Znajdowanie drugiej pochodnej podanej parametrycznie. Pochodna funkcji zdefiniowanej parametrycznie

Do tej pory rozważaliśmy równania prostych na płaszczyźnie, które bezpośrednio odnoszą się do aktualnych współrzędnych punktów tych prostych. Jednak często stosuje się inny sposób określania linii, w którym aktualne współrzędne są traktowane jako funkcje trzeciej zmiennej.

Niech będą dane dwie funkcje zmiennej

rozważane dla tych samych wartości t. Wtedy każda z tych wartości t odpowiada pewnej wartości i pewnej wartości y, a co za tym idzie, do pewnego punktu. Gdy zmienna t przebiega przez wszystkie wartości z dziedziny funkcji (73), punkt opisuje na płaszczyźnie pewną prostą C. Równania (73) nazywane są równaniami parametrycznymi tej prostej, a zmienną parametrem.

Załóżmy, że funkcja ma funkcję odwrotną Podstawiając tę ​​funkcję do drugiego z równań (73), otrzymujemy równanie

wyrażając y jako funkcję

Przyjmijmy, że funkcja ta jest dana parametrycznie przez równania (73). Przejście od tych równań do równania (74) nazywamy eliminacją parametru. W przypadku funkcji zdefiniowanych parametrycznie wykluczenie parametru nie tylko nie jest konieczne, ale również nie zawsze jest praktycznie możliwe.

W wielu przypadkach znacznie wygodniej jest, biorąc pod uwagę różne wartości parametru, obliczyć następnie za pomocą wzorów (73) odpowiednie wartości argumentu i funkcji y.

Rozważ przykłady.

Przykład 1. Niech będzie dowolnym punktem okręgu o środku w początku i promieniu R. Współrzędne kartezjańskie x i y tego punktu są wyrażone jako jego promień biegunowy i kąt biegunowy, które oznaczamy tutaj przez t, jak następuje ( patrz rozdz. I, § 3, pkt 3):

Równania (75) nazywane są parametrycznymi równaniami okręgu. Parametrem w nich jest kąt biegunowy, który zmienia się od 0 do.

Jeżeli równania (75) podniesiemy do kwadratu i dodamy wyraz po wyrazie, to ze względu na identyczność parametr zostanie wyeliminowany i otrzymamy równanie okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych, które wyznacza dwie podstawowe funkcje:

Każda z tych funkcji jest określona parametrycznie za pomocą równań (75), ale zakresy zmienności parametrów dla tych funkcji są różne. Dla pierwszego; wykresem tej funkcji jest górne półkole. Dla drugiej funkcji jej wykresem jest dolne półkole.

Przykład 2. Rozważmy jednocześnie elipsę

oraz okrąg wyśrodkowany w początku i promieniu a (ryc. 138).

Do każdego punktu M elipsy przypisujemy punkt N okręgu, który ma taką samą odciętą jak punkt M i znajduje się z nim po tej samej stronie osi Ox. Położenie punktu N, a tym samym punktu M, jest całkowicie określone przez kąt biegunowy punktu t. W tym przypadku dla ich wspólnej odciętej otrzymujemy następujące wyrażenie: x \u003d a. Znajdujemy rzędną w punkcie M z równania elipsy:

Znak jest wybrany, ponieważ rzędna w punkcie M i rzędna w punkcie N muszą mieć te same znaki.

W ten sposób otrzymuje się następujące równania parametryczne dla elipsy:

Tutaj parametr t zmienia się z 0 na .

Przykład 3. Rozważmy okrąg ze środkiem w punkcie a) i promieniem a, który oczywiście dotyka osi x w początku (ryc. 139). Załóżmy, że to koło toczy się bez poślizgu wzdłuż osi x. Wtedy punkt M okręgu, który pokrywał się w początkowej chwili z początkiem, opisuje linię, którą nazywamy cykloidą.

Wyprowadzamy równania parametryczne cykloidy, przyjmując jako parametr t kąt obrotu koła MSW podczas przemieszczania jego punktu stałego z położenia O do położenia M. Wówczas dla współrzędnych i y punktu M otrzymujemy następujące wyrażenia:

Ponieważ okrąg toczy się po osi bez poślizgu, długość odcinka OB jest równa długości łuku VM. Ponieważ długość łuku VM jest równa iloczynowi promienia a i kąta środkowego t, to . Dlatego . ale dlatego

Te równania są równaniami parametrycznymi cykloidy. Przy zmianie parametru t z 0 na okrąg wykona jeden pełny obrót. Punkt M będzie opisywał jeden łuk cykloidy.

Wyłączenie parametru t prowadzi tutaj do kłopotliwych wyrażeń i jest praktycznie niepraktyczne.

Parametryczna definicja linii jest szczególnie często stosowana w mechanice, a czas pełni rolę parametru.

Przykład 4. Wyznaczmy trajektorię pocisku wystrzelonego z działa z prędkością początkową pod kątem a do horyzontu. Pomija się opory powietrza i wymiary pocisku, uznając to za punkt materialny.

Wybierzmy układ współrzędnych. Jako początek współrzędnych przyjmujemy punkt wyjścia pocisku z lufy. Skierujmy oś Ox poziomo, a oś Oy pionowo, ustawiając je w tej samej płaszczyźnie co lufa pistoletu. Gdyby nie było siły grawitacji, to pocisk poruszałby się po linii prostej tworzącej kąt a z osią Ox i do czasu t przebyłby drogę. Współrzędne pocisku w chwili t byłyby odpowiednio równe: . Ze względu na grawitację ziemi pocisk musi w tym momencie opaść pionowo o pewną wartość, dlatego w rzeczywistości w chwili t współrzędne pocisku określają wzory:

Te równania są stałymi. Gdy zmienia się t, zmieniają się również współrzędne punktu trajektorii pocisku. Równania te są równaniami parametrycznymi trajektorii pocisku, w których parametrem jest czas

Wyrażanie z pierwszego równania i podstawienie go do

z drugiego równania otrzymujemy równanie trajektorii pocisku w postaci To jest równanie paraboli.

Rozważmy definicję prostej na płaszczyźnie, w której zmienne x, y są funkcjami trzeciej zmiennej t (nazywanej parametrem):

Dla każdej wartości T z pewnego przedziału odpowiadają pewnym wartościom X I y, i, stąd pewien punkt M(x, y) płaszczyzny. Gdy T przebiega przez wszystkie wartości z zadanego przedziału, a następnie punkt M (x, y) opisuje pewną linię Ł. Równania (2.2) nazywane są równaniami parametrycznymi prostej Ł.

Jeżeli funkcja x = φ(t) ma odwrotność t = Ф(x), to podstawiając to wyrażenie do równania y = g(t), otrzymujemy y = g(Ф(x)), co określa y jako funkcja X. W tym przypadku mówi się, że równania (2.2) definiują funkcję y parametrycznie.

Przykład 1 Pozwalać M (x, y) jest dowolnym punktem okręgu o promieniu R i wyśrodkowany w początku. Pozwalać T- kąt między osiami Wół i promień OM(Patrz rysunek 2.3). Następnie x, y wyrażone przez T:

Równania (2.3) są parametrycznymi równaniami okręgu. Wykluczmy parametr t z równań (2.3). Aby to zrobić, podnosimy każde z równań do kwadratu i dodajemy je, otrzymujemy: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) lub x 2 + y 2 \u003d R 2 - równanie koła w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definiuje dwie funkcje: Każda z tych funkcji jest dana równaniami parametrycznymi (2.3), ale dla pierwszej funkcji , a dla drugiej .

Przykład 2. Równania parametryczne

zdefiniuj elipsę za pomocą półosi a, b(Rys. 2.4). Wyeliminowanie parametru z równań T, otrzymujemy kanoniczne równanie elipsy:

Przykład 3. Cykloida to linia opisana przez punkt leżący na okręgu, jeśli ten okrąg toczy się bez poślizgu po linii prostej (ryc. 2.5). Wprowadźmy równania parametryczne cykloidy. Niech promień toczącego się koła będzie równy A, kropka M, opisujący cykloidę, na początku ruchu zbiegł się z początkiem.

Ustalmy współrzędne X, y punktów M po obrocie koła o kąt T
(ryc. 2.5), t = ÐMCB. Długość łuku MB równa długości odcinka OB, ponieważ koło toczy się bez poślizgu, więc

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - koszt = a(1 - koszt).

Otrzymuje się więc równania parametryczne cykloidy:

Podczas zmiany parametru T od 0 do 2π koło obraca się o jeden obrót, natomiast punkt M opisuje jeden łuk cykloidy. Równania (2.5) definiują y jako funkcja X. Chociaż funkcja x = a(t - sint) ma funkcję odwrotną, ale nie jest wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, więc funkcja y = f(x) nie jest wyrażona za pomocą funkcji elementarnych.

Rozważmy różniczkowanie funkcji dane parametrycznie za pomocą równań (2.2). Funkcja x = φ(t) w pewnym przedziale zmian t ma funkcję odwrotną t = Ф(x), Następnie y = g(Ф(x)). Pozwalać x = φ(t), y = g(t) mają pochodne i x"t≠0. Zgodnie z regułą różniczkowania funkcji zespolonej y"x=y"t×t"x. W oparciu o regułę różniczkowania funkcji odwrotnych, zatem:

Otrzymany wzór (2.6) pozwala znaleźć pochodną funkcji podanej parametrycznie.

Przykład 4. Niech funkcja y, zależy od X, jest ustawione parametrycznie:

Rozwiązanie. .
Przykład 5 Znajdź nachylenie k styczna do cykloidy w punkcie M 0 odpowiadającym wartości parametru .
Rozwiązanie. Z równań cykloidy: y" t = asint, x" t = a(1 - koszt), Dlatego

Nachylenie stycznej w punkcie M0 równa wartości w t 0 \u003d π / 4:

RÓŻNICA FUNKCJI

Niech funkcja w punkcie x0 ma pochodną. A-priorytet:
dlatego przez właściwości granicy (rozdz. 1.8) , gdzie A jest nieskończenie mały w ∆x → 0. Stąd

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ponieważ Δx → 0, drugi wyraz w równości (2.7) jest nieskończenie małym rzędem wyższego rzędu w porównaniu z , zatem Δy i f "(x 0) × Δx są równoważne, nieskończenie małe (dla f "(x 0) ≠ 0).

Zatem przyrost funkcji Δy składa się z dwóch wyrazów, z których pierwszy f "(x 0) × Δx to Głównym elementem przyrosty Δy, liniowe względem Δx (dla f "(x 0) ≠ 0).

Mechanizm różnicowy funkcja f(x) w punkcie x 0 nazywana jest główną częścią przyrostu funkcji i oznaczana jest: dy Lub df(x0). Stąd,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Przykład 1 Znajdź różniczkę funkcji dy oraz przyrost funkcji Δy dla funkcji y \u003d x 2, gdy:
1) arbitralne X i Δ X; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Rozwiązanie

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Jeśli x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, to Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Piszemy równość (2.7) w postaci:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Przyrost Δy różni się od różniczki dy do nieskończenie małego rzędu wyższego w porównaniu z Δx, dlatego w obliczeniach przybliżonych stosuje się przybliżoną równość Δy ≈ dy, jeśli Δx jest wystarczająco małe.

Biorąc pod uwagę, że Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), otrzymujemy przybliżony wzór:

fa(x 0 + Δx) ≈ fa(x 0) + dy. (2.10)

Przykład 2. Oblicz w przybliżeniu.

Rozwiązanie. Rozważać:

Korzystając ze wzoru (2.10) otrzymujemy:

Stąd ≈ 2,025.

Rozważ geometryczne znaczenie różniczki df(x0)(Rys. 2.6).

Narysuj styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie M 0 (x0, f (x 0)), niech φ będzie kątem między styczną KM0 a osią Ox, wtedy f "(x 0 ) = tgφ Z ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Ale PN jest przyrostem rzędnej stycznej, gdy x zmienia się z x 0 na x 0 + Δx.

Zatem różniczka funkcji f(x) w punkcie x 0 jest równa przyrostowi rzędnej stycznej.

Znajdźmy różniczkę funkcji
y=x. Skoro (x)" = 1, to dx = 1 × Δx = Δx. Zakładamy, że różniczka zmiennej niezależnej x jest równa jej przyrostowi, tj. dx = Δx.

Jeśli x jest dowolną liczbą, to z równości (2.8) otrzymujemy df(x) = f "(x)dx, skąd .
Zatem pochodna funkcji y = f(x) jest równa stosunkowi jej różniczki do różniczki argumentu.

Rozważ własności różniczki funkcji.

Jeśli u(x), v(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to prawdziwe są następujące wzory:

Aby udowodnić te wzory, stosuje się wzory pochodne dla sumy, iloczynu i ilorazu. Udowodnijmy na przykład wzór (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Rozważmy różniczkę funkcji zespolonej: y = f(x), x = φ(t), tj. y = f(φ(t)).

Wtedy dy = y" t dt, ale y" t = y" x ×x" t , więc dy = y" x x" t dt. Rozważając,

że x" t = dx, otrzymujemy dy = y" x dx = f "(x)dx.

Zatem różniczka funkcji zespolonej y \u003d f (x), gdzie x \u003d φ (t), ma postać dy \u003d f "(x) dx, tak samo jak wtedy, gdy x jest zmienną niezależną. Ta właściwość jest nazywany różniczka niezmienna kształtu A.

Niech funkcja będzie dana w sposób parametryczny:
(1)
gdzie jest jakaś zmienna zwana parametrem. I niech funkcje i mają pochodne przy pewnej wartości zmiennej . Ponadto funkcja ma również funkcję odwrotną w pewnym sąsiedztwie punktu . Wtedy funkcja (1) ma pochodną w punkcie, który w postaci parametrycznej wyznaczają wzory:
(2)

Tutaj i są pochodnymi funkcji i względem zmiennej (parametru). Często są one pisane w następującej formie:
;
.

Wówczas układ (2) można zapisać w następujący sposób:

Dowód

Pod warunkiem, że funkcja ma funkcję odwrotną. Oznaczmy to jako
.
Wtedy pierwotną funkcję można przedstawić jako funkcję zespoloną:
.
Znajdźmy jej pochodną, ​​stosując zasady różniczkowania funkcji zespolonych i odwrotnych:
.

Reguła została udowodniona.

Dowód w drugi sposób

Znajdźmy pochodną w drugi sposób, opierając się na definicji pochodnej funkcji w punkcie :
.
Wprowadźmy notację:
.
Wówczas poprzedni wzór przyjmuje postać:
.

Wykorzystajmy fakt, że funkcja ma funkcję odwrotną w pobliżu punktu.
Wprowadźmy notację:
; ;
; .
Podziel licznik i mianownik ułamka przez:
.
Na , . Następnie
.

Reguła została udowodniona.

Pochodne wyższych rzędów

Aby znaleźć pochodne wyższych rzędów, konieczne jest kilkukrotne wykonanie różniczkowania. Załóżmy, że musimy znaleźć drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie, o postaci:
(1)

Zgodnie ze wzorem (2) znajdujemy pierwszą pochodną, ​​która jest również wyznaczana parametrycznie:
(2)

Oznacz pierwszą pochodną za pomocą zmiennej:
.
Następnie, aby znaleźć drugą pochodną funkcji względem zmiennej , musisz znaleźć pierwszą pochodną funkcji względem zmiennej . Zależność zmiennej od zmiennej jest również określana w sposób parametryczny:
(3)
Porównując (3) ze wzorami (1) i (2), znajdujemy:

Teraz wyraźmy wynik w kategoriach funkcji i . Aby to zrobić, podstawiamy i stosujemy wzór na pochodną ułamka:
.
Następnie
.

Stąd otrzymujemy drugą pochodną funkcji względem zmiennej:

Jest on również podany w postaci parametrycznej. Zauważ, że pierwszy wiersz można również zapisać w następujący sposób:
.

Kontynuując proces, możliwe jest uzyskanie pochodnych funkcji ze zmiennej trzeciego i wyższych rzędów.

Zauważ, że można nie wprowadzać oznaczenia pochodnej. Można to zapisać tak:
;
.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób parametryczny:

Rozwiązanie

Znajdujemy pochodne i względem .
Z tablicy pochodnych znajdujemy:
;
.
Stosujemy:

.
Tutaj .

.
Tutaj .

Pożądana pochodna:
.

Odpowiedź

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji wyrażoną przez parametr:

Rozwiązanie

Otwórzmy nawiasy, używając wzorów na funkcje potęgowe i pierwiastki:
.

Znajdujemy pochodną:

.

Znajdujemy pochodną. W tym celu wprowadzamy zmienną i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

.

Znajdujemy pożądaną pochodną:
.

Odpowiedź

Przykład 3

Znajdź drugą i trzecią pochodną funkcji podanej parametrycznie w przykładzie 1:

Rozwiązanie

W przykładzie 1 znaleźliśmy pochodną pierwszego rzędu:

Wprowadźmy notację . Wtedy funkcja jest pochodną względem . Jest on ustawiony parametrycznie:

Aby znaleźć drugą pochodną względem , musimy znaleźć pierwszą pochodną względem .

Rozróżniamy ze względu na.
.
Znaleźliśmy pochodną w przykładzie 1:
.
Pochodna drugiego rzędu względem jest równa pochodnej pierwszego rzędu względem:
.

Znaleźliśmy więc pochodną drugiego rzędu względem postaci parametrycznej:

Teraz znajdujemy pochodną trzeciego rzędu. Wprowadźmy notację . Następnie musimy znaleźć pierwszą pochodną funkcji , która jest dana w sposób parametryczny:

Znajdujemy pochodną względem . Aby to zrobić, przepisujemy w równoważnej formie:
.
Z
.

Pochodna trzeciego rzędu względem jest równa pochodnej pierwszego rzędu względem:
.

Komentarz

Można nie wprowadzać zmiennych i , które są odpowiednio pochodnymi i . Wtedy możesz napisać to tak:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Odpowiedź

W reprezentacji parametrycznej pochodna drugiego rzędu ma postać:

Pochodna trzeciego rzędu.

Funkcję można zdefiniować na kilka sposobów. Zależy to od reguły używanej podczas jej ustawiania. Jawna postać definicji funkcji to y = f (x) . Zdarzają się przypadki, gdy jego opis jest niemożliwy lub niewygodny. Jeśli istnieje zestaw par (x; y), które należy obliczyć dla parametru t w przedziale (a; b). Aby rozwiązać system x = 3 cos t y = 3 sin t gdzie 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definicja funkcji parametrycznej

Stąd mamy, że x = φ (t) , y = ψ (t) są określone dla wartości t ∈ (a ; b) i mają funkcję odwrotną t = Θ (x) dla x = φ (t) , to mówimy o ustawieniu parametrycznego równania funkcji postaci y = ψ (Θ (x)) .

Zdarzają się przypadki, że aby zbadać funkcję, trzeba znaleźć pochodną względem x. Rozważmy wzór na pochodną funkcji danej parametrycznie postaci y x " = ψ " (t) φ " (t) , porozmawiajmy o pochodnej 2. i n-tego rzędu.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji danej parametrycznie

Mamy to, że x = φ (t) , y = ψ (t) , określone i różniczkowalne dla t ∈ a ; b , gdzie x t " = φ " (t) ≠ 0 i x = φ (t) , to istnieje funkcja odwrotna postaci t = Θ (x) .

Na początek należy przejść od zadania parametrycznego do jawnego. Aby to zrobić, musisz uzyskać złożoną funkcję postaci y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , gdzie jest argument x .

Opierając się na zasadzie znajdowania pochodnej funkcji zespolonej, otrzymujemy, że y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

To pokazuje, że t = Θ (x) i x = φ (t) są funkcjami odwrotnymi ze wzoru na funkcję odwrotną Θ "(x) = 1 φ" (t) , wtedy y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Przejdźmy do rozwiązania kilku przykładów przy użyciu tablicy pochodnych zgodnie z regułą różniczkowania.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji x = t 2 + 1 y = t .

Rozwiązanie

Warunkowo mamy, że φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, stąd otrzymujemy, że φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Konieczne jest użycie formuły pochodnej i wpisanie odpowiedzi w postaci:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Odpowiedź: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Podczas pracy z pochodną funkcji parametr t określa wyrażenie argumentu x przez ten sam parametr t, aby nie stracić połączenia między wartościami pochodnej a parametrycznie określoną funkcją z argumentem, do którego te wartości odpowiadają.

Aby wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji danej parametrycznie, należy skorzystać ze wzoru na pochodną pierwszego rzędu funkcji wynikowej, wtedy otrzymujemy, że

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Przykład 2

Znajdź pochodne drugiego i drugiego rzędu danej funkcji x = cos (2 t) y = t 2 .

Rozwiązanie

Warunkowo otrzymujemy, że φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Potem po transformacji

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - grzech (2 t) 2 t " \u003d - 2 grzech (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Wynika z tego, że y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 grzech 2 t = - t grzech (2 t) .

Otrzymujemy, że postać pochodnej pierwszego rzędu to x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Aby go rozwiązać, musisz zastosować wzór na pochodną drugiego rzędu. Otrzymujemy wyrażenie np

y x "" \u003d - t grzech (2 t) φ "t \u003d - t " grzech (2 t) - t (grzech (2 t)) " grzech 2 (2 t) - 2 grzech (2 t) = = 1 grzech (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 grzech 3 (2 t) = grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 grzech 3 (2 t)

Następnie ustawienie pochodnej drugiego rzędu za pomocą funkcji parametrycznej

x = sałata (2 t) y x "" = grzech (2 t) - 2 t sałata (2 t) 2 grzech 3 (2 t)

Podobne rozwiązanie można rozwiązać inną metodą. Następnie

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - grzech (2 t) 2 t " \u003d - 2 grzech (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 grzech (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 sałaty (2 t) (2 t)" = - 4 sałaty (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Stąd to rozumiemy

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 grzech (2 t) - 2 t (- 4 sałata (2 t)) - 2 grzech 2 t 3 \u003d \u003d grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ja n 3 (2 t)

Odpowiedź: y "" x \u003d grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ja n 3 (2 t)

Podobnie znajdują się pochodne wyższego rzędu z funkcjami określonymi parametrycznie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Różniczkowanie logarytmiczne

Pochodne funkcji elementarnych

Podstawowe zasady różniczkowania

Różniczka funkcji

Główna część liniowa przyrostu funkcji A D X w definicji różniczkowalności funkcji

D f=f(X)-F(X 0)=A(x-x 0)+ o(x-x 0), x®x 0

nazywa się różniczką funkcji F(X) w punkcie X 0 i oznaczone

df(X 0)=f¢(X 0) D x=A D X.

Różnica zależy od punktu X 0 i od przyrostu D X. na D X patrząc na to jako na zmienną niezależną, więc w każdym punkcie różnica jest funkcją liniową przyrostu D X.

Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję F(X)=x, wtedy dostajemy dx= D x, dy=Adx. Jest to zgodne z notacją Leibniza

Geometryczna interpretacja różniczki jako przyrostu rzędnej stycznej.

Ryż. 4.3

1) f= konst , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Konsekwencja. (por(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n fa rz(X))¢= c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ rz(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0, a zatem pochodna istnieje f¢=(u¢v-v¢ u)/w 2 .

Dla zwięzłości oznaczymy u=u(X), u 0 =u(X 0), więc

Przejazd do granicy w D x® 0 uzyskujemy wymaganą równość.

5) Pochodna funkcji zespolonej.

Twierdzenie. Jeśli są f¢(X 0), g¢(X 0)i x 0 = g(T 0), to w pewnym sąsiedztwie t 0 funkcja złożona f(G(T))jest różniczkowalna w punkcie t 0 I

Dowód.

F(X)-F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ u(X 0).

F(G(T))-F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)-G(T 0))+ A( G(T))(G(T)-G(T 0)).

Podziel obie strony tej równości przez ( t - t 0) i przejść do granicy o godz t®t 0 .

6) Obliczenie pochodnej funkcji odwrotnej.

Twierdzenie. Niech f będzie ciągłe i ściśle monotoniczne[a, b]. Niech w punkcie x 0 Î( a, b)istnieje f¢(X 0)¹ 0 , to funkcja odwrotna x=f -1 (y)ma w punkcie y 0 pochodna równa

Dowód. Wierzymy F wtedy ściśle monotonicznie rosnący F -1 (y) jest ciągła, monotonicznie rosnąca na [ F(A),F(B)]. Włóżmy y 0 = f(X 0), y=f(X), x - x 0=D X,

y-y 0=D y. Ze względu na ciągłość funkcji odwrotnej D y®0 Þ D X®0, mamy

Przechodząc do granicy, uzyskujemy wymaganą równość.

7) Pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta, pochodna funkcji nieparzystej jest parzysta.

Rzeczywiście, jeśli x®-x 0 , To - x® x 0 , Dlatego

Dla funkcji parzystej dla funkcji nieparzystej

1) f= stała, f¢(X)=0.

2) F(X)=x, f¢(X)=1.

3) F(X)= e x, f¢(X)= mi x ,

4) F(X)= a x ,(x)¢ = x ln A.

5) ln A.

6) F(X)=ln X ,

Konsekwencja. (pochodna funkcji parzystej jest nieparzysta)

7) (X M )¢= M X m-1 , X>0, X M = e M ln X .

8) (grzech X)¢= sałata X,

9) (por X)¢=- grzech X,(sałata X)¢= (grzech( x+ p/2)) ¢= sałata( x+ p/2)=-grzech X.

10) (tj X)¢= 1/cos 2 X.

11) (por X)¢= -1/grzech2 X.

16) Sz X, rozdz X.

f(x),, skąd to wynika f¢(X)= f(X)(ln F(X))¢ .

Ten sam wzór można uzyskać w różny sposób F(X)= e ln F(X) , f¢=e ln F(X) (ln F(X))¢.

Przykład. Oblicz pochodną funkcji f=xx .

= x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Miejsce punktów na płaszczyźnie

będziemy nazywać wykresem funkcji, podane parametrycznie. Mówią też o parametrycznej definicji funkcji.

Uwaga 1. Jeśli x, y ciągłe włączone [a, b] I X(T) ściśle monotoniczny w segmencie (na przykład ściśle monotonicznie rosnący), a następnie na [ a, b], a=x(A) b=x(B) funkcja zdefiniowana F(X)=y(T(X)), gdzie t(X) – funkcja odwrotna do x(t). Wykres tej funkcji jest taki sam jak wykres funkcji

Jeśli zakres parametrycznie zdefiniowaną funkcję można podzielić na skończoną liczbę segmentów ,k= 1,2,…,N, na każdym z nich funkcja X(T) jest ściśle monotoniczna, to zdefiniowana parametrycznie funkcja rozkłada się na skończoną liczbę funkcji zwykłych fk(X)=y(T -1 (X)) z zakresami [ X(A k), X(B k)] dla obszarów wznoszących się X(T) i z domenami [ X(B k), X(A k)] dla malejących części funkcji X(T). Otrzymane w ten sposób funkcje nazywane są gałęziami jednowartościowymi funkcji zdefiniowanej parametrycznie.

Rysunek przedstawia wykres funkcji zdefiniowanej parametrycznie

Przy wybranej parametryzacji dziedzina definicji jest podzielony na pięć odcinków o ścisłej monotoniczności funkcji sin(2 T), Dokładnie: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , i odpowiednio, wykres zostanie podzielony na pięć jednowartościowych gałęzi odpowiadających tym sekcjom.

Ryż. 4.4

Ryż. 4.5

Możesz wybrać inną parametryzację tego samego miejsca punktów

W tym przypadku będą tylko cztery takie oddziały. Będą one odpowiadać obszarom o ścisłej monotoniczności TÎ ,TÎ , TÎ ,TÎ Funkcje grzech(2 T).

Ryż. 4.6

Cztery sekcje monotoniczności funkcji sin(2 T) na odcinku długości.

Ryż. 4.7

Obraz obu wykresów na jednym rysunku pozwala w przybliżeniu zobrazować wykres funkcji danej parametrycznie, wykorzystując obszary monotoniczności obu funkcji.

Rozważmy na przykład pierwszą gałąź odpowiadającą segmentowi TÎ . Na końcu tej sekcji funkcja x= grzech(2 T) przyjmuje wartości -1 i 1 , więc ta gałąź zostanie zdefiniowana na [-1,1] . Następnie musisz spojrzeć na obszary monotoniczności drugiej funkcji y= sałata( T), ona ma dwa obszary monotoniczności . To pozwala nam powiedzieć, że pierwsza gałąź ma dwa segmenty monotoniczności. Po znalezieniu punktów końcowych wykresu można je połączyć liniami prostymi, aby wskazać charakter monotonii wykresu. Robiąc to z każdą gałęzią, otrzymujemy obszary monotonii jednowartościowych gałęzi wykresu (na rysunku są one podświetlone na czerwono)

Ryż. 4.8

Pierwsza pojedyncza gałąź F 1 (X)=y(T(X)) , odpowiadającą sekcji zostanie ustalony dla Xн[-1,1] . Pierwsza pojedyncza gałąź TÎ , XО[-1,1].

Wszystkie pozostałe trzy gałęzie również będą miały zbiór [-1,1] jako swoją domenę .

Ryż. 4.9

Drugi oddział TÎ XО[-1,1].

Ryż. 4.10

Trzeci oddział TÎ Xн[-1,1]

Ryż. 4.11

Czwarta gałąź TÎ Xн[-1,1]

Ryż. 4.12

Komentarz 2. Ta sama funkcja może mieć różne przypisania parametryczne. Różnice mogą dotyczyć zarówno samych funkcji X(T)y(T) , i dziedziny definicji te funkcje.

Przykład różnych przypisań parametrycznych tej samej funkcji

I Tн[-1, 1] .

Uwaga 3. Jeśli x, y są ciągłe , X(T)-ściśle monotoniczny w segmencie i są pochodne y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, to istnieje f¢(X 0)= .

Naprawdę, .

Ostatnia instrukcja rozciąga się również na jednowartościowe gałęzie funkcji zdefiniowanej parametrycznie.

4.2 Pochodne i różniczki wyższych rzędów

Wyższe pochodne i różniczki. Różniczkowanie funkcji zadanych parametrycznie. Formuła Leibniza.