Podziel krzyż na figury po 5 komórek. Zadania cięcia.docx - zadania cięcia

1. Kwadrat zawiera 16 komórek. Podziel kwadrat na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek. (Sposoby podzielenia kwadratu na dwie części będą uważane za różne, jeśli części kwadratu otrzymane jedną metodą cięcia nie będą równe częściom otrzymanym inną metodą.) Ile rozwiązań ma to zadanie?
2. Prostokąt 3x4 zawiera 12 komórek. Znajdź pięć sposobów na pocięcie prostokąta na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek (metody cięcia są uważane za różne, jeśli części uzyskane jedną metodą cięcia nie są równe częściom uzyskanym inną metodą).
3. Prostokąt 3X5 zawiera 15 komórek, a środkowa komórka została usunięta. Znajdź pięć sposobów na pocięcie pozostałej figury na dwie równe części, tak aby linia cięcia biegła wzdłuż boków komórek.
4. Kwadrat 6x6 jest podzielony na 36 identycznych kwadratów. Znajdź pięć sposobów na pocięcie kwadratu na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów. Uwaga: problem ma ponad 200 rozwiązań.
5. Podziel kwadrat 4x4 na cztery równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek. Ile różnych sposobów cięcia potrafisz znaleźć?
6. Podziel figurę (ryc. 5) na trzy równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów.

7. Podziel figurę (ryc. 6) na cztery równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów.

8. Podziel figurę (ryc. 7) na cztery równe części, tak aby linie cięcia biegły wzdłuż boków kwadratów. Znajdź jak najwięcej rozwiązań.

9. Podziel kwadrat 5x5 ze środkowym kwadratem wyciętym na cztery równe części.

10. Przetnij figury pokazane na ryc. 8 na dwie równe części wzdłuż linii siatki, a każda część powinna mieć okrąg.

11. Liczby pokazane na ryc. 9 należy przeciąć wzdłuż linii siatki na cztery równe części, tak aby w każdej części znajdował się okrąg. Jak to zrobić?

12. Przetnij figurę pokazaną na ryc. 10 wzdłuż linii siatki na cztery równe części i złóż je w kwadrat tak, aby koła i gwiazdy były symetryczne względem wszystkich osi symetrii kwadratu.

13. Wytnij ten kwadrat (ryc. 11) wzdłuż boków komórek, tak aby wszystkie części miały ten sam rozmiar i kształt oraz aby każda zawierała jedno kółko i gwiazdkę.

14. Przetnij papierowy kwadrat w kratkę 6×6 pokazany na rysunku 12 na cztery równe części, tak aby każda z nich zawierała trzy kolorowe kwadraty.

10. Kwadratowy arkusz papieru w kratkę jest podzielony na mniejsze kwadraty segmentami biegnącymi wzdłuż boków komórek. Udowodnij, że suma długości tych odcinków jest podzielna przez 4. (Długość boku komórki wynosi 1).

Rozwiązanie: Niech Q będzie kwadratową kartką papieru, a L(Q) będzie sumą długości boków komórek znajdujących się w jej wnętrzu. Wtedy L(Q) jest podzielna przez 4, ponieważ wszystkie rozważane boki są podzielone na cztery boki, uzyskane od siebie przez obrót o 90 0 i 180 0 względem środka kwadratu.

Jeżeli kwadrat Q jest podzielony na kwadraty Q 1 , …, Q n , to suma długości odcinków podziału jest równa

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). Jest oczywiste, że ta liczba jest podzielna przez 4, ponieważ liczby L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) są podzielne przez 4.

4. niezmienniki

11. Dał szachownicę. Dozwolone jest jednoczesne przemalowanie na inny kolor wszystkich komórek dowolnego poziomu lub pionu. Czy może to skutkować planszą z dokładnie jedną czarną komórką?

Rozwiązanie: Przemalowanie poziomej lub pionowej linii zawierającej k czarnych i 8-k białych komórek spowoduje powstanie 8-k czarnych i k białych komórek. Dlatego liczba czarnych komórek zmieni się na (8-k)-k=8-2k, tj. dla liczby parzystej. Ponieważ zachowana jest parzystość liczby czarnych komórek, nie możemy uzyskać jednej czarnej komórki z oryginalnych 32 czarnych komórek.

12. Dał szachownicę. Dozwolone jest jednoczesne przemalowanie na inny kolor wszystkich pól znajdujących się wewnątrz kwadratu 2 x 2. Czy na planszy może pozostać dokładnie jedno czarne pole?

Rozwiązanie: Ponowne kolorowanie kwadratu 2 x 2 zawierającego k czarnych i 4-k białych pól da w wyniku 4-k czarnych i k białych pól. Dlatego liczba czarnych komórek zmieni się na (4-k)-k=4-2k, tj. dla liczby parzystej. Ponieważ zachowana jest parzystość liczby czarnych komórek, nie możemy uzyskać jednej czarnej komórki z oryginalnych 32 czarnych komórek.

13. Udowodnij, że wielokąta wypukłego nie można podzielić na skończoną liczbę niewypukłych czworokątów.

Rozwiązanie: Załóżmy, że wypukły wielokąt M jest podzielony na niewypukłe czworoboki M 1 ,…, M n . Każdemu wielokątowi N przypisujemy liczbę f(N) równą różnicy między sumą jego kątów wewnętrznych mniejszą niż 180 i sumą kątów dopełniających jego kąty do 360, większą niż 180. Porównaj liczby A=f(M) i B=f(M1)+…+f(Mn). Rozważmy w tym celu wszystkie punkty, które są wierzchołkami czworoboków M 1 ..., M n . Można je podzielić na cztery rodzaje.

1. Wierzchołki wielokąta M. Punkty te mają równy udział w A i B.

2. Punkty na bokach wielokąta M lub M 1. Wkład każdego takiego punktu do B na

180 więcej niż w A.

3. Punkty wewnętrzne wielokąta, w których spotykają się rogi czworoboku,

mniej niż 180. Udział każdego takiego punktu w B jest o 360 większy niż w A.

4. Punkty wewnętrzne wielokąta M, w których zbiegają się wierzchołki czworokątów, a jeden z nich jest większy niż 180. Takie punkty dają zerowy udział w A i B.

W rezultacie otrzymujemy A<В. С другой стороны, А>0 i B=0. Nierówność A > 0 jest oczywista i aby udowodnić równość B=0 wystarczy sprawdzić, że jeśli N jest czworokątem niewypukłym, to f(N)=0. Niech kąty N będą a>b>c>d. Każdy czworokąt niewypukły ma dokładnie jeden kąt większy niż 180, więc f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Otrzymuje się sprzeczność, więc wielokąta wypukłego nie można podzielić na skończoną liczbę niewypukłych czworoboków.

14. Na środku każdej komórki szachownicy znajduje się żeton. Żetony ułożono tak, aby odległości między nimi parami nie zmniejszały się. Udowodnij, że w rzeczywistości odległości parami nie uległy zmianie.

Rozwiązanie: Jeżeli co najmniej jedna z odległości między żetonami wzrosłaby, to suma wszystkich odległości parami między żetonami również by wzrosła, ale suma wszystkich odległości parami między żetonami nie zmienia się przy żadnej permutacji.

15. Kwadratowe pole podzielone jest na 100 identycznych kwadratowych części, z których 9 jest zarośniętych chwastami. Wiadomo, że zachwaszczenie w ciągu roku występuje na tych i tylko tych działkach, na których co najmniej dwie sąsiednie (tj. mające wspólny bok) działki są już zarośnięte chwastami. Udowodnij, że pole nigdy nie będzie całkowicie zarośnięte chwastami.

Rozwiązanie: Łatwo sprawdzić, czy długość granicy całego zarośniętego obszaru (lub kilku obszarów) nie zwiększy się. W początkowej chwili nie przekracza 4*9=36, więc w końcowej chwili nie może być równy 40.

Dzięki temu pole nigdy nie będzie całkowicie zarośnięte chwastami.

16. Dany jest wypukły 2m-gon € 1 …А 2 m. Wewnątrz niej wzięto punkt P, który nie leży na żadnej z przekątnych. Udowodnij, że punkt Р należy do parzystej liczby trójkątów o wierzchołkach w punktach € 1 ,…, € 2 m .

Rozwiązanie: Przekątne dzielą wielokąt na kilka części. Zadzwonimy sąsiedni te z nich, które mają wspólną stronę. Oczywiste jest, że z dowolnego punktu wewnętrznego wielokąta można dostać się do dowolnego innego punktu, przechodząc za każdym razem tylko z sąsiedniej części do sąsiedniej. Część płaszczyzny leżąca poza wielokątem również może być uważana za jedną z tych części. Liczba rozważanych trójkątów dla punktów tej części jest równa zeru, więc wystarczy udowodnić, że przy przejściu z sąsiedniej części do sąsiedniej części zachowana jest parzystość liczby trójkątów.

Niech wspólny bok dwóch sąsiednich części leży na przekątnej (lub boku) PQ. Następnie do wszystkich rozważanych trójkątów, z wyjątkiem trójkątów o boku PQ, obie te części albo należą, albo nie. Dlatego podczas przechodzenia z jednej części do drugiej liczba trójkątów zmienia się o k 1 -k 2 , gdzie k 1 to liczba wierzchołków wielokąta leżących po jednej stronie PQ. Skoro k 1 +k 2 =2m-2, to liczba k 1 -k 2 jest parzysta.

4. Kolorystyka pomocnicza w szachownicę

17. W każdym kwadracie planszy 5x5 znajduje się chrząszcz. W pewnym momencie wszystkie chrząszcze czołgają się na sąsiednie (poziomo lub pionowo) komórki. Czy to koniecznie pozostawia pustą komórkę?

Rozwiązanie: Ponieważ całkowita liczba pól na szachownicy 5 x 5 jest nieparzysta, nie może być równej liczby białych i czarnych pól. Niech będzie więcej czarnych komórek dla pewności. Wtedy jest mniej chrząszczy siedzących na komórkach białych niż na komórkach czarnych. Dlatego przynajmniej jedna z czarnych komórek pozostaje pusta, ponieważ tylko chrząszcze siedzące na białych komórkach czołgają się na czarne komórki.

19. Udowodnij, że planszy o wymiarach 10 x 10 kwadratów nie można pociąć na figury w kształcie litery T składające się z czterech kwadratów.

Rozwiązanie: Załóżmy, że plansza o wymiarach 10 x 10 kwadratów jest podzielona na takie figury. Każda figura zawiera 1 lub 3 czarne pola, tj. zawsze liczba nieparzysta. Same figury powinny wynosić 100/4 = 25 sztuk. Dlatego zawierają nieparzystą liczbę czarnych komórek, a łącznie jest 100/2 = 50 czarnych komórek. Uzyskano sprzeczność.

5. Problemy z kolorowaniem

20. Samolot jest pomalowany na dwa kolory. Udowodnij, że istnieją dwa punkty tego samego koloru, których odległość wynosi dokładnie 1.

Rozwiązanie: Rozważ regularny trójkąt o boku 1.

transkrypcja

1 MA Ekimowa, GP Kukin MTsNMO Moskwa, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin GP Problemy z cięciem. M.: MTsNMO, s.: zł. Seria: „Tajemnice nauczania matematyki”. Niniejsza książka jest pierwszą książką z serii Tajniki nauczania matematyki, mającą na celu przedstawienie i podsumowanie zgromadzonych doświadczeń w dziedzinie nauczania matematyki. Zbiór ten jest jedną z części kursu "Rozwijanie logiki w klasach 5-7". Do wszystkich problemów podanych w książce podano rozwiązania lub instrukcje. Książka polecana do zajęć pozalekcyjnych z matematyki. BBK ISBN c Kukin GP, ​​Ekimova MA, c MTsNMO, 2002.

3 Wprowadzenie Obecnie tradycyjny pogląd na skład przedmiotów, których uczą się uczniowie, jest rewidowany i udoskonalany. Do programu szkolnego wprowadzane są różne nowe przedmioty. Jednym z takich przedmiotów jest logika. Studiowanie logiki przyczynia się do zrozumienia piękna i elegancji rozumowania, zdolności rozumowania, twórczego rozwoju jednostki, estetycznej edukacji osoby. Każdy kulturalny człowiek powinien znać problemy logiczne, łamigłówki, gry, które znane są od kilku stuleci, a nawet tysiącleci w wielu krajach świata. Rozwój pomysłowości, pomysłowości i samodzielności myślenia jest niezbędny każdemu człowiekowi, jeśli chce odnieść sukces i osiągnąć harmonię w życiu. Z naszego doświadczenia wynika, że ​​systematyczną naukę logiki formalnej lub fragmentów logiki matematycznej należy odłożyć do wyższych klas szkoły średniej. Jednocześnie konieczne jest jak najwcześniejsze rozwijanie logicznego myślenia. W rzeczywistości podczas nauki przedmiotów szkolnych rozumowanie i dowód pojawiają się dopiero w 7 klasie (kiedy zaczyna się systematyczny kurs geometrii). Dla wielu uczniów nagłe przejście (nie było rozumowania, a stało się dużo rozumowania) jest nieznośnie trudne. W trakcie opracowywania logiki dla klas 5-7 całkiem możliwe jest nauczenie uczniów rozumowania, udowadniania i znajdowania wzorców. Na przykład, rozwiązując łamigłówki matematyczne, należy nie tylko odgadnąć (wybrać) kilka odpowiedzi, ale także udowodnić, że uzyskano pełną listę możliwych odpowiedzi. Jak na 5-klasistę to całkiem nieźle. Jednak w procesie nauczania logiki w klasach 5-7 szkół ponadgimnazjalnych nauczyciele napotykają pewne trudności: brak podręczników, materiałów dydaktycznych, podręczników, materiałów wizualnych. Wszystko to musi być opracowane, napisane i narysowane przez samego nauczyciela. Jednym z celów tego zbioru jest ułatwienie nauczycielowi przygotowania i prowadzenia zajęć. Podamy kilka zaleceń dotyczących prowadzenia lekcji przed rozpoczęciem pracy z kolekcją.

4 4 Wprowadzenie Pożądane jest rozpoczęcie nauczania logiki uczniów od piątej klasy, a może nawet wcześniej. Logiki należy uczyć w swobodnym, niemal improwizacyjnym stylu. Ta pozorna lekkość wymaga od nauczyciela naprawdę dużego przygotowania. Niedopuszczalne jest na przykład sprawdzanie interesującego i zabawnego problemu z grubego odręcznego zeszytu, jak to czasami robią nauczyciele. Rekomendujemy prowadzenie zajęć w niestandardowej formie. Podczas lekcji konieczne jest wykorzystanie jak największej ilości materiałów wizualnych: różnych kart, obrazków, zestawów rysunków, ilustracji do rozwiązywania problemów, diagramów. Nie powinieneś zajmować się młodszymi uczniami przez długi czas na ten sam temat. Analizując temat, powinieneś spróbować podkreślić główne logiczne kamienie milowe i osiągnąć zrozumienie (a nie zapamiętanie) tych punktów. Konieczne jest ciągłe powracanie do przerabianego materiału. Można to zrobić przy samodzielnej pracy, konkursach zespołowych (podczas lekcji), sprawdzianach na koniec kwartału, olimpiadach ustnych i pisemnych, matboyach (poza godzinami lekcyjnymi). Konieczne jest również stosowanie zabawnych i komicznych zadań w klasie, czasami przydatna jest zmiana kierunku działania. Zbiór ten jest jedną z części kursu „Rozwijanie logiki w klasach 5-7” „Problemy do wycinania”. Ta część była testowana na lekcjach logiki w klasach 5-7 Liceum nr 74 w Omsku. Wielu naukowców lubowało się w problemach z cięciem od czasów starożytnych. Rozwiązania wielu prostych problemów z cięciem znaleźli starożytni Grecy i Chińczycy, ale pierwszy systematyczny traktat na ten temat napisał Abul-Vef, słynny perski astronom z X wieku, który mieszkał w Bagdadzie. Geometry poważnie zaangażowali się w rozwiązywanie problemów cięcia figur na jak najmniejszą liczbę części, a następnie komponowanie z nich jednej lub drugiej nowej figury dopiero na początku XX wieku. Jednym z założycieli tej fascynującej gałęzi geometrii był słynny kompilator puzzli Henry

5 Wprowadzenie 5 E. Dudeni. Szczególnie duża liczba wcześniej istniejących rekordów została pobita przez eksperta z Australijskiego Urzędu Patentowego, Harry'ego Lindgrena. Jest czołowym wycinaczem figur. Dziś miłośnicy puzzli lubią rozwiązywać problemy z wycinaniem, przede wszystkim dlatego, że nie ma uniwersalnej metody rozwiązywania takich problemów, a każdy, kto podejmie się ich rozwiązania, może w pełni wykazać się pomysłowością, intuicją i zdolnością do kreatywnego myślenia. Ponieważ nie jest tu wymagana głęboka znajomość geometrii, amatorzy mogą czasem nawet przewyższyć zawodowych matematyków. Jednocześnie problemy z krojeniem nie są niepoważne ani bezużyteczne, nie są dalekie od poważnych problemów matematycznych. Z problemów z przecinaniem narodziło się twierdzenie Boyai-Gervina, że ​​dowolne dwa wielokąty o równej wielkości są jednakowo złożone (odwrotność jest oczywista), a następnie trzeci problem Hilberta: czy podobne stwierdzenie jest prawdziwe dla wielościanów? Zadania wycinania pomagają dzieciom w wieku szkolnym jak najszybciej tworzyć reprezentacje geometryczne na różnych materiałach. Podczas rozwiązywania takich problemów w przyrodzie pojawia się poczucie piękna, prawa i porządku. Kolekcja „Problemy do cięcia” podzielona jest na dwa działy. Przy rozwiązywaniu zadań z pierwszej części uczniowie nie będą potrzebować znajomości podstaw planimetrii, ale pomysłowości, wyobraźni geometrycznej i dość prostych informacji geometrycznych, które są znane każdemu. Druga sekcja to zadania opcjonalne. Były to zadania, których rozwiązanie będzie wymagało znajomości podstawowych informacji geometrycznych o figurach, ich właściwościach i cechach, znajomości niektórych twierdzeń. Każda sekcja podzielona jest na akapity, w których staraliśmy się połączyć zadania na jeden temat, a te z kolei podzielone są na lekcje zawierające każde jednorodne zadania w kolejności rosnącego stopnia trudności. Pierwsza sekcja zawiera osiem akapitów. 1. Zadania na papierze w kratkę. Ta sekcja zawiera zadania, w których cięcie figur (głównie kwadratów i prostokątów) przebiega wzdłuż boków komórek. Akapit zawiera 4 lekcje, polecamy je do przestudiowania przez uczniów klasy 5.

6 6 Wprowadzenie 2. Pentomino. Ten akapit zawiera zadania związane z figurami pentomino, dlatego na te lekcje wskazane jest rozdanie dzieciom zestawów tych figurek. Są tu dwie lekcje, polecamy je do nauki uczniom klas 5-6. 3. Trudne zadania cięcia. Tutaj zebrano zadania do wycinania kształtów o bardziej złożonym kształcie, na przykład z obramowaniami, które są łukami, oraz bardziej złożone zadania do wycinania. W tym akapicie są dwie lekcje, zalecamy, aby były prowadzone w klasie 7. 4. Podział samolotu. Tutaj zebrano zadania, w których trzeba znaleźć bryły przegród prostokątów na prostokątne kafelki, zadania układania parkietów, zadania najgęstszego upakowania kształtów w prostokącie lub kwadracie. Zalecamy przestudiowanie tego akapitu w klasach 6-7. 5. Tangram. Tutaj zebrano zadania związane ze starożytną chińską łamigłówką „Tangram”. Na tę lekcję pożądane jest, aby ta układanka była przynajmniej wykonana z tektury. Ta sekcja jest zalecana do nauki w klasie 5. 6. Problemy cięcia w przestrzeni. Tutaj uczniowie są wprowadzani w rozwój sześcianu, trójkątnej piramidy, rysowane są podobieństwa i różnice między figurami na płaszczyźnie a bryłami trójwymiarowymi, co oznacza różnice w rozwiązywaniu problemów. Akapit zawiera jedną lekcję, którą polecamy do przestudiowania przez uczniów klasy 6. 7. Zadania do kolorowania. Pokazuje, jak kolorowanie kształtu pomaga rozwiązać problem. Nietrudno udowodnić, że rozwiązanie problemu pocięcia jakiejś figury na części jest możliwe, wystarczy podać jakiś sposób cięcia. Ale udowodnienie, że cięcie jest niemożliwe, jest trudniejsze. Pomaga nam w tym pokolorowanie figury. W tym akapicie są trzy lekcje. Są zalecane do nauki przez uczniów klasy 7. 8. Zadania z kolorowaniem w stanie. Oto zebrane zadania, w których musisz pokolorować figurę w określony sposób, odpowiedz na pytanie: ile kolorów potrzeba do takiego pokolorowania (najmniejsza lub największa liczba) itp. W akapicie jest siedem lekcji. Polecamy je do nauki uczniom klasy 7. Druga część zawiera zadania, które można rozwiązać na dodatkowych zajęciach. Zawiera trzy akapity.

7 Wstęp 7 9. Transformacja figur. Zawiera zadania, w których jedna figura jest cięta na części, z których składa się inna figura. W tym akapicie są trzy lekcje, pierwsza dotyczy „transformacji” różnych figur (tutaj zebrano dość łatwe zadania), a druga lekcja dotyczy geometrii transformacji kwadratu. 10. Różne zadania cięcia. Obejmuje to różne zadania cięcia, które są rozwiązywane różnymi metodami. W tej części znajdują się trzy lekcje. 11. Obszar figur. W tej części znajdują się dwie lekcje. W pierwszej lekcji rozważane są problemy, w których rozwiązaniu konieczne jest pocięcie figur na części, a następnie udowodnienie, że figury są jednakowo złożone, w drugiej lekcji problemy, w rozwiązaniu których należy użyć właściwości pól figur.

8 Część 1 1. Zadania na papierze w kratkę Lekcja 1.1 Temat: Zadania do cięcia na papierze w kratkę. Cel: Rozwijanie umiejętności kombinatorycznych (rozważanie różnych sposobów konstruowania linii cięcia figur, zasad, które pozwalają nie gubić rozwiązań podczas konstruowania tej linii), rozwijanie pomysłów na temat symetrii. Rozwiązujemy problemy na lekcji, problem 1.5 dla domu Kwadrat zawiera 16 komórek. Podziel kwadrat na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek. (Sposoby podzielenia kwadratu na dwie części będą uważane za różne, jeśli części kwadratu otrzymane jedną metodą cięcia nie będą równe częściom otrzymanym inną metodą.) Ile rozwiązań ma to zadanie? Instrukcja. Znalezienie kilku rozwiązań tego problemu nie jest takie trudne. na ryc. 1, niektóre z nich są pokazane, a rozwiązania b) i c) są takie same, ponieważ uzyskane w nich liczby można łączyć przez superpozycję (jeśli obrócisz kwadrat c) o 90 stopni). Ryż. 1 Ale znalezienie wszystkich rozwiązań i nie zgubienie żadnego rozwiązania jest już trudniejsze. Zauważ, że przerywana linia dzieląca kwadrat na dwie równe części jest symetryczna względem środka kwadratu. Ta obserwacja pozwala nam krok

9 Lekcja po kroku, jak narysować polilinię z dwóch końców. Na przykład, jeśli początek polilinii znajduje się w punkcie A, to jej koniec będzie w punkcie B (rys. 2). Upewnij się, że dla tego problemu początek i koniec polilinii można narysować na dwa sposoby, jak pokazano na ryc. 2. Konstruując linię łamaną, aby nie stracić żadnego rozwiązania, możesz kierować się tą zasadą. Jeżeli kolejne ogniwo polilinii można narysować na dwa sposoby, to najpierw należy przygotować drugi podobny rysunek i wykonać ten krok na jednym rysunku w pierwszy sposób, a na drugim w drugi (rys. 3 pokazuje dwa kontynuacja ryc. 2 (a)). Podobnie trzeba postępować, gdy nie są dwie, a trzy metody (ryc. 4 przedstawia trzy kontynuacje ryc. 2 (b)). Podana procedura pomaga znaleźć wszystkie rozwiązania. Ryż. 2 Ryc. 3 Prostokąt ryżowy 3 4 zawiera 12 komórek. Znajdź pięć sposobów na pocięcie prostokąta na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek (metody cięcia są uważane za różne, jeśli części uzyskane jedną metodą cięcia nie są równe częściom uzyskanym inną metodą) Prostokąt 3 5 zawiera 15 komórek i usunięto komórkę środkową. Znajdź pięć sposobów na wycięcie pozostałej figury

10 10 1. Zadania na papierze w kratkę dzielimy na dwie równe części tak, aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek Kwadrat 6 6 dzielimy na 36 identycznych kwadratów. Znajdź pięć sposobów na pocięcie kwadratu na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów Zadanie 1.4 ma ponad 200 rozwiązań. Znajdź co najmniej 15 z nich. Lekcja 1.2 Temat: Problemy z cięciem na papierze w kratkę. Cel: Dalsze rozwijanie pomysłów na temat symetrii, przygotowanie do tematu „Pentamino” (rozważenie różnych figur, które można zbudować z pięciu komórek). Problemy Czy kwadrat 5 5 komórek można podzielić na dwie równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek? Uzasadnij swoją odpowiedź Podziel kwadrat 4 4 na cztery równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków komórek. Ile różnych sposobów cięcia potrafisz znaleźć? 1.8. Podziel figurę (ryc. 5) na trzy równe części, tak aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów. Ryż. 5 Ryc. Rys. 6 Podziel figurę (rys. 6) na cztery równe części tak, aby linia cięcia przebiegała wzdłuż boków kwadratów Podziel figurę (ryc. 7) na cztery równe części, aby linie cięcia przebiegały wzdłuż boków kwadratów kwadraty. Znajdź jak najwięcej rozwiązań.

11 Lekcja Podziel kwadrat 5 5 komórek z wyciętą środkową komórką na cztery równe części. Lekcja 1.3 Temat: Problemy z cięciem na papierze w kratkę. Cel: Dalszy rozwój pomysłów na temat symetrii (osiowej, centralnej). Zadania Wytnij kształty pokazane na rys. 8, na dwie równe części wzdłuż linii siatki, aw każdej z części powinno znajdować się koło. Ryż. 8 Rysunek Liczby pokazane na ryc. 9, konieczne jest przecięcie wzdłuż linii siatki na cztery równe części, tak aby w każdej części znajdował się okrąg. Jak to zrobić? Wytnij figurę pokazaną na ryc. 10, wzdłuż linii siatki na cztery równe części i złóż je w kwadrat tak, aby koła i gwiazdy były ułożone symetrycznie wokół wszystkich osi symetrii kwadratu. Ryż. 10

12 12 1. Zadania na papierze w kratkę Wytnij ten kwadrat (rys. 11) wzdłuż boków komórek tak, aby wszystkie części były tego samego rozmiaru i kształtu, a każda zawierała jedno kółko i gwiazdkę. 12 na cztery identyczne części, tak aby każda z nich zawierała trzy wypełnione komórki. Lekcja 1.4 11 Ryc. 12 Temat: Problemy z cięciem na papierze w kratkę. Cel: Naucz się ciąć prostokąt na dwie równe części, z których możesz dodać kwadrat, kolejny prostokąt. Naucz się określać, z których prostokątów, wycinając je, możesz zrobić kwadrat. Zadania Zadania dodatkowe 1.23, 1.24 (zadania te można rozważyć na początku lekcji na rozgrzewkę) Przetnij prostokątne komórki 4 9 wzdłuż boków komórek na dwie równe części, aby można je było złożyć w kwadrat prostokąt 4 8 komórek rozciąć na dwie części wzdłuż boków komórek, tak aby utworzyły kwadrat? Z prostokąta o 10 7 komórkach wycięto prostokąt o 1 6 komórkach, jak pokazano na ryc. 13. Wytnij powstałą figurę na dwie części, aby można je było złożyć w kwadrat.Wypełnione figury zostały wycięte z prostokąta o 8 9 komórkach, jak pokazano na ryc. 14. Wytnij wynikową figurę na dwie równe części, aby można było z nich dodać prostokąt 6 10.

13 Lekcja Ryc. 13 Ryż Na papierze w kratkę rysuje się kwadrat o wymiarach 5 5 komórek. Pokaż, jak podzielić go wzdłuż boków komórek na 7 różnych prostokątów Podziel kwadrat na 5 prostokątów wzdłuż boków komórek, tak aby wszystkie dziesięć liczb wyrażających długości boków prostokątów było różnymi liczbami całkowitymi Podziel liczby pokazane na ryc. . 15 na dwie równe części. (Możesz ciąć nie tylko wzdłuż linii komórkowych, ale także wzdłuż ich przekątnych.) Ryc. 15

14 14 2. Pentomino Wytnij figury pokazane na rys. 16 na cztery równe części. 2. Pentomino Ryc. 16 Lekcja 2.1 Temat: Pentomino. Cel: Rozwijanie umiejętności kombinatorycznych uczniów. Zadania Kostki domina, tromino, tetramino (gra z takimi figurami nazywa się Tetris), pentomino składa się z dwóch, trzech, czterech, pięciu kwadratów tak, aby każdy kwadrat miał wspólny bok z co najmniej jednym kwadratem. Z dwóch identycznych kwadratów można ułożyć tylko jedną figurę domina (patrz ryc. 17). Figurki Trimino można uzyskać z pojedynczej figury domina, dołączając do niej inny kwadrat na różne sposoby. Otrzymasz dwie figurki tromino (ryc. 18). Ryż. 17 Ryż Zrób wszystkie rodzaje figur tetramino (od greckiego słowa „tetra” cztery). Ile dostali? (Kształty uzyskane przez obrót lub symetryczne przedstawienie z jakichkolwiek innych nie są uważane za nowe).

15 Lekcja Wykonaj wszystkie możliwe figury pentomino (od greckiego „penta” pięć). Ile dostali? 2.3. Ułóż figury pokazane na ryc. 19, z figurek pentomino. Ile rozwiązań ma zadanie dla każdej figury? Rysunek Złóż prostokąt składający się z 3 5 kawałków pentomino. Ile różnych rozwiązań otrzymasz? 2.5. Ułóż figury pokazane na ryc. 20, z figurek pentomino. Ryż. 20

16 16 2. Pentomino Lekcja 2.2 Temat: Pentomino. Cel: Rozwój pomysłów na temat symetrii. Zadania W zadaniu 2.2 ułożyliśmy wszystkie możliwe figury pentomino. Spójrz na nie na ryc. 21. Ryc. 21 Rysunek 1 ma następującą właściwość. Jeśli zostanie wycięty z papieru i wygięty wzdłuż linii prostej a (ryc. 22), wówczas jedna część figury zbiegnie się z drugą. Mówimy, że figura jest symetryczna względem prostej osi symetrii. Figura 12 również ma oś symetrii, nawet dwie z nich to proste b i c, natomiast figura 2 nie ma osi symetrii. Rysunek Ile osi symetrii ma każda figura pentomino? 2.7. Ze wszystkich 12 figur pentomino złóż prostokąt. Niesymetryczne elementy można odwrócić. Złóż prostokąt 6 10 składający się z dwunastu figurek pentomino, tak aby każdy element dotykał jednego boku tego prostokąta.

Lekcja 17 Wytnij prostokąt pokazany na ryc. 23 (a), wzdłuż linii wewnętrznych na dwie takie części, z których można złożyć figurę z trzema kwadratowymi otworami wielkości jednej komórki (ryc. 23 (b)). Ryc. Z figur pentomino złóż kwadrat 8 8 z wyciętym w środku kwadratem 2 2. Znajdź kilka rozwiązań Dwanaście pentomino ułożonych w prostokącie Przywróć granice figur (ryc. 24), jeśli każda gwiazda wpadnie dokładnie jedno pentomino. Ryż. 24 Ryc. Dwanaście kawałków pentomino jest ułożonych w stos w pudełku 12 10, jak pokazano na ryc. 25. Spróbuj umieścić kolejny zestaw pentomino na pozostałym wolnym polu.

18 18 3. Trudne problemy z wycinaniem 3. Trudne problemy z wycinaniem Lekcja 3.1 Temat: Problemy z wycinaniem kształtów o bardziej złożonym kształcie z granicami, które są łukami. Cel: Nauczenie się wycinania kształtów o bardziej złożonym kształcie z obramowaniami będącymi łukami i układania kwadratów z powstałych części. Zadania Na ryc. 26 pokazuje 4 cyfry. Jednym cięciem podziel każdą z nich na dwie części i ułóż z nich kwadrat. Papier w kratkę ułatwi Ci rozwiązanie problemu. Ryż Pokrój kwadrat 6 6 na części, dodaj liczby pokazane na rys. 27. Ryc. 27

19 Lekcja 28 przedstawia fragment muru twierdzy. Jeden z kamieni ma tak dziwaczny kształt, że jeśli wyciągniesz go ze ściany i ułożysz inaczej, ściana stanie się równa. Narysuj ten kamień Do czego zostanie zużyta więcej farby: do pomalowania kwadratu czy do tego niezwykłego pierścienia (ryc. 29)? Ryż. 28 Ryż Pokrój wazon pokazany na rys. 30, na trzy części, z których można złożyć romb. Ryż. 30 Ryc. 31 Ryc. 32 Lekcja 3.2 Temat: Bardziej złożone problemy z cięciem. Cel: Ćwiczenie rozwiązywania bardziej złożonych problemów związanych z cięciem. Rozwiązujemy problemy na lekcji, problem 3.12 dla domu Wytnij figurę (ryc. 31) dwoma prostymi cięciami na takie części, z których można dodać kwadrat 32 na cztery równe części, z których można by dodać kwadrat Wytnij literę E, pokazaną na ryc. 33, na pięć części i złożyć je w kwadrat. Nie odwracaj części do góry nogami

20 20 4. Dozwolone jest dzielenie płaszczyzny. Czy można obejść się z czterema częściami, jeśli pozwolisz, aby części były odwrócone do góry nogami? 3.9. Krzyż złożony z pięciu kwadratów należy pociąć na takie części, z których można by zrobić jeden krzyż o równej wielkości (tj. równej powierzchni).Podawane są dwie szachownice: zwykła, w 64 komórek, a drugi w 36 komórkach. Trzeba przeciąć każdą z nich na dwie części, aby ze wszystkich czterech uzyskanych części zrobić nową szachownicę z komórek.Stażysta ma kawałek szachownicy z 7 7 komórkami wykonanymi z cennego mahoniu. Chce bez marnowania materiału i przesuwania Ryc. 33 cięcia tylko wzdłuż krawędzi komórek, pokrój planszę na 6 części, aby powstały trzy nowe kwadraty, wszystkie o różnych rozmiarach. Jak to zrobić? Czy można rozwiązać zadanie 3.11, jeśli liczba części musi wynosić 5, a całkowita długość cięć wynosi 17? 4. Dzielenie płaszczyzny Lekcja 4.1 Temat: Przegrody bryłowe prostokątów. Cel: Nauczenie się budowania pełnych przegród prostokątów z prostokątnych płytek. Odpowiedz na pytanie, w jakich warunkach prostokąt dopuszcza taki podział płaszczyzny. Zadania (a) są rozwiązywane na lekcji. Zadania 4.5 (b), 4.6, 4.7 można zostawić w domu. Załóżmy, że mamy nieograniczoną ilość prostokątnych płytek 2 1 i chcemy ich użyć do ułożenia prostokątnej podłogi, przy czym żadne dwie płytki nie powinny na siebie nachodzić. podłoga w prostokątnym pokoju p q jest wyłożona kafelkami 2 1, wtedy p q jest parzyste (ponieważ pole jest podzielne przez 2). I odwrotnie: jeśli p q jest równe, to podłogę można ułożyć płytkami 2 1.

21 Lekcja Rzeczywiście, w tym przypadku jedna z liczb p lub q musi być parzysta. Jeśli na przykład p = 2r, to podłogę można ułożyć tak, jak pokazano na ryc. 34. Ale w takich parkietach są linie podziału, które przecinają cały „pokój” od ściany do ściany, ale nie przecinają płytek. Ale w praktyce stosuje się parkiety bez takich linii - parkiety lite. Rys. Ułóż kafelki 2 1 lity parkiet w pokoju Spróbuj znaleźć ciągłą kafelkę 2 1 a) prostokąt 4 6; b) kwadrat Położenie płytek 2 1 parkiet lity a) pokoje 5 8; b) pokoje 6 8. Powstaje oczywiście pytanie, dla których p i q prostokąt p q dopuszcza ciągły podział na kafelki 2 1? Znamy już warunki konieczne: 1) p q jest podzielne przez 2, 2) (p, q) (6, 6) i (p, q) (4, 6). Można zweryfikować jeszcze jeden warunek: 3) p 5, q 5. Okazuje się, że te trzy warunki również okazują się wystarczające. Płytki o innych rozmiarach Ułóż płytki 3 2 bez szczelin a) prostokąt 11 18; b) prostokąt Jeśli to możliwe, ułóż bez przerw kwadrat z kafelkami. Czy można, biorąc kwadrat papieru w kratkę o wymiarach 5 5 komórek, wyciąć z niego 1 pole, aby resztę można było pokroić na płytki o wymiarach 1 3 komórki? Lekcja 4.2 Temat: Parkiety.

22 22 4. Dzielenie płaszczyzny Cel: Nauczenie się pokrywania płaszczyzny różnymi figurami (ponadto parkiety mogą być przerywane lub pełne) lub udowodnienie, że jest to niemożliwe. Problemy Jednym z najważniejszych pytań w teorii podziału płaszczyzny jest: „Jaki kształt powinna mieć dachówka, aby jej kopie mogły pokryć płaszczyznę bez szczelin i podwójnych pokryć?” Od razu przychodzi na myśl kilka oczywistych form. Można udowodnić, że istnieją tylko trzy wielokąty foremne, które mogą pokryć płaszczyznę. Jest to trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt (patrz ryc. 35). Istnieje nieskończona liczba nieregularnych wielokątów, które mogą pokryć płaszczyznę. Rys. Podziel dowolny trójkąt rozwartokątny na cztery równe i podobne trójkąty. W zadaniu 4.8 podzieliliśmy trójkąt na cztery równe i podobne trójkąty. Każdy z czterech powstałych trójkątów można z kolei podzielić na cztery równe i podobne trójkąty itp. Jeśli posuniemy się w przeciwnym kierunku, czyli dodamy cztery równe trójkąty rozwartokątne, to otrzymamy jeden trójkąt podobny do nich, ale czterokrotnie większy , itd., to takie trójkąty mogą układać płaszczyznę. Płaszczyzna może być pokryta innymi figurami, na przykład trapezami, równoległobokami.Pokryj płaszczyznę tymi samymi figurami pokazanymi na ryc. 36.

23 Lekcja Ułóż płaszczyznę z tymi samymi „wspornikami” pokazanymi na ryc. 37. Ryc. 36 Ryż Są cztery kwadraty o boku 1, osiem o boku 2, dwanaście o boku 3. Czy możesz ułożyć z nich jeden duży kwadrat? Czy można złożyć kwadrat o dowolnym rozmiarze z drewnianych płytek wskazanych na ryc. 38 rodzajów, używając płytek obu rodzajów? Lekcja 4.3 Temat: Problemy najgęstszego upakowania. Ryż. 38 Cel: Sformułowanie koncepcji rozwiązania optymalnego. Zadania Jaka jest największa liczba pasków o rozmiarze 1 5 komórek, które można wyciąć z kwadratu papieru w kratkę 8 8 komórek? Mistrz ma arkusz blaszanego kwadratu. dm. Mistrz chce wyciąć z niego jak najwięcej prostokątnych półfabrykatów o powierzchni 3 5 metrów kwadratowych. dm. Pomóż mu Czy można wyciąć prostokąt komórki na prostokąty o rozmiarze 5 7 bez pozostałości? Jeśli to możliwe, w jaki sposób? Jeśli nie, dlaczego nie? Na kartce papieru w kratkę zaznacz nacięcia wielkością komórek, za pomocą których możesz uzyskać tyle całych cyfr, ile pokazano na ryc. 39. Liczby przedstawione na ryc. 39 (b, d), można odwrócić.

24 24 5. Tangram Ryż Tangram Lekcja 5.1 Temat: Tangram. Cel: Zapoznanie uczniów z chińską łamigłówką „Tangram”. Praktykuj badania geometryczne, projektowanie. Rozwijaj umiejętności kombinatoryczne. Problemy Mówiąc o problemach z cięciem, nie można nie wspomnieć o starożytnej chińskiej układance „Tangram”, która powstała w Chinach 4 tysiące lat temu. W Chinach nazywa się to „chi tao tu”, czyli siedmioczęściową układanką umysłową. Wytyczne. Aby przeprowadzić tę lekcję, pożądane jest posiadanie materiałów informacyjnych: układanki (którą sami uczniowie mogą wykonać), rysunków postaci, które należy złożyć. Rysunek Ułóż samodzielnie puzzle: przenieś kwadrat podzielony na siedem części (ryc. 40) na gruby papier i wytnij go. Ze wszystkich siedmiu części układanki ułóż figury pokazane na ryc. 41.

25 Lekcja Ryc. 41 Ryc. 42 Wytyczne. Dzieci mogą otrzymać rysunki postaci a), b) w pełnym rozmiarze. I tak uczeń może rozwiązać zadanie, nakładając części puzzli na rysunek figury i tym samym wybierając odpowiednie części, co upraszcza zadanie. I rysunki figur

26 26 6. Problemy cięcia w przestrzeni c), d) można podać w mniejszej skali; w konsekwencji zadania te będą trudniejsze do rozwiązania. na ryc. Podano 42 kolejne figury do samodzielnego złożenia.Spróbuj wymyślić własną figurę, używając wszystkich siedmiu części tangramu. W tangramie, wśród jego siedmiu części, znajdują się już trójkąty o różnych rozmiarach. Ale z jego części nadal możesz dodawać różne trójkąty. Złóż trójkąt, używając czterech części tangramu: a) jeden duży trójkąt, dwa małe trójkąty i kwadrat; b) jeden duży trójkąt, dwa małe trójkąty i równoległobok; c) jeden duży trójkąt, jeden środkowy trójkąt i dwa małe trójkąty Czy można zrobić trójkąt, używając tylko dwóch części tangramu? Trzy części? Pięć części? Sześć części? Wszystkie siedem części tangramu? 5.6. Oczywiste jest, że kwadrat składa się ze wszystkich siedmiu części tangramu. Czy jest możliwe lub niemożliwe zrobienie kwadratu z dwóch części? Z trzech? Z czterech? 5.7. Z jakich różnych części tangramu można zrobić prostokąt? Jakie inne wielokąty wypukłe można utworzyć? 6. Problemy z cięciem w przestrzeni Lekcja 6.1 Temat: Problemy z cięciem w przestrzeni. Cel: Rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Naucz się budować przeciągnięcia trójkątnej piramidy, sześcianu, określ, które wyciągnięcia są nieprawidłowe. Poćwicz rozwiązywanie problemów wycinania brył w przestrzeni (rozwiązywanie takich problemów różni się od rozwiązywania problemów wycinania kształtów na płaszczyźnie). Zadania Pinokio miał papier, z jednej strony zaklejony polietylenem. Wykonał element pokazany na ryc. 43 do wyklejenia z niego woreczków na mleko (trójkątnych piramid). A lis Alice może zrobić kolejny blank. Co?

27 Lekcja Rice Cat Basilio też dostał ten papier, ale chce skleić kostki (torebki z kefirem). Wykonał puste miejsca pokazane na ryc. 44. A lis Alicja mówi, że niektóre można od razu wyrzucić, bo nie są dobre. Czy ona ma rację? Piramida Cheopsa ma kwadrat u podstawy, a jej ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Pinokio wspiął się i zmierzył kąt krawędzi na górze (AMD, na ryc. 45). Okazało się, że 100. A lis Alice mówi, że przegrzał się na słońcu, bo tak nie może być. Czy ona ma rację? 6.4. Jaka jest minimalna liczba płaskich cięć potrzebnych do podzielenia sześcianu na 64 małe sześciany? Po każdym cięciu można dowolnie przesuwać części sześcianu.Drewniany sześcian pomalowano z zewnątrz białą farbą, następnie każdą z jego krawędzi Rys. 45 podzielono na 5 równych części, po czym przepiłowano tak, że otrzymano małe kostki, w których krawędź jest 5 razy mniejsza niż w przypadku kostki oryginalnej. Ile jest małych sześcianów? Ile sześcianów ma pomalowane trzy boki? Dwie krawędzie? Jedna krawędź? Ile niepomalowanych kostek zostało? 6.6. Arbuz został pokrojony na 4 części i zjedzony. Okazało się, że 5 skórek. Czy to może być?

28 28 7. Zadania do kolorowania 6.7. Na jaką maksymalną liczbę kawałków można pokroić naleśnik trzema prostymi cięciami? Ile kawałków można otrzymać z trzech kawałków bochenka chleba? 7. Zadania do kolorowania Lekcja 7.1 Temat: Kolorowanie pomaga rozwiązywać problemy. Cel: Nauczenie się, jak udowodnić, że niektóre problemy z krojenia nie mają rozwiązań, za pomocą dobrze dobranej kolorystyki (np. kolorowanie w szachownicę), poprawiając w ten sposób kulturę logiczną uczniów. Problemy Nietrudno udowodnić, że rozwiązanie problemu pocięcia jakiejś figury na części jest możliwe: wystarczy podać jakąś metodę cięcia. Znalezienie wszystkich rozwiązań, czyli wszystkich sposobów cięcia, jest już trudniejsze. A udowodnienie, że cięcie jest niemożliwe, jest również dość trudne. W niektórych przypadkach pomaga nam w tym kolorystyka figury.Wzięliśmy kwadrat papieru w kratkę o wymiarach 8 8, odcięliśmy z niego dwie komórki (lewy dolny i prawy górny). Czy możliwe jest całkowite pokrycie powstałej figury prostokątami „domino” 1 2? 7.2. Na szachownicy znajduje się figurka „wielbłąda”, która każdym ruchem przesuwa trzy pola w pionie i jedną w poziomie lub trzy w poziomie i jedną w pionie. Czy „wielbłąd” po wykonaniu kilku ruchów może dostać się do komórki przylegającej do jego pierwotnej strony? 7.3. W każdej komórce kwadratu 5 5 znajduje się chrząszcz. Na komendę każdy chrząszcz czołgał się do jednej z sąsiednich cel z boku. Czy może się wtedy okazać, że w każdej komórce ponownie zasiądzie dokładnie jeden chrząszcz? Co by było, gdyby oryginalny kwadrat miał wymiary 6 6? 7.4. Czy można wyciąć kwadrat papieru w kratkę 4x4 na jeden cokół, jeden kwadrat, jedną kolumnę i jeden zygzak (ryc. 46)?

MA Ekimova, GP Kukin MTsNMO Moskwa, 2002 UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova MA, Kukin GP Problemy z cięciem. M.: MTsNMO, 2002. 120 s.: chory. Seria: „Tajemnice nauczania matematyki”. Ten

VA Smirnow, I.M. Smirnova, I.V. Yashchenko CO BYĆ Z GEOMETRII WIZUALNEJ W 5 6 ZAJĘCIACH Wyniki GIA i USE w matematyce pokazują, że głównym problemem geometrii

Problemy na kratach V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l są liczbami całkowitymi, wtedy i tylko wtedy generuje tę samą kratę,

IV Jakowlew Materiały z matematyki MathUs.ru Cięcia Figury geometryczne nazywane są równymi, jeśli można je nałożyć na siebie tak, aby całkowicie się pokrywały. 1. Wytnij każdy kształt

VA Smirnow, I.M. Smirnova GEOMETRIA Podręcznik przygotowujący do GIA Zadania wyboru właściwych stwierdzeń 2015 1 WPROWADZENIE Ten podręcznik ma na celu przygotowanie do rozwiązywania problemów geometrycznych GIA w matematyce.

Test 448 Kąty pionowe 1. Jeśli kąty nie są pionowe, to nie są równe. 2. Kąty równe są kątami wierzchołkowymi tylko wtedy, gdy są centralnie symetryczne. 3. Jeśli kąty są równe, a ich związek ma

I. V. Yakovlev Materiały z matematyki MathUs.ru Przykłady i konstrukcje 1. (All-rosyjski, 2018, ШЭ, 5.2) Dziewczyna zastąpiła każdą literę swojego imienia jej numerem w alfabecie rosyjskim. Wynikiem jest liczba 2011533.

WYKŁAD 24 WYKRESY PŁASKIE 1. Wzór Eulera na grafy płaskie Definicja 44: Wykres płaski to obraz wykresu na płaszczyźnie bez samoprzecięć. Uwaga Wykres to nie to samo, co płaski

Średnie (pełne) wykształcenie ogólne MI Bashmakov Matematyka Klasa 11 Zbiór problemów 3. edycja UDC 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov MI B336 Matematyka. Klasa 11. Zbiór zadań: drugorzędny (kompletny)

VA Smirnov 1. Rozpoznawanie figur 1. Jaki wielościan nazywa się sześcianem? 2. Ile wierzchołków, krawędzi, ścian ma sześcian? 3. Narysuj kostkę na papierze w kratkę. 4. Jaki wielościan nazywa się równoległościanem?

VA Smirnow, I.V. Yashchenko FIGURY W PRZESTRZENI Podręcznik przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego 2013 WPROWADZENIE Niniejszy podręcznik ma na celu przygotowanie do rozwiązywania problemów geometrycznych Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Jego cele to:

1 nauczyć się posługiwać językiem geometrycznym i symboliką geometryczną do opisu obiektów świata; przeprowadzić proste rozumowanie i uzasadnienie w procesie rozwiązywania przewidzianych problemów

MATEMATYKA 5.1-5.3 ćwiczenia (profil technologiczny) Bank zadań Moduł "Geometria" "Trójkąty i czworokąty. Linie proste i okręgi. Symetria. Wielościany” Wymagane podstawowe informacje teoretyczne

Zadania III Otwartego Turnieju Młodych Matematyków Miasta Mińska 2016 (liga juniorów, klasy 5-7) 10-12 marca 2016 r. Wstępne wnioski wskazujące placówkę oświatową, kierownika, jego numer telefonu

Miejska przedszkolna budżetowa instytucja edukacyjna „Przedszkole 30” Centralnego Okręgu Barnauł

1 Reguła ekstremalna Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Zacznijmy od następujących trzech problemów: Problem1. Na nieskończonej kartce papieru w kratkę w każdej komórce zapisana jest liczba naturalna. Wiadomo, że

Wiedza jest najwspanialszą własnością. Każdy do tego dąży, to nie przychodzi samo. Abu-r-Raykhan al-buruni „Koncepcja pola wielokąta” Geometria Stopień 8 1 CHARAKTERYSTYKA WIELOMIONÓW Zamknięta polilinia,

Nota wyjaśniająca 1. Ogólna charakterystyka kursu Ten program został opracowany zgodnie z wymogami federalnego standardu edukacyjnego dla podstawowego kształcenia ogólnego i jest przeznaczony

Kurs mistrzowski „Geometria i stereometria na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki, część 1. Październik 2017 r. Do rozwiązywania problemów potrzebna jest wiedza o kształtach geometrycznych i ich właściwościach, obliczanie obszarów figur płaskich, objętości

Miejska budżetowa placówka oświatowa „Liceum 2” Załącznik 3.20. Program pracy dla kursu „Geometria wizualna” dla klas 5-6 Twórcy: Ovchinnikova N.V.,

Temat 1. Parzystość 1. Na stole znajduje się 13 kół zębatych połączonych zamkniętym łańcuchem. Czy wszystkie biegi mogą obracać się jednocześnie? 2. Czy linia prosta, która nie zawiera wierzchołków, może utworzyć zamkniętą polilinię z 13

Analiza zadań trzeciej części zadań 1 2 Elektroniczna szkoła Znanik Analiza zadań trzeciej części zadań Klasa 4 6 7 8 9 10 A B A C D Zadanie 6 W tunelu co 10 m znajdują się punkty kontrolne.

IX Ogólnorosyjska zmiana „Młody matematyk”. VDC „Orlik”. VI Turniej Gier Matematycznych. Gra matematyczna „Pojedynek”. Liga juniorów. Rozwiązania. 08 września 2013 1. W dwóch grupach uczy się taka sama liczba studentów

Ciekawe problemy z kostkami Zadanie 1. Policz 8 wierzchołków sześcianu liczbami porządkowymi (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) tak, aby suma liczb na każdej z jego sześciu ścian była taka sama ( Ryc. 1a).

Bank zadań z matematyki Klasa 6 „Wielokąty i wielościany” 1. Wielościan to zamknięta powierzchnia złożona z: równoległoboków wielokątów i trójkątów wielokątów wielokątów

PAŃSTWOWY KOMITET FEDERACJI ROSYJSKIEJ DS. SZKOLNICTWA WYŻSZEGO NOWOSYBIRSKI PAŃSTWOWY UNIWERSYTET Szkoła korespondencyjna WYDZIAŁ MATEMATYCZNY PROJEKTOWANIE RÓWNOLEGŁE Stopień 0, zadanie 3. Nowosybirsk

Program pracy przedmiotu „Świat znaków i liczb” klasa V 1. Planowane efekty rozwoju przedmiotu „Świat znaków i liczb” opanowanie języka geometrycznego, wykorzystanie go do opisu

Lekcja pozaszkolna z geometrii wizualnej w klasie 7. Temat: „Geometria nożyczek. Problemy z wycinaniem i składaniem kształtów"

ICH. SMIRNOW, V.A. GEOMETRIA SMIRNOWA NA PAPIERZE W KRATKĘ Podręcznik dla instytucji edukacyjnych Moskwa 2009 WSTĘP Proponowany podręcznik zawiera pięćdziesiąt sześć problemów do budowy i

ĆWICZENIA 2 PRZEKSZTAŁCENIA 1 Pojęcie przekształcenia Przykład 1. Przekształcenie koncentrycznych okręgów w siebie. Okrąg c 1 jest przekształcany w jego koncentryczny okrąg c 2, jak pokazano

Jesienny intensywny kurs fizyki i matematyki „100 godzin” POLYOMINE Gry i puzzle z postaciami w szachownicę Chozin Michaił Anatolijewicz Dzierżyńsk, 29 października 2 listopada 2016 r. CZYM JEST POLYMONO? Każdy zna domino

Punkt po punkcie narysowano 7 kształtów, jak pokazano na poniższych ilustracjach. C A G B F Pokaż, jak wykorzystać te elementy do wykonania figur na poniższych rysunkach D E A) (punkty 0 punktów) B) (punkty 0 punktów) C) (3 punkty

USE 2010. Matematyka. Problem B9. Zeszyt ćwiczeń Smirnov V.A. (pod redakcją A. L. Semenova i I. V. Yashchenko) M .: Wydawnictwo MTsNMO; 2010, 48 stron Zeszyt ćwiczeń z matematyki z serii "USE 2010. Matematyka"

1) IDm2014_006 odpowiedzi z rundy konkursowej 2) Lider zespołu Poyarkova Olga Sergeevna 3) Wykonawca techniczny (koordynator) nr 4) Adres URL strony internetowej z odpowiedziami z rundy konkursowej (jeśli istnieje) nr 5) Tabela

10.1 (profil technologiczny), 10.2 (poziom profilu) Rok akademicki 2018-2019 Przykładowy bank zadań przygotowujących do sprawdzianu z matematyki, sekcja „Geometria” (podręcznik Atanasyan L.S., poziom profilu)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Regularne, półregularne i gwiaździste wielościany Moskwa Wydawnictwo MTsNMO 010

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ NOWOSYBIRSKI PAŃSTWOWY UNIWERSYTET SPECJALISTYCZNE CENTRUM EDUKACYJNO-NAUKOWE Matematyka Stopień 0 PROJEKTOWANIE RÓWNOLEGŁE Nowosybirsk I. Projektowanie

2016 2017 rok szkolny 5 klasa 51 Ułóż nawiasy i znaki czynności we wpisie 2 2 2 2 2 tak aby wyszło 24 52 Ania kłamie we wtorki, środy i czwartki a we wszystkie pozostałe dni tygodnia mówi prawdę

Temat 16. Wielościany 1. Pryzmat i jego elementy: Pryzmat jest wielościanem, którego dwie ściany są równymi wielokątami położonymi w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są równoległobokami.

Geometria do geometrii. PDA, Geometria, trzecia lekcja (Maksimov D.V.) 28 czerwca 2017 Geometria wizualna Kostka 3x3x3 składa się z 13 białych i 14 ciemnych kostek. Na którym obrazku to jest? Pokazane poniżej

Klasa 7 7.1. Czy może się okazać, że 1000 uczestników Olimpiady poprawnie rozwiąże to zadanie, a wśród nich będzie o 43 więcej chłopców niż dziewczynek? 7.2. Łada i Lera odgadły liczbę naturalną. Jeśli

Komitet Administracyjny Okręgu Zmeinogorsk Terytorium Ałtaju ds. Edukacji i Spraw Młodzieży Miejska budżetowa instytucja edukacyjna „Liceum Zmeinogorsk z zaawansowanymi

Egzamin wstępny do Wieczorowej Szkoły Matematycznej na Wydziale Informatyki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego im. M. W. Łomonosowa (29 września 2018 r.) Klasy 8-9 1. Drużyny „Matematycy”, „Fizycy” i „Programiści” grali w piłkę nożną

Miejska budżetowa instytucja oświatowa miasta Abakan „Liceum 11” PROGRAM zajęć pozalekcyjnych koła „Młody matematyk” dla klas 1-4 Program pozaszkolny

Temat I. Parzystość Problem 1. Kwadratowa tabela 25 25 jest pokolorowana na 25 kolorów, tak aby każdy wiersz i każda kolumna zawierały wszystkie kolory. Wykazać, że jeśli układ kolorów jest symetryczny względem

1. Zestawy. Operacje na zbiorach 1. Czy to prawda, że ​​dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi równość A \ (A \ B) A B? 2. Czy to prawda, że ​​dla dowolnych zbiorów A, B równość (A \ B) (B \ A)

Kod sekcji Wymagania (umiejętności) sprawdzane przez prace zaliczeniowe Otwarty bank zadań z przedmiotu „Matematyka” dla uczniów klas IV Zadania 4. RELACJE PRZESTRZENNE. GEOMETRYCZNY

Obraz wielościanów Za obraz figury przyjmuje się figurę podobną do jej rzutu na pewną płaszczyznę. Wybrano obraz, który daje prawidłowe wyobrażenie o kształcie figury

Zadania dla klasy 5 Dmitrij Gushchin, strona internetowa poświęcona elementarnej matematyce www.mathnet.spb.ru w ramce 5. Kto wygra, jeśli zagra najlepiej, jak potrafi? 2. Linie są rysowane w kwadracie 5 5 dzieląc go na

Departament Edukacji Administracji Rejonu Krasnogwardiejskiego Miejska placówka oświatowa „Liceum Kalinovskaya” Zatwierdzam: Dyrektor MBOU „Liceum Kalinovskaya” Belousova

Dwunasta Ogólnorosyjska Olimpiada z Geometrii. I. F. Sharygina XIV Olimpiada ustna z geometrii Moskwa, 17 kwietnia 2016 r. Rozwiązania zadań 8 9 klasa 1. (A. Blinkow) W sześciokącie są równe

Zadania G -11.5.16. Strona S = główna strona P. * Wzór H na znalezienie bocznej powierzchni pryzmatu Г -11.5.17. Strona S = 1 P główna. * h wzór na znalezienie powierzchni bocznej 2 ostrosłupa 6. Zagadnienia różne Г-10.6.1.

VIII turniej drużynowo-osobowy „Matematyka wszechstronna” 27 listopada 2015 r., Moskwa Geometria (rozwiązania) Liga juniorów 1. Podano okrąg i jego cięciwę. Styczne są rysowane na końcach cięciwy do okręgu

1. Rysunek został narysowany na papierze w kratkę. Podziel to na 4 równe
części wzdłuż linii papieru w kratkę. Znajdź wszystkie możliwe liczby, dla których
możesz wyciąć tę liczbę zgodnie ze stanem problemu.
Rozwiązanie.
2. Z kwadratu 5 5 wytnij środkową komórkę. Wytnij powstały
figurę na dwie równe części na dwa sposoby.
Rozwiązanie.

3. Podziel prostokąt 3×4 na dwie równe części. Znajdź jak możesz
więcej sposobów. Możesz ciąć tylko wzdłuż boku kwadratu 1 × 1 i metod
są uważane za różne, jeśli otrzymane liczby nie są równe dla każdej z nich
sposób.
Rozwiązanie.
4. Przetnij figurę pokazaną na rysunku na 2 równe części.
Rozwiązanie.
5. Przetnij figurę pokazaną na rysunku na 2 równe części.

Rozwiązanie.
6. Wytnij figurę pokazaną na rysunku na dwie równe części wzdłuż
linie siatki, aw każdej części powinien znajdować się okrąg.
Rozwiązanie.
7. Przetnij figurę pokazaną na rysunku na cztery równe części

Rozwiązanie.

8. Przetnij figurę pokazaną na rysunku na cztery równe części
wzdłuż linii siatki, aw każdej części powinien znajdować się okrąg.
Rozwiązanie.
9. Wytnij ten kwadrat wzdłuż boków komórek, tak aby wszystkie części
być tego samego rozmiaru i kształtu i że każdy zawiera jeden
kubek i krzyż.
Rozwiązanie.

10. Wytnij figurę pokazaną na rysunku wzdłuż linii siatki
cztery równe części i złóż je w kwadrat, tak aby powstały koła i krzyżyki
rozmieszczone symetrycznie wokół wszystkich osi symetrii kwadratu.
Rozwiązanie.
11. Przetnij kwadrat 6  6 komórek pokazany na rysunku na cztery
identycznych części, tak aby każda z nich zawierała trzy wypełnione komórki.

Rozwiązanie.
12. Czy można przeciąć kwadrat na cztery części, tak aby każda część
był w kontakcie z pozostałymi trzema (części są w kontakcie, jeśli mają wspólny
teren przygraniczny)?
Rozwiązanie.
13. Czy można przeciąć prostokąt o wymiarach 9 4 komórek na dwie równe części wzdłuż

w takim razie jak to zrobić?
Rozwiązanie Powierzchnia takiego kwadratu wynosi 36 komórek, czyli jego bok to 6
komórki. Sposób cięcia pokazano na rysunku.

14. Czy można przeciąć prostokąt 5 10 komórek na dwie równe części wzdłuż
boki komórek tak, aby tworzyły kwadrat? Jeśli tak,
w takim razie jak to zrobić?
Rozwiązanie Powierzchnia takiego kwadratu wynosi 50 komórek, czyli jego bok
więcej niż 7, ale mniej niż 8 całych komórek. Tak więc, aby wyciąć taki prostokąt
w wymagany sposób po bokach komórek jest niemożliwe.
15. Było 9 kartek papieru. Niektóre z nich zostały pocięte na trzy części. Całkowity
stało się 15 arkuszy. Ile kartek papieru wycięto?
Rozwiązanie Wytnij 3 arkusze: 3 ∙ 3 + 6 = 15.