Obliczanie objętości ciała obrotowego za pomocą całki oznaczonej. Objętość ciała rewolucji

I. Tomy ciał rewolucyjnych. Przestudiuj wstępnie rozdział XII, pp° 197, 198, według podręcznika G. M. Fikhtengol'ts*. Przeanalizuj szczegółowo przykłady podane w s. 198.

508. Oblicz objętość ciała utworzoną przez obrót elipsy wokół osi x.

W ten sposób,

530. Znajdź obszar powierzchni utworzony przez obrót wokół osi Ox łuku sinusoidy y \u003d sin x od punktu X \u003d 0 do punktu X \u003d It.

531. Oblicz pole powierzchni stożka o wysokości h i promieniu r.

532. Oblicz pole powierzchni utworzone przez

obrót astroidy x3 -) - y* - a3 wokół osi x.

533. Oblicz pole powierzchni utworzonej przez odwrócenie pętli krzywej 18 y-x(6-x)r wokół osi x.

534. Znajdź powierzchnię torusa utworzonego przez obrót koła X2 - j - (y-3)2 = 4 wokół osi x.

535. Oblicz pole powierzchni utworzonej przez obrót koła X = koszt, y = asint wokół osi Wół.

536. Oblicz pole powierzchni utworzonej przez obrót pętli krzywej x = 9t2, y = St - 9t3 wokół osi Ox.

537. Znajdź pole powierzchni utworzone przez obrót łuku krzywej x = e * sint, y = el koszt wokół osi Ox

od t = 0 do t = -.

538. Wykaż, że powierzchnia wytworzona przez obrót łuku cykloidy x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) wokół osi Oy, jest równa 16 u2 o2.

539. Znajdź powierzchnię otrzymaną przez obrót kardioidy wokół osi biegunowej.

540. Znajdź obszar powierzchni utworzony przez obrót lemniskaty wokół osi biegunowej.

Zadania dodatkowe do rozdziału IV

Obszary figur płaskich

541. Znajdź cały obszar regionu ograniczony krzywą I oś O.

542. Znajdź obszar regionu ograniczony krzywą

I oś O.

543. Znajdź część obszaru regionu znajdującą się w pierwszej ćwiartce i ograniczoną krzywą

l osie współrzędnych.

544. Znajdź obszar obszaru zawartego w nim

pętle:

545. Znajdź obszar regionu ograniczony jedną pętlą krzywej:

546. Znajdź obszar obszaru zawartego w pętli:

547. Znajdź obszar regionu ograniczony krzywą

I oś O.

548. Znajdź obszar regionu ograniczony krzywą

I oś O.

549. Znajdź obszar regionu ograniczony osią Oxr

proste i krzywe

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego
używając całki oznaczonej?

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań w rachunku całkowym, za pomocą całki oznaczonej można obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, powierzchnia obrotu i wiele więcej. Więc będzie fajnie, bądźcie optymistami!

Wyobraź sobie jakąś płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. reprezentowany? ... Ciekawe kto co zaprezentował... =))) Znaleźliśmy już jego teren. Ale dodatkowo tę figurę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

- wokół osi x;
- wokół osi Y.

W tym artykule zostaną omówione oba przypadki. Szczególnie ciekawy jest ten drugi sposób obracania, który sprawia największe trudności, ale tak naprawdę rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w częściej spotykanym obrocie wokół osi x. Jako bonus, wrócę do problem znalezienia obszaru figury, i powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. Nawet nie tyle bonus, ile materiał dobrze pasuje do tematu.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

płaska figura wokół osi

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w problemie obszarowym, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. Oznacza to, że na płaszczyźnie należy zbudować figurę ograniczoną liniami , , nie zapominając, że równanie określa oś . Jak zrobić rysunek bardziej racjonalnie i szybciej można znaleźć na stronach Wykresy i właściwości funkcji elementarnych oraz . To jest chińskie przypomnienie i nie poprzestaję na tym momencie.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest cieniowana na niebiesko i to właśnie ta figura obraca się wokół osi.W wyniku obrotu uzyskuje się taki lekko jajowaty latający spodek, który jest symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jest zbyt leniwy, aby określić coś w podręczniku, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć za pomocą wzoru:

We wzorze przed całką musi być liczba. Tak się złożyło, że wszystko, co w życiu się kręci, jest związane z tą stałą.

Myślę, że jak ustawić granice całkowania „a” i „być”, łatwo się domyślić z ukończonego rysunku.

Funkcja... czym jest ta funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona od góry wykresem paraboli. Jest to funkcja implikowana we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasem znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia - całka we wzorze jest podniesiona do kwadratu: , więc całka jest zawsze nieujemna, co jest całkiem logiczne.

Oblicz objętość ciała obrotowego za pomocą tego wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiadać:

W odpowiedzi należy podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym jest około 3,35 „kostek”. Dlaczego dokładnie sześcienny jednostki? Bo najbardziej uniwersalna formuła. Mogą być centymetry sześcienne, mogą być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itp., tyle małych zielonych ludzików zmieści się w latającym spodku.

Znajdź objętość ciała utworzoną przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami , ,

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, z którymi również często spotykamy się w praktyce.

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , , oraz

Rozwiązanie: Narysuj na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana postać jest zacieniona na niebiesko. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się taki surrealistyczny pączek z czterema rogami.

Objętość ciała obrotowego oblicza się jako różnica objętości ciała.

Najpierw spójrzmy na postać zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka jako .

Rozważ postać zakreśloną na zielono. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez .

I oczywiście różnica w objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Używamy standardowego wzoru na znalezienie objętości ciała obrotowego:

1) Zakreślona na czerwono figura jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego korpusu obrotowego:

Odpowiadać:

Ciekawe, że w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić za pomocą szkolnego wzoru do obliczania objętości stożka ściętego.

Sama decyzja jest często skracana, mniej więcej tak:

Teraz zróbmy sobie przerwę i porozmawiajmy o iluzjach geometrycznych.

Ludzie często mają złudzenia związane z tomami, co Perelman (inny) zauważył w książce Ciekawa geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym zadaniu - wydaje się, że ma małą powierzchnię, a objętość ciała obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Nawiasem mówiąc, przeciętny człowiek w całym swoim życiu wypija płyn o objętości pokoju 18 metrów kwadratowych, co wręcz przeciwnie, wydaje się za małą objętością.

Po lirycznej dygresji wystarczy rozwiązać zadanie twórcze:

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami , , gdzie .

To jest przykład zrób to sam. Zauważ, że wszystko dzieje się w paśmie, innymi słowy, tak naprawdę podane są gotowe granice integracji. Prawidłowo narysuj wykresy funkcji trygonometrycznych, przypomnę ci materiał lekcji przekształcenia geometryczne grafów: jeśli argument jest podzielny przez dwa: , to wykresy są dwukrotnie rozciągane wzdłuż osi. Pożądane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów według tablic trygonometrycznych aby dokładniej uzupełnić rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót
płaska figura wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze ciekawszy niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi y jest również dość częstym gościem w testach. Na marginesie będą brane pod uwagę problem znalezienia obszaru figury drugi sposób – całkując wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko udoskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię, jak znaleźć najbardziej opłacalne rozwiązanie. Ma to również znaczenie praktyczne! Jak wspominała z uśmiechem moja nauczycielka metodyk nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menedżerami i optymalnie zarządzamy naszą kadrą”. Korzystając z okazji, również wyrażam jej ogromną wdzięczność, tym bardziej, że zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem =).

Polecam wszystkim do przeczytania, nawet kompletnym laikom. Ponadto przyswojony materiał z akapitu drugiego będzie nieocenioną pomocą w obliczaniu całek podwójnych.

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami , , .

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami.
2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi akapit, najpierw przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Wykonajmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja definiuje górną gałąź paraboli, a funkcja definiuje dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar ma zostać znaleziony, jest zacieniowana na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który został omówiony na lekcji. Określona całka. Jak obliczyć pole figury. Ponadto obszar figury jest obliczany jako suma obszarów:
- na odcinku ;
- na odcinku.

Dlatego:

Co jest nie tak ze zwykłym rozwiązaniem w tym przypadku? Po pierwsze, są dwie całki. Po drugie pierwiastki pod całkami, a pierwiastki pod całkami nie są darem, ponadto można się pogubić w zastępowaniu granic całkowania. W rzeczywistości całki oczywiście nie są śmiertelne, ale w praktyce wszystko jest znacznie smutniejsze, właśnie wybrałem „lepsze” funkcje do zadania.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu do funkcji odwrotnych i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak przejść do funkcji odwrotnych? Z grubsza mówiąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw zajmijmy się parabolą:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Z linią prostą wszystko jest łatwiejsze:

Teraz spójrz na oś: proszę okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni podczas wyjaśniania (to nie jest żart!). Liczba, której potrzebujemy, leży na segmencie, który jest oznaczony czerwoną kropkowaną linią. Ponadto na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że ​​\u200b\u200bobszar figury należy znaleźć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Notatka: Należy ustawić granice całkowania wzdłuż osi dokładnie od dołu do góry!

Znalezienie obszaru:

Na odcinku zatem:

Zwróć uwagę, jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, aw następnym akapicie zadania będzie jasne, dlaczego.

Dla czytelników, którzy wątpią w poprawność całkowania, znajdę pochodne:

Otrzymuje się oryginalną całkę, co oznacza, że ​​całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiadać:

2) Oblicz objętość ciała utworzoną przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Tak więc postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się w powietrzu motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, zintegrujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i badamy naszą sylwetkę. Oczywiście objętość korpusu obrotowego należy znaleźć jako różnicę między objętościami.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, w wyniku czego powstaje ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez .

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy ją poprzez objętość powstałego korpusu obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Używamy wzoru, aby znaleźć objętość ciała obrotowego:

Czym różni się od wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w listach.

A oto zaleta integracji, o której mówiłem jakiś czas temu, dużo łatwiej ją znaleźć niż wstępnie podnieść całkę do czwartej potęgi.

Odpowiadać:

Zauważmy, że jeśli ta sama płaska figura zostanie obrócona wokół osi, to powstanie zupełnie inny korpus obrotowy, o innej, naturalnie, objętości.

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami i osią .

1) Przejdź do funkcji odwrotnych i znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami, całkując po zmiennej .
2) Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

To jest przykład zrób to sam. Ci, którzy chcą, mogą również znaleźć obszar figury w „zwykły” sposób, kończąc w ten sposób test z punktu 1). Ale jeśli, powtarzam, obrócisz płaską figurę wokół osi, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy o innej objętości, nawiasem mówiąc, poprawną odpowiedź (także dla tych, którzy lubią rozwiązywać).

Pełne rozwiązanie dwóch proponowanych punktów zadania na końcu lekcji.

Aha, i nie zapomnij przechylić głowy w prawo, aby zrozumieć obracające się ciała i integrację!

Już chciałem skończyć artykuł, ale dzisiaj przynieśli ciekawy przykład tylko do znalezienia objętości ciała obrotowego wokół osi y. Świeży:

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej krzywymi i .

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Po drodze poznajemy wykresy kilku innych funkcji. Taki ciekawy wykres funkcji parzystej....

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze przed całką musi być liczba. Tak się złożyło, że wszystko, co w życiu się kręci, jest związane z tą stałą.

Myślę, że jak ustawić granice całkowania „a” i „być”, łatwo się domyślić z ukończonego rysunku.

Funkcja... czym jest ta funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona od góry wykresem paraboli. Jest to funkcja implikowana we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasem znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia - funkcja we wzorze jest podniesiona do kwadratu: , zatem objętość korpusu obrotowego jest zawsze nieujemna, co jest całkiem logiczne.

Oblicz objętość ciała obrotowego za pomocą tego wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiadać:

W odpowiedzi należy podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym jest około 3,35 „kostek”. Dlaczego dokładnie sześcienny jednostki? Bo najbardziej uniwersalna formuła. Mogą być centymetry sześcienne, mogą być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itp., tyle małych zielonych ludzików zmieści się w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzoną przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami , ,

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, z którymi również często spotykamy się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , , oraz

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana postać jest zacieniona na niebiesko. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się taki surrealistyczny pączek z czterema rogami.

Objętość ciała obrotowego oblicza się jako różnica objętości ciała.

Najpierw spójrzmy na postać zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka jako .

Rozważ postać zakreśloną na zielono. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez .

I oczywiście różnica w objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Używamy standardowego wzoru na znalezienie objętości ciała obrotowego:

1) Zakreślona na czerwono figura jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego korpusu obrotowego:

Odpowiadać:

Ciekawe, że w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić za pomocą szkolnego wzoru do obliczania objętości stożka ściętego.

Sama decyzja jest często skracana, mniej więcej tak:

Teraz zróbmy sobie przerwę i porozmawiajmy o iluzjach geometrycznych.

Ludzie często mają złudzenia związane z tomami, co Perelman (nie ten sam) zauważył w książce Ciekawa geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym zadaniu - wydaje się, że ma małą powierzchnię, a objętość ciała obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Nawiasem mówiąc, przeciętny człowiek w całym swoim życiu wypija płyn o objętości pokoju 18 metrów kwadratowych, co wręcz przeciwnie, wydaje się za małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, napisana przez niego w 1950 roku, rozwija się bardzo dobrze, jak powiedział humorysta, rozumując i uczy poszukiwania oryginalnych, niestandardowych rozwiązań problemów. Ostatnio z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, jest przystępny nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zasugerowałem, że samodzielne spędzanie czasu, erudycja i szerokie spojrzenie na komunikację to świetna sprawa.

Po lirycznej dygresji wystarczy rozwiązać zadanie twórcze:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami , , gdzie .

To jest przykład zrób to sam. Proszę zauważyć, że wszystko dzieje się w paśmie, innymi słowy podane są prawie gotowe limity integracji. Spróbuj także poprawnie narysować wykresy funkcji trygonometrycznych, jeśli argument jest podzielony przez dwa: , to wykresy są dwukrotnie rozciągane wzdłuż osi. Spróbuj znaleźć co najmniej 3-4 punkty według tablic trygonometrycznych i uczyń rysunek dokładniejszym. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót
płaska figura wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze ciekawszy niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi y jest również dość częstym gościem w testach. Na marginesie będą brane pod uwagę problem znalezienia obszaru figury drugi sposób – integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko doskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię, jak znaleźć najbardziej opłacalne rozwiązanie. Ma to również znaczenie praktyczne! Jak wspominała z uśmiechem moja nauczycielka metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menedżerami i optymalnie zarządzamy naszą kadrą”. Korzystając z okazji, również wyrażam jej ogromną wdzięczność, tym bardziej, że zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem =).

Przykład 5

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami , , .

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami.
2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi akapit, najpierw koniecznie przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Wykonajmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja definiuje górną gałąź paraboli, a funkcja definiuje dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar ma zostać znaleziony, jest zacieniowana na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który został omówiony na lekcji. Określona całka. Jak obliczyć pole figury. Ponadto obszar figury jest obliczany jako suma obszarów:
- na odcinku ;
- na odcinku.

Dlatego:

Co jest nie tak ze zwykłym rozwiązaniem w tym przypadku? Po pierwsze, są dwie całki. Po drugie pierwiastki pod całkami, a pierwiastki pod całkami nie są darem, ponadto można się pogubić w zastępowaniu granic całkowania. W rzeczywistości całki oczywiście nie są śmiertelne, ale w praktyce wszystko jest znacznie smutniejsze, właśnie wybrałem „lepsze” funkcje do zadania.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu do funkcji odwrotnych i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak przejść do funkcji odwrotnych? Z grubsza mówiąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw zajmijmy się parabolą:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Z linią prostą wszystko jest łatwiejsze:

Teraz spójrz na oś: proszę okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni podczas wyjaśniania (to nie jest żart!). Liczba, której potrzebujemy, leży na segmencie, który jest oznaczony czerwoną kropkowaną linią. Ponadto na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że ​​\u200b\u200bobszar figury należy znaleźć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Uwaga: Należy ustawić granice całkowania wzdłuż osi dokładnie od dołu do góry!

Znalezienie obszaru:

Na odcinku zatem:

Zwróć uwagę, jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, aw następnym akapicie zadania będzie jasne, dlaczego.

Dla czytelników, którzy wątpią w poprawność całkowania, znajdę pochodne:

Otrzymuje się oryginalną całkę, co oznacza, że ​​całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiadać:

2) Oblicz objętość ciała utworzoną przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Tak więc postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się w powietrzu motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, zintegrujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i badamy naszą sylwetkę. Oczywiście objętość korpusu obrotowego należy znaleźć jako różnicę między objętościami.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, w wyniku czego powstaje ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez .

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy ją poprzez objętość powstałego korpusu obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Używamy wzoru, aby znaleźć objętość ciała obrotowego:

Czym różni się od wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w listach.

A oto zaleta integracji, o której mówiłem jakiś czas temu, dużo łatwiej ją znaleźć niż wstępnie podnieść całkę do czwartej potęgi.

Odpowiadać:

Jednak chorowity motyl.

Zauważmy, że jeśli ta sama płaska figura zostanie obrócona wokół osi, to powstanie zupełnie inny korpus obrotowy, o innej, naturalnie, objętości.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami i osią .

1) Przejdź do funkcji odwrotnych i znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami, całkując po zmiennej .
2) Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Oprócz znajdowanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej (patrz 7.2.3.) najważniejszym zastosowaniem tematu jest obliczanie objętości ciała obrotowego. Materiał jest prosty, ale czytelnik musi być przygotowany: trzeba umieć go rozwiązać całki nieoznaczoneśredniej złożoności i zastosować wzór Newtona-Leibniza całka oznaczona, rz Wymagane są również silne umiejętności redakcyjne. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań w rachunku całkowym; za pomocą całki oznaczonej można obliczyć powierzchnię figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, pole powierzchni ​\u200b\u200bciało i wiele więcej. Wyobraź sobie jakąś płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. reprezentowany? ... Teraz tę figurę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

- wokół osi x ;

- wokół osi Y .

Przyjrzyjmy się obu przypadkom. Szczególnie ciekawy jest ten drugi sposób obracania, który sprawia największe trudności, ale tak naprawdę rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w częściej spotykanym obrocie wokół osi x. Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót płaskiej figury wokół osi WÓŁ

Przykład 1

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. To znaczy w samolocie XOY należy skonstruować figurę ograniczoną liniami, nie zapominając, że równanie określa oś. Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska postać jest zacieniona na niebiesko, to ona obraca się wokół osi. W wyniku obrotu uzyskuje się taki lekko jajowaty latający spodek z dwoma ostrymi wierzchołkami na osi. WÓŁ, symetrycznie względem osi WÓŁ. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, zajrzyj do podręcznika.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego? Jeśli ciało powstaje w wyniku obrotu wokół osiWÓŁ, jest mentalnie podzielony na równoległe warstwy o małej grubości dx które są prostopadłe do osi WÓŁ. Objętość całego ciała jest oczywiście równa sumie objętości takich elementarnych warstw. Każda warstwa, jak okrągły plasterek cytryny, ma niski cylinder dx i z promieniem podstawy f(x). Wtedy objętość jednej warstwy jest iloczynem pola podstawy π f 2 do wysokości cylindra ( dx) lub π∙ f 2 (x)∙dx. A obszar całego ciała obrotowego jest sumą elementarnych objętości lub odpowiedniej całki oznaczonej. Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

.

Jak ustawić granice całkowania „a” i „być” łatwo odgadnąć z gotowego rysunku. Funkcja... czym jest ta funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona od góry wykresem paraboli. Jest to funkcja implikowana we wzorze. W zadaniach praktycznych płaska figura może czasem znajdować się poniżej osi WÓŁ. To niczego nie zmienia - funkcja we wzorze jest podniesiona do kwadratu: f 2 (x), zatem, objętość korpusu obrotowego jest zawsze nieujemna, co jest całkiem logiczne. Oblicz objętość ciała obrotowego za pomocą tego wzoru:

.

Jak już zauważyliśmy, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiadać:

W odpowiedzi należy podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym jest około 3,35 „kostek”. Dlaczego dokładnie sześcienny jednostki? Ponieważ jest to najbardziej uniwersalna formuła. Mogą być centymetry sześcienne, mogą być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itp., tyle małych zielonych ludzików zmieści się w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi WÓŁ figura ograniczona liniami , , .

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , , i .

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie x= 0 określa oś OJ:

Pożądana postać jest zacieniona na niebiesko. Kiedy obraca się wokół osi WÓŁ okazuje się, że jest to płaski, kanciasty bajgiel (podkładka z dwiema stożkowymi powierzchniami).

Objętość ciała obrotowego oblicza się jako różnica objętości ciała. Najpierw spójrzmy na postać zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi WÓŁ w wyniku ściętego stożka. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka jako V 1 .

Rozważ postać zakreśloną na zielono. Jeśli obrócimy tę figurę wokół osi WÓŁ, wtedy otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez V 2 .

Oczywiście różnica w głośności V = V 1 - V 2 to objętość naszego „pączka”.

Używamy standardowego wzoru na znalezienie objętości ciała obrotowego:

1) Zakreślona na czerwono figura jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego korpusu obrotowego:

Odpowiadać:

Ciekawe, że w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić za pomocą szkolnego wzoru do obliczania objętości stożka ściętego.

Sama decyzja jest często skracana, mniej więcej tak:

Podobnie jak w przypadku problemu ze znalezieniem obszaru, potrzebujesz pewnych umiejętności rysowania - to prawie najważniejsza rzecz (ponieważ same całki będą często łatwe). Możesz opanować kompetentną i szybką technikę tworzenia wykresów za pomocą materiałów metodycznych i transformacji geometrycznych wykresów. Ale w rzeczywistości wielokrotnie mówiłem o znaczeniu rysunków na lekcji.

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań w rachunku całkowym, za pomocą całki oznaczonej można obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, pole powierzchni rotacja i wiele więcej. Więc będzie fajnie, bądźcie optymistami!

Wyobraź sobie jakąś płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. reprezentowany? ... Ciekawe kto co zaprezentował... =))) Znaleźliśmy już jego teren. Ale dodatkowo tę figurę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

- wokół osi odciętych;
- wokół osi Y.

W tym artykule zostaną omówione oba przypadki. Szczególnie ciekawy jest ten drugi sposób obracania, który sprawia największe trudności, ale tak naprawdę rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w częściej spotykanym obrocie wokół osi x. Jako bonus, wrócę do problem znalezienia obszaru figury, i powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. Nawet nie tyle bonus, ile materiał dobrze pasuje do tematu.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

płaska figura wokół osi

Przykład 1

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w problemie obszarowym, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. Oznacza to, że na płaszczyźnie należy zbudować figurę ograniczoną liniami , , nie zapominając, że równanie określa oś . Jak zrobić rysunek bardziej racjonalnie i szybciej można znaleźć na stronach Wykresy i właściwości funkcji elementarnych oraz Określona całka. Jak obliczyć pole figury. To jest chińskie przypomnienie i nie poprzestaję na tym momencie.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest cieniowana na niebiesko i to właśnie ta figura obraca się wokół osi.W wyniku obrotu uzyskuje się taki lekko jajowaty latający spodek, który jest symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jest zbyt leniwy, aby określić coś w podręczniku, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć za pomocą wzoru:

We wzorze przed całką musi być liczba. Tak się złożyło, że wszystko, co w życiu się kręci, jest związane z tą stałą.

Myślę, że jak ustawić granice całkowania „a” i „być”, łatwo się domyślić z ukończonego rysunku.

Funkcja... czym jest ta funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona od góry wykresem paraboli. Jest to funkcja implikowana we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasem znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia - całka we wzorze jest podniesiona do kwadratu: , więc całka jest zawsze nieujemna, co jest całkiem logiczne.

Oblicz objętość ciała obrotowego za pomocą tego wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiadać:

W odpowiedzi należy podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym jest około 3,35 „kostek”. Dlaczego dokładnie sześcienny jednostki? Bo najbardziej uniwersalna formuła. Mogą być centymetry sześcienne, mogą być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itp., tyle małych zielonych ludzików zmieści się w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzoną przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami , ,

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, z którymi również często spotykamy się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , , oraz

Rozwiązanie: Narysuj na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana postać jest zacieniona na niebiesko. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się taki surrealistyczny pączek z czterema rogami.

Objętość ciała obrotowego oblicza się jako różnica objętości ciała.

Najpierw spójrzmy na postać zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka jako .

Rozważ postać zakreśloną na zielono. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez .

I oczywiście różnica w objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Używamy standardowego wzoru na znalezienie objętości ciała obrotowego:

1) Zakreślona na czerwono figura jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona z góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego korpusu obrotowego:

Odpowiadać:

Ciekawe, że w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić za pomocą szkolnego wzoru do obliczania objętości stożka ściętego.

Sama decyzja jest często skracana, mniej więcej tak:

Teraz zróbmy sobie przerwę i porozmawiajmy o iluzjach geometrycznych.

Ludzie często mają złudzenia związane z tomami, co Perelman (inny) zauważył w książce Ciekawa geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym zadaniu - wydaje się, że ma małą powierzchnię, a objętość ciała obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Nawiasem mówiąc, przeciętny człowiek w całym swoim życiu wypija płyn o objętości pokoju 18 metrów kwadratowych, co wręcz przeciwnie, wydaje się za małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, wydana w 1950 roku, rozwija się bardzo dobrze, jak powiedział humorysta, rozumując i uczy poszukiwania oryginalnych, niestandardowych rozwiązań problemów. Ostatnio z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, jest przystępny nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zasugerowałem, że samodzielne spędzanie czasu, erudycja i szerokie spojrzenie na komunikację to świetna sprawa.

Po lirycznej dygresji wystarczy rozwiązać zadanie twórcze:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami , , gdzie .

To jest przykład zrób to sam. Zauważ, że wszystko dzieje się w paśmie, innymi słowy, tak naprawdę podane są gotowe granice integracji. Prawidłowo narysuj wykresy funkcji trygonometrycznych, przypomnę ci materiał lekcji przekształcenia geometryczne grafów: jeśli argument jest podzielny przez dwa: , to wykresy są dwukrotnie rozciągane wzdłuż osi. Pożądane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów według tablic trygonometrycznych aby dokładniej uzupełnić rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót
płaska figura wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze ciekawszy niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi y jest również dość częstym gościem w testach. Na marginesie będą brane pod uwagę problem znalezienia obszaru figury drugi sposób – integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko doskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię, jak znaleźć najbardziej opłacalne rozwiązanie. Ma to również znaczenie praktyczne! Jak wspominała z uśmiechem moja nauczycielka metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menedżerami i optymalnie zarządzamy naszą kadrą”. Korzystając z okazji, również wyrażam jej ogromną wdzięczność, tym bardziej, że zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem =).

Polecam wszystkim do przeczytania, nawet kompletnym laikom. Ponadto przyswojony materiał z akapitu drugiego będzie nieocenioną pomocą w obliczaniu całek podwójnych.

Przykład 5

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami , , .

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami.
2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi akapit, najpierw koniecznie przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Wykonajmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja definiuje górną gałąź paraboli, a funkcja definiuje dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar ma zostać znaleziony, jest zacieniowana na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który został omówiony na lekcji. Określona całka. Jak obliczyć pole figury. Ponadto obszar figury jest obliczany jako suma obszarów:
- na odcinku ;
- na odcinku.

Dlatego:

Co jest nie tak ze zwykłym rozwiązaniem w tym przypadku? Po pierwsze, są dwie całki. Po drugie pierwiastki pod całkami, a pierwiastki pod całkami nie są darem, ponadto można się pogubić w zastępowaniu granic całkowania. W rzeczywistości całki oczywiście nie są śmiertelne, ale w praktyce wszystko jest znacznie smutniejsze, właśnie wybrałem „lepsze” funkcje do zadania.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu do funkcji odwrotnych i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak przejść do funkcji odwrotnych? Z grubsza mówiąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw zajmijmy się parabolą:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Z linią prostą wszystko jest łatwiejsze:

Teraz spójrz na oś: proszę okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni podczas wyjaśniania (to nie jest żart!). Liczba, której potrzebujemy, leży na segmencie, który jest oznaczony czerwoną kropkowaną linią. Ponadto na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że ​​\u200b\u200bobszar figury należy znaleźć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Notatka: Należy ustawić granice całkowania wzdłuż osi dokładnie od dołu do góry!

Znalezienie obszaru:

Na odcinku zatem:

Zwróć uwagę, jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, aw następnym akapicie zadania będzie jasne, dlaczego.

Dla czytelników, którzy wątpią w poprawność całkowania, znajdę pochodne:

Otrzymuje się oryginalną całkę, co oznacza, że ​​całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiadać:

2) Oblicz objętość ciała utworzoną przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Tak więc postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się w powietrzu motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, zintegrujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i badamy naszą sylwetkę. Oczywiście objętość korpusu obrotowego należy znaleźć jako różnicę między objętościami.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, w wyniku czego powstaje ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez .

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy ją poprzez objętość powstałego korpusu obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Używamy wzoru, aby znaleźć objętość ciała obrotowego:

Czym różni się od wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w listach.

A oto zaleta integracji, o której mówiłem jakiś czas temu, dużo łatwiej ją znaleźć niż podnieść całkę do czwartej potęgi.

Odpowiadać:

Jednak chorowity motyl.

Zauważmy, że jeśli ta sama płaska figura zostanie obrócona wokół osi, to powstanie zupełnie inny korpus obrotowy, o innej, naturalnie, objętości.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami i osią .

1) Przejdź do funkcji odwrotnych i znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami, całkując po zmiennej .
2) Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

To jest przykład zrób to sam. Ci, którzy chcą, mogą również znaleźć obszar figury w „zwykły” sposób, kończąc w ten sposób test z punktu 1). Ale jeśli, powtarzam, obrócisz płaską figurę wokół osi, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy o innej objętości, nawiasem mówiąc, poprawną odpowiedź (także dla tych, którzy lubią rozwiązywać).

Pełne rozwiązanie dwóch proponowanych punktów zadania na końcu lekcji.

Aha, i nie zapomnij przechylić głowy w prawo, aby zrozumieć obracające się ciała i integrację!