Ekstrema, maksymalne i minimalne wartości funkcji. Etykieta: lokalne ekstremum

$E \podzbiór \mathbb(R)^(n)$. Mówi się, że $f$ ma lokalne maksimum w punkcie $x_(0) \in E$ jeśli istnieje sąsiedztwo $U$ punktu $x_(0)$ takie, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Lokalne maksimum nazywa się rygorystyczny , jeśli otoczenie $U$ można wybrać w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicja
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na otwartym zbiorze $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mówi się, że $f$ ma lokalne minimum w punkcie $x_(0) \in E$ jeśli istnieje sąsiedztwo $U$ punktu $x_(0)$ takie, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Mówi się, że lokalne minimum jest ścisłe, jeśli otoczenie $U$ można wybrać tak, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\prawo)$.

Ekstremum lokalne łączy pojęcia lokalnego minimum i lokalnego maksimum.

Twierdzenie (warunek konieczny dla ekstremum funkcji różniczkowalnej)
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na otwartym zbiorze $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jeśli w punkcie $x_(0) \in E$ funkcja $f$ ma ekstremum lokalne również w tym punkcie, to $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Różniczka równości do zera jest równoważna temu, że wszystkie są równe zeru, tj. $$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x_(i))\lewo(x_(0)\prawo)=0,$$

W przypadku jednowymiarowym jest to . Oznaczmy $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdzie $h$ jest dowolnym wektorem. Funkcja $\phi$ jest zdefiniowana dla wystarczająco małych wartości modulo $t$. Co więcej, w odniesieniu do , jest różniczkowalna, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Niech $f$ ma lokalne maksimum na x $0$. Stąd funkcja $\phi$ w $t = 0$ ma lokalne maksimum i zgodnie z twierdzeniem Fermata $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Czyli otrzymaliśmy, że $df \left(x_(0)\right) = 0$, czyli funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ jest równa zero na dowolnym wektorze $h$.

Definicja
Punkty, w których różnica jest równa zero, tj. te, w których wszystkie pochodne cząstkowe są równe zeru, nazywamy stacjonarnymi. punkt krytyczny funkcje $f$ to te punkty, w których $f$ nie jest różniczkowalna lub jest równa zeru. Jeśli punkt jest nieruchomy, nie wynika jeszcze z tego, że funkcja ma w tym punkcie ekstremum.

Przykład 1
Niech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Wtedy $\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe y) = 3 \cdot y^(2 )$, więc $\left(0,0\right)$ jest punktem stacjonarnym, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. Rzeczywiście, $f \left(0,0\right) = 0$, ale łatwo zauważyć, że w każdym sąsiedztwie punktu $\left(0,0\right)$ funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.

Przykład 2
Funkcja $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ma początek współrzędnych jako punkt stacjonarny, ale jasne jest, że w tym punkcie nie ma ekstremum.

Twierdzenie (warunek wystarczający dla ekstremum).
Niech funkcja $f$ będzie dwukrotnie w sposób ciągły różniczkowalna na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Niech $x_(0) \in E$ będzie punktem stacjonarnym, a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Wtedy

1. jeśli $Q_(x_(0))$ to , to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ ma lokalne ekstremum, a mianowicie minimum dla postaci dodatnio określonej i maksimum dla postaci ujemna określona;
2. jeśli kwadratowa forma $Q_(x_(0))$ jest nieokreślona, ​​to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ nie ma ekstremum.

Wykorzystajmy rozwinięcie według wzoru Taylora (12.7 s. 292) . Biorąc pod uwagę, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie $x_(0)$ są równe zeru, otrzymujemy $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ częściowe x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ gdzie $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ dla $h \rightarrow 0$, to prawa strona jest dodatnia dla dowolnego wektora $h$ o wystarczająco małej długości.
Doszliśmy więc do wniosku, że w pewnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ nierówność $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ jest spełniona, jeśli tylko $ x \neq x_ (0)$ (wstawiamy $x=x_(0)+h$\right). Oznacza to, że w punkcie $x_(0)$ funkcja ma ścisłe minimum lokalne, a zatem pierwsza część naszego twierdzenia jest udowodniona.
Załóżmy teraz, że $Q_(x_(0))$ jest formą nieokreśloną. Następnie mamy wektory $h_(1)$, $h_(2)$ takie, że $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Wtedy otrzymujemy $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Dla wystarczająco małego $t>0$ prawa strona pozytywny. Oznacza to, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości $f \left(x\right)$ większe niż $f \left(x_(0)\right)$.
Podobnie otrzymujemy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze niż $f \left(x_(0)\right)$. To razem z poprzednim oznacza, że ​​funkcja $f$ nie ma ekstremum w punkcie $x_(0)$.

Rozważmy szczególny przypadek tego twierdzenia dla funkcji $f \left(x,y\right)$ dwóch zmiennych zdefiniowanych w pewnym sąsiedztwie punktu $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i posiadające ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Niech $\left(x_(0),y_(0)\right)$ będzie punktem stacjonarnym i niech $$\displaystyle a_(11)= \frac(\częściowy^(2)f)(\częściowy x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Wtedy poprzednie twierdzenie przyjmuje następującą postać.

Twierdzenie
Niech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Następnie:

1. jeśli $\Delta>0$, to funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $\left(x_(0),y_(0)\right)$, czyli minimum jeśli $a_(11)> 0$ , a maksymalnie jeśli $a_(11)<0$;
2. jeśli $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Przykłady rozwiązywania problemów

Algorytm znajdowania ekstremum funkcji wielu zmiennych:

1. Znajdujemy punkty stacjonarne;
2. Znajdujemy różniczkę drugiego rzędu we wszystkich punktach stacjonarnych
3. Używając warunku wystarczającego dla ekstremum funkcji kilku zmiennych, w każdym punkcie stacjonarnym rozważamy różniczkę drugiego rzędu

1. Zbadaj funkcję do ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Rozwiązanie

   Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$$$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowy y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Skomponuj i rozwiąż układ: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partal f)(\partal x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Z drugiego równania wyrażamy $x=4 \cdot y^(2)$ — podstawiamy do pierwszego równania: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ prawo )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ W efekcie otrzymujemy 2 punkty stacjonarne:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $ \ Displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Strzałka w prawo ^ (3) = \ Frac (1) (8) \ Strzałka w prawo y = \ Frac (1) (2) \ Strzałka w prawo x = 1 , M_(2) = \lewo(\frac(1)(2), 1\prawo)$
   Sprawdźmy spełnienie dostatecznego warunku ekstremum:
   $$\displaystyle \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Dla punktu $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\częściowy^(2)f)(\częściowy x^(2)) \lewy(0,0\prawy)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\częściowy y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Dla punktu $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\częściowy^(2)f)(\częściowy x^(2)) \lewo (1,\frac(1)(2)\prawo)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, więc istnieje ekstremum w punkcie $M_(2)$, a ponieważ $A_(2)>0 $, to jest minimum.
   Odpowiedź: Punkt $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ jest minimalnym punktem funkcji $f$.
   

2. Zbadaj funkcję dla ekstremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Rozwiązanie

   Znajdź punkty stacjonarne: $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe x)=2 \cdot y - 4;$$$$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Skomponuj i rozwiąż system: $$\displaystyle \początek (przypadki)\frac(\częściowy f)(\częściowy x)= 0\\\frac(\częściowy f)(\częściowy y)= 0\koniec(przypadki) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ jest punktem stacjonarnym.
   Sprawdźmy spełnienie warunku ekstremum wystarczającego: $$\displaystyle A=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpowiedź: nie ma ekstremów.
   

Limit czasu: 0

Nawigacja (tylko numery zadań)

Ukończono 0 z 4 zadań

Informacja

Rozwiąż ten quiz, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat, który właśnie przeczytałeś, Lokalne ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Już wcześniej przystępowałeś do testu. Nie możesz go ponownie uruchomić.

Trwa ładowanie testu...

Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.

Aby rozpocząć ten, musisz wykonać następujące testy:

wyniki

Prawidłowe odpowiedzi: 0 z 4

Twój czas:

Czas się skończył

Zdobyłeś 0 na 0 punktów (0 )

Twój wynik został zapisany w tabeli liderów

1. Z odpowiedzią
2. Wyrejestrowany

Zadanie 1 z 4

1 .

Liczba punktów: 1

Zbadaj funkcję $f$ dla ekstremów: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Prawidłowo


Niewłaściwie


1. Zadanie 2 z 4

   2 .

   Liczba punktów: 1

   Czy funkcja $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Ekstremalne

Ekstremum funkcji

Definicja ekstremum

Funkcjonować y = f(x) nazywa się wzrastający (zanikający) w pewnym przedziale jeśli dla x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Jeżeli funkcja różniczkowalna y \u003d f (x) na segmencie wzrasta (maleje), to jej pochodna na tym segmencie f " (x )> 0

(f"(x)< 0).

Kropka x o nazywa lokalny punkt maksymalny (minimum) funkcji f (x ) jeśli istnieje sąsiedztwo punktu x o, dla wszystkich punktów, których nierówność f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f(xo)).

Punkty maksymalne i minimalne nazywają się punkty ekstremalne, a wartościami funkcji w tych punktach są jego ekstrema.

punkty ekstremalne

Warunki konieczne dla ekstremum . Jeśli punkt x o jest ekstremum funkcji f (x), wtedy albo f " (x o ) = 0 lub f(xo) nie istnieje. Takie punkty nazywają się krytyczny, gdzie sama funkcja jest zdefiniowana w punkcie krytycznym. Ekstrema funkcji należy szukać wśród jej punktów krytycznych.

Pierwszy wystarczający warunek. Wynajmować x o - punkt krytyczny. Jeśli f” (x ) przy przejściu przez punkt x o zmienia znak plus na minus, a następnie w punkcie x o funkcja ma maksimum, w przeciwnym razie ma minimum. Jeżeli pochodna nie zmienia znaku przy przejściu przez punkt krytyczny, to w punkcie x o nie ma ekstremum.

Drugi warunek wystarczający. Niech funkcja f(x) ma
f" (x ) w sąsiedztwie punktu x o a druga pochodna w samym punkcie x o. Jeśli f”(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o jest lokalnym punktem minimalnym (maksymalnym) funkcji f(x). Jeśli =0, to trzeba albo użyć pierwszego wystarczającego warunku, albo zastosować wyższe.

W segmencie funkcja y \u003d f (x) może osiągnąć najmniejszą lub największą wartość w punktach krytycznych lub na końcach segmentu.

Przykład 3.22.

Rozwiązanie. Dlatego f " (

Zadania znajdowania ekstremum funkcji

Przykład 3.23. a

Rozwiązanie. x oraz tak tak
0 ≤ x≤
> 0, podczas gdy x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcje mkw.. jednostki).

Przykład 3.24. p

Rozwiązanie. pp
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Przykład 3.22.Znajdź ekstrema funkcji f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rozwiązanie. Dlatego f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), następnie punkty krytyczne funkcji x 1 \u003d 2 i x 2 \u003d 3. Punkty skrajne mogą znajdować się tylko w tych zwrotnica. Ponieważ po przejściu przez punkt x 1 \u003d 2 pochodna zmienia znak z plus na minus, to w tym momencie funkcja ma maksimum. Podczas przechodzenia przez punkt x 2 \u003d 3 pochodna zmienia znak z minus na plus, dlatego w punkcie x 2 \u003d 3 funkcja ma minimum. Obliczanie wartości funkcji w punktach
x 1 = 2 i x 2 = 3, znajdujemy ekstrema funkcji: maksimum f (2) = 14 i minimum f (3) = 13.

Przykład 3.23.Konieczne jest wybudowanie prostokątnego obszaru w pobliżu kamiennego muru, tak aby był on z trzech stron ogrodzony siatką drucianą, a z czwartej przylegał do muru. Do tego jest a metry bieżące siatki. Przy jakim współczynniku proporcji witryna będzie miała największy obszar?

Rozwiązanie.Oznacz boki witryny poprzez x oraz tak. Powierzchnia terenu jest równa S = xy. Wynajmować tak to długość boku przylegającego do ściany. Następnie, pod warunkiem, równość 2x + y = a musi być zachowana. Dlatego y = a - 2x i S = x (a - 2x), gdzie
0 ≤ x≤ a /2 (długość i szerokość pada nie może być ujemna). S "= a - 4x, a - 4x = 0 dla x = a/4, skąd
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Ponieważ x = a /4 jest jedynym punktem krytycznym, sprawdźmy czy znak pochodnej zmienia się przy przejściu przez ten punkt. Dla x za /4 S "> 0, podczas gdy x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcje S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (mkw.. jednostki). Ponieważ S jest ciągła, a jej wartości na końcach S(0) i S(a/2) są równe zeru, to znaleziona wartość będzie największą wartością funkcji. Zatem najkorzystniejszy współczynnik kształtu terenu w danych warunkach problemu wynosi y = 2x.

Przykład 3.24.Wymagane jest wykonanie zamkniętego zbiornika cylindrycznego o pojemności V=16 p 50 m 3. Jakie powinny być wymiary zbiornika (promień R i wysokość H), aby zużyć jak najmniej materiału do jego produkcji?

Rozwiązanie.Całkowita powierzchnia cylindra wynosi S = 2 p R(R+H). Znamy objętość cylindra V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Więc S(R) = 2 p (R2+16/R). Znajdujemy pochodną tej funkcji:
S"(R) \u003d 2 p (2R-16 / R 2) \u003d 4 p (R-8 / R 2). S" (R) = 0 dla R 3 = 8, zatem
R = 2, H = 16/4 = 4.

PUNKTY MAKSYMALNE I MINIMALNE

punkty, w których przyjmuje największe lub najmniejsze wartości w dziedzinie definicji; takie punkty nazywają się również punkty absolutnego maksimum lub absolutnego minimum. Jeśli f jest zdefiniowane na topologicznym przestrzeń X, to punkt x 0 nazywa punkt lokalnego maksimum (lokalnego minimum), jeśli taki punkt istnieje x 0,że dla ograniczenia rozważanej funkcji do tego sąsiedztwa, punkt x 0 jest absolutnym maksimum (minimalnym) punktem. Rozróżnij punkty ścisłego i nieścisłego maksimum (minim um a) (zarówno bezwzględne, jak i lokalne). Na przykład punkt zwany punkt nieścisłego (ścisłego) lokalnego maksimum funkcji f, jeśli istnieje takie sąsiedztwo punktu x 0, która obowiązuje dla wszystkich (odpowiednio f(x) x0). )/

Dla funkcji zdefiniowanych na domenach skończenie wymiarowych, z punktu widzenia rachunku różniczkowego, istnieją warunki i kryteria, aby dany punkt był punktem lokalnym maksimum (minimum). Niech funkcja f będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie pudełka x 0 osi rzeczywistej. Jeśli x 0 - punkt nieścisłego lokalnego maksimum (minimum) iw tym momencie istnieje f"( x0), wtedy jest równy zero.

Jeśli dana funkcja f jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu x 0 , może z wyjątkiem tego samego punktu, w którym jest on ciągły, oraz pochodnej f” po obu stronach punktu x0 zachowuje stały znak w tej okolicy, aby x0 był punktem ścisłego lokalnego maksimum (lokalnego minimum), konieczne i wystarczające jest, aby pochodna zmieniała znak z plusa na minus, tj. że f "(x)> 0 w x<.x0 i f"(x)<0 при x>x0(odpowiednio od minus do plusa: f"(X) <0 o x<x0 oraz f"(x)>0 gdy x>x 0). Jednak nie dla każdej funkcji różniczkowalnej w sąsiedztwie punktu x 0 , można w tym miejscu mówić o zmianie znaku pochodnej. . "

Jeśli funkcja f ma w punkcie x 0 t pochodne, ponadto, aby x 0 jest punktem ściśle lokalnego maksimum, konieczne i wystarczające jest, aby τ było parzyste i aby f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Niech funkcja f( x 1 ..., x p] jest zdefiniowana w n-wymiarowym sąsiedztwie punktu i jest w tym punkcie różniczkowalna. Jeśli x (0) jest nieścisłym lokalnym punktem maksimum (minimum), to funkcja f w tym punkcie jest równa zero. Warunek ten jest równoważny do zera w tym punkcie wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji f. Jeśli funkcja ma 2-gie ciągłe pochodne cząstkowe w x(0) , wszystkie jej 1-sze pochodne znikają w x(0), a różniczka 2-go rzędu w x(0) jest ujemnym (dodatnim) kształtem kwadratowym, to x(0) jest punkt ścisłego lokalnego maksimum (minimum). Warunki są znane dla funkcji różniczkowalnych M. i M. T., gdy na zmiany argumentów nałożone są pewne ograniczenia: równania więzów są spełnione. Warunki konieczne i wystarczające dla maksimum (minimum) funkcji rzeczywistej, która ma bardziej złożoną strukturę, są badane w specjalnych działach matematyki: na przykład w analiza wypukła, programowanie matematyczne(Zobacz też Maksymalizacja i minimalizacja funkcji). Funkcje M. i m.t. zdefiniowane na rozmaitościach są badane w: rachunek wariacji ogólnie, oraz M. i m.t. dla funkcji zdefiniowanych na przestrzeniach funkcyjnych, tj. dla funkcjonałów, in rachunek wariacyjny. Istnieją również różne metody numerycznego przybliżonego znajdowania M. i m. t.

Oświetlony.: Il'in V.A., Poznya do E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, wyd. 3, część 1, M., 1971; KudryavtsevL. L.D. Kudryavtsev.

Encyklopedia matematyczna. - M.: Encyklopedia radziecka. I.M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, co „MAKSYMALNY I MINIMALNY PUNKT” znajduje się w innych słownikach:

Dyskretna zasada maksimum Pontryagina dla procesów sterowania dyskretnego w czasie. Dla takiego procesu M. p. może nie być spełniony, chociaż dla jego ciągłego analogu, który otrzymuje się przez zastąpienie operatora różnicy skończonej operatorem różniczkowym ... ... Encyklopedia matematyczna

Twierdzenie wyrażające jedną z głównych właściwości modułu analitycznego. Funkcje. Niech f(z) będzie regularną funkcją analityczną lub holomorficzną zmiennych p-złożonych w dziedzinie D przestrzeni liczb zespolonych innej niż stała, M. m. s. w ... ... Encyklopedia matematyczna

Największe i odpowiednio najmniejsze wartości funkcji, która przyjmuje wartości rzeczywiste. Wywoływany jest punkt dziedziny definicji danej funkcji, w którym przyjmuje ona maksimum lub minimum. odpowiednio punkt maksymalny lub punkt minimalny ... ... Encyklopedia matematyczna

Zobacz Maksimum i minimum funkcji, Maksimum i minimum punktu... Encyklopedia matematyczna

Wartość funkcji ciągłej, która jest maksimum lub minimum (patrz Punkty maksimum i minimum). Termin LE ... Encyklopedia matematyczna

Wskaźnik- (Wskaźnik) Wskaźnik to system informacyjny, substancja, urządzenie, urządzenie wyświetlające zmiany dowolnego parametru Wskaźniki wykresów rynku walutowego Forex, czym są i skąd można je pobrać? Opis wskaźników MACD, ... ... Encyklopedia inwestora

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Extreme (znaczenia). Extremum (łac. extremum extreme) w matematyce to maksymalna lub minimalna wartość funkcji na danym zbiorze. Punkt, w którym dochodzi do ekstremum, to ... ... Wikipedia

Rachunek różniczkowy jest gałęzią analizy matematycznej, która bada pojęcia pochodnej i różniczki oraz sposoby ich zastosowania do badania funkcji. Spis treści 1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej ... Wikipedia

Lemniskata i jej sztuczki Lemniskata Bernoulliego jest płaską krzywą algebraiczną. Zdefiniowany jako miejsce punktów, produkt ... Wikipedia

Rozbieżność- (Rozbieżność) Dywergencja jako wskaźnik Strategia handlowa z dywergencją MACD Spis treści Spis treści Rozdział 1. dalej. Sekcja 2. Rozbieżność jak. Dywergencja to termin używany w ekonomii w odniesieniu do ruchu wzdłuż rozbieżności ... ... Encyklopedia inwestora

Zmiana funkcji w pewnym momencie i jest zdefiniowana jako granica przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, który dąży do zera. Aby go znaleźć, skorzystaj z tabeli instrumentów pochodnych. Na przykład pochodna funkcji y = x3 będzie równa y’ = x2.

Przyrównaj tę pochodną do zera (w tym przypadku x2=0).

Znajdź wartość danej zmiennej. Będą to wartości, dla których ta pochodna będzie równa 0. W tym celu w wyrażeniu zamiast x wstaw dowolne liczby, przy których całe wyrażenie będzie równe zero. Na przykład:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Nanieś otrzymane wartości​​na linię współrzędnych i oblicz znak pochodnej dla każdej z otrzymanych wartości. Punkty są zaznaczone na linii współrzędnych, które są traktowane jako początek. Aby obliczyć wartość w przedziałach, zastąp dowolne wartości zgodne z kryteriami. Na przykład dla poprzedniej funkcji do przedziału -1 można wybrać wartość -2. Dla wartości -1 do 1 możesz wybrać 0, a dla wartości większych niż 1 wybierz 2. Podstaw te liczby w pochodnej i znajdź znak pochodnej. W tym przypadku pochodna z x = -2 będzie równa -0,24, tj. ujemny i na tym przedziale pojawi się znak minus. Jeśli x=0, to wartość będzie równa 2, a na tym przedziale zostanie umieszczony znak. Jeśli x=1, to pochodna również będzie równa -0,24 i zostanie wprowadzony minus.

Jeśli po przejściu przez punkt na linii współrzędnych pochodna zmienia swój znak z minus na plus, to jest to punkt minimalny, a jeśli z plusa na minus, to jest to punkt maksymalny.

Powiązane wideo

Przydatna rada

Aby znaleźć pochodną, ​​istnieją usługi online, które obliczają wymagane wartości i wyświetlają wynik. Na takich stronach można znaleźć pochodną do 5 zleceń.

Źródła:

• Jedna z usług do obliczania instrumentów pochodnych
• maksymalny punkt funkcji

Punkty maksymalne funkcji wraz z punktami minimalnymi nazywamy punktami ekstremami. W tych punktach funkcja zmienia swoje zachowanie. Ekstrema są wyznaczane na ograniczonych przedziałach liczbowych i zawsze mają charakter lokalny.

Instrukcja

Proces znajdowania ekstremów lokalnych nazywa się funkcją i jest wykonywany poprzez analizę pierwszej i drugiej pochodnej funkcji. Przed rozpoczęciem eksploracji upewnij się, że określony zakres wartości argumentów należy do dozwolonych wartości. Na przykład dla funkcji F=1/x wartość argumentu x=0 jest nieprawidłowa. Lub dla funkcji Y=tg(x) argument nie może mieć wartości x=90°.

Upewnij się, że funkcja Y jest różniczkowalna w całym podanym przedziale. Znajdź pierwszą pochodną Y”. Jest oczywiste, że przed osiągnięciem lokalnego punktu maksymalnego funkcja rośnie, a przechodząc przez maksimum funkcja maleje. Pierwsza pochodna w sensie fizycznym charakteryzuje szybkość zmian funkcji. W miarę wzrostu funkcji tempo tego procesu jest wartością dodatnią.Po przejściu przez lokalne maksimum funkcja zaczyna maleć, a tempo procesu zmiany funkcji staje się ujemne.Przejście tempa zmian funkcji przez zero występuje w punkcie lokalnego maksimum.

Mówi się, że funkcja ma punkt wewnętrzny
obszary D lokalne maksimum(minimum) jeśli jest takie sąsiedztwo punktu
, za każdy punkt
co zaspokaja nierówność

Jeśli funkcja ma w punkcie
lokalne maksimum lub lokalne minimum, wtedy mówimy, że w tym momencie ma lokalne ekstremum(lub po prostu ekstremalne).

Twierdzenie (konieczny warunek istnienia ekstremum). Jeśli funkcja różniczkowalna osiąga ekstremum w punkcie
, to każda pochodna cząstkowa pierwszego rzędu funkcji znika w tym momencie.

Punkty, w których znikają wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, nazywamy punkty stacjonarne funkcji
. Współrzędne tych punktów można znaleźć, rozwiązując układ z równania

.

Warunek konieczny istnienia ekstremum w przypadku funkcji różniczkowalnej można krótko sformułować w następujący sposób:

Zdarzają się przypadki, gdy w niektórych punktach niektóre pochodne cząstkowe mają wartości nieskończone lub nie istnieją (podczas gdy pozostałe są równe zeru). Takie punkty nazywają się krytyczne punkty funkcji. Punkty te należy również uznać za „podejrzane” dla ekstremum, a także stacjonarne.

W przypadku funkcji dwóch zmiennych warunek konieczny ekstremum, czyli równość do zera pochodnych cząstkowych (różniczkowych) w punkcie ekstremum, ma interpretację geometryczną: płaszczyzna styczna do powierzchni
w punkcie ekstremum musi być równoległa do płaszczyzny
.

20. Warunki wystarczające do istnienia ekstremum

Spełnienie w pewnym momencie warunku koniecznego istnienia ekstremum wcale nie gwarantuje istnienia tam ekstremum. Jako przykład możemy wziąć wszędzie różniczkowalną funkcję
. Zarówno jego pochodne cząstkowe, jak i sama funkcja znikają w punkcie
. Jednak w każdym sąsiedztwie tego punktu występują zarówno pozytywne (duże
) i ujemny (mniejszy
) wartości tej funkcji. Dlatego w tym momencie z definicji nie ma ekstremum. Dlatego konieczne jest poznanie wystarczających warunków, w których punkt podejrzany o ekstremum jest punktem ekstremum badanej funkcji.

Rozważmy przypadek funkcji dwóch zmiennych. Załóżmy, że funkcja
jest zdefiniowana, ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie w sąsiedztwie pewnego punktu
, który jest punktem stacjonarnym funkcji
czyli spełnia warunki

,
.

Wprowadźmy notację:

Twierdzenie (wystarczające warunki do istnienia ekstremum). Niech funkcja
spełnia powyższe warunki, a mianowicie: różniczkowalny w pewnym sąsiedztwie punktu stacjonarnego
i jest dwukrotnie różniczkowalny w samym punkcie
. A następnie, jeśli

Jeśli
następnie funkcja
w punkcie
osiąga

lokalne maksimum w
oraz

lokalne minimum w
.

Ogólnie dla funkcji
warunek wystarczający do istnienia w punkcie
lokalnyminimum(maksymalny) jest pozytywny(negatywny) określoność drugiej różnicy.

Innymi słowy, poniższe stwierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie . Jeśli w punkcie
dla funkcji

dla dowolnego nie równego zeru w tym samym czasie
, to w tym momencie funkcja ma minimum(podobny maksymalny, jeśli
).

Przykład 18.Znajdź lokalne ekstrema funkcji

Rozwiązanie. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji i przyrównaj je do zera:

Rozwiązując ten system, znajdujemy dwa możliwe punkty ekstremalne:

Znajdźmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu dla tej funkcji:

W pierwszym punkcie stacjonarnym zatem i
Dlatego w tym punkcie potrzebne są dalsze badania. Wartość funkcji
w tym momencie wynosi zero:
Dalej,

w

a

w

Dlatego w każdym sąsiedztwie punktu
funkcjonować
przyjmuje wartości jako duże
i mniejsze
, a więc w punkcie
funkcjonować
, z definicji nie ma ekstremum lokalnego.

W drugim punkcie stacjonarnym



dlatego, ponieważ
wtedy w punkcie
funkcja ma lokalne maksimum.