie płaszczyzny. Podstaw współrzędne punktu
do równania wiązki płaszczyzn:

Znaleziona wartość
podstawiamy do równania (12). otrzymujemy równanie pożądanej płaszczyzny:

b) znaleźć
oraz od warunku, że pożądana płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny. Wektor normalny danej płaszczyzny
, wektor normalny żądanej płaszczyzny (patrz równanie dla wiązki płaszczyzn (12).

Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero. W konsekwencji,

Zastąp znalezioną wartość
do równania wiązki płaszczyzn (12). Otrzymujemy równanie pożądanej płaszczyzny:

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 77. Doprowadź do postaci kanonicznej równania linii:

1)
2)

Zadanie 78. Napisz równania parametryczne prostej
, jeśli:

1)
,
; 2)
,
.

Zadanie 79. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
prostopadle do linii

zadanie 80. Napisz równania prostej przechodzącej przez punkt
prostopadle do płaszczyzny.

Zadanie 81. Znajdź kąt między liniami:

1)
oraz
;

2)
oraz

Zadanie 82. Udowodnij linie równoległe:

oraz
.

zadanie 83. Udowodnij prostopadłość prostych:

oraz

Zadanie 84. Oblicz odległość punktu
z prostej:

1)
; 2)
.

zadanie 85. Oblicz odległość między liniami równoległymi:

oraz
.

zadanie 86. W równaniach prostych
zdefiniuj parametr tak aby ta prosta przecinała się z prostą i znajdź punkt ich przecięcia.

Zadanie 87. Pokaż, że to proste
równolegle do płaszczyzny
, a linia prosta
leży w tej płaszczyźnie.

Zadanie 88. Znajdź punkt symetryczny punkt względem płaszczyzny
, jeśli:

1)
, ;

2)
, ;.

Zadanie 89. Napisz równanie prostopadłej opadającej z punktu
bezpośrednio
.

zadanie 90. Znajdź punkt symetryczny punkt
względnie prosto
.

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu , który jest symetryczny do punktu względem prostej . Proponuję wykonać działania we własnym zakresie, jednak nakreślę algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obie akcje są szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Za pomocą wzory na współrzędne środka odcinka odnaleźć .

Sprawdzenie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki, nie będzie zbędne.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala liczyć ułamki zwykłe. Doradzałem wiele razy i będę polecał ponownie.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała podpowiedź: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Odprawa na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt między dwiema liniami

Niezależnie od rogu, to oścież:


W geometrii kąt między dwiema liniami prostymi jest traktowany jako KĄT MNIEJSZY, z czego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany czerwonym łukiem nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub zorientowane przeciwnie karmazynowy kącik.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” rogu ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt skierowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny i nie powinno to nikogo dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) za pomocą strzałki.

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie formuły robocze:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie oraz Metoda pierwsza

Rozważmy dwie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadłe, następnie zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie to iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego zgłoszono zastrzeżenie co do nieprostopadłości linii w sformułowaniu.

W oparciu o powyższe rozwiązanie można wygodnie sformalizować w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących liniami prostymi:

2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości łuku tangensa (patrz ryc. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiadać:

W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej zarówno w stopniach, jak i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

Cóż, minus, więc minus, jest w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w stanie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić proste, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od directa .

Nie będę ukrywał, sam wybieram proste w takiej kolejności, aby kąt był dodatni. Jest piękniejszy, ale nic więcej.

Aby sprawdzić rozwiązanie, możesz wziąć kątomierz i zmierzyć kąt.

Metoda druga

Jeśli linie są podane równaniami o nachyleniu i nie prostopadłe, następnie zorientowany kąt między nimi można znaleźć za pomocą wzoru:

Warunek prostopadłości prostych wyraża się równością, z której, nawiasem mówiąc, wynika bardzo przydatna zależność między współczynnikami kątowymi prostych prostopadłych: , która jest wykorzystywana w niektórych zadaniach.

Algorytm rozwiązania jest podobny do poprzedniego akapitu. Ale najpierw przepiszmy nasze linie w wymaganej formie:

Zatem współczynniki nachylenia:

1) Sprawdź, czy linie są prostopadłe:
więc proste nie są prostopadłe.

2) Korzystamy ze wzoru:

Odpowiadać:

Druga metoda jest odpowiednia do użycia, gdy równania linii są początkowo ustawione ze spadkiem. Należy zauważyć, że jeśli co najmniej jedna prosta jest równoległa do osi rzędnych, to wzór w ogóle nie ma zastosowania, ponieważ dla takich prostych nachylenie nie jest określone (patrz artykuł Równanie prostej na płaszczyźnie).

Jest też trzecie rozwiązanie. Chodzi o to, aby obliczyć kąt między wektorami kierunkowymi linii, korzystając ze wzoru omówionego na lekcji Iloczyn skalarny wektorów:

Tutaj nie mówimy o zorientowanym kącie, ale „tylko o kącie”, to znaczy wynik z pewnością będzie pozytywny. Haczyk polega na tym, że możesz uzyskać kąt rozwarty (nie taki, jakiego potrzebujesz). W takim przypadku trzeba będzie zastrzec, że kąt między liniami jest mniejszym kątem i odjąć wynikowy cosinus łuku od radianów „pi” (180 stopni).

Ci, którzy chcą, mogą rozwiązać problem w trzeci sposób. Ale nadal zalecam trzymanie się pierwszego podejścia zorientowanego pod kątem, ponieważ jest ono szeroko stosowane.

Przykład 11

Znajdź kąt między liniami.

To jest przykład zrób to sam. Spróbuj rozwiązać to na dwa sposoby.

Jakoś bajka umarła po drodze .... Ponieważ nie ma Kashchei Nieśmiertelnego. To ja, i to niezbyt na parze. Szczerze mówiąc, myślałem, że artykuł będzie znacznie dłuższy. Ale mimo wszystko wezmę świeżo zdobytą czapkę z okularami i pójdę popływać we wrześniowej wodzie jeziora. Doskonale łagodzi zmęczenie i negatywną energię.

Do zobaczenia wkrótce!

I pamiętajcie, Baba Jaga nie została odwołana =)

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 3:Rozwiązanie : Znajdź wektor kierunkowy linii prostej :

Za pomocą punktu ułożymy równanie pożądanej linii prostej i wektor kierunku . Ponieważ jedna ze współrzędnych wektora kierunkowego wynosi zero, równanie przepisać w postaci:

Odpowiadać :

Przykład 5:Rozwiązanie :
1) Równanie linii prostej zrobić dwa punkty :

2) Równanie linii prostej zrobić dwa punkty :

3) Odpowiednie współczynniki dla zmiennych poza proporcjami: , więc proste się przecinają.
4) Znajdź punkt :


Notatka : tutaj pierwsze równanie układu jest mnożone przez 5, następnie drugie równanie jest odejmowane wyraz po wyrazie od pierwszego równania.
Odpowiadać :